Vector Spaces

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Vector Spaces

在本章我們要介紹 linear algebra 所要探討的主要對象 “Vector Space”. 接著我們將探討與 vector space 息息相關的 basis 以及 dimension.

1.1. Deﬁnition and Basic Properties

組成 vector space 的元素, 並不一定要是我們很熟悉的向量 (vector). 不過它的元素間需要有如向量一樣的運算性質. 一般向量中有所謂的加法, 所以我們也用 “+” 來表示一個 vector space 中元素的運算. 也就是說要有一個 vector space 首先要有的是一個非空的集合 V (也就是說 V 裡面一定要有元素), 再來元素間要有一個運算 “+”. 這個運算必須有封閉性, 亦即對所有 v, w∈ V 皆使得 v + w ∈ V. 另外這個運算有我們熟悉的以下性質

VS1: 對任意 u, v∈ V, 皆有 u + v = v + u.

VS2: 對任意 u, v, w∈ V, 皆有 (u + v) + w = u + (v + w).

VS3: 存在一元素 O∈ V 滿足對任意 u ∈ V 皆有 O + u = u.

VS4: 對任意 u∈ V 皆可找到 u^′∈ V 滿足 u + u^′= O.

大家可以看出來, V 在此 + 的運算下, 形成一個 abelian group. 不過 vector space 不 只是一個 group, 它的元素還可以和一個 ﬁeld 的元素 “作用” (action), 這是所謂的 scaler multiplication. 這個作用也必須有封閉性. 也就是說對於一個 vector space V , 還必須有一個 ﬁeld F, 且對任意的 r∈ F 以及 v ∈ V, r 和 v 作用之下的元素 (在此我們記作 rv), 仍必須在 V 中.

當然了這個作用和 + 之間仍需保有一定的關係才有意義, 它們之間有我們熟悉的以下性質

VS5: 對任意 r, s∈ F 以及 u ∈ V, 皆有 r(su) = (rs)u.

VS6: 對任意 r, s∈ F 以及 u ∈ V, 皆有 (r + s)u = ru + su.

VS7: 對任意 r∈ F 以及 u,v ∈ V 皆有 r(u + v) = ru + rv.

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VS8: 對任意 u∈ V, 皆有 1u = u.

為什麼要有這些運算性質呢? 有了以上 VS1∼ VS8 這 8 個性質, 我們就能對一個 vector space 中的元素像處理數字一樣來作運算. 注意這 8 個性質缺一不可, 另一方面它們又足以讓我們推導出許多其他的性質. 等一下我們會看一些例子, 在此我們先對一些符號加以說明.

首先我們會用粗體字來表示一個向量空間 V 中的元素, 而用細字表示 ﬁeld F 中的元素.

例如 V 中的加法單位元素我們用 O 來表示, 而 F 中的加法單位元素用 0 來表示. 另外 V 和 F 中都有加法, 一般來說這兩個加法是不一樣的 (除非 V = F), 不過我們都用 + 來表示.

這是因為除非 V = F, 要不然 V 中的元素是不可以和 F 中的元素相加的, 所以不至於造成 混淆. 最後我們還要再強調, 要形成一個 vector space 一定要有一個 abelian group V 及一 個 ﬁeld F. 這中間不只含有 V , F 本身的代數結構也牽涉到 V , F 之間作用的關係. 在具體 例子裡要給一個 vector space 都必須明確說明這些運算關係. 不過在一般抽象的情形我們 都會直接說 V 是一個 over F 的 vector space. 有時更會省略稱 V 為 F-space.

Example 1.1.1. 我們介紹一些常見的 vector space. 以下例子中 F 為一個 ﬁeld.

(1) 令 Fⁿ={(a1, . . . , a_n)| ai∈ F}. 定義加法為: 若 (a1, . . . , a_n), (b₁, . . . , b_n)∈ Fⁿ, 則 (a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) = (a1+ b1, . . . , an+ bn). 依此定義很容易檢驗 Fⁿ 在此加法之下是封閉的且 VS1 ∼ VS4 是符合的, 其中 O = (0,...,0). 令一方面我們定義 F 和 Fⁿ 的作用為: 若 r∈ F, (a1, . . . , a_n)∈ Fⁿ, 則 r(a1, . . . , a_n) = (ra₁, . . . , ra_n). 也很容易看出此作用是封閉的且符合 VS5 ∼ VS8. 在這運算之下我們得 Fⁿ 是一個 over F 的 vector space. 特別的是 F 本身是 over F 的 vector space. 我們也可將此推廣 到 M_m_×n(F) 是所有 entry 在 F 的 m× n 矩陣所成的集合. 利用類似上述運算方法 (即一般矩陣的運算方法), 我們得 M_m_×n(F) 是一個 over F 的 vector space.

