Linear Transformations

Chapter 2

Linear Transformations

在學習數學的過程中大家應該體會到函數的重要性. 在不同課程中我們討論的函數對 象都不同, 例如在微積分中我們有興趣於連續函數、可微函數; 而在群與環中我們有興趣於 group homomorphisms 及 ring homomorphisms. 在線性代數中我們有興趣的函數是希望能 保持 vector spaces 中的運算與作用, 也就是所謂的 linear transformations.

2.1. Definition and Basic Properties

Definition 2.1.1. 設 V,W 皆為 over F 的 vector spaces. 給定一個從 V 到 W 的函數 T : V → W, 若對所有 v1, v₂∈ V 以及 r ∈ F 皆有 T(rv1+ v₂) = rT (v₁) + T (v₂), 則稱 T 為 linear transformation (或 linear mapping) from V to W .

有時候我們會簡稱為 T is F-linear. 另外我們用L (V,W) 表示所有從 V 到 W 的 linear transformations 所成之集合.

Question 2.1. 你看得出來 T is F-linear 等價於對所有 v, v^′∈ V 以及 r ∈ F 皆有 T(v+v^′) = T (v) + T (v^′) 以及 T (rv) = rT (v) 嗎?

接著我們將介紹一些有關於 linear transformation 的基本性質, 由於 linear transforma- tion 可能牽涉到不同 vector spaces, 我們用 O_V 來表示 V 的加法單位元素.

Proposition 2.1.2. 若 T : V → W 為一個 linear transformation, 則 (1) T (O_V) = O_W

(2) 對所有 v∈ V 皆有 T(−v) = −T(v).

Proof.

(1) 由 T (OV) = T (OV+ OV) = T (OV) + T (OV), 可得 T (O_V) = OW.

(2) 若 v∈ V, 則由 OW = T (v + (−v)) = T(v) + T(−v) 得證 T(−v) = −T(v).

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我們可以利用一些 linear transformations 創造新的 linear transformation. 若 T, T^′ 皆 為 V 到 W 的 linear transformations, 我們定義一個新的 V 到 W 的函數 T + T^′: V → W 為對任意 v∈ V, (T + T^′)(v) = T (v) + T^′(v). 給定 r∈ F , 我們也可定義一個新的 V 到 W 的函數 rT : V → W 為對任意 v ∈ V, (rT)(v) = rT(v). 事實上這樣建構的新函數仍為 linear transformation.

Proposition 2.1.3. 若 T, T^′ 皆為 V 到 W 的 F-linear transformations 且 r∈ F , 則 T +T^′ 以及 rT 皆為 V 到 W 的 F-linear transformations.

Proof. 對於任意 v₁, v₂∈ V 以及 s ∈ F, 皆有 (T + T^′)(sv₁+ v₂) = T (sv₁+ v₂) + T^′(sv₁+ v₂) 由於 T, T^′ 為 F-linear, 故有 T (sv₁+ v2) + T^′(sv1+ v2) = sT (v1) + T (v2) + sT^′(v1) + T^′(v2) = s(T (v₁) + T^′(v₁)) + (T (v₂) + T^′(v₂)). 亦即 (T + T^′)(sv₁+ v₂) = s(T + T^′)(v₁) + (T + T^′)(v₂).

同 理 (rT )(sv₁+ v2) = rT (sv1+ v2) = rsT (v1) + rT (v2) = s(rT (v1)) + rT (v2) = s(rT )(v1) +

(rT )(v₂). 

Question 2.2. 考 慮 所 有 從 V 到 W 的 linear transformations 所 成 之 集 合 L (V,W), Proposition 2.1.3 是不是告訴我們L (V,W) 是一個 vector space over F?

其實給定兩個 F-spaces V,W , 我們很容易建構出一個從 V 到 W 的 linear transformation.

下一個 Theorem 說的是所有 V 到 W 的 linear transformations 我們都可以完全掌握.

Theorem 2.1.4. 假設 {v1, . . . , v_n} 是 V 的一組 basis, 給定任意 w1, . . . , w_n∈ W, 存在一個 唯一的 F-linear transformation T : V → W 滿足 T(vi) = wi, ∀i ∈ {1,...,n}.

Proof. 證明存在性: 也就是說我們要找到一個 T ∈ L (V,W) 滿足 T(vi) = wi. 定義 T : V → W , 滿足對所有 v = c₁v₁+···+cnv_n∈ V, T(v) = c1w₁+···+cnw_n.由於{v1, . . . , v_n} 是 V 的一 組 basis, T 是一個從 V 到 W 的 well-defined function. 又 T 滿足 T (v_i) = w_i, 所以我們僅剩 下證明 T 為 F-linear. 對任意 v =∑ⁿi=1c_iv_i, v^′=∑ⁿi=1d_iv_i∈ V 以及 r ∈ F, 我們有 T(rv+v^′) = T (∑ⁿi=1(rc_i+ d_i)v_i) =∑ⁿi=1(rc_i+ d_i)w_i; 另一方面 rT (v) + T (v^′) = rT (∑ⁿi=1c_iv_i) + T (∑ⁿi=1d_iv_i) = r∑ⁿi=1ciw_i+∑ⁿi=1diw_i, 利用 vector space 的運算性質, 我們得 T (rv + v^′) = rT (v) + T (v^′).

