行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
以橫斷面債券價格資料估計 利率期限結構模型之研究
Estimating Models of the Ter m Str uctur e of Inter est Rates Using Cr oss-Sectional Bond Pr ices
計畫類別：□個別型計畫 □整合型計畫 計畫編號：NSC89－2416－H－011－018
執行期間： 89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日 計畫主持人：林丙輝
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立台灣科技大學企業管理系
中 華 民 國 90 年 10 月 20 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
以橫斷面債券價格資料估計利率期限結構模型之研究
Estimating Models of the Ter m Str uctur e of Interest Rates Using Cross-Sectional Bond Pr ices
計畫編號：NSC 89-2416-H-011-018
執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日
計畫主持人 ：林丙輝 國立台灣科技大學企業管理系
計畫參與人員：紀碧如 國立台灣科技大學企業管理系
中文摘要
本研究計畫將以橫斷面各年期公債 價 格 資 料 ， 估 計 Vasicek (1977)、 Cox, Ingersoll, and Ross (CIR, 1985) 兩種經典 利率期限結構模型、以及 Baz and Das (1996) 跳 躍 Vasicek 模 型 、 與 Ahn and Thompson (1988)跳躍 CIR 模型等兩種推 廣之跳躍利率期限結構模型。由於利率係 總體經濟變數，為政府財政政策之工具之 一，在某種程度上係受政府控制。也因此 利率之行為可能會有跳躍不連續之情形 發生。而 Vasicek 與 CIR 模型則忽略了此 一跳躍風險。本研究因此對跳躍 Vasicek 與跳躍 CIR 模型加以研究。由於在跳躍利 率期限結構模型之估計方面，至今僅有 Lin and Yeh (1999)以時間數列利率資料估 計跳躍 Vasicek 模型，但卻未曾有任何文 獻針對跳躍 CIR 模型做過實證研究。尤其 是在以橫斷面債券資料估計方面，更未曾 出現過。因此本研究在學術上應有相當之 意義。
關鍵詞：利率期限結構、OU 隨機過程、
方根隨機過程、均數趨平 ABSTRACT
This study investigates the estimation of two classical models of term structure of interest rates, the Vasicek model and the CIR model, and two extended models, the jump-Vasicek model developed by Baz and Das (1996), and the jump-CIR model derived by Ahn and Thompson (1988), for the Taiwanese government bond (TGB) market, using cross-sectional bond price data. The classical models of term structure
of interest rates assume the instantaneous short-term interest rate follows the OU process or square-root process which are a diffusion process with mean-reversion characteristics. Since the interest rate is an instrument of government financial policy, it is to some extent controlled or at least intervened by the government. Thus the interest rate factor may occasionally exhibit discontinuous jump in addition to its normal diffusion behavior. Since the jump term structure models have not been studied empirically in previous literature, our study will add new contributions to the literature.
Keywor ds: term structure, OU process, square-root process, mean reverting
1. 研究背景及目的
