的 完全齊次對稱多項式表示法

k -generalized Fibonacci Numbers 的 完全齊次對稱多項式表示法

陳建燁

壹、 前言

著名的費氏數, 有著各式各樣的推廣。 其中一種方式, 是所謂的 「k-generalized Fibonacci Numbers」 (參考資料 [1]), 可翻譯成 「k-推廣的費氏數」, 定義如下:

設 k ≥ 2, 若遞迴數列 hFn^(k)i 滿足初始條件 F_−(k−2)^(k) = · · · = F₋₁^(k)= F₀^(k)= 0 與 F₁^(k) = 1, 且滿足遞迴關係 Fn^(k) = F_n−1^(k) + F_n−2^(k) + · · · + F_n−k^(k) , 其中 n ≥ 2, 則稱 Fn^(k) 為 「k-推廣的費 氏數」。 特別地, 當 k = 2 時, Fn⁽²⁾ 即為費氏數 Fn。

另一方面, 定義 hk(a1, a₂, . . . , a_n) = P

λ1+λ2+···λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λ_nⁿ), 稱為 「變數 a1, a₂, . . . , a_n 的 k 次完全齊次對稱多項式」。

注意到 Fn = αⁿ− βⁿ

α− β = αⁿ⁻¹ + αⁿ⁻²β + · · · + αβⁿ⁻² + βⁿ⁻¹ = hn−1(α, β), 其 中 n ≥ 1, 且 α 與 β 為 x² − x − 1 = 0 的兩根。 此式將費氏數 Fn 用完全齊次對稱多項式 h_n−1(α, β) 加以表示。

既然 Fn^(k) 是費氏數 F_n 的一種推廣, 那麼, Fn^(k) 是否也可用完全齊次對稱多項式加以表 示? 這是本文的研究動機。 經過一番探索之後, 發現答案是肯定的:

設 k ≥ 2, 且 α1, α₂, . . . , α_k 為 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的 k 個相異根, 則有 F_n^(k) = hn−1(α1, α₂, . . . , α_k), 其中 n ≥ 1。

將此式稱為 Fn^(k) 的完全齊次對稱多項式表示法, 此為本文前半部的工作重點。

此外, 在查閱相關文獻之後, 得知 Fn^(k) 的另外兩種表示法:

F_n^(k)=

k

X

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i [1] 與 F_n^(k)=det(V₁^(k))

det(V ) [2],

在本文的後半部, 將分別證明 h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) =

k

P

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i 與 h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) = det(V₁^(k))

det(V ) , 最後再用 「推廣的 Vandermonde 行列式(最右行升次 型)」 [3] 一文中的觀點, 將 Fn^(k) 的三種表示法作一個統整。

貳、 用到的記號、 性質與公式說明

1. k- ^{推廣的費氏數} (k-generalized Fibonacci Numbers)

設 k ≥ 2, 若遞迴數列 hFn^(k)i 滿足初始條件 F_−(k−2)^(k) = · · · = F₋₁^(k) = F₀^(k) = 0 與 F₁^(k) = 1, 且滿足遞迴關係 , Fn^(k)= F_n−1^(k) + F_n−2^(k) + · · · + F_n−k^(k) , 其中 n ≥ 2, 則稱 Fn^(k) 為

「k-推廣的費氏數」。

當 k = 3, 4, 5 時, Fn^(k) 分別稱為 Tribonacci Numbers, Tetranacci Numbers, Pentanacci Numbers。 在此列出各數列的前幾項:

n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

F_n⁽³⁾ 0 0 1 1 2 4 7 13 24 44 81

Fn⁽⁴⁾ 0 0 0 1 1 2 4 8 15 29 56 108

Fn⁽⁵⁾ 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 31 61 120

2. ^{完全齊次對稱多項式} (Complete Homogeneous Symmetric Polynomial)

h_k(a1, a₂, . . . , a_n) = P

λ1+λ2+···λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λ_nⁿ), 稱為 「變數 a1, a₂, . . . , a_n 的 k 次 完全齊次對稱多項式」。 特別地, 有 h₀(α₁, α₂, . . . , α_n) = 1, 與 hk(a) = a^k。

例: h2(a1, a₂, a₃) = P

λ1+λ2+λ3=2 λ1,λ2,λ3≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a²₁+ a²₂+ a²₃+ a1a₂+ a2a₃ + a3a₁。

