教育研究集刊
第五十七輯第三期 2011 年 9 月 頁 37-73
陳嘉皇，崑山科技大學通識教育中心助理教授 電子郵件為：[email protected]
投稿日期：2010 年 10 月 8 日；修改日期：2011 年 7 月 23 日；採用日期：2011 年 9 月 6 日
不同等號概念之基模導向解題教學 實驗研究
陳嘉皇 摘要
本研究旨在針對不同等號概念之教材，進行基模導向解題教學實驗，以探索 學生等號概念的表現，並歸納合宜之學習路徑，以做為日後改善代數推理教學與 課程設計的依據。研究樣本為公立小學 12 名一年級學生，2 人一組，參與研究 者設計之不同順序等號概念的教學實驗與測驗，資料分析與說明則採取質、量併 陳方式來呈現。綜合研究發現，獲得以下結果：經不同等號概念之教學情境實驗 後，學生能獲得等號反身性、單邊運算與雙邊運算相等關係的觀念；學生等號概 念的學習以路徑「單邊運算→反身性→雙邊運算」之教學效果最佳，其次為「反 身性→單（雙）邊運算→雙（單）邊運算」之教學順序；等號概念之間的轉化與 連結，依學生認知能力不同而有不同表現。研究者根據發現結果提出建議，提供 未來等號概念之教學與研究參考。
關鍵字：等號、分解、合成、基模
Bulletin of Educational Research
September, 2011, Vol. 57 No. 3 pp. 37-73
Chia-Huang Chen, Assistant Professor, Center for General Education, Kun Shan University E-mail: [email protected]
Manuscript received: Oct. 8, 2010; Modified: July 23, 2011; Accepted: Sept. 6, 2011.
A Schema-based Problem-solving Instruction Experiment of Different Concepts of the Equal
Sign on First Graders
C h i a - H u a n g C h e n A b s t r a c t
The goal of this study was to reevaluate the concept of the equal sign and implement schema-based problem-solving instruction experiment to understand the process of solving equation problems and the means of learing it. When taking a test, twelve first graders completed three sequential tasks specifying a concept related to the equal sign. The collected data were analyzed according to descriptive statistics with a qualitative approach. The results showed that most of the students were capable of acquiring the three concepts represented by the equal sign after such an experiment,. The best method of learning the concepts of the equal sign involved the following sequences: 1) one-side operation → reflection → two-side operation; 2) reflection → one-side operation → reflection → two-side operation; or 3) reflection
→ two-side operation → one-side operation. Students of different cognitive abilities
showed different degrees of performance in the transformation and connection of their
concepts of the equal sign. These findings could support teachers engaging students in
