以曲率為基礎的多邊形縮編技術

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航測及遙測學刊第十一卷第四期第 417-426 頁民國 95 年 12 月 417 Journal of Photogrammetry and Remote Sensing

Volume 11, No.4, December 2006, pp. 417-426

以曲率為基礎的多邊形縮編技術

陳敏新

¹

陳繼藩

²

摘要

地圖縮編在地理資訊系統的資料前處理中是一個重要的工具，其中多邊形圖形的縮編是較為複雜的。由於大部分的多邊形縮編方法，是將多邊形簡化成多邊線後，利用線性的縮編方法進行縮編;此時，

將多邊形簡化為多邊線的起始點的決定，將會影響縮編後的結果。本研究主要是利用曲率的特性，來進行多邊形圖形的縮編。首先先計算多邊形上每個節點的曲率值，利用曲率即可找出多邊形上較明顯的特徵節點。透過特徵點，就可以將一個封閉的多邊形分割為數個彎曲的線段，此時再對各個線段進行縮編。

在本研究中是利用縮編前後面積的變化率，來調整縮編的程度;其中較低的面積變化容忍率，將會保留較多的節點。最後本研究與 Douglas-Peucker 的縮編結果進行比較，實驗的結果顯示，所提出的方法在使用相近的節點數下，縮編後的圖形相較於原始圖形具有較少的變形。

關鍵詞：地圖縮編、多邊形、曲率

1. 前言

隨著網路系統發展之日新月異與地理資訊系統（geographic information system, GIS）運用之普及性及多元化，為了增加查詢與展示的速度以及減少即時網路資料的傳送量，空間資料庫中必須具有各種不同比例尺的空間圖資以因應各種不同的使用情況。為了要降低製圖上的成本與增加製作上的效率，可以利用已由人工數化的大比例尺向量圖資，

藉由縮編的技術來自動化產生不同比例尺下的向量圖層。在之前的研究中，已經有許多的縮編方法被研究出來，以解決地圖縮編的問題。 (M.Visvalingam and J. D. Whyatt, 1993)提出以最小有效面積為基礎的多邊線縮編演算法，藉由不斷檢核每個節點所具有的有效面積，來刪除多餘的節點。

(Li Z. and S. Opensha, 1993) 則是使用自然法則的概念，由解析度的觀念出發，當圖形的變化小於預設的解析度時，則將該區域內的節點與以刪除。最小

二乘法的概念在最近幾年也被用在縮編的技術上，

(Monika SESTER, 2000)與(Tong Xiaohua, 2004)利用最小二乘法找出地圖特徵上的直線方程式。然而，

至今最著名也最常用的方法則是由 Douglas 與 Peucker 所提出來的 (Douglas and Peucker, 1973)( Konrad Ebisch, 2000)(Yingchao Ren et al.,2004)。Douglas 法是利用一個容許截距的觀念，

利用迭代的方式逐步的將資料點移除，因此，截距門檻值的決定將會影響整個縮編的結果。同時，由於是利用截距與迭代的方式來保留資料點，所以所保留下來的點未必是較能代表原有形狀的點。此外，由於 Douglas 法是計算一段曲線內的最大截距，所以首先必須將一個多邊形拆解成多邊曲線。

此時，就算是在相同圖形與相同門檻的條件下，不同曲線的起點與終點也會影響最後的縮編結果。因此，當預設的參數不是非常適合縮編的圖形時，使用者必須利用不斷的調整參數，來使結果符合預期的圖形。

1國立中央大學土木工程學系博士班研究生

2國立中央大學太空及遙測研究中心暨土木工程研究學系副教授

收到日期:民國 94 年 05 月 09 日修改日期:民國 95 年 09 月 20 日接受日期:民國 95 年 09 月 22 日

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圖 1.選擇不同的起點會有不同的縮邊結果本研究主要的目的是發展出一個以曲率為基

礎，適用於多邊形圖形的縮編技術。在人工縮編的過程中，具有較大彎曲特徵的資料點，往往較能吸引使用者的注意，並在縮編後被保留下來。因此，

本研究利用曲率這個屬性，來量化一個節點的彎曲程度，並且利用曲率來自動化萃取特徵較為明顯的主節點。利用這些較為明顯的主節點，就可以將一個多邊形分割為許多段的多邊曲線並各自進行縮編。在第二階段的縮編中，主要是擷取多邊曲線上的次節點。為了減少縮編後的面積與原始圖形的面積的差異，因此在次節點的擷取中，是利用縮編前後面積的變化率來控制節點的增減。由於本研究是以曲率為基礎的縮編方式，因此可以避免 Douglas 法，不同的起點與終點會影響縮編結果的問題。