利率期限結構顯示不同到期期限之 零息債券之殖利率所構成之曲線。利率期 限結構是評價固定收益證券之基礎，也是 其他一切資產定價之依據。不管在金融投 資、公司投資與融資、財務工程、與風險 管理決策，利率期限結構均扮演非常重要 的角色。因此估計利率期限結構並了解與 定義驅動利率期限結構因子行為，是現代 財務理論所重視之主題。
現代利率期限結構理論可說是源自 於 Vasicek (1977)。其除了建立利率期限結 構評價之理論架構外，並假設驅動利率之 因子－瞬間短期利率服從具有均數趨平 性質之隨機過程，稱之為 OU 隨機過程。
進而以 Black and Scholes (1973)之衍生證 券 評 價 法 導 出 各 年 期 零 息 債 券 價 格 。 Vasicke (1977)僅假設在效率市場下，利率
因子服從 OU 過程，其並無討論市場均衡 之經濟問題。此外在 OU 過程假設下，利 率條件分配為常態分配，其可能有負值產 生，因此模型可能不符合無套利條件之限 制，使得該模型在理論上受到限制。接著 Cox, Ingersoll, and Ross (CIR, 1985)討論市 場均衡下，短期利率因子服從具有均數趨 平 性 質 之 方 根 隨 機 過 程 (square-root process)。該模型雖然克服了 Vasicek (1977) 之缺點，但短利利率呈非標準化之卡方分 配，使得 CIR (1985)模型在應用上困難重 重。
然而由於利率係總體經濟變數，為政 府財政政策之工具之一，在某種程度上係 受政府控制。也因此利率之行為可能會有 跳躍不連續之情形發生。而 Vasicek 與 CIR 模型則忽略了此一跳躍風險。本研究因此 亦將對 Baz and Das (1996)之跳躍 Vasicek 模型，與 Ahn and Thompson (1988)之跳躍 CIR 模型加以研究。由於在跳躍利率期限 結構模型之估計方面，至今僅有 Lin and Yeh (1999)以時間數列利率資料估計跳躍 Vasicek 模型，但卻未曾有任何文獻針對跳 躍 CIR 模型做過實證研究。尤其是在以橫 斷面債券資料估計方面，更未曾出現過。
因此本研究在學術上應有相當之意義。
本研究估計兩種最為重要之基本利 率期限結構模型參數，可作為市場交易之 參考。實務上所運用之各種推廣模型均須 估計其基礎參數，如 Hull-White (1990)模 型，Heath, Jarrow, Morton (1992)模型，
Black-Dermon-Toy (1990)模型，均需估計 相關參數。在學術上，本研究針對台灣公 債利率期限結構，了解其利率因子之行 為，與利率期限結構模型之適用性。
本研究亦提供了估計利率期限結構 之方法。一般可以曲線擬合 (Curve Fitting) 法估計。如 McCulloch (1971)、Nelson and Siegel (1987) 、 Steeley (1991) 、 Pham (1998)、 及 Barzanti and Carradi (1998) 等，以各種數學分段函數近似法估計利率 期限結構。此種方法可使估計之利率期限 結構隨意逼近市場觀測價格，但卻無法以 經濟意義解釋相關參數，也無預測意義。
另一種係以經濟模型來配適利率期限結 構。如 De Munnik and Schotman (1994)、
Sercu and Wu (1997)、與 Ferguson and Raymar (1998)等，以 Vasicek (1977)或 Cox, Ingersoll, and Ross (1985)模型估計利率期 限結構。此種方法或許未能以最大的函數 逼近利率期限結構，但估計之參數卻有經 濟意義，對預測、與風險管理與衍生證券 定價卻有相當之意義。本研究之目的也就 是以經濟模型估計台灣公債市場之利率 期限結構。除可了解利率因子之行為外，
由市場估計之利率期限結構可直接提供 各種利率衍生證券評價模型，如 Ho and Lee (1986) 、 Heath, Jarrow, and Morton (1992)、與 Hull and White (1990)模型進行 評價、交易、與風險管理等財務工程領 域。本研究因此將估計利率期限結構，及 其相關參數工作，畢其功於一役。此對利 率衍生證券之評價與利率風險管理有相 當之意義。
2. 利率期限結構之估計
估 計 上 節 所 述 之 利 率 期 限 結 構 模 型 之 方 法 依 資 料 性 質 可 分 成 時 間 數 列 法與橫斷面資料法。由於利率期限結構 模型假設利率因子之隨機過程，因此觀 測 債 券 價 格 不 同 時 點 之 時 間 數 列 行 為，運用適當統計估計方法即可估計模 型 參 數 ， 進 而 估 計 出 整 個 利 率 期 限 結 構。另由於利率期限結構模型，依據利 率因子隨機過程，提供了各年期債券模 型價格，因此觀測同一時點之不同期限 之債券價格，運用適當通記估計方法即 可估計模型參數，進而估計出整個利率 期限結構。以時間數列資料估計利率期 限 結 構 者 如 Chen and Scott (1993)、
Pearson and Sun (1994)、Lin and Yeh (1999) 等 。 而 以 橫 斷 面 資 料 估 計 者 如 Brown and Schaefer (1994)、De Munnik and Schotman (1994)、Sercu and Wu (1997)、與 Ferguson and Raymar (1998)等。
以 橫 斷 面 資 料 進 行 利 率 期 限 結 構 時，由於市場公債大多數為附息公債，
因此必須由附息公債價格中估計出。設 有 n 個公債，其第 i 個公債價格設為
B i