opportunities to learn the concepts of the equal sign, by demonstrating how instruction can be used to improve and guide the design of curricula.
Keywords: equal sign, decompose, regroup, schema
壹、緒論
等號對於理解算術或代數問題而言，是一種聰慧的符號概念。倘若學生欠 缺這樣的理解，必然會對從算術轉移至代數學習將產生重大的阻礙（Carpenter, Franke, & Levi, 2003; Kieran, 1981; McNeil & Alibali, 2005）。研究指出，學生常 把等號視為運算工具，並將之解釋成「發現總和」或「將答案放在一起」，凡在 算式等號的右邊就必須是答案，不容許其他特例存在。以 Carpenter 等人（2003）
的研究為例，8 ＋ 4 ＝（ ）＋ 5 的括弧裡應填入什麼數字？許多學生會將答案 寫成 12，原因在於運算產生的影響。當運算觀念建立後，要改變其想法則有困 難。等號運算的觀念也會干擾學生對數學一般化的理解與運用，例如寫出錯誤的 算式，無法對樣式的發展進行推理。一些學生雖採取等號關係的方式呈現問題，
但因習慣於學校等號運算的教導，無法清楚了解問題的脈絡。有鑑於此，學者 建議，若能給予合適的教學支持，協助證明等號為關係的符號，則學生在解題上 將會有更好的表現（陳嘉皇，2008，2009；謝闓如，2010；Carpenter et al., 2003;
Kieran, 1981; McNeil & Alibali, 2005）。
在小學裡，等號概念學習之內涵包括：一、加減兩步驟問題的記錄格式；二、
得到答案的等號意義；三、相等關係的等號意義；四、等號的應用（國立教育研 究院籌備處，2002）。教育部（2003）之《九年一貫課程綱要：數學領域》也明 示，一年級學生需能「從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、
＝做橫式記錄與直式記錄，並解決生活中的問題」。在「具體情境中，認識等號 兩邊數量一樣多的意義」。因為等號概念建立後，學生才能進一步「認識加法的 交換律、結合律，並應用於簡化計算」。這樣的安排，無非希冀學生能利用加、
減問題，從操作的活動與合宜的引導，充分理解與應用關係概念進行解題。因此，
一年級學生若能正確地理解等號關係的概念，對其日後代數推理的學習應較能適 應且有良好的表現。
運算是發展等號概念的基礎，但單邊運算的等式常誤導學生產生錯誤的等號
概念。McNeil 等人（2006）的研究發現，等號兩邊運算的情境對於引導關係概念
的理解最為有效，因為兩邊運算的情境符合「相等」概念的發展，學生可透過運
算、比較與觀察發現相等關係，包含反身性、對稱及交換律等數學知識，教師若 能加以應用，且連結教學實務的教材，將可發展學生正確的等號觀念。審視現今 國小數學教材教法，有關問題的安排與等式記錄，大都呈現等號左邊運算、右邊 答案的模式，這樣的安排有其顧慮所在，一方面在於無合宜的教材與資訊提供，
可做為教師專業發展、提升教學能力的基礎；另一方面則懷疑低年級學生是否具 備足夠的認知能力，可接受不同等號概念的挑戰。關於前者，一些研究認為可透 過相關學習理論的設計，引導學生建構堅實且正確的等號概念；而後者，已有研 究建議，宜盡早安排兩邊運算的情境，提供學生理解不同情境產出之等號概念，
以促進未來算術與代數的轉化和銜接（Carpenter et al., 2003; Kieran, 1981; McNeil
& Alibali, 2005; McNeil et al., 2006）。
由於等號具有多元的意義，需藉由不同的情境以誘發學生發現「相等」的概 念。學生入學前已具有數數、比較的知識，並運用解決算術問題。進入小學後，
會教導數字之分解、組合、加減可逆運算等方法，這些能力若能堅實地發展且 彈性地運用，對於解決算式或文字問題將有莫大的助益。然而，這些能力並非 背誦練習即能獲得，應有一套實用且符合學生認知需求的教學模式予以支撐（陳 慧姿，2009；陳麗華，1988）。有鑑於此，本研究擬以「基模導向解題教學」
（schema-based problem-solving instruction）理論做為基礎，設計不同等號概念之 情境，進行教學實驗，探索學生等號概念之學習情形與合適之學習路徑，進而協 助其建立合宜的等號概念。本研究欲達成的目標如下：
一、設計不同等號概念之教學內容，進行等號概念基模導向解題教學研究，
探究學生等號概念的表現。
二、從教學歷程發現學生合宜之等號概念學習路徑，以做為等號概念教學與 課程設計之參考依據。
三、探討學生在基模導向解題教學模式實驗下，其等號概念轉化的情形。
貳、文獻探討
一、學生等號概念理解之探討