證明唯一性: 我們要證明若 T^′: V → W 亦為 F-linear 且滿足 T^′(vi) = wi,∀i ∈ {1,...,n}, 則 T = T^′. 亦即證明 T (v) = T^′(v),∀v ∈ V. 然而對任意 v = ∑ⁿi=1c_iv_i∈ V, 依 T 的定義 T(v) =

∑ⁿi=1ciw_i, 而依 T^′ 是 F-linear 可得 T^′(v) 亦為 ∑ⁿi=1ciT (vi) =∑ⁿi=1ciw_i, 故得證 T = T^′.  Theorem 2.1.4 告訴我們, 給定一個 linear transformation T : V → W, 若能找到一組 basis S 讓我們知道對所有的 u∈ S, T(u) 為何, 則對所有 v ∈ V, 便可知 T(v) 為何了! 例 如 T_θ :R² → R² 為將 R² 上任一組向量 (x, y) 以原點 (0, 0) 為圓心逆時針繞 θ 角所得 的向量. T_θ((x, y)) 是甚麼向量呢? 由於將向量 (1, 0) = (cos 0, sin 0) 以 (0, 0) 為圓心繞 θ 角後依定義所得向量為 (cosθ,sinθ), 所以我們得到 Tθ((1, 0)) = (cosθ,sinθ). 同理 (0,1) = (cos(π/2),sin(π/2)), 故得 Tθ((0, 1)) = (cos((π/2)+θ),sin((π/2)+θ)) = (−sinθ,cosθ). 故知 T_θ((x, y)) = T_θ(x(1, 0) + y(0, 1)) = xT_θ((1, 0)) + yT_θ((0, 1)) = x(cosθ,sinθ) + y(−sinθ,cosθ) = (x cosθ − ysinθ,xsinθ + ycosθ). 不過要注意, 這個方法僅對 linear transformation 才成立,

2.2. Image and Kernel 25

所以要用這個方法處理函數的取值, 須先檢驗這個函數是 linear transformation 才行. 也就 是說在上面的例子, 我們要先知道 T_θ 是 linear transformation (請自行驗證), 才可利用此法 得到 T_θ((x, y)) = (x cosθ − ysinθ,xsinθ + ycosθ).

Question 2.3. 若 T :R² → R² 是 一 個 linear transformation, 滿 足 T ((1, 2)) = (2, 1), T ((2, 4)) = (4, 2) 是否可得 T ((x, y)) = (y, x)? 又若 T^′:R²→ R² 是一個 linear transfor- mation, 滿足 T^′((1, 2)) = (2, 1), T^′((2, 1)) = (1, 2) 是否可得 T^′((x, y)) = (y, x)?

Question 2.4. 假設 V,W 為 F-spaces 且 v₁, . . . , v_n 為 V 的一組 basis 以及 w₁, . . . , w_m為 W 的一組 basis. 對於 1≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n 考慮 Ti j∈ L (V,W) 滿足 Ti j(v_j) = w_i 且 T_{i j}(v_k) = O_W for k̸= j. 試證明 {Ti j| 1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n} 是 L (V,W) 的一組 basis, 並依此得證若 V,W 為 finite dimensional vector spaces 則 dim(L (V,W)) = dim(V)dim(W).

當一個函數的對應域剛好是另一個函數的定義域時, 我們可以將之合成為一個新的函數.

下一個 Proposition 告訴我們 linear transformations 的合成仍為 linear transformation.

Proposition 2.1.5. 若 T₁: V → W, T2 : W → U 皆為 F-linear, 則 T2◦ T1: V → U 亦為 F-linear.

Proof. 對於任意 v, v^′∈ V 以及 r ∈ F, 考慮 T2◦T1(rv + v^′) = T2(T1(rv + v^′)).因 T₁為 F-linear, 故知 T₁(rv + v^′) = rT₁(v) + T₁(v^′)再由 T₂為 F-linear 得 T₂◦T1(rv + v^′) = T₂(rT₁(v) + T₁(v^′)) = rT2(T₁(v)) + T₂(T₁(v^′)) = rT₂◦ T1(v) + T₂◦ T1(v^′).  Question 2.5. 設 T, T^′ 皆 為 V 到 W 的 F-linear transformations, T^′′ 為 W 到 U 的 F-linear transformation. 是 否 T^′′◦ (T + T^′) = T^′′◦ T + T^′′◦ T^′? 又 對 任 意 r∈ F 是否 r(T^′′◦ T) = (rT^′′)◦ T = T^′′◦ (rT)?

2.2. Image and Kernel

Linear transformation 既然保持了 vector spaces 的運算, 可以理解它應該也會 “保持”

subspaces. 首先我們定義一些符號, 給定一函數 f : S1→ S2. 若 S^′₁⊆ S1, 我們定 f (S^′₁) ={ f (s) | s ∈ S^′1}.

注意 f (S^′₁)會是 S₂ 的一個 subset, 稱之為 the image of S^′₁ under f ; 另一方面若 S₂^′ ⊆ S2, 令 f⁻¹(S₂^′) ={s ∈ S1| f (s) ∈ S^′2}.

注意 f⁻¹(S^′₂)會是 S₁ 的一個 subset, 稱之為 the preimage of S^′₂ under f .

Question 2.6. Image 和 preimage 是否為 inclusion-preserving? 也就是說一個函數 f : S₁→ S2, 若 S^′′₁⊆ S^′₁⊆ S1 是否可得 f (S^′′₁)⊆ f (S^′₁)? 若 S^′′₂⊆ S^′₂⊆ S2, 是否可得 f⁻¹(S^′′₂)⊆ f⁻¹(S^′₂)?

Question 2.7. 假設 f : S₁→ S2 為一個函數, 且 S^′₁, S^′′₁⊆ S1 以及 S^′₂, S^′′₂⊆ S2. 下列哪些是正 確的?

(1) f (S^′₁∩ S^′′₁) = f (S^′₁)∩ f (S^′′₁).

(2) f (S^′₁∪ S^′′₁) = f (S^′₁)∪ f (S^′′₁).

(3) f⁻¹(S^′₂∩ S^′′₂) = f⁻¹(S^′₂)∩ f⁻¹(S^′′₂).

(4) f⁻¹(S^′₂∪ S^′′₂) = f⁻¹(S^′₂)∪ f⁻¹(S^′′₂).

下面我們便是說 linear transformation 確實保持 subspace 的性質.

Lemma 2.2.1. 設 T : V → W 為一個 linear transformation.

(1) 若 V^′ 為 V 的 subspace, 則 T (V^′) 為 W 的 subspace.

(2) 若 W^′ 為 W 的 subspace, 則 T⁻¹(W^′) 為 V 的 subspace.

Proof. 依定義已知 T (V^′)⊆ W 且 T⁻¹(W^′)⊆ V, 所以我們可利用 Proposition 1.2.1 來證明.

