2.1 極限的直觀

第 2 章 極限 (Limits)

目錄

2.1 極限的直觀 . . . . 15

2.2 單側, 在無限遠之極限及無窮極限 . . . . 16

2.3 極限的定義 . . . . 17

2.4 極限的性質 . . . . 18

2.5 漸近線 . . . . 22

2.6 連續性 . . . . 23

2.7 中間值定理 . . . . 25

2.1 極限的直觀

變化率

定義 2.1.1. y = f (x) 在 x ∈ [x1, x₂] 上的平均變化率(average rate of change) 為 ^∆y_∆x =

f (x2)−f(x¹)

x2−x1 = ^{f (x1+h)}_h^−f(x), h = x₂− x1 。

例 2.1.2. 一顆球從 450 公尺高的 CN 塔上放下, (1) 求它在前 5 秒的平均速度。

(2) 求它在第 5 秒到第 6 秒間的平均速度。

(3) 求它在第 5 秒的速度。

例 2.1.3. 討論拋物線 y = x² 在點 P (1, 1) 之切線的斜率。

極限的直觀

例 2.1.4. (1) 討論 f(x) = ^3x+4_x+5 在 x = −2 附近的行為。

(2) Heaviside 函數定義為 H(t) =

½ 0 if t < 0;

1 if t ≥ 0, 討論在 t = 0附近的行為。

(3) 令

(a) f (x) = ^x_x²₋₁⁻¹,

第 2 章 極限 2.2 單側, 在無限遠之極限及無窮極限

(b) g(x) =

½ _x2−1

x−1 x6= 1 1 x = 1, (c) h(x) = x + 1。

討論以上三函數在 x = 1 附近的行為。

[註] 函數在 a 的極限與它在 a 的取值無關。

定義 2.1.5. (直觀) lim

x→af (x) = L 表示: 當 x 很靠近 a 時, f(x) 很靠近 L; 而且要有多接近, 就 有 多接近。 我們稱 f(x) 在 x = a 的極限 (limit) 為 L。

[註] x 很靠近 a 表示 x 同時從左側及右側很靠近 a , 且 x 6= a 。 例 2.1.6. 討論在 x = 0 的極限:

(a) f (x) =

½ 0 x < 0, 1 x≥ 0, (b) g(x) =

½ ₁

x x6= 0, 0 x = 0, (c) h(x) =

½ 0 x≤ 0, sin¹_x x > 0。

[習題] 2.1.7. If a rock is thrown upward on the planet Mars with a velocity of 10 m/s, its height in meters t seconds later is given by y = 10t− 1.86t².

(a) Find the average velocity over the given finite intervals.

(i) [1, 2] , (ii) [1, 1.5] , (iii) [1, 1.1] , (iv) [1, 1.01] , (v) [1, 1.001] . (b) Estimate the instantaneous velocity when t = 1.

2.2 單側, 在無限遠之極限及無窮極限

(一) 單側極限 (One-Sided Limits) 例 2.2.1. (1) g(x) =

½ √x− 4 if x > 4;

8− 2x if x < 4, 求 lim

x→4g(x)。 (2) 令 f(x) =√

4− x² , 求 lim

x→−2⁺f (x), lim

x→2⁺f (x) 及 lim

x→2⁻f (x)。 例 2.2.2. 求極限:

(1) lim

x→0|x|, (2) lim

x→0

|x|

x, (3) lim

x→3+bxc, lim

x→3−bxc, lim

x→πbxc。

定理 2.2.3. lim

x→af (x) = L⇔ lim

x→a⁺f (x) = L且 lim

x→a⁻f (x) = L。

第 2 章 極限 2.3 極限的定義 例 2.2.4. lim

x→nbx − bx − 1cc, n ∈ Z。

(二) 無窮極限 (Infinite Limits) 例 2.2.5. 求 lim

x→0⁺ 1 x, lim

x→0⁻ 1 x, lim

x→0 1 x² 。 例 2.2.6. 求 lim

x→2⁺ x−3

x²−4, lim

x→2⁻ x−3

x²−4, lim

x→2⁻ x−1 x²−4 。 例 2.2.7. 求 lim

x→2 (x−2)²

x²−4 , lim

x→2⁺ x−2 x²−4。 例 2.2.8. 求 lim

x→^π₂⁻tan x, lim

x→^π₂⁺tan x。 例 2.2.9. 求 lim

x→0⁺ln x。

(三) 在無限遠的極限(Limits at infinite) 例 2.2.10. 討論 lim

x→∞

1 x², lim

x→∞

1 x³, lim

x→∞x², lim

x→∞x³, lim

x→−∞

1 x², lim

x→−∞

1 x³, lim

x→−∞x², lim

x→−∞x³。 例 2.2.11. 描繪函數 y = (x − 2)⁴(x + 1)³(x− 1) 的圖形。

例 2.2.12. 求極限: lim

x→∞tan⁻¹x, lim

x→−∞tan⁻¹x, lim

x→2⁺arctan(_x−2¹ )。 例 2.2.13. 求極限: lim

x→∞e^x, lim

x→0⁻e^1/x lim

x→−∞e^x。

[習題] 2.2.14. Determine the values of a for which lim

x→af (x) exists.

f (x) =





1 + x x <−1 x² −1 ≤ x < 1 2− x x≥ 1.

[習題] 2.2.15. Sketch the graph of an example of a function f that satisfies the conditions lim

x→0⁻f (x) = 2, lim

x→0⁺f (x) = 0, lim

x→4⁻f (x) = 3, lim

x→4⁺f (x) = 0, f (0) = 2, f (4) = 1.

[習題] 2.2.16. Sketch the graph of an example of a function f that satisfies the conditions.

lim

x→0⁻f (x) = 4, lim

x→0⁺f (x) = 2, lim

x→4⁻f (x) = −∞, lim

x→4⁺f (x) = ∞, lim

x→−∞f (x) = −∞,

x→∞lim f (x) = 3, f (0) = 3.

2.3 極限的定義(Definitions of Limit)

定義 2.3.1. 令 f(x) 在包含 x = a 的某一開區間上有定義。 若 ∀ε > 0, ∃δ > 0 使得 0 < |x−a| <

δ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱為 f(x)在 x 趨近於 a 時的極限為 L, 記為 lim

x→af (x) = L。 例 2.3.2. 證明 lim

x→3(4x− 5) = 7。

定義 2.3.3. (1) ∀ε > 0, ∃M 使得 x > M ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱 x 趨近 ∞ 時, f(x) 的極限 為 L, 記為 lim

x→∞f (x) = L。

(2) ∀ε > 0, ∃M 使得 x < M ⇒ |f(x) − L| < ε, 則稱 x 趨近 −∞ 時, f(x) 的極限為 L, 記為

x→−∞lim f (x) = L。

第 2 章 極限 2.4 極限的性質 例 2.3.4. 證明 (a) lim

x→∞

1

x = 0, (b) lim

x→−∞

1 x = 0 。

定義 2.3.5. (1) 若 ∀B > 0, 則 ∃δ > 0, 使得 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > B, 稱為在 x 趨近 a 時, f(x) 的極限為無限大, 記為 lim

x→af (x) =∞。

(2) 若 ∀B < 0, 則 ∃δ > 0, 使得 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < B, 稱為在 x 趨近 a 時, f(x) 的極 限為負無限大, 記為 lim

x→af (x) =−∞。

例 2.3.6. 證明 lim

x→0 1

x² =∞。

2.4 極限的性質

四則運算的極限 定理 2.4.1. 若 lim

x→af (x) = L且 lim

x→ag(x) = M , 則 (1) lim

x→ac = c, lim

x→ax = a, (2) lim

x→akf (x) = kL, (3) lim

x→a(f (x)± g(x)) = L ± M , (4) lim

x→af (x)g(x) = L· M, (5) lim

x→a f (x)

g(x) = _M^L, 若 M 6= 0 , (6) lim

x→af (x)^α = L^α, α∈ Q, L > 0 。

[註] 只要極限值 L, M 存在, 此定理對 ”單側極限” 及 ”在無限遠的極限” 均成立。

例 2.4.2. (1) 若 p(x) = anxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+· · · + a1x + a₀, 則 lim

x→ap(x) = p(a) 。 (2) 若 ^{P (x)}_Q(x) 為有理式, 且 Q(a) 6= 0, 則 lim

x→a P (x)