學生對等號所持的觀點，會影響其計算的結果。根據 Carpenter 等人（2003）
的研究發現，學生面對問題時，對等號產出的意義，可分成下列五種反應：
（一）表示進一步的答案：以 8 ＋ 4 ＝□＋ 5 為例，學生認為□的值是 12，表示等號左邊物件計算所得答案，等號是執行計算的指令，並未呈現兩邊數 字的關係。
（二）表示式子中所有數字的總和：例如 8 ＋ 4 ＝□＋ 5，學生認為□的值 是 17，□表示需將等式中所有出現的數字加起來的意思。
（三）表示擴展問題的意義：例如 8 ＋ 4 ＝□＋ 5，學生認為□的值是 12，
12 還需再計算為 8 ＋ 4 ＝ 12 ＋ 5 ＝ 17，進一步將原來的問題 8 ＋ 4 解釋成 12
＋ 5 ＝ 17，將等號視為是進一步計算的結果。
（四）依照經驗認為，等號代表等式兩邊數字計算的答案結果是一樣的。
（五）認為等式兩邊的語法錯誤，左邊可以計算，但右邊應該呈現答案而已。
為何會產生這些反應？一些研究認為，這是因為學校教師與課本對等號採取 運算的說明，是用來解決「運算－等號－答案」的問題，而不再說明等號可當成 關係的符號，學生只要能運算數字獲得答案即可。這樣的結果，造成學生認為等 號所關聯的意義就是運算，等號是處理運算的指示（Carpenter et al., 2003; Kieran, 1981; McNeil & Alibali, 2005）。
除文本與教學的因素影響學生採取運算意義外，有些學者則從學生等號概 念的發展，解釋等號關係概念產生困難的原因（Gelman & Gallistel, 1978）。
Gelman 與 Gallistel（1978）發現，幼兒判斷 2 個集合是否相等時，會依賴數數的 結果是否一樣而進行比較，另一方面，他們也採取加在一起計數比較，這種能力 間接形成了運算的觀念。進入小學後，學生進行比較和加法的能力更加地成熟，
但仍須透過完成一系列連續的行動（如分別計數，然後再比較），才能說明「＋」
與「＝」之間的意義（Kieran, 1981）。由此可知，學生對於理解等號關係概念
的困難是受到早期算術經驗所建構的知識影響。Carpenter 等人（2003）也發現，
當學生建立等號概念後，許多學生會堅持已建立的等號概念，不會輕易改變。由 此可了解，學生初始建立的等號概念對未來學習的影響重大，所以，在開始接觸 等號時，就應該提供豐富的活動與命題，協助其建立正確的等號概念。McNeil 等人（2006）認為，合宜的等號作業應該包括：
（一）可釐清等號概念的焦點；
（二）讓學生檢驗不同等號狀態所提出的情境要求；
（三）提供學生思考的視窗。
針對釐清等號概念的焦點而言，對錯及開放的數字命題已證明具有特殊的效 用，可當成討論相等概念使用（Carpenter et al., 2003）。不同與多樣的情境可以 鼓勵學生檢驗其所選擇的狀態，等式中兩邊並列數字的命題形式，可讓學生針對 呈現的描述是否正確，表示同意與否，並測知等號概念是否有誤。另外，包含 0 的數字命題，也可鼓勵學生接受不同等號的概念，例如 9 ＋ 5 ＝ 14 ＋ 0。為協 助學生合宜地運用等號並發展正確的等號概念，Carpenter 等人（2003）以等號 兩邊物件「相等」的觀念做為設計命題的基礎，探究學生等號概念發展的狀況。
學生需運用包含等號雙邊運算、單邊運算後加、減互逆算法、關係思考等策略解 題，這些方法皆與等號意義的解釋有關，學生若將等號視為是單邊運算所得的結 果，那麼就容易將等號右邊的空格，填入左邊運算結果的數字，而忽略其他項目 之間的關係；若學生持的是兩邊物件「相等」的解釋，則將採取等號兩邊運算或 關係思考進行探索。Denmark、Baxco 與 Voran（1976）設計教學實驗，透過平 衡活動配合等式寫作，以「相等」的關係教導一年級學生，發現學生可在不同的 命題結構中合宜地運用等號，例如 3 ＝ 3、3 ＋ 2 ＝ 4 ＋ 1、5 ＝ 4 ＋ 1。因此可 知，理解等號概念並不只依賴運算，也可以學習運用相等的關係概念解題。然而，
小學一年級階段的數學教材有關「等號雙邊運算」的命題甚少，牽涉的原因雖與
學生認知發展、解題策略運用、課程教材安排與教法等因素有關，但要提升學生
等號概念，就應針對這些議題加以實證探究，以發現等號概念發展最佳學習的機
制。
二、基模導向解題教學之探討
基模依照哲學與心理學的論點有不同的定義，且隨著歷史發展，內涵會有所 擴增。Kant（1787/1968）相信，世上存在著純概念或理解的範疇，這些都先驗 於心智，人類學習困難之處在於如何應用這些抽離的範疇去知覺真實世界的事 物，而基模的功能便在於連結此概念和知覺，提供被知覺現象的表徵，並於限制 的內在範疇下加以說明。Piaget（1936/1952）則聚焦在基模如何發展與改變，將 之描述成物理行動和認知功能的集合體，同時對與基模關聯的知覺經驗進行反 應。Piaget（1936/1952）認為，基模是三個觀點認同的結果：複製、辨認、類化