(1) 首先 OV ∈ V^′ (因 V^′ 是 subspace), 故由 Proposition 2.1.2 (1) 知 O_W = T (OV)∈ T (V^′). 再來對所有的 w₁, w₂ ∈ T(V^′) 及 r, s∈ F , 依定義存在 v1, v₂∈ V^′ 使得 w₁= T (v1), w2= T (v2). 故考慮 v = rv₁+ sv2∈ V^′, 可得 rw1+ sw2= T (v)∈ T(V^′), 得證 T (V^′) 是 W 的 subspace.

(2) 因 O_W ∈ W^′ 故由 T (O_V) = O_W ∈ W^′ 得 O_V ∈ T⁻¹(W^′). 再來對所有的 v₁, v₂ ∈ T⁻¹(W^′) 及 r, s∈ F, 依定義 T(v1)∈ W^′ 且 T (v₂)∈ W^′ . 故由 W^′ 是 W 的 subspace 得 T (rv₁+ sv2) = rT (v1) + sT (v2)∈ W^′, 亦即 rv1+ sv2∈ T⁻¹(W^′),得證 T⁻¹(W^′)是 V 的 subspace.

 特別的, 我們對 V^′= V 以及 W^′={OW} 的情形有興趣, 因此特別給予以下定義.

Definition 2.2.2. 設 T : V → W 為一個 linear transformation.

(1) T (V ) 稱為 the image (or range) of T , 我們用 Im(T ) 來表示.

(2) T⁻¹({OW}) 稱為 the kernel (or null-space) of T, 我們用 Ker(T) 來表示.

由 Lemma 2.2.1 知 Im(T ) 是 W 的 subspace, 而 Ker(T ) 為 V 的 subspace.

Question 2.8. 由 image 和 preimage 為 inclusion-preserving 我們知 Im(T ) = T (V ) 是所 有 subspaces 的 image 中最大的 subspace, 而 Ker(T ) = T⁻¹({OW}) 是所有 subspaces 的 preimage 中最小的. 為何不去探討 T ({OV}) 以及 T⁻¹(W ) 呢?

給定一個函數, 我們有興趣的是這個函數是否為映成 (onto) 或是一對一 (one-to-one).

Im(T ) 和 Ker(T ) 之所以重要是因為在 T 為 linear transformation 的情形, 我們可以用 Im(T ) 和 Ker(T ) 來判斷 T 是否為映成或一對一, 事實上我們有以下之結果.

Proposition 2.2.3. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation.

(1) T 為映成若且唯若 Im(T ) = W . (2) T 為一對一若且唯若 Ker(T ) ={OV}.

2.2. Image and Kernel 27

Proof. 我們已知 Im(T )⊆ W 以及 {OV} ⊆ Ker(T), 所以事實上 (1) 我們僅需考慮 W ⊆ Im(T) 的部分, 同理 (2) 我們僅需考慮 Ker(T )⊆ {OV} 的部分.

(1) T 為 onto, 表示對所有 w∈ W, 皆存在 v ∈ V 使得 T(v) = w, 亦即 w ∈ T(V) = Im(T).

得證 W ⊆ Im(T), 故得 W = Im(T). 反之, 由 W ⊆ Im(T) 可知每一個 w ∈ W 皆在 Im(T ) 中, 亦即存在 v∈ V 使得 w = T(v), 故知 T 為 onto.

(2) T 為 one-to-one, 表示 V 中唯一滿足 T (v) = OW 的 v 應為 O_V (因已知 T (OV) = O_W). 故若 v∈ Ker(T), 表示 T(v) = OW, 得 v = O_V. 證得 Ker(T ) ={OV}. 反 之, 假設 Ker(T ) ={OV}. 若 v1, v2∈ V 滿足 T(v1) = T (v2), 則由 T 為 linear 得 T (v₁−v2) = O_W, 亦即 v₁−v2∈ Ker(T) = {OV}. 故得 v1= v₂, 得證 T 為 one-to-one.

 從 Proposition 2.2.3 的證明可以看出, 並不需用到 T 是 linear 的假設來證明 T 是 onto 和 Im(T ) = W 為等價的; 不過 T 是 one-to-one 和 Ker(T ) ={OV} 為等價的就需要 T 為 linear 的假設了. 所以對一般函數 f , 除非先知道 f 是 linear 不能用 f⁻¹({0}) = {0} 來判斷

f 是否為 one-to-one.

既然 image 和 kernel 這麼重要, 我們當然要去了解它們. 由下一個 Lemma 我們了解到 image 和 spanning set 有關而 kernel 就和 linear independency 相關.

Lemma 2.2.4. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation, 且 S,S^′ 為 V 的 subsets.

(1) T (Span(S)) = Span(T (S)). 特別的, 若 S 是 V 的 spanning set, 則 T (S) 是 Im(T ) 的 spanning set.

(2) 若 S^′ 為 linearly independent 且 Span(S^′)∩ Ker(T) = {OV}, 則 T(S^′) 亦為 linearly independent.

Proof.

(1) 依定義 S⊆ Span(S), 故得 T(S) ⊆ T(Span(S)). 然而 Span(S) 是 V 的 subspace, 故 由 Lemma 2.2.1 知 T (Span(S)) 是 W 的 subspace. 也就是說 T (Span(S)) 是一個包 含 T (S) 的 subspace. 又因為 Span(T (S)) 是 W 中包含 T (S) 最小的 subspace (參見 Proposition 1.3.3), 故得 Span(T (S))⊆ T(Span(S)). 另一方面, 若 w ∈ T(Span(S)) 表 示存在 c₁, . . . , c_n∈ F 以及 v1, . . . , v_n∈ S 使得 w = T(c1v₁+··· + cnv_n). 因此由 T 為 linear 知 w = c1T (v1) +··· + cnT (vn)∈ Span(T(S)). 故得 T(Span(S)) ⊆ Span(T(S)), 因而證得 T (Span(S)) = Span(T (S)).

最後若 S 是 V 的 spanning set, 即 Span(S) = V . 套用前面結果, 可得 Span(T (S)) = T (Span(S)) = T (V ) = Im(T ).