，則附息債券價格為多個零息公債價 格之線性組合，我們可建立以下之迴歸 模型：n i
t P t d B
N
im
i m m i
i
( ) ( ) ; 1,2, ,1
=
L+
= ∑
=
ε
; 其中 tm
代表第 i 個公債第 m 個付息日距離評價點之期限。N
i
代表該債券之剩餘附息 次數，di
(tm
)則為該債券於t m
之現金流量，P(t m
)則代表面額為一元，到期期限為t m
之 零息債券現值。而根據 Vasicek 與 CIR 利 率期限結構模型，零息債券價格決定幾個 參數，即P
(t
)≡ P
(t
,α
,β
,σ
,ζ
,r
)，因此上 式中而待估計參數組合為[α
,β
,σ
,ζ
,r
]。關於迴歸模型中之殘差項ε
i
，我們假 設迴歸模型之殘差變異數為：E
(ε i 2
)= σ 2 h E i
; (ε ε i
,j
)=
0, for i ≠j 其中 hi
代表第 i 個債券之持續期。一旦零 息債券價格估計出以後，我們可計算出間 斷之利率期限結構。我們計算每半年複利 之利率，期限從半年至十五年，共 30 個 不同期限之利率。3. 利率期限結構模型
現代利率期限結構模型係以選擇權 評價理論為基礎，假設利率因子服從特定 隨機過程，而導出整個利率期限結構。假 設利率因子（瞬間短期利率）為以下隨機 過程
) ( ) , ( ) , ( )
(
t r t dt r t dW t
dr = µ + σ
其中 r(t)為瞬間短期利率，
µ
(r
,t
)為瞬間短 期利率之平均變動，其為利率水準 r 與時 間 t 之函數，σ
(r
,t
)為瞬間短期利率之波 動率，其亦為利率水準 r 與時間 t 之函數。設 到 期 日 為 T 之 零 息 債 券 價 格 為 )
, , ( ) ,
(
t T P r t T
P ≡
，根據 Ito Lemma，其價 格服從以下之隨機過程r dW dt P
r P r
P t
dP P
∂ + ∂
∂ + ∂
∂ + ∂
∂
= ∂ µ σ
)σ
2
( 1
2
2 2
而在無套利情況下，債券價格需滿足以下 之偏微分方程式
2 0 ) 1
(
2
2
2 − =
∂ + ∂
∂
− ∂
∂ +
∂ rP
r P r
q P t
P µ σ σ
其邊界條件為1 ) , , (
r T T = P
根據以上偏微分方程式及其邊界條件即 可解出各年期零息債券價格，進而計算出 其殖利率，及其利率期限結構。
當上述第(1)式之短期利率因子隨機 行為模式服從特定隨機過程時，利率期限
結構即可被明確定義出。最為古典之假設 可 說 是 Vasicek (1977) 所 使 用 之 Ornstein-Uhlenbeck (O-U) 隨機過程。亦即 瞬間短期利率服從以下之過程：
) ( ))
( ( )
( t r t dt dW t
dr = α β − + σ
其中
α 代表均數趨平參數， β
代表短期利率之長期平均水準，t 代表時間參數，σ 為 短期利率之波動率。而 dW(t)代表標準 Wiener 隨機過程之增量。
而在時間 t 時，到期時點為 T 之零息 債券價格
P r t T
( , , )，可為短期利率 r 與到 期期限 T-t 之函數，亦即P r t T
( , , )=
exp[− A t T r
( , )+ B t T
( , )]Vasicek (1977)模型之主要缺點是：短 期利率條件分配呈常態分配，而其值可能 為負值。這有違金融市場無套利條件之基 本要求。因此 Cox, Ingersoll and Ross (1985) 假設短期利率因子服從以下隨機過程，又 稱為方根過程(square-root process)：
) ( ) ( ))
( ( )
( t r t dt r t dW t
dr = α β − + σ
其中漂移項(drift term)部份與 Vasicek 之假設相同。主要差別在於 CIR 模型中，短期 利率之波動率隨短期利率水準之平方根 成正比。該過程主要優點為短期利率不會 成為負值。由式中可知，當短期利率水準 趨近於零時，其波動率亦趨近於零，只要
β 為正直，則 r 永遠為正值。這對利率，
尤其是名目利率(nominal rate)來說是非常 重要的性質。因若有負的名目利率出現，
市場將是明顯的套利機會。含有套利機會 之模型，其定價必定不是均衡價格。
在方根過程中，短期利率之條件機率分配 為非標準化(non-Central)卡方分配，其優點 為短期利率永遠為正值。然而在此模型 下，利率期限結構模型變得複雜許多。而 在時間 t 時，到期時點為 T 之零息債券價 格
P r t T
( , , )，可為短期利率 r 與到期期限T-t 之函數，亦即
)) ( ) , ( exp(
) , ( ) , ,
(
r t T G t T H t T r t
P = −
以上所述之利率期限結構模型係單因子模型，假設利率期限結構僅受一個隨 機因子所驅動。單因子模型的缺點為各年 期利率變化將完全相關，此與市場實際觀 測之現象不盡相符。因此須以多因子來描 述利率期限結構。由於本研究以橫斷面資 料進行模型估計，受限於樣本資料數，因
此僅討論單因子模型。
另外，由於利率係屬財政政策工具之 一，某種程度上受政府所控制，因此其變 動可能產生跳躍不連續之現象。Baz and Das (1996)即考慮此種現象，假設短期利 率因子除服從 OU 過程外，還加上一波式 跳躍過程。亦即短期利率因子服從以下之 隨機過程：
dr t ( ) = α β ( − r t dt ( )) + σ dW t ( ) + Jd N t ( )