（generalization），在多元複製的過程中，所需的基模會有所不同，當事件或行 為與基模有關聯時，基模可類化且應用到更廣泛的情境。Piaget（1936/1952）認 為，個體會與環境進行交互作用，當認同新經驗時，會建構知覺到既有的基模上，
並調整基模以適應經驗的限制，所以，基模是由經驗所建構，並且反過來建構經 驗。Piaget 的觀點提供基模的架構與理解，但對於如何進行教學或提升基模，則 未提出實例說明。近來，一些學者透過實證探索基模的本質，發展出聰慧的電腦 模式而刺激基模實例的產出（Minsky, 1975; Schank, 1975）。Marshall（1995）認 為，相似經驗集合在某一架構下稱為基模，亦即同化與聚集相似的經驗，可以讓 學生很快或容易記住。基模最大的特徵是，當某一片段資訊與提取的記憶有關聯 時，與此相同基模連結的其他資訊就會被活化，而進行心智的處理；其次是，許 多不同種類的知識可透過基模而連結，包含概念性的資訊、可辨識的特徵、計畫 的機制及歷程性的技巧等。等號概念的結構，包含：（一）概念性知識：即「相 等」的概念；（二）程序性知識：包含數數、比較、組合、分解等運算能力和技 巧。這兩種知識相互輔助、彼此支撐發展，若能透過促進概念或基模的教學方式 結合這兩種知識，可協助學生理解等號概念。
為讓教學可創造與擴展學生的重要概念，Marshall（1995）提出「基模導向
解題教學」理論，強調教學歷程需先辨認學科場域的概念和環境顯示的特徵，然
後建構能辨認這些學科觀念的課程，發展如何執行功能的心智模式；接著，形成
運用所創造觀念的方法；最後，發展成學科所需之技巧和步驟。「基模導向解題
教學理論」與其他理論不同之處在於，大多數理論只強調最後執行技巧和步驟的
產出，而忽略前階段行動的重要性。Marshall 的理論特別強調教學時辨認與思慮 知識的應用，目標在於培養學生成為積極的解題者，而非被動或被灌輸大量知識 的儲存者，因此，知識建構是以基礎概念為核心，強調為何以及如何與不同元素 連結。
Marshall（1995）將基模導向解題教學定義為以下操作歷程：
（一）第一階段：辨識問題情境中運用的基模關聯知識；
（二）第二階段：將問題或問題類型裡重要的元素予以配對及呈現其關係；
（三）第三階段：計畫和選擇所合適的數學等式進行運算；
（四）最後階段：執行此計畫。
圖 1 顯示四項知識進行的歷程，包含概念性知識類型與不同程序性知識的功 能，這些知識類型可被分開或組合加以研究。
問題（problem）
概念性知識（conceptual knowledge）
基模的知識（schema knowledge）
思慮的知識（elaboration knowledge）
工作的基模（working schema）
執行的知識（execution knowledge）
歷程性知識（procedural knowledge）
辨識（identification）
表現（representation）
進行計畫（planning）
執行解題方案（solution carrying-out）
解題方法（solution）
圖 1 基模導向之解題教學模式
資料來源： 出自 Marshall (1995).（一）辨識的知識
其功能在於辨識樣式，做為辨識情境、事件及經驗的初始知識。樣式辨識並 非個體隨意臆測，而是採取掃描或逐項查核特徵才能正確，因此，只能在同時處 理許多特徵的認知結果下才會發生。雖說不同的特徵呈現不同的樣式輪廓，但必 須在相同基本的情境下，才能同時注意而辨識出特殊的特質。每種數學概念皆有 其所屬核心的辨識知識，但不同的概念也有可能會分享共通的元素。例如以數字 10 的合成為例，學生需同時注意兩數字合成後等於 10 的事實，其中，若有一數 字改變，則另一數字也需同時改變，若能發現此法則，經引導歸納後，即可發現 一組數字逐漸增加時，另一組數字則會逐漸遞減的樣式變化，並同時了解分解與 合成歷程中的數字關係。
（二）思慮的知識
係指思考問題情境裡主要的特徵或觀察概念周遭已經發展的事件，亦即個體 將發現特殊範例的經驗，與可描述此經驗的一般摘要結合在一起。思慮的知識促 進個體創造現在問題的心智基模，透過現在經驗的闡述與表現，可將之前一般情 境辨認的經驗，轉移到知識的思慮模版上。例如學生進行數字 10 的分解活動時，
可運用先前所學數字合成的經驗產出兩組相關的數字，並利用合成的經驗，驗證 是否等於 10，然後再運用此兩種經驗的結合，探究解題的結果是否正確。
上述辨識與思慮的知識建構可讓學生對情境形成企圖假設的一個結構，然後 進行檢測，此假設的形式是對情境辨識產生的結果，通常是透過辨識知識的應用 而被帶入對假設的評估，進而決定思慮知識是否具有充分證據的存在，以確定可 接受對情境的辨識，並採取伴隨的知識。