(2) 首先我們說明依假設 T (S^′) 中的元素皆相異. 否則若存在 v, v^′∈ S^′ 且 v, v^′ 相異使 得 T (v) = T (v^′),可得 T (v− v^′) = O_W, 亦即 v− v^′∈ Ker(T). 然而 v − v^′∈ Span(S^′),

故由假設知 v− v^′∈ Span(S^′)∩ Ker(T) = {OV} 推得 v = v^′ 之矛盾. 故知 T (S^′) 中的 元素必相異.

現利用反證法設 T (S^′) 為 linearly dependent, 表示存在 v₁, . . . , vn∈ S^′ 皆相異 且 c₁, ..., c_n∈ F 皆不為 0 使得 c1T (v₁) +··· + cnT (v_n) = O_W. 利用 T 為 linear 得 T (c1v₁+··· + cnv_n) = OW, 亦即 c1v₁+··· + cnv_n∈ Ker(T). 然而 c1v₁+··· + cnv_n∈ Span(S^′), 故由 Span(S^′)∩ Ker(T) = {OV}, 得 c1v₁+··· + cnv_n= O_V. 此與 S^′ 為 linearly independent 相矛盾, 故得 T (S^′) 為 linearly independent.

 Lemma 2.2.4 (1) 告訴我們當 T : V → W 是一個 linear transformation, 若 V 為 finite dimensional F-space, 則 Im(T ) 亦為 finite dimensional F-space.

Question 2.9. 假設 T : V → W 是一個 linear transformation. 若 V 為 finite dimensional F-space, 可否得 dim(Im(T ))≤ dim(V)? 又若已知 dim(W) > dim(V) 是否可確定 T 是否為 映成的?

以下我們將利用 V 的一組 basis 得到 Im(T ) 的一組 basis.

Theorem 2.2.5. 假設 T : V → W 是一個 linear transformation. 若 S0 為 Ker(T ) 的一組 basis 且 S₀∪ S 為 V 的一組 basis, 則 T(S) 為 Im(T) 的一組 basis.

Proof. 證明 T (S) 為 Im(T ) 的 spanning set: 因 S0∪ S 為 V 的 spanning set, 由 Lemma 2.2.4 (1) 知 T (S₀∪S) 為 Im(T) 的 spanning set. 由於 S0∈ Ker(T) 故得 T(S0) ={OW}. 但由 於 T (S₀∪ S) = T(S0)∪ T(S) = {OW} ∪ T(S), 故由 {OW} ⊆ Span(T(S) (利用 Corollary 1.3.4) 知 Span(T (S)) = Span({OW} ∪ T(S)) = Span(T(S0∪ S)) = Im(T).

證明 T (S) 為 linearly independent: 因 S₀∪ S 為 linearly independent 且 S0 為 linearly independent, 由 Corollary 1.4.4 知 S 為 linearly independent 且 Span(S)∩Ker(T) = Span(S)∩

Span(S0) ={OV}. 故由 Lemma 2.2.4 (2) 知 T(S) 為 linearly independent.  特別的, 當 V 為 finite dimensional vector space, 我們可計算 V , Ker(T ) 以及 Im(T ) 之 間 dimension 的關係.

Corollary 2.2.6 (Dimension Theorem). 若 V 為一個 finite dimensional F-space 且 T : V → W 是一個 linear transformation, 則

dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T )).

Proof. 首 先 利 用 Theorem 1.5.10 找 到 Ker(T ) 的 一 組 basis S₀ ={v1, . . . , v_m}, 再利用 Theorem 1.5.11 找到 S ={vm+1, . . . , v_n} 使得 S0∪ S = {v1, . . . , v_m, v_m+1, . . . , v_n} 為 V 的一組 basis. Theorem 2.2.5 告訴我們 {T(vm+1), . . . , T (vn)} 為 Im(T) 的一組 basis, 故知 n − m = dim(Im(T )), 得證 dim(V ) = n = m + (n− m) = dim(Ker(T)) + dim(Im(T)). 

2.3. Isomorphism 29

當 V 為 finite dimensional vector space 且 T : V → W 是一個 linear transformation, dim(Im(T )) 一 般 也 稱 為 the rank of T , 而 dim(Ker(T )) 也 稱 為 the nullity of T . 所 以 Dimension Theorem 也有人稱為 Rank Theorem: rank of T + nullity of T = dim(V ).

Question 2.10. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation. 若 V 為 finite dimensional F-space, 若已知 dim(W ) < dim(V ) 是否可確定 T 是否為一對一的?

2.3. Isomorphism

Linear transformation 將兩個 vector spaces 關連起來. 如果兩個 vector spaces 間可找 到一個一對一且映成的 linear transformation, 我們便認為這兩個 vector spaces 有相同的結 構, 稱它們為 isomorphic. 這一節中我們主要便是要探討幾個有關 isomorphism 的重要性 質.

Definition 2.3.1. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation. 若 T 為 one-to-one and onto, 則稱 T 為一個 isomorphism. 此時我們稱 V 和 W 為 isomorphic 且用 V ≃ W 來表示.

由 Proposition 2.2.3 我 們 知 T : V → W 為 isomorphism 若且唯若 Im(T) = W and Ker(T ) ={OV}. 所以當 T 為 isomorphism 時, 若 S 為 V 的一組 basis, 由 Span(T(S)) = T (Span(S)) = T (V ) = Im(T ) = W 得 T (S) 為 W 的 spanning set. 又因 T 為 one-to-one 知 T (S) 中的元素皆相異 (即若 v, v^′∈ S 且 v ̸= v^′, 則 T (v)̸= T(v^′)), 再由 Lemma 2.2.4 知 T (S) 為 linearly independent, 故 T (S) 為 W 的一組 basis. 反之, 若 T (S) 中的元素皆相異且 T (S) 為 W 的一組 basis, 由 Span(T (S)) = W , 得 Im(T ) = W . 另一方面, 若 v∈ Ker(T), 由於 S 為 V 的 一組 basis, 存在 v₁, . . . , v_n∈ S 皆相異, c1, . . . , c_n∈ F 使得 v = c1v₁+··· + cnv_n. 由此得 O_W = T (c1v₁+···+cnv_n) = c₁T (v1) +···+cnT (vn). 但 T (S) 為一組 basis 且 T (v₁), . . . , T (v_n)∈ T(S) 皆相異故由 T (v₁), . . . , T (vn) 為 Linearly independent 得 c₁, . . . , cn 皆為 0. 因此知 v = OV, 即 Ker(T ) ={OV}. 綜合以上, 我們有以下之結論.