例: hn(α, β) = P

i+j=n i,j≥0

(αⁱβ^j) = αⁿ+ αⁿ⁻¹β+ · · · + αβⁿ⁻¹+ βⁿ。

3. ^{基本對稱多項式} (Elementary Symmetric Polynomial)

定義: ek(a1, a₂, . . . , a_n) = P

λ1+λ2+···λn=k 0≤λ1,λ2,...,λn≤1

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λ_nⁿ), 稱為「變數 a1, a₂, . . . , a_n 的 k 次 基本對稱多項式」。

例: e2(a1, a₂, a₃) = P

λ1+λ2+λ3=2 0≤λ1,λ2,λ3≤1

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a1a₂+ a2a₃+ a3a₁。

例: e0(a, b, c) = 1, e1(a, b, c) = a + b + c, e2(a, b, c) = ab + bc + ca, e3(a, b, c) = abc。

例: (x − a)(x − b)(x − c) = x³− e1(a, b, c)x²+ e2(a, b, c)x − e3(a, b, c)。

例: (x − a1)(x − a2) · · · (x − ak) = e0x^k− e1x^k−1+ · · · + (−1)^je_jx^k−j + · · · +(−1)^k−1e_k−1x+ (−1)^ke_k, 其中 ej = ej(a1, a₂, . . . , a_k)。

4. ^{拉格朗日插值型式}

定義: Lk(a₁, a₂, . . . , a_n) =

n

P

i=1

a^k_i Q

1≤j≤n j6=i

(ai− aj), 稱為「變數 a₁, a₂, . . . , a_n 的 k 次拉格朗日 插值型式」。

註: 以分子的次方來定義 L 的下標。

例: L2(a1, a₂, a₃)

=

3

X

i=1

a²_i Q

1≤j≤3 j6=i

(ai−aj) = a²₁

(a1−a2)(a1−a3) + a²₂

(a2−a1)(a2−a3)+ a²₃

(a3−a1)(a3−a2).

5.

(1) 當 k ≥ 2 時, 方程式 x^k+1− 2x^k+ 1 = 0 的各根全相異 (亦即沒有重根)。

(2) 當 k ≥ 2 時, 方程式 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的各根全相異 (亦即沒有重根)。

證明: 請見參考資料 [2], p160。

6. ^{對稱多項式的 「} e − h ^恆等式」 : ( ^參考資料 [4])

對於變數 a₁, a₂, . . . , a_m, 有

m

P

j=0

(−1)^je_j· hn−j = 0, 其中 n ≥ m, 亦即 h_n− e1h_n−1+ · · · + (−1)^je_jh_n−j+ · · · + (−1)^me_mh_n−m= 0。

說明: 此處用 hj 表示 hj(a₁, a₂, . . . , a_m) 與 ej 表示 ej(a₁, a₂, . . . , a_m), 以節省空間。 在本 文中, 用到的情形是:

設 α₁, α₂, . . . , α_k 為 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的 k 個相異根, 則有 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = (x − α₁)(x − α₂) · · · (x − αk)

= e0x^k− e1x^k−1+ · · · + (−1)^je_jx^k−j+ · · · + (−1)^k−1e_k−1x+ (−1)^ke_k (根與係數)

⇒ (−1)^je_j = −1, 其中 j = 1, 2, . . . , k (比較係數法)

⇒ ej(α1, α₂, . . . , α_k) = (−1)^j+1, 其中 j = 1, 2, . . . , k.

由 e − h 恆等式, 對於變數 α₁, α₂, . . . , α_k, 有 hn− e₁h_n−1+ · · · + (−1)^je_jh_n−j + · · · + (−1)^ke_kh_n−k = 0, 其中 n ≥ k。

由於 e_j = (−1)^j+1, 亦即 (−1)^je_j = −1, 其中 j = 1, 2, . . . , k, 於是有 hn− hn−1− · · · − h_n−j − · · · − hn−k = 0, 其中 n ≥ k。

註: 這可看作數列 hn(α1, α₂, . . . , α_k) 所滿足的遞迴關係式。 此外, 將 x^k−x^k−1−· · ·−x−1 = 0 等號兩邊同乘以 x^n−k, 得 xⁿ− xⁿ⁻¹− · · · − x^n−k = 0, 形式上, 將 x 代換成 h, 上標換成 下標, 即得 hn− h_n−1− · · · − hn−k = 0, 這是一個較簡便的記法。

7. h − L − V ^轉換公式 : ( ^參考資料 [3])

X

λ1+λ2+···λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λ_nⁿ) =

n

X

i=1

a^n+k−1_i Q

1≤j≤n j6=i

(ai− aj)=          

1 a1 a²₁ · · · aⁿ⁻²₁ a^(n−1)+k₁ 1 a2 a²₂ · · · aⁿ⁻²₂ a^(n−1)+k₂

... ... ... ... ... ...