Q(x) = ^{P (a)}_Q(a) 。 例 2.4.3. 求 lim

x→−2

q

x³+2x²−1 5−3x 。 例 2.4.4. 求極限:

(1) lim

x→∞

5x²+8x−3 3x²+2 , lim

x→−∞

5x²+8x−3 3x²+2 。 (2) lim

x→∞

11x+1 2x³−1, lim

x→−∞

11x+1 2x³−1 。 (3) lim

x→∞

3x⁴−x−2 5x²+4x+1, lim

x→−∞

3x⁴−x−2 5x²+4x+1 。 (4) lim

x→∞

3x³−x−2 5x²+4x+1, lim

x→−∞

3x³−x−2 5x²+4x+1 。 三明治定理

第 2 章 極限 2.4 極限的性質

定理 2.4.5. (1) 令 c ∈ (a, b)。 若 f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b], x 6= c, 且以下極限均存在, 則 limx→cf (x)≤ lim

x→cg(x)。

(2) [三明治定理, 夾擊定理 (Sandwich Theorem, Squeeze Theorem)] 若 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x),∀x ∈ [a, b], x 6= c, 且 lim

x→cg(x) = lim

x→ch(x) = L, 則 lim

x→cf (x) = L。 定理 2.4.6. 若 f(x) 在 x = a 附近為有界, 且 lim

x→ag(x) = 0, 則 lim

x→a(f g)(x) = 0 。 例 2.4.7. (1) 若 lim

x→a|f(x)| = 0, 則 lim

x→af (x) = 0。 (2) lim

x→af (x) = L⇔ lim

x→a|f(x)| = |L| 是否成立?

例 2.4.8. lim

θ→0sin θ, lim

θ→0cos θ 。 例 2.4.9. 求極限:

(1) lim

x→∞sin x, (2) lim

x→∞sin¹_x, (3) lim

x→∞

sin x x 。 三角函數的極限 定理 2.4.10. lim

θ→0 sin θ

θ = 1 (θ 取弳度) 。 例 2.4.11. 求 lim

θ→0 sin 2θ

3θ 。 例 2.4.12. 求 lim

x→0x cot x。 例 2.4.13. 求極限:

(1) lim

θ→0

sin(θ−1) θ−1 , (2) lim

θ→1

sin(θ−1) θ−1 , (3) lim

θ→1

sin(θ−1)² θ−1 。 例 2.4.14. 求極限:

(1) lim

θ→0 cos θ−1

θ , (2) lim

θ→0 cos θ−1

θ² 。 例 2.4.15. 求 lim

x→0tan x sin_x¹。 例 2.4.16. 求極限:

(1) lim

x→1(1− x) tan^π₂x,

第 2 章 極限 2.4 極限的性質 (2) lim

θ→^π₂

sec θ−tan θ θ−^π2 。

[習題] 2.4.17. Find the limit.

