Chebyshev 和 Morgan-Voyce 多項式、 Fibonacci 數、 Pell 數、 Lucas 數等的關係探討

Chebyshev 和 Morgan-Voyce 多項式、

Fibonacci 數、 Pell 數、

Lucas 數等的關係探討

翁翠微

1. 前言

Chebyshev 多項式在數學方面都有很多之應用 (參見 [8]), 譬如在組合數學、 數論方面等 等。

1959 年, A. M. Morgan-Voyce 研究 electric ladder network of resistors [7], 藉由 計算 ladder network 的等效電阻, 他發現了兩個多項式家族: b_n(x) 和 B_n(x), 其中

b_n(x) 和 B_n(x) 的遞迴關係式如下:

bn(x) = xB_n−1(x) + b_n−1(x) (1.1) Bn(x) = (x + 1)B_n−1(x) + b_n−1(x) (1.2) 其中 b₀(x) = B₀(x) = 1 。

而 M. N. S. Swamy, S. L. Basin of Sylnania Electronic System, V. E. Hoggatt, Jr., 和 M. Bicknell 等人更在 1967 和 1968 深入的研究這些多項式的特性 [6]。

本篇文章的主要目的有三:

(1) 簡化 Morgan-Voyce 多項式 b_n(x)、 B_n(x) 一般式的計算過程, 並得到 b_n(x)、 B_n(x) 與 Chebyshev 多項式的關係式。 (見第 2 節)

(2) 利用簡單的計算得到一般性的數列 {aⁿ} 滿足遞迴關係式:

an = a · an−1+ b · an−2, a0 = c, a1 = d, 其中 a, b, c, d 為任意實數 (1.3) 與 Chebyshev 多項式的關係式。

31

進而得到 Fibonacci 數、 Pell 數、 Jacobsthal 數、 Mersenne 數、 Lucas 數、 Pell-Lucas 數、 Jacobsthal-Lucas 數、 Fermat 數和 Chebyshev 多項式的關係式。 (見第 3 節) (3) 我們也將 (1.3) 式之數列 {aⁿ} 以 e^θ 之形式表示出來。 (見第 4 節)

2. Chebyshev 多項式與 Morgan-Voyce 多項式

首先, 讓我們來看什麼是 Chebyshev 多項式。

Chebyshev 多項式是與棣美弗定理 (de Moivre identity) 有關, 以遞迴方式定義的一系 列正交多項式序列。 Chebyshev 多項式在逼近理論中有重要的應用, 可用於多項式插值, 並且 提供多項式在連續函數的最佳一致逼近 [1]。

我們知道

cos 0θ = 1 cos 1θ = cos θ cos 2θ = 2 cos²θ − 1 cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ cos 4θ = 8 cos⁴θ − 8 cos²θ + 1

cos 5θ = 16 cos⁵θ − 20 cos³θ + 5 cos θ cos 6θ = 32 cos⁶θ − 48 cos⁴θ + 18 cos²θ − 1 如 cos 2θ = 2 cos²θ − 1 = 2 cos θ(cos 1θ) − cos 0θ

cos 4θ = 8 cos⁴θ − 8 cos²θ + 1 = 2 cos θ(cos 3θ) − cos 2θ 由於上述的三角恆等式, Chebyshev 多項式的定義如下:

P_n(x) = 2xP_n−1(x) − Pn−2(x), P₀(x) = 1 隨著 P₁(x) 不同的值, 共可分成四種形式的 Chebyshev 多項式 (表一) [3]。

舉例: 若令 x = cos θ, 我們有 Tn(cos θ) = cos nθ T0(x) = 1

T1(x) = x T2(x) = 2x²− 1 T3(x) = 4x³− 3x

T4(x) = 8x⁴− 8x²+ 1 T5(x) = 16x⁵− 20x³+ 5x T6(x) = 32x⁶− 48x⁴+ 18x² − 1

所以 Chebyshev 多項式第一類是由 cos nθ 的展開式所定義出來的。

(表一)

第一類 第二類 第三類 第四類

Tⁿ(x) Uⁿ(x) Vⁿ(x) Wⁿ(x)