1 an a²_n · · · aⁿ⁻²_n a^(n−1)+kn

1 a₁ a²₁ · · · aⁿ⁻²₁ aⁿ⁻¹₁ 1 a2 a²₂ · · · aⁿ⁻²₂ aⁿ⁻¹₂

... ... ... ... ... ...

1 an a²_n · · · aⁿ⁻²_n aⁿ⁻¹_n          

,

記作 hk(a1, a₂, . . . , a_n) = Ln+k−1(a1, a₂, . . . , a_n) = V(0,1,2,...,n−2,n−1+k)(a1, a₂, . . . , a_n) V(0,1,2,...,n−2,n−1)(a₁, a₂, . . . , a_n)

.

說明: 此式可將完全齊次對稱多項式、 拉格朗日插值型式與行列式, 三種型式互相轉換, 也說明

了這三種型式的關聯性。

例: 取 k = 1 與 n = 3, 有 h1(a, b, c) = L3(a, b, c) = V_(0,1,3)(a, b, c) V_(0,1,2)(a, b, c), 或

a+ b + c = a³

(a − b)(a − c)+ b³

(b − a)(b − c) + c³

(c − a)(c − b) =       

1 a a³ 1 b b³ 1 c c³

1 a a² 1 b b² 1 c c²

       .

特別地, 只看 L 與 h, 可以注意到 L 與 h 的下標之差, 恰為變數個數減 1, 因此 h − L 轉換 公式, 也可寫成: Lk(a₁, a₂, . . . , a_n) = h_k−(n−1)(a₁, a₂, . . . , a_n)。

例: Ln+2(α, β, γ) = hn(α, β, γ).

例: Ln+4(α1, α₂, α₃, α₄, α₅) = hn(α1, α₂, α₃, α₄, α₅).

例: Ln+k−1(α1, α₂, . . . , α_k) = hn(α1, α₂, . . . , α_k).

參、 主要工作

一、「完全齊次對稱多項式」 表示法

(一) Tribonacci Numbers 的完全齊次對稱多項式表示法 令 Fn⁽³⁾ = an, 設 n ≥ 3, 注意到

(x³− x²− x − 1)(a0xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an−1x+ an)

= a0xⁿ⁺³+ (a1− a0)xⁿ⁺² + (a2− a1 − a0)xⁿ⁺¹+ (a3− a2− a1− a0)xⁿ +(a4− a3− a2− a1)xⁿ⁻¹+ · · · + (aj − aj−1− aj−2− aj−3)x^n+3−j + · · ·

+(an− an−1− an−2− an−3)x³ + (−an− an−1− an−2)x²+ (−an− an−1)x − an

= 0 · xⁿ⁺³+ (1 − 0)xⁿ⁺²+ (1 − 1 − 0)xⁿ⁺¹+ 0 · xⁿ+ · · · + 0 · x^n+3−j + · · · +0 · x³+ (−an+1)x²+ (−an− an−1)x − an

⇒ xⁿ⁺² = (x³− x²− x − 1) ·Xⁿ

i=0

a_ixⁿ⁻ⁱ

+ an+1x²+ (an+ an−1)x + an

= (x − α)(x − β)(x − γ) ·Xⁿ

i=0

a_ixⁿ⁻ⁱ

+ R(x),

(其中 α, β, γ 為 x³−x²−x−1 = 0 的三相異根, 且令 R(x) = a_n+1x²+(an+a_n−1)x+an

⇒ αⁿ⁺² = R(α), βⁿ⁺² = R(β), γⁿ⁺² = R(γ), 且 deg R(x) ≤ 2。

由拉格朗日插值多項式, 可得 R(x) = αⁿ⁺²· (x − β)(x − γ)

(α − β)(α − γ)+ βⁿ⁺²· (x − α)(x − γ)

(β − α)(β − γ) + γⁿ⁺²· (x − α)(x − β) (γ − α)(γ − β). 由 x² 的係數, 可知

a_n+1= αⁿ⁺²

(α − β)(α − γ)+ βⁿ⁺²

(β − α)(β − γ) + γⁿ⁺²

(γ − α)(γ − β) (拉格朗日插值型式)

= Ln+2(α, β, γ) = hn(α, β, γ) (h − L 轉換公式)

⇒ F_n⁽³⁾ = an = hn−1(α, β, γ), 其中 n ≥ 3。

至於當 n = 1, 2 時,

F₂⁽³⁾= F₅⁽³⁾− F₄⁽³⁾− F₃⁽³⁾ = h₄− h₃− h₂ = h₁ (由 e − h 恆等式), F₁⁽³⁾= F₄⁽³⁾− F₃⁽³⁾− F₂⁽³⁾ = h3− h2− h1 = h0 (由 e − h 恆等式).