（三）計畫進行工作的知識
指的是何種知識可以用來做為計畫、創造期待及設定主要目標和次目標之
用。知識的使用並非直線進行，某種知識用於某特殊解題情境，並非意味其也可
自動地被引導到複雜的計畫。此知識可從使用計畫知識的經驗中獲得，並假設在
運用時可急速地更新。計畫知識的檢驗，可判斷學生是否具備基礎知識，因為在
計畫中，學生需將既有的知識與能力加以整合，配合情境運用。以 6 ＋ 4 ＝ 7 ＋
3 是否正確為例，學生可計畫運用數字合成和分解的基模，透過等號兩邊數字增
減變化的辨識與經驗獲得答案，亦可經由運算結果驗證兩邊是否相同，而獲得等
號的意義。
（四）執行的知識
係指允許執行計畫步驟的知識與技術是可引導行動的，例如形成的技巧或遵 循某些算則。執行的知識可在許多概念之間彼此分享，例如所有算術問題的概念 在運用執行的知識時，必須能處理加、減、乘、除等算則的執行，運算的選擇和 順序則需透過計畫的知識才能決定。
對等號概念或運算能力的習得和轉化而言，問題結構的辨識是最基本的，所 以，必須提供不同情境的經驗。Greeno（1991）認為，學生能明瞭某項重要的概 念，在於如何運用基模進行建構與推理，如果等號問題情境屬於物理狀態，那麼 就會創造視覺表徵，以促進空間思考的基模；若等號問題情境屬於數字或數量，
為了推理，就會建構一種問題情境的基模。因此，針對等號概念的轉化，需將重 點集中在「具體表徵與抽象數字」和「認識新奇與熟悉的問題」之間明確連結的 教學，才能協助學生從不同的情境中，透過思慮、計畫與執行等歷程整合等號概 念的學習。
參、研究方法與步驟
本研究首先針對國小現階段有關等號概念教材與所具備之知識加以分析，做 為設計相關等號情境作業與安排教學順序的基礎，並於每階段教學實驗後，實施 等號概念測驗，以蒐集師生課室教學互動與成就測驗表現資料，然後加以統計分 析與詮釋說明，逐步達成研究目的。
一、研究樣本
樣本為南部地區某公立小學一年級學生 26 人，該校處於文教區，該班學生
家長有 5 位任職於公家機關，5 位擔任學校教師，其餘則為經商或為上班族，家
庭社經地位處於中上程度。家長重視孩子學習，入學前，學生均接受過幼稚園教
育，普遍上，擁有國字書寫、算術計數基礎能力。放學後，有 15 位學童參加安
親班課業輔導，二分之一學生參加舞蹈、音樂、美術等才藝課程。首先，進行「等
號概念測驗前測」，依測驗結果由班級導師推薦 12 名學生參與研究，研究者以
全體平均成績 15.8 分（全部正確可得 21 分，以下均同）為分組基準，將成績高 於平均分數者列為高分組（6 名），低於平均分數者列為低分組（6 名），透過 抽籤方式，分別將高、低兩組學生 2 人配對一組，分派參與等號概念基模導向解 題教學活動。在研究進行前，教師已經教導 10 以內數字的合成與分解，以及加、
減法記錄的方式，例如 5 ＋ 3、6 － 1 等。
二、教學內容探討與設計
研究者歸納、分析現行國小數學教科書內容，國小一年級學生所需之等號概 念包含數字分解、合成能力、以 10 為主的位值概念，以及運算後獲得的數字保 留概念。參考 Denmark 等人（1976）之教學實驗設計，安排等號「反身性」、「單 邊運算」、「雙邊運算」等概念（如 3 ＝ 3、5 ＝ 4 ＋ 1、3 ＋ 2 ＝ 4 ＋ 1）之教 學情境，配合基模導向解題教學的辨識、思慮、計畫與執行等歷程產出的反應，
與教學活動後之成就測驗結果，做為研究與分析學生等號概念表現的架構，其關 係如圖 2 所示。
等號概念前測 高分組 低分組
六組不同順序之 等號概念情境教
學實驗
教學歷程分析 等號概念測驗
辨識的表現
執行的表現 計畫的表現 思慮的表現
圖 2 學生等號概念學習關係圖
為具體觀察學生運作，了解學生是否明白教學活動說明與相關數學概念，本 研究於每種教學情境中，依序安排：（一）天平平衡、（二）花片拼拼、湊湊、
（三）等號算式解題等活動，讓學生透過實物操作及數字關係的辨識、思慮、計
畫與執行等基模知識，展現不同情境所含括之等號概念。
（一）天平平衡活動
首先呈現天平讓學生操弄，詢問學生當兩邊秤盤一樣高（平衡）時，代表何 種意義？學生明白兩邊放的積木數量呈現「相等」後（反身性，A ＝ A 兩邊為 同樣相同的物件），研究者再呈現天平不平衡的現象，詢問學生如何讓它「平 衡」。學生嘗試著操弄兩邊秤盤的積木數量，以解決問題，了解天平的平衡可表 示秤盤兩邊數量「相等」的概念；再者，告知學生可將天平代表「＝」，也可將 平衡時之數量操弄過程及結果用算式呈現，例如天平兩邊皆無積木時會呈現平 衡，此時可寫成 0 ＝ 0。又如，左邊秤盤有 9 個積木，右邊秤盤放 6 個積木，怎 麼做兩邊才會平衡？學生將右邊秤盤再放上 3 個積木，總共等於 9 個，也可寫成 9 ＝ 6 ＋ 3。再分別呈現「秤盤兩邊一樣」、「秤盤單邊操弄」、「秤盤雙邊操弄」