其中 N(t)代表波式跳躍過程，其跳躍參數為
λ 。而 J 為每次跳躍之幅度，其假設為
一常態分配，其均數為
θ ，標準差為δ 。
而根據 Baz and Das (1996), 而在時 間 t 時，到期時點為 T 之零息債券價格為P r t T
( , , )=
exp[− A t T r
( , )+ B t T
( , )]其中
A t T e T t
( , )
( )
= −
1− α −
α
;
B t T Ee D E e D E T t
C
T t T t
( , )
( )
( )( )
( )( )= − − 2 3 − + + 3 − − + + 3 − −
42 2
α α
α
α α
α α
C D E
= +
α 2 α 3
3 4 ;D = ξσ αβ θλ ; − − E = σ 2 +
(δ 2 + θ λ 2
) .再則，Ahn and Thompson (1988)假設 短期利率因子除服從方根過程外，還加上 一波式跳躍過程。亦即短期利率因子服從 以下之隨機過程：
) ( )
( ))
( ( )
( t r t dt r dW t Jd N t
dr = α β − + σ +
其中 N(t)代表波式跳躍過程，其跳躍參數
為
λ r。而 J 為每次跳躍之幅度，其假設為
一常態分配，其均數為
θ ，標準差為δ 。
而根據 Ahn and Thompson (1988), 而在時間 t 時，到期時點為 T 之零息債券 價格P r t T
( , , ) 為)) ( ) , ( exp(
) , ( ) , ,
(
r t T G t T H t T r t
P = −
其中
) /(
2
) (
2 / ) )(
(
2 2
2 ) 1 )(
( ) 2 , (
δ λ σ αβ γ
δ λ γ ξ α
γ δ
λ γ ξ α
γ +
−
− + + +
+
− +
+
= + T T t t
e T e
t G
γ δ
λ γ ξ
α γ
γ
2 ) 1 )(
(
) 1 (
) 2 ,
(
( )
) (
+
− +
+ +
= T − t − T − t e T e
t
H
2 2
2
2 2)
(
α ξ λ δ σ λ δ
γ = + + + +
;
λ = λ
(1+ q
); 4. 研究資料及方法我們係採用台灣政府公債價格作為 實證研究之對象。資料來源擬採用大華證 券所發行之債券投資週報。內容為台灣較 常交易之政府公債，大華證券之報價資 料。預計所採用之公債樣本列於附表。台 灣政府公債由國庫發行，原始年限從三年 至二十年不等，發行金額從一百億至五百 億元。在 1996 年發行之公債每半年付息 一次，而 1996 年以後發行之公債則每年 付息一次。台灣政府於 1995 年發行兩次 零息債券，其原始期限均為三年。台灣公 債發行量雖不小，但相對於其他國家之債 券市場，其次級市場買賣斷交易量卻很 小。此流動性問題造成公債報價較不具有 效率性，因而使得模型估計誤差增加。此 點在實證研究估計結果得到驗證。研究樣 本包括三十七種較常交易之政府公債交 易報價資料，每週之收盤報價，預計研究 期間從 1996 年一月六日至 1999 年九月六 日，因此研究樣本包含 193 週以上週資料。
在進行模型估計前，我們先進行樣本資料 之檢視。根據 Lin (1999)之發現，1996 年 以前發行之公債，也就是每年付息兩次之 公債，其殖利率明顯較 1996 年以後發行 之公債，也就是每年付息一次之公債要來 得高。此種現象有兩種可能性：第一，新 發行公債較舊發行之公債流動性較佳，其 交易量較大，因此舊發行公債有較高之流 動性風顯溢酬。第二，每年付息兩次之公 債較每年付息一次之公債有較高的再投 資風險，因此有較高的再投資風險溢酬。
為使模型估計更有效率，我們將以上付息 次數造成之影響納入估計模型中。此外，
一般有所謂息票效果，亦即由於利息所得 稅與資本利得稅之差異，造成高票面利率 之債券有較高的殖利率。
5. 實證結果
本研究以橫斷面各年期公債價格資 料運用 Vasicek 與 CIR 模型估計台灣公債 市場利率期限結構。結果顯示兩種模型估 計之利率因子行為模式頗有不同。其復歸 均數參數與波動率參數有所不同，然而所
估計之短期利率，長期利率，與利率長期 平均水準相當類似。兩種模型估計誤差均 不小，這是由於台灣公債市場流動性不足 造成價格效率性不佳之故。比較兩種模 型，又以 Vasicek 模型之估計參數較為穩 定，估計誤差亦較小，其所估計之利率期 限結構也較為穩定。此外，本研究之兩種 模型均傾向低估短期利率而高估了長期 利率。因此實際市場利率期限結構相較於 本研究所估計之利率期限結構，應呈較為 平緩之型態。最後，兩種模型之估計誤差 率均可解釋持有異常報酬率，顯示兩種模 型對台灣公債價格均有解釋能力。
6. 參考文獻
Ahn, C. and H. Thompson (1988), Jump-diffusion processes and the term structure of interest rates,
Journal of Finance, Vol. 43, pp. 155-174.
22, 139-143.
Baz, J. and S.R. Das (1996), Analytical approximations of the term structure for jump-diffusion processes: A numerical analysis,