至此, 已得到 Tribonacci Numbers Fn⁽³⁾ 的完全齊次對稱多項式表示法, 即有 Fn⁽³⁾ = hn−1(α, β, γ), 其中 n ≥ 1。

(二) Pentanacci Numbers 的完全齊次對稱多項式表示法 令 Fn⁽⁵⁾ = an, 設 n ≥ 5, 注意到

(x⁵ − x⁴− x³ − x² − x − 1)(a₀xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x+ an)

= a0xⁿ⁺⁵+ (a1− a0)xⁿ⁺⁴+ (a2− a1− a0)xⁿ⁺³+ (a3 − a2− a1− a0)xⁿ⁺² +(a4− a3 − a2− a1− a0)xⁿ⁺¹+ (a5− a4− a3− a2− a1 − a0)xⁿ+ · · ·

+(an−an−1−an−2−an−3−an−4−an−5)x⁵+(−an−an−1−an−2−an−3−an−4)x⁴ +(−an−an−1−an−2−an−3)x³+(−an−an−1−an−2)x²+(−an−an−1)x−an

⇒ xⁿ⁺⁴ = (x⁵− x⁴− x³− x²− x − 1) ·Xⁿ

i=0

a_ixⁿ⁻ⁱ

+a_n+1x⁴+(an+a_n−1+a_n−2+a_n−3)x³+(an+a_n−1+a_n−2)x²+(an+a_n−1)x+an

= (x − α1)(x − α2)(x − α3)(x − α4)(x − α5) ·Xⁿ

i=0

a_ixⁿ⁻ⁱ

+ R(x),

(其中 α1, α₂, α₃, α₄, α₅ 為 x⁵ − x⁴ − x³ − x² − x − 1 = 0 的 5 相異根, 且令 R(x) = a_n+1x⁴+ (an+ a_n−1+ a_n−2 + a_n−3)x³+ (an+ a_n−1+ a_n−2)x²+ (an+ a_n−1)x + an)

⇒ R(αi) = αⁿ⁺⁴_i , 其中 i = 1, 2, 3, 4, 5, 且 deg R(x) ≤ 4,

由拉格朗日插值多項式, 可得

R(x) =

5

X

i=1

αⁿ⁺⁴_i · Q

1≤j≤5 j6=i

(x − αj) Q

1≤j≤5 j6=i

(αi− αj),

由 x⁴ 的係數, 可知 a_n+1=

5

X

i=1

αⁿ⁺⁴_i Q

1≤j≤5 j6=i

(αi− αj) = Ln+4(α1, α₂, α₃, α₄, α₅) = hn(α1, α₂, α₃, α₄, α₅)

⇒ F_n⁽⁵⁾ = an = hn−1(α1, α₂, α₃, α₄, α₅), 其中 n ≥ 5。

至於當 n = 1, 2, 3, 4 時,

F₄⁽⁵⁾= F₉⁽⁵⁾−F₈⁽⁵⁾−F₇⁽⁵⁾−F₆⁽⁵⁾−F₅⁽⁵⁾ = h8−h7−h6−h5−h4 = h3 (由 e−h 恆等式), F₃⁽⁵⁾= F₈⁽⁵⁾−F₇⁽⁵⁾−F₆⁽⁵⁾−F₅⁽⁵⁾−F₄⁽⁵⁾ = h7−h6−h5−h4−h3 = h2 (由 e−h 恆等式), F₂⁽⁵⁾= F₇⁽⁵⁾−F₆⁽⁵⁾−F₅⁽⁵⁾−F₄⁽⁵⁾−F₃⁽⁵⁾ = h6−h5−h4−h3−h2 = h1 (由 e−h 恆等式), F₁⁽⁵⁾= F₆⁽⁵⁾−F₅⁽⁵⁾−F₄⁽⁵⁾−F₃⁽⁵⁾−F₂⁽⁵⁾ = h₅−h₄−h₃−h₂−h₁ = h₀ (由 e−h 恆等式)。

