行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
應用值積元素法於轉子軸承系統之動態特性分析
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC93-2212-E-006-055-
執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 10 月 31 日
執行單位： 國立成功大學航空太空工程學系（所）
計畫主持人： 崔兆棠
計畫參與人員： 林暐智、孫嘉鴻
報告類型： 精簡報告
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 95 年 2 月 3 日
I. 中文摘要
本 研 究 提 出以 值 積 元 素法 (Quadrature Element Method)來分析轉子軸承系統的動態特性。系統中的 轉軸以 Timoshenko 樑來模擬，即考慮其旋轉慣性及 剪力應變效應；轉軸的陀螺效應亦加以考慮。轉盤假 設為一剛體；軸承以線性彈簧及阻尼器來模擬。本研 究將推導出應用於 QEM 的轉子軸承系統元素，數值 結果將先與有正確解或解析解的轉子軸承系統問題 比較，以驗證值積元素法的準確性；再進一步探討有 關轉子軸承系統動態特性的問題，並討論不同軸承參 數對轉子軸承系統自然頻率的影響。結果顯示值積元 素法於轉子軸承系統的分析非常方便及快速，而且具 有極佳的數值準確性。 關鍵詞：值積元素法、轉子軸承系統、自然頻率。 AbstractIn this research, the dynamic characteristic of rotor-bearing systems is studied by using the quadrature element method (QEM). The rotating shaft of the system is modeled as a Timoshenko beam. Effect of gyroscopic moments of the shaft is also taken into account. Disks in the system are considered to be rigid. Bearings are modeled as linear spring-damper sets. Based on the differential quadrature rule, the QEM equations for each component of a rotor-bearing system are derived. The global QEM equations are assembled according to the system configuration. To evaluate the accuracy of the QEM, numerical results obtained by the QEM are compared with analytical solutions of engineering problems. Furthermore, the dynamic characteristics of rotor-bearing systems are investigated. Numerical results show the good accuracy, efficiency, and the potential of the QEM for use on rotor-bearing systems.
Key words: quadrature element method, rotor-bearing
system, natural frequency
II. 緣由與目的
轉動機械高速運轉時，因為轉軸的側向及扭轉方 向的運動會有耦合的現象，增加分析的困難度。當轉 子軸承系統的轉速接近其臨界轉速時，會有共振的現 象而產生較大的振幅，造成系統運轉不平順。有關轉 子軸承系統的臨界轉速之研究一直是工程界相當重 要的課題。 目前最常被用來分析轉子軸承系統的分析方法 為有限元素法及轉移矩陣法。然而利用有限元素法分 析時，若使用的元素數目太少，所得結果的誤差較 大，尤其是在高頻模態；若使用的元素過多，則計算 過程會很費時。轉移矩陣法適用於較簡單之轉子軸承 系統的分析，但並不適用於複雜的系統。 值積元素法是以於微分值積法[1--3]為基礎上，針 對結構的幾何外形、邊界、材料性質及負載有不連續 時所提出的方法。Striz 等人[4]提出值積元素法分析 結構的靜態位移。 Liew 等人[5]使用值積元素法分析 圓形厚板的非對稱彎曲問題。Chou [6]提出改良型微 分值積元素法，並實例舉出在結構力學上的應用。Lee [7] 使 用 改 良 型 微 分 值 積 元 素 法 分 析 非 均 勻 截 面 Timoshenko 樑的動態特性。本研究使用值積元素法來 分析轉子軸承系統的動態特性，希望對轉子軸承系統 提供更快更準確的分析方法。能迅速了解轉子軸承系 統的動態特性，以便能建立一套完善的監控系統，使 轉子機械的運轉更有效率，更加安全。III. 系統運動方程式
3.1 轉軸運動方程式 本文以一固定座標(x-y-z)來描述系統的運動方程 式，如圖 1 所示。考慮轉軸為 Timoshenko 樑，忽略 其軸向及扭轉運動，轉軸在 xz 平面的運動方程式如下 [8]： ) ( z x u y AG x V ∂ ∂ =κ ϕ−
(1a) 0 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ t x u A z x V ρ (1b) z y EI y M ∂ ∂ = ϕ (1c) 0 2 2 = ∂ ∂ Ω + ∂ ∂ + + ∂ ∂ − t x p J t y I x V z y M ϕ ϕ ρ (1d) 其中其中ux為 x 方向的側向位移，而ϕ