三角定義 cos nθ sin(n + 1)θ sin θ

cos(n + 1/2)θ cos(θ/2)

sin(n + 1/2)θ sin(θ/2) x = cos θ

n = 1 x 2x 2x − 1 2x − 1

和 Un(x) 的關係 Uⁿ(x)−Uⁿ−2(x)

2 − Uⁿ(x) − Uⁿ−1(x) Uⁿ(x) + Uⁿ₋₁(x) 一般式

αi= x+√

x²−1 αⁿ1 + β1ⁿ

2

αⁿ⁺¹2 −β2ⁿ⁺¹

α2−β²

αⁿ3(α3−1)−β3ⁿ(β3−1) α3−β³

αⁿ4(α4+1)−β4ⁿ(β4+1) α4−β⁴

βi = x−√ x²−1 i = 1, 2, 3, 4

由 (1.1) 及 (1.2) 可觀察出 bn(x) 和 Bn(x) 的前幾項:

b0(x) = 1, b1(x) = x + 1, b2(x) = x²+ 3x + 1 · · · · B0(x) = 1, B1(x) = x + 2, B2(x) = x² + 4x + 3 · · · · 將 (1.1) 及 (1.2) 經由整理, 可以得到下列式子:

bn(x) = (x + 2)b_n−1(x) − bn−2(x) (2.1) Bn(x) = (x + 2)B_n−1(x) − Bn−2(x) (2.2)

2.1. Chebyshev 多項式 V

(y) 和 Morgan-Voyce 多項式 b

(x) 的關係

Morgan-Voyce 多項式 bn(x)

bn(x) = (x + 2)b_n−1(x) − bn−2(x), n ≥ 2, b⁰(x) = 1, b1(x) = x + 1 (2.1) Chebshev 多項式第三類 Vn(y)

Vn(y) = 2yV_n−1(y) − Vn−2(y), n ≥ 2, V⁰(y) = 1, V1(y) = 2y − 1

將 (2.1) 和 Chebyshev 多項式第三類 Vn(y) 做比較, 發現若令 x + 2 = 2y, 則 bn 多項式和 Vn 多項式有同樣的遞迴關係式以及同樣的初始條件:

bn(2y − 2) = 2ybn−1(2y − 2) − bn−2(2y − 2), b⁰(2y − 2) = 1, b¹(2y − 2) = 2y − 1 因此 bn(x) 就是 Chebyshev 多項式第三類。

而 Vn(y) 的一般式如下:

Vn(y) = (αⁿ⁺¹₃ − α3ⁿ) − (β3ⁿ⁺¹− β3ⁿ) α₃− β3

, α3 = y +py²− 1, β³ = y −py²− 1 (2.3)

將 y = x + 2

2 代入 α₃ 和 β₃ 中, 得到:

α3 = (x + 2) +√

x²+ 4x

2 β3 = (x + 2) −√

x²+ 4x 2

所以 bn(x) 的一般式為:

x+2+√ x²+4x 2

ⁿ⁺¹

−x+2+√ x²+4x 2

ⁿ

−

x+2−√ x²+4x 2

ⁿ⁺¹

−x+2−√ x²+4x 2

ⁿ

√x²+ 4x

將 y = x + 2

2 代入 V_n(y) 的三角表示式 cos(n + 1/2)θ

cos(θ/2) 中, 其中 y = cos θ。

得到 bn(x) 的三角表示式 cos(n + 1/2)θ

cos(θ/2) , 其中 x + 2

2 = cos θ。

2.2. Chebyshev 多項式 U

(y) 和 Morgan-Voyce 多項式 B

(x) 的關係

Morgan-Voyce 多項式 Bn(x)

Bn(x) = (x + 2)B_n−1(x) − Bn−2(x), B0(x) = 1, B1(x) = x + 2 (2.2) Chebyshev 多項式第二類 Un(y)

Un(y) = 2yU_n−1(y) − Un−2(y), U0(y) = 1, U1(y) = 2y

將 (2.2) 和 Chebyshev 多項式第二類 U_n(y) 做比較, 發現若令 x + 2 = 2y, 則 B_n 多項式 和 Un 多項式有同樣的遞迴關係式以及同樣的初始條件:

Bn(2y − 2) = 2yBn−1(2y − 2) − Bn−2(2y − 2), B⁰(2y − 2) = 1, B¹(2y − 2) = 2y,

因此 Bn(x) 多項式就是 Chebyshev 多項式第二類。

而 U_n(y) 的一般式如下:

Un(y) = αⁿ⁺¹₂ − β2ⁿ⁺¹

α₂− β2

, α2 = y +py²− 1, β² = y −py²− 1 (2.4)

將 y = x + 2

2 代入中 α2 和 β2 中, 得到:

α2 = (x + 2) +√

x²+ rx

2 , β2 = (x + 2) −√

x²+ 4x 2

所以 Bn(x) 的一般式為 Bn(x) = (^x+2+√₂^x2+4x)ⁿ⁺¹− (^x+2−√₂^x2+4x)ⁿ⁺¹

√x²+ 4x 。

將 y = x + 2

2 代入 U_n(y) 的三角表示式 sin(n + 1)θ

sin θ 中, 其中 y = cos θ。

得到 B_n(x) 的三角表示式 sin(n + 1)θ

sin θ , 其中 x + 2

2 = cos θ。

[註] Morgan-Voyce 在他的文章中, 並未發現上述與 Chebyshev 多項式關係之事實, 因此他 們的結果雖與本文相同, 但他們的計算很長。

3. Fibonacci 數、Pell 數、Lucas 數等和 Chebyshev 多項式的關係

讓我們先從較一般性的遞迴數列看起:

an= a · an−1+ b · an−2 (n ≥ 2), a⁰ = c, a1 = d, 其中 a, b, c, d 為任意實數。 (3.1) 利用生成函數求得 an 的一般式:

an=c(αⁿ⁺¹−βⁿ⁺¹)+(d−ac)(αⁿ−βⁿ)

α − β , α =a+√

a²+4b

2 , β =a−√ a²+4b

2 (3.2)

已知 Chebyshev 多項式 P_n(x) 一般式的兩根分別為 r(x) 和 s(x), 其中 r(x) = x +√

x²− 1 s(x) = x −√

x²− 1 [註] 在本文中, 不考慮等根的情況。

由於想求得 Chebyshev 多項式和一般遞迴數列之間的關係, 不妨令 r(x) = kα, s(x) = kβ, k 不限為實數。

若令 r(x) = kα, s(x) = kβ, k 為實數, 得到:

x +√

x²− 1 = kα (3.3)

x −√

x²− 1 = kβ (3.4)

將 (3.3) (3.4) 兩式相加, 得到:

2x = k(α + β) = ka (3.5)

將 (3.3) (3.4) 兩式相減, 得到:

2√

x²− 1 = k(α − β) = k√

a²+ 4b (3.6)

再將 (3.5) 代入 (3.6), 並將等式左右兩邊平方, 得到:

k²a²− 4 = k²a²+ 4k²b

→ −4 = 4k²b

→ k² = 1

−b (3.7)

→ k = ±

−1 b

1/2

(3.8)

[註] 在本文只考慮 k =

− 1 b

1/2

的情況, 而 k = −−1 b

1/2

的情況可用相同方法處理。

利用已知: Un(x) = rⁿ⁺¹− sⁿ⁺¹

r − s 及 U_n−1(x) = rⁿ− sⁿ r − s 。

並將 r(x) = kα、 s(x) = kβ 及 (3.5)、 (3.8) 代回 (3.2) 中, 得到:

a_n=

− 1 b

_−n/2 cU_na

2

− 1 b

1/2 +

−1 b

_(1−n)/2

(d − ac)Un−1

a 2

− 1 b

1/2

(3.9) 若想要將 a_n 單純用 U_n(x) 表示, 則在 (3.9) 中, 令 d − ac = 0, 得到 d = ac。 故

an=

− 1 b

_−n/2 cUn

a 2

− 1 b

1/2

其中 a, c 為任意實數, d = ac。 (3.10) 若想要將 an 單純用 U_n−1(x) 表示, 則在 (3.9) 中, 令 c = 0, 得到 d − ac = d。 故

an =

− 1 b

_(1−n)/2

dU_n−1a 2

− 1 b

1/2

其中 a, d 為任意實數, c = 0。 (3.11) 由 (3.10) (3.11) 可得定理 3.1:

定理3.1. {aⁿ} 為一數列, 此數列滿足二次遞迴式如下:

an= a · an−1+ b · an−2 (n ≥ 2), a⁰ = c, a1 = d 若 (a, b, c, d) →(a, b, c, ac), an=