Journal of Fixed Income, June
1996, pp. 78-86.Brown, R.H. and S.M. Schaefer (1994), The term structure of real interest rates and the Cox, Ingersoll, and Ross model,
Journal of Financial Economics, 35, 3-42.
Cox, J.C., J.E. Ingersoll, and S.A. Ross (1985), A theory of the term structure of interest rates, Econometrica, 53, 385-407.
Deacon, M. and A. Derry (1994), Estimating the term structure of interest rates, Working paper No. 24, the Bank of England.
De Munnik, J.F.J. and P.C. Schotman (1994), Cross-sectional versus time series estimation of term structure models: empirical results for the Dutch bond market,
Journal of Banking and Finance, 18, 997-1025.
Ferguson, R. and S. Raymar (1998), A comparative analysis of several popular term structure estimation models,
Journal of Fixed Income, March, 17-33.
Frishling, V. and J. Yamamura (1996), Fitting a smooth forward rate curve to
coupon instruments,
Journal of Fixed Income, September, 97-103.
Heath, D., R. Jarrow, and A. Morton (1992), Bond pricing and the term structure of interest rates: a new methodology for contingent claims valuation,
Econometrica,
60, 77-105.Ho, T.S.Y. and S.B. Lee (1986), Term structure movement and pricing interest rate contingent claims,
Journal of Finance, 41,
1011-1029.Hull, J. and A. White (1990), Pricing interest rate derivative securities,
Review of Financial Studies, 3, 573-592.
Lin, B.H. and S.K. Yeh (1999), Jump-diffusion interest rate process: An empirical examination, Forthcoming,
Journal of Business Finance and Accounting, Vol. 26, Nos. 7 & 8, pp.
967-995.
McCulloch, J.H. (1971), Measuring the term structure of interest rates,
Journal of Business, 44, 19-31.
Pham, T.M. (1998), Estimation of the term structure of interest rates: an international perspective,
Journal of Multinational Financial Management, 8, 265-283.
Schaefer, S.M. and E.S. Schwartz (1987), Time-dependent variance and the pricing of bond options,
Journal of Finance, 42,
1113-1128.Sercu, P. and X. Wu (1997), The information content in bond model residuals:
an empirical study on the Belgian bond market, Journal of Banking and Finance, 21, 685-720.
Steeley, J.M. (1991), Estimating the Gilt-edged term structure: basis splines and confidence intervals,
Journal of Business Finance and Accounting, 18, 513-529.
Vasicek, O. (1977), An equilibrium characterization of the term structure,