(2) 考慮所有係數為 F 的元素且次數為 n 的多項式, 我們定義加法為: 若 f (x) = a_nxⁿ+··· + a0, g(x) = b_nxⁿ+··· + b0, 則 f (x) + g(x) = (a_n+ b_n)xⁿ+··· + (a0+ b₀). 首 先要注意所有係數在 F 且次數為 n 的多項式在此加法的定義之下並不是封閉的.

(兩個次數相同的多項式相加有可能次數變小). 不過若我們考慮所有次數小於或 等於 n 的多項式, 則在此加法之下就是封閉的了, 而且它們符合 VS1 ∼ VS4. 若 r∈ F, f (x) = anxⁿ+··· + a0, 令 r f (x) = ranxⁿ+··· + ra0, 則在此作用之下我們得所 有係數在 F 且次數小於或等於 n 的多項式是一個 vector space over F. 我們用 Pn(F) 來表示這一個 vector space. 零多項式是 Pn(F) 中的 O (加法單位元素).

(3) 給定一集合 S. 考慮所有從 S 映射到 F 的函數所成的集合 F^S. 若 r∈ F, f ,g ∈ F^S, 我們定義 f + g, r f ∈ F^S 為 f + g : s7→ f (s)+ g(s) 且 r f : s 7→ r f (s). 依此所定的運算 我們可得 F^S是一個 over F 的 vector space 其中 F^S 的 O 就是滿足 f (s) = 0,∀s ∈ S 這樣的元素 f .

Question 1.1. 你能看出來 Example 1.1.1 中 (1) 是 (3) 的一個特例嗎? (1) 和 (2) 有關連 嗎?

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Question 1.2. 若 V 是一個 vector space over F, V^′ 是 V 的一個 subgroup 且 F^′ 是 F 的 一個 subﬁeld. 利用 V , F 的運算, 是否 V^′ 是一個 over F 的 vector space? 是否 V 是一個 over F^′ 的 vector space?

接下來我們要談論 vector space 的一些基本性質. 若 V 是一個 F-space, 首先 V 本身由 abelian group 的結構所得的性質, 在這裡我們就略而不深談. 不過我們要特別提醒: VS3 中所提存在 O∈ V 使得對所有 v ∈ V 皆有 v + O = v. 這裡的 O 其實是唯一的, 就是所謂的加法單位元素. 另外 VS4 所提對所有 v∈ V 皆存在 v^′∈ V 使得 v + v^′= O, 這裡的 v^′ 也會隨著 v 而唯一確定, 就是所謂的加法反元素, 在此情形之下我們用 −v 來表示 v^′. 最後我們要 強調利用加法反元素存在, 對於 V 中的一個元素 w, 只要存在一個 v∈ V 使得 v + w = v, 那 麼我們便可以確認 w = O.

至於 VS5∼ VS8, 這些有關 V 與 F 相互間的作用關係, 可幫我們得到以下性質.

Proposition 1.1.2. 假設 V 為一個 over F 的 vector space, 我們有以下之性質:

(1) 設 r∈ F, v ∈ V, 則 rv = O 若且唯若 r = 0 或 v = O.

(2) 對任意 v∈ V, v + (−1)v = O. 換言之, −v = (−1)v.

Proof. (1) (⇐) 若 r = 0, 要證明 rv = O, 由上面所討論的結果, 我們僅要證明 0v+v = v 即可. 然而由 VS6 及 VS8 知

0v + v = 0v + 1v = (0 + 1)v = 1v = v.

故得證. 另一方面, 若 v = O, 要證明 rv = O 我們僅要證明 rO + rO = rO 即可. 然 而由 VS3 及 VS7 知

rO + rO = r(O + O) = rO.

故得證.