(a) lim

x→0 sin 4x sin 6x, (b) lim

t→0 tan 6t

sin 2t, (c) lim

θ→0 sin θ θ+tan θ, (d) lim

x→^π₄

1−tan x sin x−cos x, (e) lim

x→1

sin(x−1) x²+x−2. 綜合例題

例 2.4.18. 求極限:

(1) lim

x→1 1

x−1{_x+3¹ − _3x+5² } , (2) lim

x→27

√1+√³x−2 x−27 , (3) lim

x→0

√1+x−√ 1−x

√3

1+x−√³ 1−x 。 例 2.4.19. 求極限:

(1) lim

x→∞(√

x²+ 1− x), (2) lim

x→0

√1+x⁴−√³ 1−2x⁴ x(1−cos x) tan(sin x), (3) lim

x→−∞(√

x²+ x−√

x²− x) 。 例 2.4.20. (1) 求 lim

x→−∞

146√

|x|

√7

10⁷+√³

10³+√⁷ x+10⁷ 。 (2) 令 f(x) = ^√9x_x+4²⁺¹。

求 lim

x→∞f (x) 及 lim

x→−∞f (x) 。 例 2.4.21. 令 f(x) = _|x|−x^|x|−x3。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→1f (x), lim

x→−1f (x)。 例 2.4.22. (1) 令 f(x) = (3^x+ 4^x+ 5^x)^x1。

求 lim

x→∞f (x), lim

x→−∞f (x), lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x)。 (2) 令 f(x) = ^{3x1−3− 1x}

3^x1+3^{− 1x}。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→∞f (x) , lim

x→−∞f (x)。

第 2 章 極限 2.4 極限的性質 例 2.4.23. (a) lim

x→2⁻bx + bx + bxccc, (b) lim

x→2⁺bx + bx + bxccc 。 例 2.4.24. 令 f(x) = ^bxc_x 。 求 lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→∞f (x), lim

x→−∞f (x), lim

x→1⁺f (x), lim

x→1⁻f (x)。 例 2.4.25. 令 f(x) = ^bx2_x^c−bxc2−1 ² 。

求 lim

x→1⁺f (x), lim

x→1⁻f (x), lim

x→−1⁺f (x), lim

x→−1⁻f (x), lim

x→0⁺f (x), lim

x→0⁻f (x), lim

x→∞f (x) 。 例 2.4.26. (1) 假設 lim

x→0

√ax+b−2

x = 1, 求 a, b 之值。

(2) 假設 lim

x→−∞(ax−√

4x²+ bx + 1) = 3,求 a, b 之值 。 [習題] 2.4.27. Determine the limit.

(a) lim

x→5⁻ e^x (x−5)³, (b) lim

x→3⁺ln(x²− 9), (c) lim

x→2π⁻x csc x, (d) lim

x→2⁺

x²−2x−8 x²−5x+6.

[習題] 2.4.28. Determine the limit.

(a) lim

x→−1

2x²+3x+1 x²−2x−3, (b) lim

u→2

√4u+1−3 u−2 , (c) lim

t→0

√1+t−√ 1−t

t ,

(d) lim

t→0(_t√¹

1+t − ¹_t), (e) lim

h→0

1 (x+h)2−_x2¹

h ,

(f) lim

x→0⁺(¹_x − _|x|¹ ), (g) lim

x→2

√6−x−2

√3−x−1, (h) lim

x→2(bxc + b−xc).

[習題] 2.4.29. Let f (x) = ^x2_|x−2|^+x−6. (a) Find (i) lim

x→2⁺f (x), (ii) lim

x→2⁻f (x).

(b) Does lim

x→2f (x) exist?

第 2 章 極限 2.5 漸近線 [習題] 2.4.30. Is there a number a such that lim

x→−2

3x²+ax+a+3

x²+x−2 exists? If so, find a and the value of the limit.

[習題] 2.4.31. Find the limit, if it exists.

(a) lim

t→∞

t−t√ t 2t³²+3t−5, (b) lim

x→∞

√9x⁶−x x³+1 , (c) lim

x→−∞

√9x⁶−x x³+1 , (d) lim

x→−∞(x +√

x²+ 2x), (e) lim

x→∞(√

x²+ ax−√

x²+ bx), (f) lim

x→∞

e^3x−e^−3x e^3x+e^−3x, (g) lim

x→∞(e^−2xcos x), (h) lim

x→0⁺tan⁻¹(ln x).