Proposition 2.3.2. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation 且 S 為 V 的一組 basis.

則 T 是 isomorphism 若且唯若 T (S) 中的元素皆相異且 T (S) 為 W 的一組 basis.

Question 2.11. Proposition 2.3.2 中為何要強調 T (S) 中元素皆相異?

當 V 為 finite dimensional vector space 時, 我們有以下很好之結果.

Corollary 2.3.3. 假設 V,W 皆為 F-spaces 且 V 為 finite dimensional F-space. 則 V ≃ W 若且唯若 dim(V ) = dim(W ).

Proof. V≃ W 表示存在一個 isomorphism T : V → W, 因此由 Proposition 2.3.2 知 W 亦為 finite dimensional F-space 且 dim(W ) = dim(V ). 反之, 若 W 為 finite dimensional F-space 且 dim(W ) = dim(V ) = n, 可任取 V 的一組 basis{v1, . . . , v_n} 以及 W 的一組 basis {w1, . . . , w_n}, 利用 Theorem 2.1.4 知存在一個 linear transformation T : V → W 滿足 T(vi) = w_i, ∀i ∈ {1,...,n}. 由於 {T(v1) . . . , T (vn)} = {w1, . . . , wn} 為 W 的一組 basis, 由 Proposition 2.3.2 知

T 為 isomorphism, 得證 V ≃ W. 

Corollary 2.3.3 告訴我們考慮 finite dimensional vector spaces 間是否 isomorphic 是個 簡單的問題, 只要看它們的 dimension 是否相同即可. 底下我們介紹幾個 isomorphism 的定 理, 事實上在 finite dimension 的情形確實可以很簡單的利用 dimension 來證得. 不過這些 定理在一般狀況之下也成立, 雖然我們不會去談 infinite dimensional vector space, 不過利用 linear transformation 的性質來證明這些 isomorphism 更能讓我們了解這些 vector spaces 間的關係, 所以我們還是不假設 finite dimensional 的情形, 選擇不用 dimension 的方法來證 明這些定理 (不過大家可以利用 dimension 來驗證這些定理的正確性).

當一個函數 f 是一對一且映成時, 我們知其反函數 f^◦−1 是存在的, 但當 f 是 linear transformation 時其反函數 f^◦−1 是否也是 linear transformation? 以下我們便是回答這個 問題. 要注意, 在這裡因為要避免和 preimage 的符號相混淆, 我們用 f^◦−1 來表示 f 的反函 數.

Proposition 2.3.4. 假 設 T : V → W 為一個 isomorphism, 則 T 的 inverse (反函數) T^◦−1: W→ V 亦為 isomorphism.

Proof. T 為 one-to-one and onto, 故其 inverse T^◦−1 亦為 one-to-one and onto. 所以我 們僅 要 證 明 T^◦−1 為 W 到 V 的 linear transformation 即 可. 任取 w, w^′∈ W, 由 T 為 isomorphism 知 存 在 唯 一 的 v, v^′ ∈ V 滿足 T(v) = w 且 T(v^′) = w^′. 依 inverse 的 定 義 T^◦−1(w) = v 且 T^◦−1(w^′) = v^′. 對任意 r∈ F, 要證明 T^◦−1 為 linear transformation, 即要 證明 T^◦−1(rw + w^′) = rT^◦−1(w) + T^◦−1(w^′) = rv + v^′. 然而依 T 為 linear, 可得 T (rv + v^′) = rT (v) + T (v^′) = rw + w^′. 故再依 inverse 之定義得 T^◦−1(rw + w^′) = rv + v^′, 得證 T^◦−1: W→ V

為 linear transformation, 故為 isomorphism. 

Question 2.12. Vector spaces 之間的 isomorphic 是否為一個 equivalent relation?

Question 2.13. 當 V 是一個 finite dimensional vector space, 你能利用 Theorem 2.1.4 證 明 Proposition 2.3.4 嗎?

接下來我們將介紹大家在學習代數時已接觸過的幾個 Isomorphism Theorems. 首 先我們先看利用一個已知的 linear transformation 得到新的 linear transformation 的方 法. 假設 T : V → W 是一個 linear transformation 且 U 是一個 Ker(T) 的 subspace, 定義 T : V /U→ Im(T) 為 T(v) = T(v), ∀v ∈V/U. 首先我們先說明 T 是一個 well-defined function.

亦即, 若 v₁= v2 in V /U, 則需驗證 T (v1) = T (v2). 然而 v₁= v2, 表示 v1− v2∈ U ⊆ Ker(T), 故得 T (v₁− v2) = O_W, 亦即 T (v₁) = T (v₁) = T (v₂) = T (v₂). 另一方面, 對任意 v₁, v₂∈ V/U 以及 r∈ F,

T (rv₁+ v₂) = T (rv₁+ v₂) = T (rv₁+ v₂) = rT (v₁) + T (v₂) = rT (v₁) + T (v₂), 得知 T 是一個 linear transformation.

Theorem 2.3.5. 假設 T : V→ W 是一個 linear transformation 且 U 是一個 Ker(T) 的 sub- space, 則函數 T : V /U→ Im(T) 定義為 T(v) = T(v), ∀v ∈ V/U 是一個 linear transformation 且 Ker(T ) = Ker(T )/U 以及 Im(T ) = Im(T ).

2.3. Isomorphism 31

Proof. 前面已知, T 是一個 linear transformation. 現若 v∈ Ker(T), 依定義表示 OW = T (v) = T (v), 亦 即 v∈ Ker(T), 得證 v ∈ Ker(T)/U. 另一方面, 若 v ∈ Ker(T)/U, 表示 v∈ Ker(T), 故 T(v) = T(v) = OW, 得證 v∈ Ker(T). 故得 Ker(T) = Ker(T)/U. 最後依定義, 我們知 w∈ Im(T) 若且唯若存在 v ∈ V/U 使得 w = T(v) = T(v) 若且唯若 w ∈ Im(T). 得證

Im(T ) = Im(T ). 