2. 曲率計算

地圖縮編是利用減少圖形的資料點數來達到簡化的目的，在移除較為平滑的點位的同時，保留特徵較為明顯的節點。因此，一個好的縮編方法除了能要有效率的降低節點的數目之外，還要使縮編後的圖形盡量相似於原始的圖形。在本研究中，曲率被用來描述一個節點的重要程度，並且作為一個圖形縮編的指標。曲率的定義(1)如下:

( ⁾ ⁽ ⁾ ⁽

²

⁾ ⁽ ⁽ ⁾

²

⁾ )

¹^.⁵

⁽ ⁾

) ( (

u y u x

u y u x u y u u x

k

′ + ′

′

− ′′

′′

= ′

(1) 其中 k(u) : u 點上的曲率

x＇(u) ,y＇(u) : u 點上於 x, y 軸的一階導數 x＂(u) ,y＂(u) : u 點上於 x, y 軸的二階導數由上述的式子可以得知，要計算某一點的曲率，其一階與二階導數必須存在。但是，多邊形圖形是由離散的節點所構成的，因此必須對原始圖形進行前處理以獲得節點上的近似曲率。曲率的計算由以下三個步驟構成:1.增加虛擬節點 2.以高斯模糊消除局部彎曲 3.以二次曲線計算曲率以下就這三個步驟進行說明:

2.1 增加虛擬節點

曲率的基本定義是定義在一個以路徑為基礎 (Path Based)的架構上，由於原始節點在路徑的分布上並非等距的，因此若是直接拿原始的節點進行曲率的計算，會造成計算出來的曲率與真實的曲率有很大的差距。所以，本研究利用增加虛擬節點的方式，使得最後節點於路徑上的間距盡量相等。增加虛擬節點的方式首先要先決定最後加密的點數，加密的點數越多，就會由本來離散的分布更接近連續的分布。在本研究中，虛擬節點的點數是原本總節點數目的 10 倍。當虛擬節點的點數確定之後，可以利用整個圖形的周長除以虛擬節點的點數，來獲得虛擬節點之間的間距。最後再利用線性內差的方式即可以計算出每個虛擬節點的位置。

2.2 以高斯模糊消除局部彎曲

縮編的目的是要移除那些對於圖形形狀影響

(3)

陳敏新、陳繼藩：以曲率為基礎的多邊形縮編技術 419

較小的節點，由於本研究是利用曲率來作為一個節點重要性的指標，因此，一些局部的小彎曲在曲率上可能有較大的值，但是實際上那些小彎曲在縮編後其實可以被簡化的(圖 2)。在本研究中，我們將一些圖形上局部的小彎曲視為圖形上的雜訊，再利用高斯曲線對於圖形進行勻化。利用高斯曲線進行勻化除了可以降低局部雜訊的影響之外，同時還可以保留主要的信號強度。此特性非常之重要，利用高斯模糊並不會影響之後主節點之萃取工作。利用高斯模糊消除曲率上局部雜訊的方程式(2)如下:

dv e v x u X

e u

g

u g u x u X

v u u

∫

∞

−

=

⊗

=

2 2 2

2

2 ) ( 2

2 ) 1 ( ) , (

2 ) 1 , (

) , ( ) ( ) , (

σ σ

π σ σ

σ σ

(2)

其中 X(u,σ) 是經過褶積運算後在路徑位置 u, 中誤差σ情況下的曲率值

x(u) 是在路徑位置 u 所對應的原始曲率值 g(u,σ) 則是高斯函數在路徑位置 u,中誤差σ 的函數值

其中勻化的程度可以藉由調整高斯曲線的中誤差σ來調整。由於勻化的過程是針對座標與路徑的關係，因此局部的小彎曲在經過勻化之後，其曲率上的特徵會變的比較不明顯(圖 3)。而真正的較明顯的節點，在經過勻化之後，其主要的形狀還是會保持著，在曲率分布上依然可以用來偵測主節點的位置。