2.5 漸近線(Asympotes)

定義 2.5.1. (1) 若 lim

x→∞f (x) = b 或 lim

x→−∞f (x) = b, 則 y = b 稱為 y = f(x) 之 水平漸近線。

(2) 若 lim

x→a⁺f (x) =±∞ 或 lim

x→a⁻f (x) =±∞, 則 x = a 稱為 y = f(x) 之垂直漸近線。

(3) 若 lim

x→±∞|f(x) − (mx + b)| = 0, 則 y = mx + b 稱為 y = f(x) 的斜漸近線 (Oblique Asymptote)。

註 2.5.2.斜漸近線之求法: 先求 m = lim

x→±∞

f (x)

x ,若 m 存在, 且 m 6= 0, 再求 b = lim

x→±∞(f (x)− mx)。

例 2.5.3. 求以下函數的漸近線:

(1) y = _5x^3x2²+4x+1^−x−2 , (2) y = ^x_2x²⁻³₋₄ , (3) f (x) = ^√_3x^2x₋₅²⁺¹ 。

例 2.5.4. 求以下函數的漸近線:

(1) f (x) = sin_x¹ + 2.

(2) y = 2 + ^{sin x}_x 。

[註] 漸近線可能與曲線交無限多個點 。

第 2 章 極限 2.6 連續性

例 2.5.5. 討論 y = tan x 及 y = sec x 的漸近線。

例 2.5.6. 求 y = e^x 及 y = ln x 的漸近線。

[習題] 2.5.7. Find all asymptotes of y = _3x^x_−2x²⁺¹2. [習題] 2.5.8. Find all the asymptotes of each curves.

(a) y = _x^1+x2−x⁴⁴, (b) y = _x2^x−6x+5^3−x ,

(c) y = ^√_3x^2x₋₅²⁺¹.

2.6 連續性(continuity)

定義

定義 2.6.1. 若 y = f(x) 滿足以下三條件: (i) f(a) 有定義。 (ii) lim

x→af (x) 存在。 (iii)

xlim→af (x) = f (a) , 則稱 f(x) 在點 a 連續。

註 2.6.2. (1) f (x) 在 x = a 連續, 若且唯若 lim

x→af (x) = f (lim

x→ax)。 (2) “連續”是局部性概念。

註 2.6.3. 不連續有以下幾類, 如圖

(1) 可除性不連續 (removable discontinuity), 可重新定義 f(x) 在不連續點之值, 以去除此點之 不連續性,

(2) 跳動性不連續 (jump discontinuity), (3) 無限不連續 (infinite discontinuity), (4) 振盪不連續 (oscilating discontinuity)。

例 2.6.4. 以下函數在哪些點不連續?

(1) f (x) = ^x2_x^−x−2₋₂ , (2) f (x) =

½ ₁

x² if x6= 0;

1 if x = 0, (3) f (x) =

½ _x2−x−2

x−2 if x6= 2;

1 if x = 2, (4) f (x) =bxc。

定義 2.6.5. (1) 若 f(x) 在一區間 I 在每一點連續, 則稱它在 I 上連續。

(2) 若 f(x) 在其定義域上每一點連續, 則稱其為連續函數 (continuous function) 。

第 2 章 極限 2.6 連續性

五則運算的連續性

定理 2.6.6. (1) 若 f 及 g 在 x = a 連續, 則 f + g, f − g, f · g, kf, f^α,^f_g (若 g(a) 6= 0 ) 均在 x = a 連續。

(2) 若 f 在 x = a 且 g 在 f(a) 連續, 則 g ◦ f 在 x = a 連續。

定理 2.6.7. 若 g(x) 在 x = b 連續且 lim

x→af (x) = b, 則 lim

x→ag(f (x)) = g(lim

x→af (x)) = g(b)。 定理 2.6.8. (1) 多項式函數, 有理函數, 羃次函數均為連續函數。

(2) 三角函數, 反三角函數均為連續函數。

(3) 指數函數, 對數函數均為連續函數。

例題

例 2.6.9. 求 lim

x→1sin⁻¹(₁¹_−x^−x2)。 例 2.6.10. 若 f(x) =

½ x + 1 if x < a;

x² if x ≥ a, 求a 使其連續。

例 2.6.11. 令 f(x) =

½ 1 x∈ Q;

0 x /∈ Q, 則f (x) 在每一點都不連續。

例 2.6.12. 令 f(x) =

½ x² x∈ Q;

x³ x /∈ Q, f (x) 在哪些點連續?