的問題，提供學生思考操作。在此過程中，教師應指引學生書寫符應「反身性」、
「單邊運算」與「雙邊運算」之算式記錄。俟學生寫出正確算式後，要求學生配 合天平平衡的情境，說明等式的意義，例如 9 ＝ 6 ＋ 3，剛才這邊有 9 個積木，
另一邊 6 個，6 ＋ 3 是 9，9 ＝ 9，也可以說 9 ＝ 6 ＋ 3。
（二）花片拼拼、湊湊活動
將天平具體平衡的情境改成「想像」平衡的情境，利用紅色與綠色色紙當成 天平左右 2 個秤盤，再呈現「兩邊一樣」、「單邊操弄」、「雙邊操弄」的問題，
提供學生思考。在此過程中，教師應指引學生書寫符應「反身性」、「單邊運算」
與「雙邊運算」之算式記錄。俟學生寫出正確算式後，要求學生配合天平平衡的 情境，說明等式的意義；接著呈現算式，要求利用花片表徵與說明算式的情境。
例如 7 ＝ 7，學生要在紅紙上放上 7 個花片，綠紙上也放 7 個花片，表示兩邊相等；
或 7 ＋ 3 ＝ 5 ＋（5），學生操作花片並說明紅紙上有 7 個花片，綠紙上有 5 個花片，
紅紙又放上 3 個花片，變成 10 個花片，綠紙要 10 個花片才會「相等」，所以綠 紙上還要再放上 5 個花片。
（三）等號算式解題活動
呈現「反身性」、「單邊運算」與「雙邊運算」之算式，要求學生解出算式 中之未知數，學生可以直接運算、畫圓圈、手指數數解題。在解題過程中，學生 可將運算結果記錄於旁，或分段說明，以協助解題。例如 8 －（ ）＝ 2 ＋ 3，
學生可先記錄 2 ＋ 3 ＝ 5，然後說出等號右邊應該變成 5 才會相等，（ ）是 3。
等號概念教學情境的內容，如表 1 所示。
表 1 等號概念教學情境之類型及相關內容
等號概念情境之類型 等號概念教學情境之相關內容
情境一：等號反身性 1. 等號兩邊相同之單一數量
1.1 0 ＝ 0
1.2 A ＝ A（A 為 10 以內之整數）
1.3 A ＋ 0 ＝ A ＋ 0 1.4 A － 0 ＝ A － 0 1.5 A ＋ B ＝ A ＋ B
情境二：等號雙邊運算 1. 等號雙邊數字同時加法運算
1.1 數字一樣，位置交換，例如 A ＋ B ＝ B ＋ A 1.2 數字皆不同，例如 A ＋ B ＝ C ＋ D
2. 等號雙邊數字同時減法運算，例如 A － B ＝ C － D
3. 等號一邊數字加法運算，另一邊數字減法運算，例如 A ＋ B
＝ C － D 或 C － D ＝ A ＋ B
情境三：等號單邊運算 1. 等號單邊數字加法運算，例如 A ＝ B ＋ C 或 B ＋ C ＝ A 2. 等號單邊數字減法運算，例如 A ＝ B － C 或 B － C ＝ A
教學活動之內容則以表 2「等號雙邊運算」為例加以說明。
表 2 「等號雙邊運算」教學活動內涵
活動項目名稱 活動內容 教學時間
天平平衡 首先介紹天平代表等號，因為兩邊不管怎麼變化，一定
要相等時，才會平衡（辨識）。俟學生了解操作過程後，
進行天平兩邊同時加、減的練習（思慮），例如
（1）4 ＋ 3 ＝ 5 ＋（ ）
將天平左邊放 4 個積木，右邊放 5 個積木，問學生兩邊 是否平衡？（辨識）學生回答沒有，這時候，哪邊比較 多呢？學生回答右邊。然後，老師在左邊再放 3 個積木，
並表示 4 ＋ 3 ＝ 7（思慮），這時右邊已經有 5 個，怎麼 樣才會和左邊平衡？學生回答要加上 2 個（計畫），因 此，右邊是 5 ＋ 2 ＝ 7，而左邊是 4 ＋ 3 ＝ 7，並讓學生 寫下 4 ＋ 3 ＝ 5 ＋ 2 算式。（執行）
1.5 節
（60 分鐘）
活動項目名稱 活動內容 教學時間 花片拼拼、湊湊 發給學生每人兩張不同顏色的色紙，代表天平兩端的秤
盤，並給數個花片（代表原先天平活動的積木），讓學 生操弄（辨識），以求得兩邊色紙上的花片數量相等，
以算式寫下過程與結果，並將兩邊相等的現象加以解釋
（思慮），例如
（1）5 ＋ 3 ＝ 4 ＋（ ）
要求學生在左邊紅色紙上放 5 個花片，右邊綠色紙上放 4 個花片，問學生兩邊的花片是否一樣？（辨識）學生回 答沒有，這時候哪邊的（哪種顏色的紙上）花片比較多 呢？學生回答右邊。然後要求學生在左邊紅色紙上再放 3 個花片，並表示 5 ＋ 3 ＝ 8（思慮），這時，右邊綠色紙 上已經有 4 個花片，怎麼樣才會和左邊紅色紙上的花片 一樣多？（計畫）學生回答要在綠色紙上加上 4 個花片，
因此，右邊是 4 ＋ 4 ＝ 8，而左邊是 5 ＋ 3 ＝ 8，所以 5
＋ 3 ＝ 4 ＋ 4（執行）。
1.5 節
（60 分鐘）
等號算式解題 要求學生依據題意畫出圓圈，然後找出括弧的答案（計
畫與執行），並對算式進行解釋，例如
（1）3 ＋ 3 ＝ 5 ＋（ ）
（2）6 －（ ）＝ 9 － 7
可直接用算術求出答案，畫圓圈或用手指計數，說說看 這個式子在說什麼？
1 節
（40 分鐘）