至此, 已得到 Pentanacci Numbers Fn⁽⁵⁾ 的完全齊次對稱多項式表示法, 即 Fn⁽⁵⁾ = hn−1(α1, α₂, α₃, α₄, α₅), 其中 n ≥ 1。

(三) k-generalized Fibonacci Numbers 的完全齊次對稱多項式表示法 令 Fn^(k)= an, 設 n ≥ k, 注意到

(x^k− x^k−1− · · · − x − 1)(a0xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an−1x+ an)

= [a0x^n+k+ (a1− a0)x^n+k−1+ · · · + (aj−aj−1−· · ·−a1−a0)x^n+k−j+ · · · +(ak−ak−1−· · · − a1− a0)xⁿ] + [(ak+1−ak−· · · − a1)xⁿ⁻¹+ · · ·

+(an−1−an−2−· · · − an−k − an−k−1)x^k+1] + [(an−an−1−· · · − an−k+1− an−k)x^k +(−an−an−1−· · · − an−k+1)x^k−1+· · · + (−an−an−1)x−an (註)

= [0 · x^n+k+(1−0)x^n+k−1+· · ·+0 · x^n+k−j+· · ·+0 · xⁿ]+[0 · xⁿ⁻¹+· · ·+0 · x^k+1] +[0 · x^k+(−an+1)x^k−1+(−an−an−1−· · ·−an−k+2)x^k−2+· · ·+(−an−an−1)x−an]

⇒ x^n+k−1 = (x^k− x^k−1− · · · − x − 1) ·Xⁿ

i=0

a_ixⁿ⁻ⁱ

+[an+1x^k−1+(an+an−1+· · · + an−k+2)x^k−2+· · · + (an+an−1)x + an]

= (x − α1)(x − α2) · · · (x − αk) ·Xⁿ

i=0

a_ixⁿ⁻ⁱ

+ R(x),

(其中 α1, α₂, . . . , α_k為 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的 k 相異根, 且令 R(x) = an+1x^k−1+ (an+ an−1+ · · · + an−k+2)x^k−2+ · · · + (an+ an−1)x + an)

⇒ R(αi) = α^n+k−1_i , 其中 i = 1, 2, . . . , k, 且 deg R(x) ≤ k − 1, 由拉格朗日插值多項式, 可得

R(x) =

k

X

i=1

α^n+k−1_i · Q

1≤j≤k j6=i

(x − αj) Q

1≤j≤k j6=i

(αi− αj),

由 x^k−1 的係數, 可知

a_n+1=

k

X

i=1

α^n+k−1_i Q

1≤j≤k j6=i

(αi− αj) = Ln+k−1(α1, α₂, . . . , α_k) = hn(α1, α₂, . . . , α_k)

⇒ F_n^(k)= an = hn−1(α1, α₂, . . . , α_k), 其中 n ≥ k。

至於當 n = 1, 2, . . . , k − 1 時,

F_k−1^(k) = F_2k−1^(k) −F_2k−2^(k) −· · ·−F_k^(k) = h2k−2−h2k−3−· · ·−hk−1 = hk−2 (由 e − h 恆等式) F_k−2^(k) = F_2k−2^(k) −F_2k−3^(k) −· · ·−F_k−1^(k) = h2k−3−h2k−4−· · ·−hk−2 = hk−3 (由 e − h 恆等式)

... ... ...

F₁^(k)= F_k+1^(k)−F_k^(k)−· · ·−F₂^(k) = hk−hk−1−· · ·−h1 = h0 (由 e − h 恆等式)。

至此, 已得到 k-generalized Fibonacci Numbers Fn^(k) 的完全齊次對稱多項式表示法, 即 Fn^(k) = hn−1(α1, α₂, . . . , α_k), 其中 n ≥ 1。

註: 當 2 ≤ j ≤ k − 1 時,

a_j− a_j−1− · · · − a₁− a₀ = aj − a_j−1− · · · − a₁− a₀− a₋₁− a₋₂− · · · − a_−(k−j)= 0。

二、「單一變數化」 表示法

在參考資料 [1] 中, 給出 Fn^(k) 的一種表達式 P^k

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)α_iⁿ⁻¹, 與完全齊次 對稱多項式 hn−1(α1, α₂, . . . , α_k) 形式迥異, 本文在此將直接證明兩者是相等的, 亦即有如下 的命題:

命題: hn−1(α1, α₂, . . . , α_k) =

k

P

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i , 其中 n ≥ 1, 且 α1, α₂, . . . , α_k 為 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的 k 個相異根。