圖 2.原始的圖形與對應的曲率關係

圖 3.經過高斯勻化的圖形與對應的曲率關係

2.3 利用二階多項式計算曲率

座標點經過勻化之後，接著就進行座標點的曲率計算。在本研究中是利用二階多項式(3)的方式來描述多邊形上的片段曲線。對某一個特定點 P，利用前後相鄰的兩個點 P+1 與 P-1，可以利用 3 個方程式求解三個二階多項式的係數 a, b 與 c，以求得

一二階多項式通過此 3 點。

( )

( ( ) )

a y

b ax y

c p

p p b P

P P a P

P P

c bx ax y

n x xn n x

n x

xn n x

n y

yn yn

2 2

1 1

1 2 2 1 2

1 1

2

′′ =

+

=

′

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+ +

=

+

−

+

−

+

−

(3) 由於二階多項式的一階導數與二階導數皆存

(4)

在，因此可以利用此二階多項式的導數帶入曲率的公式以進行近似曲率的計算。整個曲率計算的示意

圖如下圖 4 所示:

圖 4.曲率計算示意圖

圖 4 的左邊是整體的多邊形，藍色的輪廓是原始的多邊形而紅色的輪廓是經由高斯勻化後的圖形。藍色的點是代表原始的節點，而紅色的點是代表新增加的虛擬節點，以等距的方式加入。之後將座標點依 X 軸與 Y 軸方向分別投影至路徑方向，

再對此座標與路徑的關係曲線進行高斯勻化，以消除局部微小的彎曲。最後利用二階多項式可以計算近似曲率，以獲得圖 4 下半部的路徑與曲率的關係圖。

3. 主節點萃取

經過上個步驟的曲率計算之後，就可以得到曲率與路徑的關係以及每個節點的曲率。由於多邊形中較明顯的轉點通常具有較明顯的彎曲，意思就是該轉點會有較大的曲率變化。因此，在本研究中，

我們稱這些曲率較大的轉點為主節點，並以萃取主節點的方式來進行第一階段的縮編(圖 5)。

由於由曲率與路徑的關係圖可以發現，主節點的曲率會有局部最大值的特性。因此，當某個節點

的曲率是局部最大值，同時它的曲率又大於主節點的門檻值時，我們就認定該節點是一個主節點。本研究是以一個一維的遮罩對曲率曲線以 Moving Window 的方式，逐步搜尋找出路徑上曲率的局部最大值。當某節點的曲率值是局部最大值而且又高於主節點的曲率門檻後，就可以將該節點標記為主節點。由下圖 5 可以發現，在曲率與路徑關係圖上有 3 個局部最大的峰值，分別是 A，B 與 C 點，對照原圖形也是其圖形轉折較明顯之處。以圖 5 為例，經由主節點萃取之後，就將原本的圖形簡化成圖 5 右方由綠色主節點所構成的三角形。

在經由主節點萃取之後，算是已經完成初步的縮編。但是可以發現其結果過於簡化，與原本的圖形差異太大，因此需要下一階段的縮編來使縮編的結果更接近原來的圖形。在進行下一階段的縮編之前，本研究先利用主節點來將原始的多邊形進行分割，由於主節點為圖形中轉折較明顯之處，因此分割後的線段都是較緩和的曲線。下一個階段的縮編即是針對此較緩和的線段，進行更進一步的縮編。

(5)

圖 5.主節點萃取示意圖

4. 次節點萃取

在經過主節點萃取後，可以利用主節點將原本的多邊形圖形分割成許多較平滑的線段。在接下來的次節點萃取步驟中，針對於這些線段各自獨立進行處理，萃取出每個線段的次節點以增加與原圖形的相似度。一個好的縮編方法除了要能有效的降低節點的數量之外，還要能儘可能的降低與原始圖形的畸變。而根據我們的觀察，因為減少節點所產生的畸變，可以利用縮編前後多邊形面積差異的比率來描述。因此在本研究中，我們將使用面積變化率 (Ratio of Changed Area,RCA)來作為次節點萃取的依據，同時也使用 RCA 來當作一個控制縮編程度的指標。越高的 RCA 門檻值代表能夠容許較大的縮編畸變，所使用的節點數目也較少，反言之，較低的 RCA 門檻是希望縮編後的圖形與原圖形的形變容許量較低，使用的節點數目也會較多。

次節點萃取是採用迭代增加節點數量的方式來進行，當縮編後的變形小於給定的門檻值後就停止。以下就是次節點萃取詳細步驟:

1. 給定一個容許面積變化率(Tolerance Ratio of Changed Area, TRCA)作為門檻值。

2. 對於某段平滑線段Ci，先計算該區段的初始面積變化率(Initial Ratio of Changed Area, IRCA)，以評估整段線段移除的面積變化對整個圖形的影響比率。

z 計算由頭尾主節點與之間所有原始節點所包圍的面積 Area ^Ci。

z TotalArea

IRCA_Ci= Area^Ci

z 如果IRCA^Ci小於TRCA的話，代表此段曲線就算全部移除，其面積變化率也小於容忍的門檻值，因此該曲線上的所有節點對整體縮編影響不大，並不需增加次節點以降低形變，所以可以直接處理下一段曲線。

z 如果IRCA^Ci大於TRCA的話，則需進行步驟3以增加次節點。

3. 將Ci線段依長度平均分成N+1等份，N為目前次節點的數目。於原始節點中尋找每一等份最靠近的節點作為次節點，N由1 開始。

4. 計算由頭尾主節點與N個次節點所包圍的面積 Area_Ci^N 。

5.

Ci N N Ci

Ci Area

RCA =Area 。

6. 如果RCA_Ci^N小於TRCA,代表所選擇的次節點其形變滿足門檻值。如果大於 TRCA，則代表次節點數目不夠，於是將次節點數目增加一點，並回到步驟3，直到滿足門檻值為止。

7. 計算次節點的曲率，若曲率趨近於0就將之移除。

(6)

圖 6.次節點萃取示意圖上(圖 6)是次節點萃取的示意圖，線段頭尾紅

色圓點是主節點，藍色的多邊形為原始的曲線，而黃色的多邊形是縮編後的多邊形，白色空心的方點是因為曲率過小而被移除的點，黑色實心的方點為最後的次節點。由圖 6 可以發現，越多的次節點數目會使縮編後的形變降低。當使用 3 個次節點時，

面積變化量已經降低至 6%，使用至 4 個節點時，

面積變化量降低至 1.7%。如果容許的門檻值是 10%

的話，最後的次節點萃取的結果會如 N=3 的結果，

若是門檻值降低為 3%的話，最後的結果會如 N=4 所示。

5. 實驗成果

本實驗以台北地區兩組不同情形的 1/5000 比例尺建物向量圖進行測試，測試區域 1 為較為獨立的建物，測試區域 2 則為較為群聚的建物。以上二組資料以本文提出方法與 ESRI Arcview 所提供之縮編模組(此模組採用 Douglas-Peucker 演算法)分別進行測試結果相互比較。本文提出方法與 Douglas-Peucker 演算法之門檻值的型態有所不同，

前者採用容許面積變化率，而後者所採用之門檻值為截距容許距離。本實驗中的約制條件為調整其門檻值使其縮編結果之節點數量盡量相等。基於以上約制條件，此實驗以整體的面積變化率及邊長變化率來評估實驗的成果。兩個測試區域進行縮編測試成果的比較分別詳列於表 1 及表 2；縮編成果的圖形則展示如圖 7 至圖 10，圖中藍色線條為原始多邊形之邊界，紅色線條則為縮編後之多邊形邊界，

而黑色矩形框所指的範圍為兩種方法縮編成果差異較為明顯之處。

圖 7 及圖 9 是展示以本文所提出方法進行縮編之成果，而圖 8 及圖 10 則是以 Douglas-Peucker 演算法進行縮編之成果。藉由觀察圖 7~圖 10，比較上述實驗中以兩種演算法分別進行測試之成果，可得知以本文提出方法進行縮編，其成果之形狀較接近原多邊形。另外，表 1 及表 2 中詳列之縮編成果相關數據指出，相較於 Douglas-Peucker 演算法，本文所提出之方法對於多邊形縮編成果面積以及邊長變化量之影響較細微。

Douglas-Peucker 演算法是以逐線的方式逼近圖形，當轉點與折線之間的偏移量小於容許的截距門檻時，則遞迴逼進的步驟停止。此方法在某些情況下所縮邊出來的結果會產生較大的變形，尤其在曲線相當大而平滑的情況下。

6. 結論

本研究介紹以曲率為基礎的多邊形縮編技術，藉由圖形的曲率特性來偵測多邊形外形的特徵點，再進一步以特徵點將封閉多邊形切割為多條平滑曲線。本文論述的方法將面積變化率視為調整簡化程度的約制條件，同時以漸進的方式描繪圖形輪廓線之節點。比較本文中所提出的方法以及 Douglas-Peucker 實驗之成果，我們可以清楚地了解到，以曲率為基礎的縮編技術，確實可成功地用於地理資訊系統中以縮邊多邊形圖形的資料。