特別地當 U = Ker(T ), 我們有以下的定理.

Corollary 2.3.6 (The First Isomorphism Theorem). 假設 T : V→ W 是一個 linear trans- formation 且 T : V /Ker(T )→ Im(T) 定義為 T(v) = T(v), 則 T 是一個 isomorphism, 即 得

V /Ker(T )≃ Im(T).

Proof. 因 T : V /Ker(T )→ Im(T) 為 linear transformation 滿足 Ker(T) = Ker(T)/Ker(T) = {OV} 且 Im(T) = Im(T), 故知 T 為 isomorphism 得證 V/Ker(T) ≃ Im(T).  Question 2.14. 當 V 為 finite dimensional vector space, 你 能 利 用 quotient space 的 dimension 性質以及 Dimension Theorem 證明 V /Ker(T )≃ Im(T) 嗎?

Theorem 2.3.6 之所以稱為 The First Isomorphism Theorem, 是因為可以利用它證得其 他的 Isomorphism Theorems.

Corollary 2.3.7 (The Second Isomorphism Theorem). 假設 V 為一個 vector space 且 U,W 為 V 的 subspaces. 則

(U +W )/U ≃ W/U ∩W.

Proof. 首先注意 U 為 U + W 的 subspace, 所以 (U + W )/U 為一個 vector space. 考慮 T : W→ (U +W)/U 定義為 T(w) = w, ∀w ∈ W. 很容易驗證 T 為一個 linear transformation.

接著我們要證明 Im(T ) = (U + W )/U 以及 Ker(T ) = U∩W, 便可由 Corollary 2.3.6 得證 (U +W )/U≃ W/U ∩W.

由於 Im(T )⊆ (U +W)/U, 我們僅要證明 Im(T) ⊇ (U +W)/U. 對於任意 v ∈ (U +W)/U, 由定義知存在 u∈ U,w ∈ W 使得 v = u + w. 由於 v − w = u ∈ U, 依定義知在 (U +W)/U 中 v = w. 因此我們有 v = w = T (w)∈ Im(T). 得證 Im(T) = (U +W)/U.

現若 w∈ Ker(T), 由於 T 的定義域為 W, 可知 w ∈ W. 又因 (U +W)/U 的加法單位元素 為 O, 其中 O 為 V 的加法單位元素, 得 O = T (w) = w. 亦即 w = w− O ∈ U, 故 w ∈ U ∩W, 得證 Ker(T )⊆ U ∩W. 反之, 若 w ∈ U ∩W 則因 w ∈ U, 得 w = O. 故 T(w) = w = O, 即

w∈ Ker(T), 得證 Ker(T) = U ∩W. 

從這裡我們可以看出, 只要定出一個好的 linear transformation 就可利用 the First Isomorphism Theorem, 得到好的 isomorphic 性質.

Corollary 2.3.8 (The Third Isomorphism Theorem). 假設 V 為一個 vector space 且 U,W 為 V 的 subspaces 滿足 U⊆ W. 則

(V /U )/(W /U )≃ V/W.

Proof. 首先注意, 由於 U⊆ W ⊆ V 且皆為 vector spaces, 故 V/U 以及 V/W 皆為 vector spaces. 現 考 慮 T : V → V/W, 定義為 T(v) = v, ∀v ∈ V. 很容易驗證 Ker(T) = W 且 Im(T ) = V /W . 故由 U ⊆ Ker(T) = W, 利用 Theorem 2.3.5, 知 T : V/U → V/W 為一個 linear transformation, 且 Im(T ) = Im(T ) = V /W 以及 Ker(T ) = Ker(T )/U = W /U. 因此利 用 Corollary 2.3.6 得 (V /U)/Ker(T )≃ Im(T), 即 (V/U)/(W/U) ≃ V/W.  Question 2.15. 當 V 為 finite dimensional vector space, 你能利用 dimension 來證明 the Second and Third Isomorphism Theorems 嗎?

Question 2.16. 假設 V 為一個 finite dimensional vector space 且 U,W 為 V 的 subspaces 滿足 U⊆ W ⊆ V. 我們知 dim(V/U) = dim(V) − dim(U),dim(V/W) = dim(V) − dim(W) 且 dim(W /U ) = dim(W )− dim(U). 也就是說 dim(V/U) − dim(V/W) = dim(W/U), 那我們可不 可以說 (V /U)/(V /W )≃ W/U?

2.4. The Matrix Connection

一個 vector space V , 若給定一組 basis 後, 由於 V 中的元素用這組 basis 都只有唯一 的表法, 所以我們可以將 V 中的元素用熟悉的向量坐標來表示. 另一方面, 一個 linear transformation, 只要給定 vector space 的 basis, 也可以被唯一確定. 所以我們很自然的會 將 linear transformation 和 matrix 相連結. 雖然大家以前可能僅接觸過 over R 或 over C 的 matrix. 不過關於 matrix 的運算性質的證明, 其實和 over 哪一個 field 是無關的, 所以這 裡我們假設大家已熟悉這些性質, 不會再去證明它們.

若 V 是一個 finite dimensional vector space 且給定 V 的一組 basis{v1, . . . , v_n}, 我們要 先將這些 v_i 的順序排定, 用β = (v1, . . . , v_n) 來表示這一組排好順序的 basis, 稱為 V 的一組 ordered basis. 所以要注意, 一組 basis 若將其元素重新排列, 那麼所排出的 ordered basis, 雖然看成集合的話元素皆相同, 但是因為順序不同, 我們將它們視為不同的 ordered basis.

也就是說若 β = (v1, . . . , vn),β^′= (v^′₁, . . . , v^′_n) 為 V 的 ordered bases, 則 β = β^′ 表示 v_i= v^′_i,

∀i = 1,...,n.

假設 dim(V ) = n, 給定 V 的一個 ordered basisβ 以後, 我們很自然的定出一個 V 到 Fⁿ的 linear transformationτ_β: V → Fⁿ, 其中對所有 v∈ V, 利用β 將 v 寫成 v = c1v₁+··· + cnv_n, 定義

τβ(v) =



 c1

... c_n



.