上述活動內容配合基模導向解題相關知識的發展，先以「等號」相關之辨識 知識加以引發（如天平平衡狀態代表相等的意義），然後伴隨思慮、計畫與執行 等相關知識的教導，讓學生遵循簡單至困難的順序，激發動機投入學習。為理解 學生是否明白相關概念，活動歷程借助於一些引導與誘發。在辨識方面，以「從 天平兩端放置的積木，你看到什麼變化？」、「左右兩邊紙上的花片有何不同？」
等問題，鼓勵學生對問題情境加以觀察，從不平衡或變化中，進行相等概念的思 考。在思慮的部分，則從情境的變化中，要求學生記錄，並思考如何將相等的關 係呈現。在計畫的部分，則詢問學生「你會採用何種方式來協助計算？」、「解 決此問題，要怎麼做比較容易？」。在執行的部分，則要求學生以關係概念解題，
詢問學生「想辦法正確快速算出答案！」或「想想看，還有更好的方法！」。
表 2 「等號雙邊運算」教學活動內涵（續）
透過天平平衡等三階段活動的表現與反應加以分析、探討，可推論學生在每 種等號概念情境學習的狀況。參與教學實驗之學生需接受 2 節「等號反身性」、
3 節「等號單邊運算」、4 節「等號雙邊運算」的情境教學活動，總計每位學生 所需教學實驗時數為 9 節課（360 分鐘）。
三、教學實驗設計
為了解學生在不同等號情境的表現及產出的效用，將等號「反身性」、「單 邊運算」與「雙邊運算」等三項情境活動加以組合形成六類教學順序模式（反身 性→單邊運算→雙邊運算；反身性→雙邊運算→單邊運算；雙邊運算→單邊運算
→反身性；雙邊運算→反身性→單邊運算；單邊運算→雙邊運算→反身性；單邊 運算→反身性→雙邊運算）。每種教學情境模式，分別有 2 組的學生（4 名）參 與活動的安排，每階段教學活動結束後，學生立即接受「等號概念測驗」。教學 實驗活動皆由研究者擔任，因此，可掌握教學活動時間安排、教學進度、教材內 容與教師期待等因素產生的影響。有關教學實驗歷程互動及解題表現，皆予以錄 影（音），以做為分析學生等號概念習得與轉化資料之用。
四、研究工具
研究以自編之「等號概念測驗」（如附錄一）做為蒐集學生等號概念教學後 成就表現之工具，該測驗內容包含：
（一）數字算式對錯判斷問題
目的在於檢測學生是否理解各類算式所呈現之不同等號概念，總計 8 題，包 含等號反身性、單邊運算、雙邊運算等數字加、減命題，要求學生對呈現之數字 算式敘述是否正確進行判斷，每答對一題可得 1 分，全對者可得 8 分。
（二）數字填充問題
目的在於檢測學生是否理解等號代表之意義，運用數字合成、分解進行運 算，總計 8 題，包含數字加、減等號概念之問題，要求學生寫出算式中空格的數 字，空格位置分別位於等號之兩邊，答對一題可得 1 分，全對者可得 8 分。
（三）相等概念配合題
目的在於檢測學生是否具備等號兩邊相等的概念，總計 5 題，分別在試卷左
右兩邊呈現不同數字算式命題，要求學生將具相等關係的算式予以連結，答對一 題可得 1 分，全對者可得 5 分。
測驗試題採複本方式設計，將「等號概念測驗」之內容順序與數字更改修正，
成為「等號概念測驗 I、II、III」，並分別於各教學活動結束後施測（如表 3），
每項測驗時間為 20 分鐘，測驗時，學生可配合各式表徵，例如畫圖、手指數數 解題。
表 3 本研究各階段使用之測驗
測驗階段 使用測驗名稱
教學實施之前測 等號概念測驗 I
第一階段教學活動測驗 等號概念測驗 II
第二階段教學活動後測驗 等號概念測驗 III
第三階段教學活動後測驗 等號概念測驗 I
教學實施後延宕測驗 等號概念測驗 II
五、資料分析
有關學生測驗表現，可從兩部分加以分析比較，一是全體受試學生在各階 段教學實驗後之測驗表現，採取成對樣本 t 檢定加以考驗，以明瞭教學實驗產出 的成效；二是高、低分組學生在各階段等號概念的表現，採取獨立樣本 t 檢定 考驗高、低分組學生表現之差異。由於研究受試者人數僅 12 人，且發現高、低 分組之資料變異數差異達到顯著（F ＝ 20.0, p ＜ .01），因此，各教學情境活動 結束後產出之測驗成績，則採用 Cochran 與 Cox 的方法進行 t 考驗（林清山，
1992）。本研究除探討教學實驗成效外，也將重點置於不同等號情境下，學生等 號概念轉化的情形，強調各階段教學表現行為描述。教學實驗歷程師生互動之內 容，則根據學生在情境進行的活動及基模導向教學知識類型所呈現的說明、解題 表現與思考方式進行編碼與文字稿轉譯，採質性分析加以詮釋，編碼方式如表 4 所示。
學生學習等號概念時，採用的基模知識是完整的連續體。為求研究與分析方
便，研究者與實驗班級的導師審視學生表現的性質與資料類型之關聯性，強迫予
以歸類，但相同資料可跨屬不同知識類型，例如思慮可與執行的知識表現連結。
六、實施步驟
本研究先行分析教科書文本，再進行測驗工具的編製，於 2008 年 10 月初至 2009 年 2 月底期間實施教學實驗。首先，對受試班級施予「等號概念測驗」之 前測，依據結果選派學生做為教學實驗分組之樣本；其次，實施不同順序之等號 概念情境教學實驗，每位學生皆需接受 3 週不同情境之教學安排，每種情境教學 完成之後，各施予「等號概念測驗」，2009 年 3 月底則施以教學後延宕測驗，