x及ϕ
y則分 別代表 x 及 y 方向的轉動位移，E 及 G 為彈性模數、 κ 為剪力修正因子、A 為轉軸截面積、 為系統轉 速、I 為轉軸慣性矩、 為質量慣性矩及 Ω P J ρ 為轉軸的 密度。同理，可寫出轉軸在 yz 平面的運動方程式。 3.2 轉盤運動方程式 考慮轉盤為剛性，其運動方程式表示如下：) ( 1 2 2 t F x u t m = ∂ ∂ ) ( ) ( ) ( 4 2 2 3 2 2 2 2 2 t F t I t I t F u t m t F t I t I y p x d y x p y d = ∂ ∂ Ω − ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ Ω + ∂ ∂ ϕ ϕ ϕ ϕ (2) 其中m為轉盤質量、Id及IP分別為轉盤徑向及極向慣性 矩，F1(t)、F2(t)、F3(t)及F4(t)為外力。 3.3 軸承單元 假設軸承沿 x 及 y 方向的勁度係數分別為 及 ，阻尼係數分別為 及 。若 為軸承所在 位置，由 x 方向力平衡，可得邊界條件如下: tx K ty K Ctx Cty ζ0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + = t t x u tx C t x u tx K a t x V ( 0, ) ( 0, ) ( 0, ) ζ ζ ζ (3) 上式中若ζ 為轉軸元素左端的邊界，則 a = ＋1；若0 0 ζ 為轉軸元素右端的邊界，則 a = －1。假設軸承對 轉軸的彎矩無拘束力，則兩端邊界的彎矩為零，其邊 界條件為： 0 ) , ( 0 t = y M ζ (4) 同理，可得 y 方向的邊界條件。
IV. 值積元素法
4.1 微分值積法之原理 微分值積法的原理是將某函數在各取樣點的微 分值由每個取樣點的函數值加權線性組合表示。假設 在x的定義域上取 ， ，…， 共 個取樣點， 則函數 在 之微分可表示如下： 1 x x2 xN N ) (x f x=xi ∑ ≅ = = N j N i j ij i W f x x f dx d 1 , , 2 , 1 ), ( ) ( L (5) 其中Wij是微分權值矩陣(weighting matrix)。 4.2 轉軸元素 考慮轉軸分割為數個元素，並假設在每一轉軸元 素上取 個取樣點，第 i 個轉軸元素的剪力及彎矩邊 界條件在左端分別為 及 ，右端分別為 及 。根據微分值積法的轉化規則，則(1)式可表示如 下： N L V ML VR R M ( ){ }
[ ]
[ ]
( ){ }
( )[ ][ ]
( ) ( ) ( ){ }
{ }
( )i Vx i x w i ij i ij i y i ij i x T G A W B u C V ⎟+ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = () 1 * κ ϕ (6a) ( )[ ][ ]
( ){ }
( )[ ]
( ){ }
( ) 0 2 2 * ) ( = ∂ ∂ + i x i ij i x V i ij i ij u t A V B W ρ (6b) ( ){ }
[ ]
[ ]
( )[ ][ ]
( ) ( ){ }
( ){ }
( )i My i y i ij i ij i ij i y T EI W B C M = 1 () ϕ ϕ + * (6c) ( )[ ][ ]
( ){ }
( ){ }
( )[ ]
( ){ }
( )[ ]
( ){ }
( ) 0 2 2 * * ) ( +Ω = ∂ ∂ + + − i x i Pij i y i ij i x i y i ij i ij J t I V M B W M ρ ϕ ϕ (6d) 其中[Wij( )i]為第 i 個轉軸元素的權值矩陣； ( ){ }
i x V* 、 ( ){ }
i y M* 、{ }
( )i x u 、{ }
ϕx( )i 及 ( ){ }
i y ϕ 分別代表第 i 個元素的 剪力、彎矩、位移、轉角向量。[ ]
( )i ij A 、[ ]
Iij( )i 及 ( )[ ]
i Pij J 分別代表第 i 個元素的面積、面積慣性矩及質量慣性 矩矩陣；[ ]
T1 為用來處理剪力及彎矩之邊界條件的矩 陣，其表示方式為：[ ]
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 L L M M O M M L L T (7) 而{ }
CVx( )i 及 ( ){ }
i My C 分別為剪力及彎矩的邊界值向量， 可表示如下： ( ){ }
{
( ) i}
T xR i xL i Vx V V C = ,0,L,0, () (8a) ( ){ }
{
( ) i}
T yR i yL i My M M C = ,0,L,0, () (8b) 如果所考慮的元素是位於整根轉軸的邊界，則邊界值 向量{ }
( )i Vx C 及{ }
CMy( )i 可直接併入(6)式中。若所考慮的元 素不是位於整根轉軸的邊界時，可以把邊界向量{ }
( )i Vx C 及{ }
( )i My C 轉換為以位移及轉角的表示方式，由(6a)及(6c)式可得：
{ }
[ ]
[ ]
( ){ }
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = i x w i ij i ij i y i ij i Vx T GA W B u C() 2κ ϕ (9a){ }
[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ){ }
( )i y i ij i ij i ij i My T EI W B C() = 2 ϕ ϕ (9b) 其中 為處理剪力及彎矩邊界條件的矩陣，其表示 方式為：[ ]
T2[ ]
T2 =[I]−[T1] (10) 將(6)式整理可得到如下的方程式: ( )[ ]