(⇒) 若 rv = O 且 r ̸= 0, 則由 F 是一個 ﬁeld 知存在 r⁻¹∈ F 使得 r⁻¹r = 1. 故 由 VS5, VS8 及前面證得結果知

v =1v = r⁻¹(rv) = r⁻¹O = O.

故得證.

(2) 利用 VS8, VS6 及 (1) 所證得之結果, 可知

v + (−1)v = 1v + (−1)v = (1 − 1)v = 0v = O.

故由加法反元素的唯一性得 −v = (−1)v.

Question 1.3. 設 V 是一個 F-space. 利用 Proposition 1.1.2 你能證明以下性質嗎?

(1) 若 r, r^′∈ F, u,v ∈ V 且 r ̸= r^′, u̸= O, 則 ru + v ̸= r^′u + v.

(2) 若 r∈ F, v ∈ V, 則 −(rv) = (−r)v = r(−v).

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1.2. Subspaces

若 V 是一個 over F 的 vector space, U 是 V 的一個非空子集 (nonempty subset), 且在 原先 V , F 的運算之下, U 是一個 over F 的 vector space, 則稱 U 是 V 的一個 subspace. 有 時我們會用 U 是 V 的一個 F-subspace 這樣的說法來強調是 over F 的 subspace. 另外為了 方便我們用 U≤ V 來表示 U 是 V 的一個 subspace.

在 V 中任選一個非空的 subset S 會不會就是 V 的一個 subspace 呢? 答案顯然是不 一定會, 因為要成為 subspace, S 本身一定要是一個 abelian group, 也就是說 S 需為 V 的 subgroup. 不過即使 S 是 V 的 subgroup, 在前面 Question 1.2 中我們也知道 S 仍不一定是 一個 F-space. 問題出現在 S 和 F 作用不一定有封閉性. 事實上只要 S 在 V 的運算之下是 封閉的且和 F 作用是封閉的就可以確認 S 是 V 的 subspace. 我們有以下之結果

Proposition 1.2.1. 設 V 是一個 over F 的 vector space 且 S 為 V 的一個 subset. 則 S 是 V 的一個 F-subspace 若且唯若 S 有以下之性質:

(1) O∈ S.

(2) 對於所有 r, s∈ F,u,v ∈ S 皆有 ru + sv ∈ S.

Proof. (⇒) 若 S 是 V 的 subspace, 因 S 是非空, 故存在 v 在 S 中. 由 subspace 的定義知 S 是一個 F-space, 故由 S, F 作用的封閉性及 Proposition 1.1.2 (1) 得 0v = O∈ S. 另一方 面若 r, s∈ F,u,v ∈ S, 由 S, F 作用的封閉性得 ru,sv ∈ S, 再由 S 加法的封閉性得 ru + sv ∈ S.

(⇐) 由 (1) O ∈ S 知 S 是一個非空集合. 要證明 S 是一個 F-space, 我們需驗證 S 加法封 閉性及 S, F 作用的封閉性, 再驗證 VS1∼ VS8 成立. 首先說明對於 u,v ∈ S 因為 S ⊆ V, 故 u, v∈ V 再由 V 是 F-space, 得 1u = u,1v = v. 令 r = 1,s = 1 由 (2) 得 u+v = 1u+1v ∈ S, 即 得證 S 加法封閉性. 另外對任意 r∈ F,u ∈ S, 因 O ∈ S, 令 s = 1,v = O 由 (2) 得 ru+1O ∈ S.

但 u, O 皆為 V 中元素, 故由 V 為 F-space 之假設得 ru + 1O = ru, 即得證 S, F 作用的封閉 性. 最後我們要驗證 VS1∼ VS8 對於 S 皆成立. 由於 S ⊆ V, VS1, VS2 以及 VS5 ∼ VS8 對 於所有 V 中元素都成立, 自然對 S 中元素亦成立. 然而 VS3, 為 (1) 之假設. VS4 由前 S, F 作用的封閉性以及 Proposition 1.1.2 知對任意 v∈ S, −v = (−1)v ∈ S. 得證 S 為 V 的一個

F-subspace.

Question 1.4. 若 u∈ S 令 r = 1,s = −1 以及 v = u, 則利用 Proposition 1.2.1 的 (2) 可得 O =1u + (−1)u ∈ S. 為什麼還需要 (1) 的假設呢?