證明: 令 f (x) = (x − 1)(x^k− x^k−1 − · · · − x − 1) = x^k+1− 2x^k+ 1。

一方面, 令 α₀ = 1

⇒ f (x) = (x − 1)(x^k− x^k−1− · · · − x − 1)

= (x − α0)(x − α1) · · · (x − αk) = Y

0≤j≤k

(x − αj)

⇒ f^′(x) =

k

X

p=0

Y

0≤j≤k j6=p

(x − αj)

⇒ f^′(αi) =

k

X

p=0

Y

0≤j≤k j6=p

(αi− αj) = Y

0≤j≤k j6=i

(αi− αj)

= (αi− 1) · Y

1≤j≤k j6=i

(αi − αj), 其中 i = 1, 2, . . . , k.

另一方面,

f(x) = x^k+1− 2x^k+ 1 ⇒ f^′(x) = (k + 1)x^k− 2kx^k−1

⇒ f^′(αi) = (k + 1)α^k_i − 2kα^k−1_i . 於是可得 (α_i− 1) · Q

1≤j≤k j6=i

(αi− αj) = f^′(αi) = (k + 1)α^k_i − 2kα^k−1_i , 其中 i = 1, 2, . . . , k

⇒ 1

Q

1≤j≤k j6=i

(αi − αj) = α_i− 1

(k + 1)α^k_i − 2kα^k−1_i , 其中 i = 1, 2, . . . , k.

再來, 由 h − L 轉換公式, 有

h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) = L_{n−1+(k−1)}(α1, α₂, . . . , α_k) = Ln+k−2(α1, α₂, . . . , α_k)

=

k

X

i=1

α^n+k−2_i Q

1≤j≤k j6=i

(αi − αj) (拉格朗日插值型式)

=

k

X

i=1

α_i− 1

(k + 1)α^k_i − 2kα^k−1_i α^n+k−2_i =

k

X

i=1

α_i− 1

(k + 1)αi− 2kαⁿ⁻¹_i

=

k

X

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i .

至此, 已證明了 h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) =

k

P

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)α_iⁿ⁻¹, 其中 n ≥ 1。

說明: 拉格朗日插值型式

k

P

i=1

α^n+k−2_i Q

1≤j≤k j6=i

(αi− αj) 是 k 個分式之和, 每個分式 α^n+k−2_i Q

1≤j≤k j6=i

(αi− αj) 的

構成, 都用到所有的變數 α1, α₂, . . . , α_k; 相對地,

k

P

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i 也是 k 個分 式之和, 但每個分式 α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)α_iⁿ⁻¹ 的構成, 都只用到單一變數 αi, 故將此種型式, 稱為 Fn^(k) 的 「單一變數化」 表示法。

三、「行列式相除」 表示法

在參考資料 [2] 中, 給出了 Fn^(k) 的另一種表達式 det(V₁^(k))

det(V ) , 在此先將 [2] 的記號與概 念, 與本文作一整合:

(一) g_n+k−2^(k) = gn= Fn^(k)

在 [2] 中, k-generalized Fibonacci sequence {g^(k)n } 是這樣定義的:

g₁^(k)= · · · = g_k−2^(k) = 0, g_k−1^(k) = g_k^(k)= 1, 且當 n > k ≥ 2 時, 有 gn^(k)= g_n−1^(k) +g_n−2^(k) +· · ·+g_n−k^(k) 。 此外, 該文還定義了 gn= g_n+k−2^(k) 。

比較 [2] 和本文之後, 可以看出 g_n+k−2^(k) = gn= Fn^(k), 說明如下:

由 g_n= g_n+k−2^(k) , 可得 gn−(k−2)= g^(k)n 。

(1) 由 g_k−1^(k) = g_k^(k)= 1 ⇒ g_{k−1−(k−2)} = g_k−(k−2) = 1 ⇒ g₁= g₂ = 1。

(2) 由 g₁^(k)= · · ·= g_k−2^(k) = 0 ⇒ g1−(k−2)= · · ·= g(k−2)−(k−2)= 0 ⇒ g−k+3= · · · = g0= 0。