以了解學生接受教學實驗後，等號概念保留的狀況。教學實驗及測驗完成之後，
研究者再針對資料進行分析整理，撰寫研究報告。
肆、結果與討論
研究結果以學生之「等號概念測驗」表現、有效教學情境之等號概念學習表 現，以及基模導向解題教學之等號概念轉化等加以分析討論。
一、學生之等號概念測驗表現分析
學生於各階段教學實驗後等號概念測驗之表現，如表 5、6、7 所示。
從表 6 結果得知，學生在第一階段等號測驗的表現與前測比較，並無顯著差 異，其餘各階段之測驗成績與前測相較，則有顯著差異；第二階段教學實驗後，
學生在測驗成績上優於前測表現（t ＝ 2.9，p ＜ .01）；第三階段教學實驗後，
表 4 本研究資料編碼一覽表
符碼類型 說明
S4 代表編號 4 學生的說明
C1、C2、C3 分別表示「單邊運算」、「雙邊運算」與「反身性」三個不同之
等號教學情境
A1、A2、A3 分別表示「天平平衡」、「拼拼湊湊」與「等號解題」三個階段
之活動
M1、M2、M3、M4 分別表示「辨識」、「思慮」、「計畫」與「執行」四種行為
學生在後測的表現亦優於前測表現 （t ＝ 3.0，p ＜ .01），顯示基模導向教學對 學生等號概念之學習產生效果。而延宕測驗之表現與教學前測比較，亦有差異存 在（t ＝ 3.5，p ＜ .01），且達到顯著水準，顯示教學實驗對學生等號概念的學 習與保留具有一定正向的效果。
表 5 學生之「等號概念測驗」表現描述性統計分析
教學情境順序 學生代號 前測（兩人
總和）
第 1 次測驗
（總和）
第 2 次測驗
（總和）
後測
（總和） 延宕測驗
1 C1 → C2 → C3
S1（女） 15
（31）11
（27）13
（29）17
（35）16
S2（男） 16 16 16 18 18 （34）
2 C2 → C1 → C3
S3（男） 14
（33）10
（31）13
（34）12
（33）12
S4（男） 19 21 21 21 21 （33）
3 C3 → C1 → C2
S5（男） 18
（33）16
（30）21
（39）19
（38）19
S6（男） 15 14 18 19 18 （37）
4 C1 → C3 → C2
S7（男） 16
（30）18
（37）20
（39）21
（42）21
S8（女） 14 19 19 21 20 （41）
5 C2 → C3 → C1
S9（女） 14
（32）10
（31）14
（34）11
（32） 14
S10（女） 18 21 20 21 20 （34）
6 C3 → C2 → C1
S11（女） 15
（31）14
（32）19
（37）21
（41）18
S12（女） 16 18 18 20 19 （37）
平均分數 15.8 31.7 15.7 31.3 17.7 35.3 18.4 36.7 18 36 註： C1：單邊運算情境，C2：雙邊運算情境，C3：反身性情境；低分組：S1、S3、S6、
S8、S9、S11，高分組：S2、S4、S5、S7、S10、S12。
表 6 學生各階段測驗成對樣本 t 檢定統計分析
成對比較 個數 平均數 標準差 t 顯著性
前測―第 1 次測驗 12 .2 3.0 .2 .85
前測―第 2 次測驗 12 -1.8 2.2 -2.9 .01
前測―後測 12 -2.6 3.0 -3.0 .01
前測―延宕測驗 12 -2.2 2.1 -3.5 .01
* p ＜ .01
表 7 高、低分組學生各測驗獨立樣本 t 檢定統計分析
測驗名稱 比較組別 個數 平均數 標準差 t 顯著性
前測 高分組 6 17.2 1.3
低分組 6 14.5 .55 4.5 .01
第 1 次測驗 高分組 6 18.3 2.3
低分組 6 13.0 3.5 3.2 .01
第 2 次測驗 高分組 6 19.3 2.0
低分組 6 16.0 3.0 2.3 .04
後測 高分組 6 20.0 1.3
低分組 6 16.8 4.4 1.7 .12
延宕測驗 高分組 6 19.7 1.2
低分組 6 16.3 2.9 2.6 .03
* p ＜ .05
從表 7 資料顯示，參與研究之低分組學生在等號概念學習的起始點上能力有 所不同，且之間有顯著的變異數，經教學實驗後，除後測表現上無顯著差異外（t
＝ 1.7，p ＞ .05），其餘各階段之測驗表現皆有顯著差異。第一階段教學實驗後，
高分組學生在測驗成績上優於低分組學生的表現（t ＝ 3.2，p ＜ .01）；第二階 段教學實驗後，高分組學生在第 2 次測驗的表現亦優於低分組的表現 （t ＝ 2.3，
p ＜ .05），顯示基模導向教學對高分組學生等號概念學習產生的效果較低分組