例 2.6.13. 求 c 之值使得 f(x) 成為連續函數, 其中 f (x) =

½ cx²+ 2x 若 x < 2, x³− cx 若 2 ≤ x 。 例 2.6.14. 令 f(x) = bxc + b−xc。

(a) 對哪些 a, lim

x→af (x) 存在?

(b) 在哪些點 f(x) 不連續?

[習題] 2.6.15. Find the numbers at which f (x) =





x + 1 x≤ 1

1

x 1 < x < 3

√x− 3 x≥ 3,

is discontin- uous.

[習題] 2.6.16. Find the values of a and b that make f (x) =





x²−4

x−2 x < 2 ax²− bx + 3 2≤ x < 3 2x− a + b x≥ 3, continuous everywhere.

[習題] 2.6.17. Which of the following functions f has a removable discontinuities at a?

(a) f (x) = ^x_x⁴₋₁⁻¹, a = 1;

(b) f (x) = ^x3−x_x−2^2−2x, a = 2;

(c) f (x) =bsin xc, a = π.

第 2 章 極限 2.7 中間值定理

2.7 中間值定理 (Intermediate Value Theorem)

定理 2.7.1. (中間值定理) 若 y = f(x) 在 [a, b] 上連續, 則對 f(a) 及 f(b) 間每一數均可取值。

即對任意介於 f(a) 及 f(b) 之間的 d, 皆存在 c ∈ [a, b], 使得 f(c) = d。

推論 2.7.2. (勘根定理) 若 f(x) 在 [a, b] 上連續, 且 f(a) 及 f(b) 異號, 則存在 c ∈ (a, b), 使得 f (c) = 0。

註. (1) 對不連續函數, 中間值定理不見得成立。

例: 令 f(x) =

½ x + 2 −1 < x ≤ 1,

x −2 ≤ x ≤ −1 。 此時 f (−2) < 0, f(1) > 0, 但 f(x) = 0 無解。

(2) 中間值定理只保證根的存在, 根的數目甚至可能有無限多。

例: 令 f(x) =

½ x sin¹_x x6= 0,

0 x = 0 。 在 [−_3π² ,²_π] 上有無限多個 x, 滿足 f(x) = 0 。 例 2.7.3. 證明方程式 4x³− 6x²+ 3x− 2 = 0 在 1, 2 之間有解。

例 2.7.4. 奇數次多項式方程式必有實根。

例 2.7.5. 證明曲線 y = x³ 與 y = 3x + 1 必相交。

例 2.7.6. (固定點定理) 令 f(x) 為 [0, 1] 對應到 [0, 1] 的連續函數, 則必存在 c ∈ [0, 1], 使得 f (c) = c 。

例 2.7.7. 平面上有界區域 K, 若其中任兩點的連線段仍在 K 中, 則稱為凸集合 (convex set) 。 現平面上有一直線 L 及一凸集合 K, 證明必存在一條與 L 平行之直線將 K 的面積二等分。

[習題] 2.7.8. Show that there is a root of the equation sin x = x²− x in the interval (1, 2) [習題] 2.7.9. A Tibetan monk leaves the monastery at 7:00 AM and takes his usual path to the top of the mountain, arriving at 7:00 PM. The following morning, he starts at 7:00 AM at the top and takes the same path back, arriving at the monastery at 7:00 PM.

Show that there is a point on the path that the monk will cross at exactly the same time of day on both days.