這裡我們將 Fⁿ 裡的元素寫成 column vector, 因為版面的關係有時會寫成 (c₁, . . . , c_n)^t (即將 row vector (c1, . . . , cn) 取轉置). 將 Fⁿ 裡的元素寫成 column vector 的原因是習慣性的問題, 主要是符合以後矩陣乘法的運算. 因為β 為 ordered basis, 很容易看出 τβ 是 well-defined,

2.4. The Matrix Connection 33

且是一個 isomorphism. 換言之, 對於 V 中的元素, 我們可以利用 τβ 將之置換成 Fⁿ 中的 一個 column vector. 同樣的對於 Fⁿ 中的 column vector, 我們可利用 τ_β^◦−1 將之還原成 V 中的元素. 這就是我們要選取 ordered basis 的主要目的, 可以利用一組 ordered basis 將 V 中的元素和 Fⁿ 中的 column vector 作一個一對一的置換且保持 vector space 中的運算.

這裡要強調的是, 在一般的情形要將 V 中的元素轉換成 Fⁿ 的元素 τ_β(v) 過程較麻煩 (可 能牽涉到解聯立方程組), 不過將 Fⁿ 中的 column vector (c₁, . . . , c_n)^t 轉換成 V 中的元素 τ_β^◦−1((c₁, . . . , c_n)^t) 就簡單多了, 它就是 c₁v₁+··· + cnv_n.

Example 2.4.1. 考慮 P₂(R) = {ax²+ bx + c| a,b,c ∈ R} 這一個 R-space, 以及它的一個 ordered basis β = (x², x + 1,−1). 因為 ax²+ bx + c = a(x²) + b(x + 1) + (b− c)(−1), 我們 可 得 τβ(ax²+ bx + c) = (a, b, b− c)^t. 例 如 τβ(x²+ x + 1) = (1, 1, 0)^t, 而 我 們 也 可 馬 上 知 τ_β^◦−1((1, 1, 0)^t) = 1(x²) + 1(x + 1) + 0(−1) = x²+ x + 1.

另 外 考 慮 P₁(R) = {ax + b | a,b ∈ R} 這一個 R-space, 以及它的一個 ordered basis β^′= (x− 1,x + 1). 解 ax + b = r(x − 1) + s(x + 1), 我們可得 r = (a − b)/2,s = (a + b)/2, 故 τβ^′(ax + b) = ((a− b)/2,(a + b)/2)^t.

Question 2.17. 在 Example 2.4.1 中若將 β,β^′ 改為 β = (−1,x + 1,x²),β^′= (x + 1, x− 1), 那麼τβ(ax²+ bx + c),τβ^′(ax + b) 會是什麼?

現 給 定 一 linear transformation T : V → W, 我們分別選定 V,W 上的 ordered basis β = (v1, . . . , vn),β^′= (w1, . . . , wm). 利用β,β^′, 我們可將 T 用一個 over F 的 m×n (m 個 row, n 個 column) 的矩陣來表示. 這矩陣的每個 column 是用以下的方法定的: 第 i 個 column 為 τ_β^′(T (vi)). 也就是說若 T (v_i)利用β^′這個 ordered basis 可表示為 T (v_i) = c1w₁+···+cmw_m, 則這個矩陣的 i-th column 為



 c₁

... c_m



. 這個矩陣和 T 有關也和 β,β^′ 有關, 我們就用_β′[T ]_β

來表示, 亦即

β^′[T ]_β=

(τ_β^′(T (v1)), . . . ,τ_β^′(T (vn)) )

,

注意每一個τβ^′(T (v_i))∈ F^m,∀i = 1,...,n 是一個 m×1 的 column vector, 所以 _β^′[T ]_β 是一個 m× n 的 over F 的 matrix.

Example 2.4.2. 同 Example 2.4.1, 考慮 P2(R) 以及其 ordered basisβ = (x², x + 1,−1), 和 P1(R) 以及其 ordered basisβ^′= (x− 1,x + 1). 若 T : P2(R) → P1(R) 定義為

T (ax²+ bx + c) = 2ax + b,

很容易驗證 T 為 linear transformation. 因為 dim(P₁(R)) = 2, dim(P2(R)) = 3 我們可定 出 _β′[T ]_β 這一個 2× 3 的 matrix. 事實上由於 T(x²) = 2x, T (x + 1) = 1, T (−1) = 0, 利用 Example 2.4.1 的結果我們得

τ_β^′(T (x²)) = ( 1

1 )

,τ_β^′(T (x + 1)) = ( ₋₁

21 2

)

,τ_β^′(T (−1)) = ( 0

0 )

,

故知

β^′[T ]_β =

( 1 ⁻¹₂ 0 1 ¹₂ 0

) .

Question 2.18. 在 Example 2.4.2 中若將 β,β^′ 改為 β = (−1,x + 1,x²),β^′= (x + 1, x− 1), 那麼_β′[T ]_β 會是什麼?

β^′[T ]_β 這一個矩陣有什麼用呢? 它稱作 the representative matrix of T with respect to β,β^′. 意思是說矩陣 _β′[T ]_β 足以代表 T 這一個 linear transformation. 回顧一下, 給定一 個 m× n over F 的 matrix A, 我們可以定義一個從 Fⁿ 到 F^m 的函數 m_A: Fⁿ→ F^m, 其定 義為將任意 Fⁿ 的 column vector x 乘上 A 這一個 m× n matrix, 得到 A · x 這個 F^m 的 column vector, 即 m_A(x) = A· x. 利用矩陣運算的性質 A · (rx + x^′) = rA· x + A · x^′, 我們知 mA: Fⁿ→ F^m 是一個 linear transformation. 所以有了_β′[T ]_β, 我們可以得到一個從 Fⁿ 到 F^m 的 linear transformation m

β^′[T ]_β : Fⁿ→ F^m, 它和 T : V → W 有著密切的關係, 我們用以 下的圖示來說明:

V T _-

W

v ^- T (v)

τ_β(v)

? - _β′[T ]_β·τ_β(v) 6

Fⁿ τ_β

?

m_{β′[T ]β} ^- F^m τ_β^◦−1′

6

首先我們將任意 v∈ V 利用 τβ 將它轉換成 Fⁿ 中的 column vector τβ(v), 然後將τβ(v) 左邊乘上 m× n 的 matrix_β^′[T ]_β, 得到_β′[T ]_β·τ_β(v) 這一個 F^m中的 column vector. 最後我 們利用τβ^′: W → F^m 的反函數 τ_β^◦−1′ : F^m→ W 將_β^′[T ]_β·τβ(v) 轉換成 W 上的元素

τ_β^◦−1′ (_β′[T ]_β·τβ(v)).