[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( ){ }
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
( )[ ]
[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
( )[ ]
{ }
( ) 0 2 2 1 1 = ∂ ∂ + − + i x i ij i x w i ij i ij i ij V i ij i ij i Vx V i ij i ij i y i ij V i ij i ij u t A u B W A G T B W C B W A G T B W ρ κ ϕ κ (11a) ( )[ ]
[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
( )[ ]
[ ]
( )( ) ( ){ }
[ ]
[ ]
( ){ }
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
{ }
( ) ( )[ ]
{ }
( )[ ]
( ){ }
( ) 0 2 2 1 1 1 = ∂ ∂ Ω + ∂ ∂ + + − + − − i x i Pij i y i ij i Vx i x w i ij i ij i ij i y i ij i My M i ij i ij i y i ij i ij i ij M i ij i ij t J t I C u B W A G T A G T C B W B W I E T B W ϕ ϕ ρ κ ϕ κ ϕ ϕ (11b) ( )[ ]
[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( ){ }
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
( )[ ]
[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
( )[ ]
{ }
( ) 0 2 2 1 1 = ∂ ∂ + − + i y i ij i y w i ij i ij i ij V i ij i ij i Vy V i ij i ij i x i ij V i ij i ij u t A u B W A G T B W C B W A G T B W ρ κ ϕ κ (11c) ( )[ ]
[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
( )[ ]
[ ]
( )( ) ( ){ }
[ ]
[ ]
( ){ }
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( ){ }
{ }
( ) ( )[ ]
{ }
( )[ ]
( ){ }
( ) 0 2 2 1 1 1 = ∂ ∂ Ω − ∂ ∂ + + − + − − i y i Pij i x i ij i Vy i y w i ij i ij i ij i x i ij i Mx M i ij i ij i x i ij i ij i ij M i ij i ij t J t I C u B W A G T A G T C B W B W I E T B W ϕ ϕ ρ κ ϕ κ ϕ ϕ (11d) 再將(9a)及(9b)式分別代入(11a)~(11d)式中，可求出第 i 個轉軸元素的離散化運動方程式，以矩陣形式表示 如下: ( )[ ]
{ }
( )[ ]
( ){ }
( )[ ]
( ){ }
( ) 0 * = + + i i i i i i q K q G q M && & (12) 其中 ( ){ }
( ){ }
( ){ }
( ){ }
( ){ }
⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = × × × × × 1 1 1 1 1 4 N i x N i y N i y N i x N i u u q ϕ ϕ ( )[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × × × × × × × × × × × × × × × × × N N i N N N N N N N N N N i N N N N N N N N N N i N N N N N N N N N N i N N i M M M M M 44 33 22 11 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )diag N N i ij i i A M M11 = 33 =ρ × , ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )diag N N i ij i i I M M22 = 44 =ρ × ( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × × × × × × × × × × × × × × × × × N N N N N N i N N N N N N N N N N N N i N N N N N N N N N N N N N N N N i G G G 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 42 24 4 4 ( )[ ]
[ ]
( ) diag N N i Pij i J G24 =Ω × ,[ ]
( )[ ]
( )diag N N i Pij i J G42 =−Ω × ( )[ ]
i[ ]
( )i[ ]
( )i[ ]
