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111 學 年 度 學 科 能 力 測 驗 數 學 A 考 科 非 選 擇 題 評 分 原 則
數 學 A 的 題 型 有 選 擇（ 填 ）與 混 合 題 或 非 選 擇 題。非 選 擇 題 主 要 評 量 考 生 是 否 能 夠 清 楚 表 達 推 理 論 證 過 程。數 學 科 非 選 擇 題 的 解 法 通 常 不 只 一 種 ， 且 有 些 解 法 並 不 屬 於 高 中 課 程 範 圍 ， 在 此 提 供 屬 於 高 中 課 程 ， 且 多 數 考 生 可 能 採 用 的 解 法 以 供 各 界 參 考 。 不 管 採 取 哪 種 解 法 ， 均 需 於 答 題 卷 上 清 楚 表 達 推 理 或 解 題 過 程 ， 且 得 到 正 確 答 案 ， 方 可 得 到 滿 分 。 若 過 程 中 列 式 正 確 ， 但 計 算 錯 誤 ， 則 酌 給 部 分 分 數 。 如 果 只 有 答 案 對 ， 但 觀 念 錯 誤 ， 或 過 程 不 合 理 ， 則 無 法 得 到 分 數 。 以 下 提 供 非 選 擇 題 參 考 答 案 ， 以 及 評 分 原 則，至 於 學 生 的 作 答 與 無 法 得 到 滿 分 的 情 形，請 參 閱 本 中 心 將 於 4 月 15 日 出 刊 的 第 330 期 《 選 才 電 子 報 》。
第 19 題
一、 滿分參考答案：
掃描棒掃過之區域圖形如下：
因為
OB′ = ，
2OA′ =
3，A B′ ′ =1， 故cos cos 0 OA B′ ′ π2∠ = =
（也可由餘弦定理，或內積求得cos∠OA B′ ′=0）
2
因為∠B OA′ ′=π6
，可知 5
AOA′ 6π
∠ = ，
OA′ =
3，點A′的極坐標表示為 3,150°(或 3,5 6
π
）。
二、評分原則：
根 據 題 意 ， 畫出掃描棒掃過的區域R，並藉由內積，或餘弦定理，或∠
OA B
′ ′ 為直角，求出cos OA B∠ ′ ′及點 A′的極坐標。第 20 題
一、 滿分參考答案：
如上圖，
(一)Ω的面積可由以下幾種解法求得：
【 解 法 一 】
Ω的面積=扇形OBE的面積+∆OAB的面積− 扇形OAD的面積。
1 22
2 3
= × ×π +1 3 1
2× × 1 32 2 3 3
2 2 3 2 4
π π π
− × × = + −
3 2 12
= − π
3
【 解 法 二 】
Ω的面積=第一象限的環狀帶− （扇形OPB的面積−∆OAB的面積）
2 2
1 (2 3 ) 2 2
= × ×π − −(1 22 2 6
× ×π 1 3 1)
− ×2 × 3 2 12
= − π
(二) R的面積可由以下幾種解法求得：
【 解 法 一 】
第二象限的斜線面積=第二象限的環狀帶−(∆OA B′ ′的面積− 扇形OA C′ ′的面積)
2 2
1 (2 3 ) 2 2
= × ×π − −(1 3 1
2× × 1 3 )2 3
2 6 2 2
π π
− × × = −
R的面積= Ω的面積＋第二象限的面積＝( 3 ) ( 3) 5 2 12 2 2 12
π π π
− + − =
【 解 法 二 】
第二象限的斜線面積= DEFA′環狀帶＋扇形OFB′的面積− ∆OA B′ ′的面積
2 2 2
2 (2 3 ) 1 2 1 3 1 3
3 4 3 4 2 2 2
π π π
= × × − + × × − × × = −
R的面積= Ω的面積＋第二象限的面積＝( 3 ) ( 3) 5 2 12 2 2 12
π π π
− + − =
【 解 法 三 】
在∆OBA與∆OB A′ ′中，因AB A B= ′ ′、OB OB′= 、OA OA′= ，可得∆OBA≅ ∆OB A′ ′。
因∠BOA= ∠B OA′ ′，故扇形OAC的面積=扇形OA C′ ′的面積。
所以，∆OBA− 扇形OAC的面積= ∆OB A′ ′− 扇形OA C′ ′的面積。
故R的面積=扇形OBB′的面積− 扇形OCC′的面積 1 5 22
2 6
= × π × 1 5 32 5 5
2 6 3 4
π π π
− × × = − 5
12
= π
二、評分原則：
能 利 用 面 積 分 割 算 出Ω與R的面積。