Question 1.5. 設 V 是一個 F-space, 且 S 是 V 的一個非空子集. 試證明若 S 利用 V 的加 法運算是封閉的且利用 V , F 的作用也是封閉的, 則 S 是 V 的一個 F-subspace. 一般來講 一個 abelian group 它的非空子集若在原運算之下是封閉的並不一定會是這個 abelian group 的 subgroup. 然而在 vector space 前述的情形為何 S 會是 V 的 subgroup 呢?

Question 1.6. 試證明 S 是 V 的一個 F-subspace 若且唯若 S 有以下之性質: (1) O∈ S.

(2) 對於所有 r∈ F,u,v ∈ S 皆有 u + rv ∈ S.

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利用 Proposition 1.2.1, 我們很容易檢驗一個 vector space 的非空子集是否為其 subspace. 通常要檢查一個集合及其運算是否為 vector space, 要檢查 VS1∼ VS8 這些項目, 不過若已知它是包含於某個 vector space, 那麼所需檢查的項目就簡單多了.

Example 1.2.2. 以下我們舉出幾個在 Example 1.1.1 中的 vector space 它們的 subspace.

(1) 給定 c₁, . . . , c_n ∈ F. E = {(a1, . . . , a_n)∈ Fⁿ| c1a₁+··· + cna_n = 0}, 是 Fⁿ 的一個 subspace. E 可用 c1x1+··· + cnxn= 0 來表示. 在幾何中通常在 Fⁿ 中滿足 c₁x1+

··· + cnx_n= b 的元素所成的集合稱為 Fⁿ 的 hyperplane. 不過僅有 b = 0 時的 hyperplane 是一個 F-space.

(2) P_n(F) 中考慮次數小於等於 n− 1 的多項式所成的集合, 即 Pn−1(F), 是一個 sub- space. 另外給定λ ∈ F, 集合 Λ = { f (x) ∈ Pn(F)| f (λ) = 0} 也是 Pn(F) 的 subspace.

特別在 P_n(F) 中常數項為 0 的多項式所成的集合 (即當 λ = 0) 是一個 subspace.

(3) 給定 T⊆ S, F^S 中的子集合{ f ∈ F^S| f (t) = 0, ∀t ∈ T} 是一個 subspace.

給定一個 over F 的 vector space V , 很容易得知 V 和 {O} 皆為其 subspace. 這兩個 subspace 稱為 V 的 trivial subspace. 若 V 中有其他的 F-subspace, 我們有興趣是否能利用 這些 subspace 得到更多的 F-subspace. 首先有以下之結果.

Proposition 1.2.3. 若 V 是一個 vector space over F 且 U,W 為 V 的 subspace, 則 U∩W 也是 V 的 subspace.

Proof. 我們利用 Proposition 1.2.1 來證明. 首先因為 U,W 皆為 V 的 subspace, 我們有 O∈U 且 O ∈ W, 故得 O ∈U ∩W. 另外若 r,s ∈ F 且 u,v ∈ U ∩W, 則由 u,v ∈U 得 ru+sv ∈U.

同理 ru + sv∈ W 故知 ru + sv ∈ U ∩W.

Question 1.7. V 是一個 vector space over F. 設 I 為一個 index set, 且對於任意 i∈ I, Vi

皆為 V 的 subspace. 是否

^∩

_i_∈IV_i 也是 V 的 subspace?

我們很自然會問是否 V,W 為 V 的 F-subspace, 也會使得 U∪W 亦為 V 的 F-subspace.

一般來說這是不對的. 例如在 R² 中 L₁={(r,0) | r ∈ R}, L2={(0,s) | s ∈ R} 皆為 R² 的 subspace. 因為 (1, 0)∈ L1, (0, 1)∈ L2 所以 (1, 0), (0, 1)∈ L1∪L2, 但是 (1, 1) = (1, 0) + (0, 1)̸∈

L1∪ L2, 故知 L1∪ L2 不是R² 的 subspace.

Exercise 1.1. Let V be a vector space over a ﬁeld F and let U be a subspace of V . For v∈ V deﬁne v +U = {v + u | u ∈ U}.

(1) Prove that v +U is a subspace of V if and only if v∈ U.

(2) For v, w∈ V, prove the following are equivalent:

(a) (v +U)∩ (w +U) ̸= /0.

(b) v− w ∈ U.

(c) v +U = w +U.

———————————– 15 September, 2017