− 1 b

−n/2

cUn

a 2

− 1 b

1/2

, a, c 為任意實數。

若 (a, b, c, d) →(a, b, 0, d), an=

−1 b

(1−n)/2

dU_n−1a 2

− 1 b

1/2

, a, d 為任意實數。

推論3.1. {uⁿ} 為一數列, 此數列滿足二次遞迴式: uⁿ= a · un−1+ b · un−2 (n ≥ 2), u0 = 0, u1 = 1, 則 un=

− 1 b

_(1−n)/2

U_n−1a 2

− 1 b

1/2

。

證明: {un} 所滿足的遞迴式就是 (3.1) 取 (a, b, c, d) = (a, b, 0, 1), 因此根據定理 3.1, 得到

un=

− 1 b

(1−n)/2

U_n−1a 2

−1 b

1/2

。 推論3.2.

Fn = (−1)ⁿ⁻¹(i)ⁿ⁻¹U_n−1i 2



其中 {Fⁿ} 為 Fibonacci 數列, F⁰ = 0, F1 = 1, Fn= F_n−1+ F_n−2 (n ≥ 2)。

證明: Fibonacci 數的遞迴關係式為 F_n = F_n−1+ F_n−2, F₀ = 0, F₁ = 1。 即在 (3.1) 取 (a, b, c, d) = (1, 1, 0, 1)。 根據定理 3.1, 取 (a, b, c, d) = (1, 1, 0, 1), 得到 Fn = (−1)ⁿ⁻¹ (i)ⁿ⁻¹U_n−1i

2

。

推論3.3.

pn = (−1)ⁿ⁻¹(i)ⁿ⁻¹U_n−1(i)

其中 p_n 為 Pell 數, p₀ = 0, p1 = 1, pn = 2p_n−1+ p_n−2 (n ≥ 2) [4]。

證明: Pell 數的遞迴關係式為 pn = 2p_n−1+ p_n−2 (n ≥ 2), p⁰ = 0, p1 = 1。 即在 (3.1) 中, 取 (a, b, c, d) = (2, 1, 0, 1)。 根據定理 3.1, 得到 p_n= (−1)ⁿ⁻¹(i)ⁿ⁻¹U_n−1(i)。

推論3.4.

Jn= (−√

2i)ⁿ⁻¹U_n−1 i 2√

2



其中 Jn 為 Jacobsthal 數, J0 = 0, J1 = 1, Jn = J_n−1+ 2J_n−2 (n ≥ 2) [4]。

證明: Jacobsthal 數的遞迴關係式為 J_n = J_n−1+ 2J_n−2 (n ≥ 2), J0 = 0, J₁ = 1。 即 在 (3.1) 中, 取 (a, b, c, d) = (1, 2, 0, 1), 根據定理 3.1, 得到 J_n= (−√

2i)ⁿ⁻¹U_n−1 i 2√

2

。

推論3.5.

Mn = (√

2)ⁿ⁻¹U_n−1 3 2√

2



其中 M_n 為 Mersenne 數, M₀ = 0, M1 = 1, Mn= 3M_n−1− 2Mn−2 (n ≥ 2) [4]。

證明: Mersenne 數的遞迴關係式為 M_n = 3M_n−1− 2Mn−2 (n ≥ 2), M0 = 0, M₁ = 1。 即在 (3.1) 中, 取 (a, b, c, d) = (3, −2, 0, 1), 根據定理 3.1, 得到 Mⁿ = (√

2)ⁿ⁻¹U_n−1

 3 2√

2

。

定理3.2. {vn} 為一數列, 此數列滿足二次遞迴式如下:

v_n= a · vn−1+ b · vn−2 (n ≥ 2), v0 = 2, v₁ = a (3.12) 則 vn = 2

−1 b

−n/2

Tn

a 2

−1 b

1/2

。

證明: 與定理 3.1 的作法一樣, 令 r(x) = kα, s(x) = kβ, k 為實數, 得到 (3.3)∼(3.8)。

而 vn 的一般式為 c = 2, d = a 代入 (3.2), 得到 vn = 2(αⁿ⁺¹− βⁿ⁺¹) − a(αⁿ− βⁿ)

α − β = αⁿ(2α − a) + βⁿ(a − 2β)

α − β (3.13)

再利用 α + β = a, 得到 2α − a = α − β、 a − 2β = α − β 代入 (3.13), 經由整理得到:

vn= αⁿ+ βⁿ (3.14)

而

Tn

a 2

− 1 b

1/2

= αⁿ+ βⁿ 2

− 1 b

n/2

(3.15) 將 (3.15) 代入 (3.14), 即得到

vn= 2

− 1 b

−n/2

Tn

a 2

− 1 b

1/2

。 (3.16)

推論3.6.