(7)

圖 7.本研究方法的縮邊結果 (測試區域 1)

圖 8.道格拉斯法的縮邊結果 (測試區域 1)

表 1. 道格拉斯法與本研究方法的比較 (測試區域1)

Number of Vertex

Compression

Ratio Area (m²)

Change Ratio of Area

Perimeter (m)

Change Ratio of Perimeter Original Data 304 (N1) 100% (N1/N1) 61226 (A1) 0% (A1-A1)/A1 5373.4 (P1) 0% (P1-P1)/P1 Proposed Method 135 (N2) 44.40% (N2/N1) 60562 (A2)

1.08%

(A1-A2)/A1 5341.5 (P2)

0.59%

(P1-P2)/P1 Douglas-Peucker 132 (N3) 43.40% (N3/N1) 60355 (A3)

1.42%

(A1-A3)/A1 5332.6 (P3)

0.76%

(P1-P3)/P1

(8)

圖 9.本研究方法的縮邊結果 (測試區域 2)

圖 10. 道格拉斯法的縮邊結果 (測試區域 2)

表 2. 道格拉斯法與本研究方法的比較 (測試區域2)

Number of Vertex

Compression

Ratio Area (m²)

Change Ratio of Area

Perimeter (m)

Change Ratio of Perimeter Original Data 351 (N1) 100% (N1/N1) 100947 (A1) 0% (A1-A1)/A1

6959.1

(P1) 0% (P1-P1)/P1 Proposed Method 123 (N2) 35.04% (N2/N1) 99621 (A2)

1.31%

(A1-A2)/A1

6943.9 (P2)

0.22%

(P1-P2)/P1 Douglas-Peucker 121 (N3) 34.47% (N3/N1) 98655 (A3)

2.27%

(A1-A3)/A1

6919.2 (P3)

0.57%

(P1-P3)/P1

參考文獻

Douglas, D. H., and T. K. Peucker,. “Algorithms for the reduction of the number of points required to

represent a digitized line or its caricature.”, The Canadian Cartographer,10, Pages: 112-122, 1973.

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(9)

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Visvalingam, M and Whyatt J D, 1993. Line Generalization by Repeated Elimination of Points, Cartographic J., 30 (1), 46 – 51.

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Shape-Based Generalization Technique for Polygon GIS Data

Min-Hsin Chen

¹

Chi-Farn Chen

²

ABSTRACT

Cartographic generalization represents the process of simplifying a graphic object by reducing the number of its data points. The graphic reduction technique is capable of removing points on a smooth-curve segment, while retaining sharp turning points. Therefore, a good generalization algorithm is not only capable of simplifying data points, but it also retains the similarity of the generalized curve to the original one as close as possible. Among many generalization procedures, polygon shape generalization is considered the most complicated. Since most polygon generalization methods simplify the polygon as poly-lines, therefore the generalized result is significantly affected by the decision of the starting point, which is required in initiating the poly-line generalization algorithm.

The purpose of this study is to develop a curvature-based generalization approach for polygon GIS data. Because the curvature can be used to quantitatively measure the shape of a curve, therefore, this approach uses curvature as a generalization index. According to the curvature property, this study classifies the data point of polygon into two types: the critical points and the secondary points. The critical points are the points with relatively large curvature (often with sharp angles) and can be detected automatically by using a curvature threshold. Then the critical points will be used to divide the closed polygon into the curve segments, which can be employed to extract the secondary points.

The extraction of the secondary points is performed by ranking the significance of the data points on the curve segments. The significance of the data point will be decided by the curvature and its relative positions to other data points. The data points with larger curvatures and longer distances to neighbor points will have higher chance to be selected as the secondary points, because after simplification, they will not change the shape of the polygon largely. An experiment is performed to compare the proposed method with the Douglas-Peucker method. The test shows that the generalization results of the proposed method have fewer shape distortions, and it can be used to provide an efficient and automatic tool for polygon GIS data generalization.

Key Words: Generalization, Polygon, GIS Data.

1 Ph. D. Student， Department of Civil Engineering， National Central University

2 Associate Professor， Center for Space and Remote Sensing Research and Department of Civil Engineering， National Central University

Received Date: May 09, 2005 Revised Date: Sep. 20, 2006 Accepted Date: Sep. 22, 2006

以曲率為基礎的多邊形縮編技術