(3) 由 gn^(k) = g^(k)_n−1+ g_n−2^(k) + · · · + g^(k)_n−k, 其中 n > k ≥ 2

⇒ gn−(k−2) = gn−1−(k−2)+ gn−2−(k−2)+ · · · + gn−k−(k−2), 其中 n > k ≥ 2

⇒ gn= gn−1+ gn+ · · · + gn−k, 其中 n > 2。

由 (1)(2)(3), 可知對於數列 {gn} 而言, 滿足 g1 = g2 = 1, g−k+3 = · · · = g0 = 0 與 g_n= gn−1+ gn+ · · · + gn−k, 其中 n > 2。

回顧本篇文章 Fn^(k) 的定義, 有 F₁^(k)= 1, 與 F_−(k−2)^(k) = · · · = F₋₁^(k)= F₀^(k)= 0, 其中 k ≥ 2, 以及 Fn^(k)= F_n−1^(k) + F_n−2^(k) + · · · + F_n−k^(k), 可推出 F₂^(k) = F₁^(k)+ F₀^(k)+ · · · + F_2−k^(k) = 1。

至此, 可看出 {g_n} 與 {Fn^(k)} 有相同的初始條件(相同的前 k 項): g1 = g2 = 1 與 g−k+3 =

· · · = g0 = 0, 以及遞迴關係式: gn = gn−1 + gn + · · · + gn−k, 其中 n > 2, 所以有 g_n+k−2^(k) = gn = Fn^(k)。

(二) hn−1(α1, α₂, . . . , α_k) = det(V₁^(k))

det(V ) , 其中 α1, α₂, . . . , α_k是 x^k−x^k−1−· · ·−x−1 = 0 的 k 個相異根。

在 [2] 中, 定義了矩陣 Λ =













1 1 · · · 1

λ₁ λ₂ · · · λ_k ... ... . .. ...

λ^k−1₁ λ^k−1₂ · · · λ^k−1_k













與其轉置矩陣 V = Λ^T, 以及

行列式 det(V ) =          

1 λ1 · · · λ^k−1₁ 1 λ2 · · · λ^k−1₂

... ... . .. ... 1 λk · · · λ^k−1_k

(其中 λ1, λ₂, . . . , λ_k也是 x^k−x^k−1−· · ·−x−1 = 0

的 k 個相異根)。 較特別的是, 令 di =













λⁿ⁺ⁱ⁻¹₁ λⁿ⁺ⁱ⁻¹₂

...

λⁿ⁺ⁱ⁻¹_k













, 並定義 V_j⁽ⁱ⁾ 是將 V 的第 j 行用 di 取

代後, 所得的一個 k × k 矩陣。 接著, 本文開始證明如下的命題。

命題: h_n−1(α₁, α₂, . . . , α_k) = det(V₁^(k))

det(V ) , 其中 α₁, α₂, . . . , α_k是 x^k−x^k−1−· · ·−x−1 = 0 的 k 個相異根。

證明:

det(V₁^(k)) =          

λ^n+k−1₁ λ₁ · · · λ^k−1₁ λ^n+k−1₂ λ₂ · · · λ^k−1₂

... ... . .. ... λ^n+k−1_k λ_k · · · λ^k−1_k

= (λ1λ₂· · · λk) ·          

λ^n+k−2₁ 1 · · · λ^k−2₁ λ^n+k−2₂ 1 · · · λ^k−2₂

... ... ... ...

λ^n+k−2_k 1 · · · λ^k−2_k          

(各列分別提出 λ1, λ₂, . . . , λ_k)

= (−1)^k−1·          

1 λ₁ · · · λ^n+k−2₁ 1 λ₂ · · · λ^n+k−2₂

... ... ... ...

1 λk · · · λ^n+k−2_k          

· (−1)^k−1 (將原來的第一行換到最右一行)

=          

1 λ1 · · · λ^n+k−2₁ 1 λ2 · · · λ^n+k−2₂

... ... . .. ... 1 λk · · · λ^n+k−2_k

          .

由 h − L − V 轉換公式, 得

⇒ det(V₁^(k)) det(V ) =

1 λ1 · · · λ^n+k−2₁ 1 λ2 · · · λ^n+k−2₂

... ... ... ...

1 λk · · · λ^n+k−2_k           

1 λ1 · · · λ^k−1₁ 1 λ2 · · · λ^k−1₂

... ... ... ...

1 λk · · · λ^k−1_k          

= h(n+k−2)−(k−1)(λ1, λ₂, . . . , λ_k)

= hn−1(λ1, λ₂, . . . , λ_k) = hn−1(α1, α₂, . . . , α_k).