Ln= 2(−1)ⁿ(i)ⁿTn

i 2



其中 {Ln} 為 Lucas 數列, L⁰ = 2, L1 = 1, Ln= L_n−1+ L_n−2 (n ≥ 2)。

證明: Lucas 數的遞迴關係式為 L_n = L_n−1+L_n−2(n ≥2), L0 = 2, L₁ = 1。 根據定理 3.2, 取 (a, b) = (1, 1), 得到 Ln= 2(−1)ⁿ(i)ⁿTn

i 2

。

推論3.7.

Dn = 2(−i)ⁿTn(i)

其中 {Dn} 為 Pell-Lucas 數列, D⁰ = 2, D1 = 2, Dn = 2D_n−1+ D_n−2 (n ≥ 2) [4]。

證明: Pell-Lucas 數的遞迴關係式為 Dn= 2D_n−1+ D_n−2(n ≥ 2), D⁰ = 2, D1 = 2。

根據定理 3.2, 取 (a, b) = (2, 1), 得到 D_n = 2(−i)ⁿTn(i)。

推論3.8.

jn= 2(−√ 2i)ⁿTn

 i 2√

2



其中 {jn} 為 Jacobsthal-Lucas 數列, j⁰ = 2, j1 = 1, jn = j_n−1+ 2j_n−2 (n ≥ 2) [4]。

證明: Jacobsthal-Lucas 數的遞迴關係式為 jn= j_n−1+ 2j_n−2 (n ≥ 2), j⁰ = 2, j1 = 1。 根據定理 3.2, 取 (a, b) = (1, 2), 得到 jn= 2(−√

2i)ⁿTn

 i 2√

2

。

推論3.9.

fn= 2(√ 2)ⁿTn

 3 2√

2



其中 {fn} 為 Fermat 數列, f⁰ = 2, f1 = 3, fn = 3f_n−1− 2fn−2 (n ≥ 2) [4]。

證明: Fermat 數的遞迴關係式為 fn= 3f_n−1− 2fn−2 (n ≥ 2), f⁰ = 2, f1 = 3, 根據 定理 3.2, 取 (a, b) = (3, −2), 得到 fⁿ= 2(√

2)ⁿTn

 3 2√

2

。

4. a

的另外一種表示方式

在 Askey [2] 的文章中, 將 Fn 和 Ln 用 e^θ 表示, 而在 Ismail [5] 的文章中, 是透過和 Chebyshev 多項式的關係, 將 F_n 和 L_n 用 e^θ 表示成一般式。 而在本文中, 則是透過比上述 兩篇文章更直接的方法將 an 用 e^θ 之形式表示。

4.1. a

滿足遞迴關係式 a

= a · a

+ b · a

(n ≥ 2), a

= c, a

= d

an 滿足遞迴關係式 (3.1), 且 a_n 的一般式如下:

an=c(αⁿ⁺¹−βⁿ⁺¹)+(d−ac)(αⁿ−βⁿ)

α − β , a =a+√

a²+4b

2 , β =a−√ a²+4b

2 (3.2)

利用 α + β = a 和 αβ = −b, 並考慮 b > 0 和 b < 0 的情形。

(在這裡不失一般性令 α > β)

4.1.1. b > 0 的情形

若 b > 0, 則兩根一正一負, 即 α > 0 且 β < 0

由 e^θ· e^−θ = 1 和 αβ = −b, 令 α =√

be^θ, β = −√

be^−θ, 並將 α · β 代入 aⁿ 的一般 式 (3.2) , 得到:

an(θ) = (√

b)ⁿ⁻¹c√

b(e^(n+1)θ− (−1)ⁿ⁺¹e^−(n+1)θ) + (d − ac)(e^nθ− (−1)ⁿe^−nθ)

e^θ+ e^−θ (4.1)