我們希望這個元素就是 T (v). 也就是說, 我們要說明 T 和τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ 是相同的函數, 若真是如此, 將來我們求 T (v) 之值的問題, 就可轉換成簡單的矩陣乘法問題.

Example 2.4.3. 延續 Examples 2.4.1 和 2.4.2, 我們檢查上述矩陣乘法的方法所得的元素 是否就是 T (ax²+ bx + c) = 2ax + b. 首先將 P₂(R) 中的任一元素 ax²+ bx + c 轉為 R³ 的元 素 τ_β(ax²+ bx + c) = (a, b, b− c)^t, 再將之左邊乘上矩陣 _β′[T ]_β 得

( 1 ⁻¹₂ 0 1 ¹₂ 0

)

·



 a b b− c



 =(

a−¹₂b a +¹₂b

) .

2.4. The Matrix Connection 35

最後將此R² 的元素轉回 P₁(R) 的元素得 (a − (b/2))(x − 1) + (a + (b/2))(x + 1) = 2ax + b 確 實和 T (ax²+ bx + c) 相等.

在回答為何 T =τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τ_β 之前, 我們先回顧一個矩陣乘法的重要看法. 當一個 m× n matrix A, 乘上 Fⁿ 的一個 column vector x, 我們知道 A· x 會是 F^m 的 column vector.

事實上, 若 A₁, . . . , A_n 為 A 的第 1 到第 n 個 column (別忘了 A 有 n 個 column 且每個 column 是 F^m 的一個 column vector), 而 x = (x₁, . . . , x_n)^t, 則

A· x = x1A₁+··· + xnA_n.

現已知 T 和τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τ_β 皆為 V→ W 的 linear transformation, 由 Theorem 2.1.4, 我 們知道要說它們相等, 只要將β 這一個 basis 內的每個元素 vi, 分別代入檢查是否相同即可.

然而依定義 τ_β(v_i) = (0, . . . , 1, . . . , 0)^t, 其中 (0, . . . , 1, . . . , 0) 只有在第 i 個位置是 1 其他位置 皆為 0. 所以依前面所提矩陣的乘法知_β′[T ]_β·τ_β(vi) =_β′[T ]_β· (0,...,1,...,0)^t 為矩陣 _β′[T ]_β 的第 i 個 column, 依前面定義知此 column 為 τβ^′(T (v_i)), 因此

τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τβ(v_i) =τ_β^◦−1′ (_β′[T ]_β·τβ(v_i)) =τ_β^◦−1′ (τβ^′(T (v_i))) = T (v_i),∀i = 1,...,n 得證

T =τ_β^◦−1′ ◦ m_β′[T ]_β◦τ_β. (2.1) 當 V,W 為 vector spaces, 我們曾介紹所有 V 到 W 的 linear transformation 形成一個 vector space, 用L (V,W) 來表示. 現令 Mm×n(F) 表示所有 over F 的 m×n matrices. 依矩陣 的運算性質, 很容易檢查 M_m×n(F) 亦為一個 vector space. 今若固定 V 的一組 ordered basis β = (v1, . . . , v_n) 和 W 的一組 ordered basis β^′= (w₁, . . . , w_m), 前面將 linear transformation 轉換成 matrix 的方法, 給了我們一個從 L (V,W) 到 Mm×n(F) 的函數 Φ, 其定義為將任意 linear transformation T : V→ W 送到_β^′[T ]_β 這一個 m×n matrix, 亦即 Φ(T) =_β^′[T ]_β,∀T ∈ L (V,W). 我們需要說明 Φ 是一個 linear transformation, 即說明對任意 T1, T2∈ L (V,W) 以 及 r∈ F, Φ(rT1+ T₂) =_β′[rT₁+ T₂]_β 會和 rΦ(T1) +Φ(T2) = r(_β′[T₁]_β) +_β′[T₂]_β 相等. 然而依 定義, 矩陣_β′[rT₁+ T₂]_β 的 i-th column 為τ_β^′((rT₁+ T₂)(v_i)) =τ_β^′(rT₁(v_i) + T₂(v_i)), 但因 τ_β^′ 為 linear, 此即 rτ_β^′(T1(vi)) +τ_β^′(T2(vi)). 另一方面矩陣_β′[T1]_β,_β′[T2]_β 的 i-th column 分別為 τβ^′(T₁(v_i)),τβ^′(T₂(v_i)), 故依矩陣加法及係數積的定義矩陣 r(_β′[T₁]_β) +_β′[T₂]_β 的 i-th column 為 rτ_β^′(T1(vi)) +τ_β^′(T2(vi)). 得證 _β′[rT1+ T2]_β 和 r(_β′[T1]_β) +_β′[T2]_β 為相同的矩陣, 故知 Φ 為 linear transformation.

接著我們要說明Φ : L (V,W) → Mm×n(F) 為 isomorphism (即 one-to-one and onto). 給 定任意矩陣 A∈ Mm×n(F), 若 A 的 i-th column 為 A_i, 考慮 τ_β^◦−1′ (A_i)∈ W. 由 Theorem 2.1.4 知存在唯一的 linear transformation T : V → W 滿足 T(vi) =τ_β^◦−1′ (Ai),∀i = 1,...,n. 依定義, 此時_β′[T ]_β 的 i-th column 為

τ_β^′(T (v_i)) =τ_β^′(τ_β^◦−1′ (A_i)) = A_i,

故知_β′[T ]_β= A. 亦即 T 為L (V,W) 中唯一滿足 Φ(T) =_β^′[T ]_β= A 的 linear transformation, 得證Φ 為 isomorphism. 我們將此結果整理如下.