四、 h − L − V ^觀點

本文到目前為止, 已然證明了:

h_n−1(α₁, α₂, . . . , α_k) =

k

X

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)α_iⁿ⁻¹ = det(V₁^(k)) det(V ) , 這三個形式上大相逕庭的表達式會相等, 並不是偶然的 : 注意到

k

X

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i =

k

X

i=1

α^n+k−2_i Q

1≤j≤k j6=i

(αi− αj) = L_n+k−2(α₁, α₂, . . . , α_k)

以及

det(V₁^(k)) det(V ) =

1 λ₁ · · · λ^n+k−2₁ 1 λ₂ · · · λ^n+k−2₂

... ... ... ...

1 λk · · · λ^n+k−2_k           

1 λ1 · · · λ^k−1₁ 1 λ2 · · · λ^k−1₂

... ... ... ...

1 λk · · · λ^k−1_k          

=          

1 α₁ · · · α^n+k−2₁ 1 α₂ · · · α^n+k−2₂

... ... ... ...

1 αk · · · α^n+k−2_k           

1 α1 · · · α^k−1₁ 1 α2 · · · α^k−1₂

... ... ... ...

1 αk · · · α^k−1_k          

,

可以看出, 在 「h − L − V 轉換公式」:

h_k(a1, a₂, . . . , a_n) = Ln+k−1(a1, a₂, . . . , a_n) =          

1 a1 a²₁ · · · aⁿ⁻²₁ a^(n−1)+k₁ 1 a2 a²₂ · · · aⁿ⁻²₂ a^(n−1)+k₂

... ... ... ... ... ...

1 an a²_n · · · aⁿ⁻²_n a^(n−1)+kn

1 a1 a²₁ · · · aⁿ⁻²₁ aⁿ⁻¹₁ 1 a2 a²₂ · · · aⁿ⁻²₂ aⁿ⁻¹₂

... ... ... ... ... ...

1 an a²_n · · · aⁿ⁻²_n aⁿ⁻¹_n          

之中,

將 k 與 n 替換為 n − 1 與 k, 並將變數 a1, a₂, . . . , a_n 取為 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的 k 個相異根 α1, α₂, . . . , α_k, 即可得

h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) = Ln+k−2(α1, α₂, . . . , α_k) =          

1 α₁ · · · α^n+k−2₁ 1 α₂ · · · α^n+k−2₂

... ... . .. ... 1 αk · · · α^n+k−2_k

1 α1 · · · α^k−1₁ 1 α2 · · · α^k−1₂

... ... . .. ... 1 αk · · · α^k−1_k

,

也就是

h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) =

k

X

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)α_iⁿ⁻¹ = det(V₁^(k)) det(V ) , 至此, 已將三種表達式作了一個統整。

肆 、 結語

事實上, Fn^(k) 有著各式各樣的表達式 (見 [1], p2), 以不同的姿態, 出現在不同的時空。 本 文的前半部, 先建立了在以往文獻上未見到的 「完全齊次對稱多項式」 表示法:

設 k ≥ 2, 且 α1, α₂, . . . , α_k 為 x^k− x^k−1− · · · − x − 1 = 0 的 k 個相異根, 則有 F_n^(k)= hn−1(α1, α₂, . . . , α_k), 其中 n ≥ 1。

並在後半部, 以 h_n−1(α1, α₂, . . . , α_k) 為出發點, 連結到 Fn^(k) 的另外兩個已知的表達式

k

X

i=1

α_i− 1

2 + (k + 1)(αi− 2)αⁿ⁻¹_i 與 det(V₁^(k)) det(V ) ,

最後再以 h − L − V 轉換公式, 對應出三個表達式背後的關聯性。 可以說, 本文先爬上 「完全齊 次對稱多項式」 這座山, 再從山上去看另外的兩座山, 進而辨認出連結這三座山的 「h − L − V 」 山脈。

參考資料

1. Gregory P.B. Dresden, A Simplified Binet Formula for k-Generalized Fibonacci Num- bers, Journal of Integer Sequences, Vol. 17, 2014.

2. Gwang-Yeon Lee, Sang-Gu Lee, Jin-Soo Kim and Hang-Kyun Shin, The Binet For- mula and Representations of k-generalized Fibonacci Numbers, Fibonacci Quarterly, 39 (2001), 158-164.

3. 陳建燁。 推廣的 Vandermonde 行列式 (最右行升次型)。 高中數學學科中心電子報, 第 114 期 (2016), p1, 3, 11, 12。

4. 陳建燁。 對稱多項式的 e − h 恆等式(上)。 高中數學學科中心電子報, 第 124 期 (2017), p1。

—

_—