將 n = 0 和 n = 1 代回 (4.1), 得到 a0 = c, a1 = 2c√

b sinh θ + (d − ac)。

由以上結果, 可以得到定理 4.1:

定理4.1. an 滿足遞迴關係式

an= a · an−1+b · an−2(n ≥2), b>0, a⁰= c, a1 = 2c√

b sinh θ+(d−ac), 其中 a, c, d 為任 意實數。 則 a_n(θ) = (√

b)ⁿ⁻¹c√

b(e^(n+1)θ−(−1)ⁿ⁺¹e^−(n+1)θ) + (d−ac)(e^nθ−(−1)ⁿe^−nθ) e^θ+ e^−θ

推論4.1.

Fn(θ) = e^nθ− (−1)ⁿe^−nθ e^θ+ e^−θ

其中 {Fn(θ)} 為 Fibonacci 數列, F⁰(θ) = 0, F1(θ) = 1, Fn(θ) = F_n−1(θ) + F_n−2(θ) (n ≥ 2)。

證明: Fibonacci 數的遞迴關係式為 Fn(θ) = F_n−1(θ) + F_n−2(θ) (n ≥ 2), F⁰(θ) = 0, F1(θ) = 1。 根據定理 4.1, 取 (a, b, c, d) = (1, 1, 0, 1), 得到 Fn(θ) = e^nθ− (−1)ⁿe^−nθ

e^θ+ e^−θ , 和 Ismail [5] 的結果相同。

4.1.2. b < 0 的情形

若 b < 0, 則兩根同號, 由 α + β = a 辨別, 若 a > 0, 則兩根皆為正根; 若 a < 0, 則兩 根皆為負根。

(1) 若 a > 0, 令 α =√

−be^θ, β =√

−be^−θ 將 α · β 代入 an 的一般式 (3.2), 得到:

a_n(θ) = (√

−b)ⁿ⁻¹c(√

−b(e^(n+1)θ− e^−(n+1)θ) + (d − ac)(e^nθ− e^−nθ)

e^θ− e^−θ (4.2)

將 n = 0 和 n = 1 代回 (4.2), 得到 a0 = c, a1 = 2c√

−b cosh θ + (d − ac)。

(2) 若 a < 0, 令 α = −√

−be^θ, β = −√

−be^−θ 將 α · β 代入 aⁿ 的一般式 (3.2), 得到:

an(θ) = (−√

−b)ⁿ⁻¹c · (−√

−b)(e^(n+1)θ− e^−(n+1)θ) + (d − ac)(e^nθ− e^−nθ)

e^θ− e^−θ (4.3)

將 n = 0 和 n = 1 代回 (4.3), 得到 a0 = c, a1 = −2c√

−b cosh θ + (d − ac)。

由以上結果, 可以得到定理 4.2:

定理 4.2. an 滿足遞迴關係式 a_n = a · an−1+ b · an−2 (n ≥ 2), b < 0, a⁰ = c, 其中 a, c, d 為任意實數。 則若

(1) a > 0, a1 = 2c√

−b cosh θ + (d − ac) a_n(θ) = (√

−b)ⁿ⁻¹c√

−b(e^(n+1)θ− e^−(n+1)θ) + (d − ac)(e^nθ− e^−nθ) e^θ− e^−θ

(2) a < 0, a1 = −2c√

−b cosh θ + (d − ac) an(θ) = (−√

−b)ⁿ⁻¹c · (−√

−b)(e^(n+1)θ− e^−(n+1)θ) + (d − ac)(e^nθ− e^−nθ) e^θ− e^−θ

4.2. a

滿足遞迴關係式 a

= a · a

+ b · a

(n ≥ 2), a

= 2, a

= a

由 (3.14) 知 a_n 的一般式為:

an= αⁿ+ βⁿ, α = a +√

a²+ 4b

2 , β = a −√

a²+ 4b

2 (4.4)

考慮 b > 0 和 b < 0 的情形:

(1) 當 b > 0 時, 令 α =√

be^θ, β = −√

be^−θ, 並將 α · β 代入 an 的一般式 (4.4), 得到:

an(θ) = (√

b)ⁿe^nθ+ (−1)ⁿ(√

b)ⁿe^−nθ (4.5) 將 n = 0 和 n = 1 代回 (4.5), 得到 a0 = 2, a1 = 2√

b sinh θ。

(2) b < 0, a > 0 時, 令 α =√

−be^θ, β =√

−be^−θ, 並將 α · β 代入 aⁿ 的一般式 (4.4), 得 到:

a_n(θ) = (√

−b)ⁿ(e^nθ+ e^−nθ) (4.6) 將 n = 0 和 n = 1 代回 (4.6), 得到 a0 = 2, a1 = 2√

−b cosh θ。

(3) b < 0, a < 0 時, 令 α = −√

−be^θ, β = −√

−be^−θ, 並將 α · β 代入 aⁿ的一般式 (4.4), 得到:

an(θ) = (−√

−b)ⁿ(e^nθ+ e^−nθ) (4.7) 將 n = 0 和 n = 1 代回 (4.7), 得到 a0 = 2, a1 = −2√

−b cosh θ。

由以上結果, 可以得到定理 4.3:

定理4.3. an 滿足遞迴關係式 an = a · an−1+ b · an−2 (n ≥ 2), a⁰ = 2, 其中 a, b, c, d 為任意實數。 則

(1) 當 b > 0 時, a1 = 2√

b sinh θ, an(θ) = (√

b)ⁿe^nθ+ (−1)ⁿ(√

b)ⁿe^−nθ (2) 當 b < 0, a > 0 時, a1 = 2√

−b cosh θ, aⁿ(θ) = (√

−b)ⁿ(e^nθ+ e^−nθ) (3) 當 b < 0, a < 0 時, a1 = −2√

−b cosh θ, aⁿ(θ) = (−√

−b)ⁿ(e^nθ+ e^−nθ) 推論4.2.

Ln(θ) = e^nθ+ (−1)ⁿe^−nθ

其中 {Lⁿ(θ)} 為 Lucas 數, L⁰(θ) = 2, L1(θ) = 2 sinh θ, Ln(θ) = L_n−1(θ) + L_n−2(θ) (n ≥ 2)。

證明: Lucas 數的遞迴關係式為 Ln= L_n−1+ L_n−2 (n ≥ 2), L⁰ = 2, L1 = 1。 根據定 理 4.3, 取 (a, b) = (1, 1), 得到 Ln(θ) = e^nθ+ (−1)ⁿe^−nθ, 和 Ismail [5] 的結果相同。

5.致謝

感謝中研院數學所的暑期組合數學專題研究計畫提供機會與資源, 讓作者有機會在暑假跟 著美國內華達大學數學系薛昭雄教授做暑期研究, 也由衷感謝薛昭雄教授的指導, 由於薛教授 適當地鼓勵與建議, 本文才能完稿。

參考文獻

1. M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with For- mulas, Graphs, and Mathematical Tables, Chapter 22. New York: Dover, 1972.

2. R. Askey, Fibonacci and Lucas Numbers, Mathematics Teacher, p.610-614, 2005.

3. William Y. C. Chen and James D. Louck, The Combinatorial Power of the Companion Matrix, Linear Algebra and its Applications, 232, p.261-278, 1996.

4. Haci Civciv and Ramazan T¨urkmen, Notes on the (s, t)-Lucas and Lucas Matrix Se- quences, Ars Conbinatoria 89, p.271-285, 2008.

5. Mourad E. H. Ismail, One parameter generalizations of the Fibonacci and lucas numbers, The Fibonacci Quarterly, Volume 46/47, Number 2, p.167-179, 2006.

6. J. Lahr., Fibonacci and Lucas Numbers and the Morgan-Voyce Polynomials in Ladder Networks and in Electrical Line Theory, In Fibonacci Numbers and Their Applications, ed. G. E. Bergum, A. N. Philippou, & A. F. Horadam, I:141-61. Dordrecht: Kluwer, 1986.

7. A. M. Morgan-Voyce, Ladder Network Analysis using Fibonacci Numbers, IRE. Trans.

On Circuit Theory, CT-6(Sept.), p.321-322, 1959.

8. T. J. Rivlin, Chebyshev Polynomials: From Approximation Theory to Algebra and Num- ber Theory, John Wiley, New York, 1990.

—本文作者為台灣大學電機系學生_—