( )i C Q K K * = + ( )[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
( ) ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × × × × × × × × × × × × × × × × × N N i N N i N N N N N N i N N i N N N N N N N N N N i N N i N N N N N N i N N i N N i K K K K K K K K K 44 43 34 33 22 21 12 11 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( ) ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )i ( )ϕ ij i ij i ij M i ij i ij i ij i i w i ij i ij i ij i i i ij V i ij i ij i i w i ij i ij i ij V i ij i ij i i B W I E T B W A kG T K K B W A kG T K K A kG T B W K K B W A kG T B W K K 1 1 44 22 1 43 21 1 34 12 1 33 11 − = = − = = = = − = = ( )[ ]
[ ]
( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
( )[ ]
( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
( )[ ]
( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ][ ]
( )[ ]
( )( )⎥⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = × × × × × × × × × × × × × M i ij i ij N N N N N N N N V i ij i ij N N N N N N N N M i ij i ij N N N N N N N N V i ij i ij N N i B W I B W B W I B W Q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] [ 4 4 ) ( ( )[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) ⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = × × × × × × × × × × × × × × × × × N N i N N N N N N N N i N N i N N N N N N N N N N i N N N N N N N N i N N i N N i C C C C C C C 44 34 33 22 12 11 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( ) ( )[ ]
[ ]
( )[ ]
[ ]
( )[ ]
( )[ ]
( )i ( )ϕ ij i ij i ij i i i ij i i w i ij i ij i ij i i B W I E T C C A kG T C C B W A kG T C C 2 44 22 2 34 12 2 33 11 = = = = − = =[ ]
I N×N為單位矩陣。 4.3 轉盤元素 考慮剛性轉盤為一元素，並沿轉盤元素的軸向取 個取樣點，根據值積法則將轉盤的微分形式之運動 方程式，即(2)式，轉化為代數方程式，表示如下： N[ ]
M{ }
q( )[ ]
G{ }
q( )d{ }
F( )
t d d d && + & = (13)V. 數值結果與討論
本研究模擬的系統為受等向性軸承支撐、且含剛 性轉盤之轉子軸承系統，其幾何外型如圖 1 所示。本 研究先分析受等向性軸承支撐之轉軸的動態特性，再 進一步擴及至轉子軸承系統，並研究不同軸承係數， 以及轉速對轉子系統動態特性的影響。 考慮受等向性軸承支撐之轉軸，軸承的係數為Ktx = Kty = 5×107 N/m，Ctx = Cty = 500 N‧s/m。表 1 為 不同轉速下，使用值積元素法以一個元素(即微分值積 法)來分析及與有限元素法所得系統之旋振速率。圖 2 所示為使用值積元素法(實線)與有限元素法(虛線)所 得系統之旋振速率圖，兩者的結果相當吻合，證明了 值積元素法可正確應用在含軸承單元之轉軸。 考慮如圖 3 所示的三轉盤轉子系統，系統各項參 數如表 2 所示。當系統轉速為 25000 rpm 時，以值積 元素法使用七個元素分析所得系統的旋振速度如表 3 所示，並與 Lalanne 與 Ferraris [9]的結果及轉移矩陣 法結果來比較，可發現值積元素法所得的結果與其他 兩方法所的結果相當吻合。 對於單轉盤轉子系統，系統各項參數如表 2 所 示，比較不同轉盤大小對系統自然頻率的影響，分析 結果如圖 4 所示；明顯看出當轉盤增大時，自然頻率 會逐漸減小。 考慮無阻尼之軸承，其勁度係數Ktx與Kty對單轉 盤轉子系統之自然頻率的影響如圖 5 所示。當Ktx與 Kty逐漸增加時，轉子系統第 1 及第 2 個模態的自然 頻率受其影響而升高；當Ktx與Kty約大於 105 N/m時， 轉子系統第 3 個模態的自然頻率才逐漸受其影響；當 Ktx與Kty大於 1010 N/m時，轉子系統的前四個自然頻 率逐漸收斂，此時系統的邊界狀態與簡支撐邊界條件 相當。VI. 結論
本研究採用新發展的值積元素法(QEM)來分析轉 子軸承系統的動態特性。將系統分割為數個元素來解 決幾何外形及材料性質有不連續的問題，並以新的權 值矩陣調整法來解決邊界條件的問題，使得微分值積 法可用於彈性支撐的工程問題；進而考慮軸承參數對 轉子軸承動態特性的影響。經由數值模擬的結果，可 歸納出以下結論: 1. 所使用的取樣點數對分析結果影響很大，使用取樣 點的點數太少時，對系統高頻模態的分析會有較大 的誤差；隨著取樣點數的增加，計算結果的準確度 增加。本研究分析的結果以使用 11~13 個取樣點為 最理想。 2. 若系統的幾何性質為連續時，所取的元素個數並不 會影響到分析的數值結果；我們只需將系統幾何性 質不連續的部分加以切割為不同元素，以節省計算 的時間。 3. 軸承的勁度係數對轉動系統的旋振速度影響很 大，當軸承的勁度係數增加時，系統的旋振速度也 隨之增加。 本研究的結果與解析解、有限元素法或轉移矩陣 法的結果比較時，各項資料顯示使用值積元素法所分 析的結果與其他方法的差異不大；所以使用值積元素 法於含軸承及轉盤的轉子系統之動態分析，的確是非 常方便及快速，而且計算的結果有很高的準確性。VII. 計畫成果自評
本計畫成功的以值積元素法(QEM)快速及準確地 分析轉子軸承系統的動態特性，對該等系統的分析及 設計有所助益。本研究的成果與計畫原來預期分析的 項目及目標符合，且具有相當的學術價值，適合在期 刊發表。 本研究完成的研究項目有: 1. 以值積元素法分析轉子軸承系統之自然頻率、振動 模態。 2. 比較值積元素法(QEM)與其他分析方法的結果之 差異。 3. 以值積元素法分析轉子系統的旋振速率和臨界轉 速。 4. 探討軸承參數對轉子系統動態行為的影響。參考文獻
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Prediction in Engineering, John Wiley and Sons,
New York, 1990. 表 1 不同轉速下彈性支撐轉軸旋振速度(rad/s) Ω (rad/s) Mode 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 F 627 629 631 632 636 638 634 QEM B 627 625 623 621 618 616 619 F 635 637 639 640 644 646 642 1 FEM B 635 633 631 629 626 624 628 F 1687 1690 1694 1698 1705 1709 1701 QEM B 1687 1683 1679 1676 1668 1665 1672 F 1694 1698 1702 1705 1713 1716 1709 2 FEM B 1694 1691 1687 1684 1676 1673 1680 F 2842 2838 2852 2866 2895 2909 2880 QEM B 2842 2810 2797 2783 2756 2742 2769 F 2842 2856 2870 2884 2913 2927 2899 3 FEM B 2842 2828 2815 2801 2774 2760 2787 B：Backward whirl F：Forward whirl
表 2 轉子系統各項參數 材料 AISI 3140 鋼材 密度(kg/m3 ) 7800 楊氏係數(N/m2 ) 2°1011 波桑比 0.3 剪力因子 0.88636 轉軸半徑(m) 0.05 軸承勁度係數(N/m) Ktx = 5°107，Kty = 7°107 軸承阻尼係數(Ns/m) Ctx = 500，Cty = 700 三轉盤系統參數 轉盤外徑D01，D02，D03 (m) 0.24，0.4，0.4 轉盤厚度t1，t2，t3 (m) 0.05，0.05，0.06 轉軸長度L1，L2，L3 ， L4 (m) 0.175，0.25，0.445，0.27 單轉盤系統參數 轉盤外徑D (m) 0.2 轉盤厚度t (m) 0.05 轉軸長度L1，L2 (m) 0.475，0.475 表 3 三轉盤轉子系統旋振速度(rad/s) ( Ω = 25000 rpm ) Mode 1 2 3 B F B F B F QEM 348.7 422.8 996.2 1220 1605 2572 FEM 348.1 422.3 992.1 1217 1570 2561 TMM 348.2 422.3 992.6 1217 1574 2564 QEM：NE = 7，N = 7 (element-1、3、5、7)及 3 (element-2、4、6) FEM：文獻[9]
TMM：Transfer Matrix Method B：Backward whirl
x y z t1 L2 L1 圖 1 轉子系統示意圖
spin speed (rad/s)
w h ir l sp eed (r ad /s ) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 QEM FEM 圖 2 使用 QEM 及 FEM 時轉子軸承系統 旋振速度比較圖 x y z L1 L4 t1 L3 L2 t2 t3 圖 3 三轉盤轉子軸承系統示意圖 diameter of disk (m) na tura l fre que n cy (ra d/s ) 0.1 0.2 0.3 0.4 0 1000 2000 3000 4000 5000 mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 圖 4 不同轉盤大小對轉子系統自然頻率的影響 stiffness of bearing (N/m) na tura l fre que n cy (ra d/s ) 100 102 104 106 108 1010 1012 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 mode 1 mode 2 mode 3 mode 4 圖 5 軸承勁度變化對轉子系統自然頻率的影響
