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高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.08.07 範

圍

3-5 複數極式

班級 姓

座號 名 一、單選題(每題 5 分)

1.複數平面上，直角坐標為(2sin 3 2π

，2cos 3 2π

)的點，其極坐標可為 (A)[2，

3 2π

] (B)[2，

3

π ] (C)[2，

6

π ] (D)[2，−

6

π ] (E)[2，

6 5π

]

【解答】(D)

【詳解】

(2 sin 3 2π

，2 cos 3 2π

) = ( 3 ，− 1) ∴ [r，θ] = [2，−

6 π ]

2.( 2 1 i−

)¹⁰

= (A) 1 (B) − 1 (C) i (D) − i (E) 0

【解答】(D)

【詳解】

( 2 1 i−

)¹⁰ = (cos 4

7π + isin 4 7π

)¹⁰ = cos 2

35π + isin 2

35π = − i

5.複數平面上，滿足 z¹³ = 7 + 8i 的一切複數 z 的圖形為

(A)一直線 (B)一個圓 (C)一點 (D)正 13 邊形 (E)13 個點

【解答】(E)

【詳解】

z

¹³ = 7 + 8i = 113 (cosθ + isinθ)，0 < θ <

2

π ∴ )

sin13 (cos13

26113 θ θ

α = +i 為其一根

∴ z¹³ = 7 + 8i 的 13 個根為α，αω，αω²，…，αω¹²（ω =

13 sin2 13

cos2π π

+i ）

此 13 個根在複數平面的圖形為正 13 邊形的 13 個頂點

4.設 z1

= r

1(cosθ1 + isinθ1)，z2

= r

2(cosθ2 + isinθ2)，則下列何者為真？

(A) z1 + z2

= (r

1 + r2)[cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)] (B) z1 + z2

= r

1．r2[cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)]

(C) z1．z2

= r

1．r2(cosθ1θ2 + isinθ1θ2) (D) z1．z2

= r

1．r2[cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2)] (E)以 上皆非

【解答】(D)

二、多重選擇題( 每題 10 分)

1.方程式 x⁵

= cos10° + isin10°的五個根的主輻角θ

1，θ2，θ3，θ4，θ5且θ1 < θ2 < θ3 < θ4 < θ5，則 (A) θ2

= 74° (B) θ

4

= 218° (C) sinθ

i

≠ 0，i = 1，2，3，4，5

(D) cosθ1 + cosθ2 + cosθ3 + cosθ4 + cosθ5

= 1 (E) sinθ

1 + sinθ2 + sinθ3 + sinθ4 + sinθ5

= 0

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

(1) x⁵

= cos10° + isin10° ∴ x = cos2° + isin2°，cos74° + isin74°，cos146° + isin146°

cos218° + isin218°，cos290° + isin290°

⇒ θ1

= 2°，θ

2

= 74°，θ

3

= 146°，θ

4

= 218°，θ

5

= 290°

(2)∴ sinθi

≠ 0

(3)原方程式的五根和(cos2° + cos74° + cos146° + cos218° + cos290°)+ i(sin2° + sin74° + sin146° + sin218° + sin290°) = 0

⇒ cos2° + cos74° + cos146° + cos218° + cos290° = 0 sin2° + sin74° + sin146° + sin218° + sin290° = 0

⇒ cosθ1 + cosθ2 + cosθ3 + cosθ4 + cosθ5

= 0

sinθ1 + sinθ2 + sinθ3 + sinθ4 + sinθ5

= 0

2.設 u = cos 3 π + isin

3

π ，下列各敘述何者正確？

(A) u 為 x³ − 1 = 0 之一根 (B) u¹¹ = u⁷¹ (C) u⁶ + u⁷ + … + u²⁴ = 1 (D) u = u 1

(E)在複數平面上，以點 u¹，u²，u³作一三角形，則此三角形之面積為 4

3

【解答】(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A) u³ − 1 = cosπ + isinπ − 1= − 2 ≠ 0 ∴ u 不為 x³ − 1 = 0 之一根 (B) u³ = − 1 ∴ u¹¹ = − u² = u⁷¹

(C) u⁶ + u⁷ + … + u²⁴ =

1 ) 1 ( ¹⁹

6

−

−

u

u

u

=

1 ) 1 ( 1

−

−

⋅ u

u =1

(D) u = cos 3 π − isin

3 π ，

u

1= u^{− 1} = cos ( 3

π

− ) + isin ( 3

π

− ) = cos 3 π − isin

3

π ∴ u = u 1

(E)















+

=

+

=

+

=

π π

π π

π π

sin cos

3 sin2 3

cos2

sin 3 cos3

3 2 1

i u

i u

i u

△ABC = △AOB + △BOC − △AOC

=2

1．1．1．sin60° + 2

1．1．1．sin60° − 2

1．1．1．sin120° = 4

3

3.若 x⁵ = 1 有 5 個根，1，ω，ω²，ω³，ω⁴，且ω =

5 sin2 5

cos2π π

+i ，則下列各敘述何者為正確？

(A) ω⁹⁰ = 1 (B) 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0 (C)(1 − ω)(1 − ω²)(1 − ω³)(1 − ω⁴) = 5

(D) 2 1

1 1

1 1

1 1

1

4 3

2 =

+ − + −

+ −

−ω ω ω ω (E) 1 + 2ω + 3ω² + 4ω³ + … + 100ω⁹⁹ = 0

【解答】(A)(B)(C)(D)

【詳解】

1，ω，ω²，ω³，ω⁴為 x⁵ − 1 = 0 的 5 個根，故 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0，且ω⁵ = 1 (A) ω⁹⁰ = (ω⁵)¹⁸ = 1¹⁸ = 1

(B) 1 + ω + ω² + ω³ + ω⁴ = 0

(C)因為 1，ω，ω²，ω³，ω⁴為 x⁵ − 1 = 0 的 5 個根 故 x⁵ − 1 = (x − 1)(x − ω)(x − ω²)(x − ω³)(x − ω⁴) 又 x⁵ − 1= (x − 1)(x⁴ + x³ + x² + x + 1)

比較兩式 (x − ω)(x − ω²)(x − ω³)(x − ω⁴) = x⁴ + x³ + x² + x + 1 x = 1 代入 (1 − ω)(1 − ω²)(1 − ω³)(1 − ω⁴) = 5

(D) _{2 3 4}

1 1 1

1 1

1 1

1

ω ω

ω

ω + −

+ − + −

− = )

1 1 1

( 1 1 )

1 1

( 1 _{4 2 3}

ω ω

ω

ω + −

+ − + −

−

= ⁴ _{4 5 2}³ ₃ ²₅

1

1 1

1

1 1

ω ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

+

−

−

− + + −

+

−

−

− +

− = ₄⁴ ₂² ₃³

2 2 2

2

ω ω

ω ω ω

ω ω ω

−

−

− + −

−

−

−

− = 1 + 1 = 2

(E)

100 99

3 2

100 99

3 2

999 3

2

100 )

1 (

100 99

3 2 )

100 4

3 2 1

ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω ω ω

ω ω

ω ω

− +

+ + +

=

−

+ +

+ + +

=

−

+ + + + +

=







P P P

= ¹⁰⁰ 100 ¹⁰⁰ 1

) 1

(

1

ω

ω ω

−

−

−

． = − 100

∴ P =

1 100 1

100

= −

−

−

ω ω

4.設 z³

= i 的三個根α，β，γ 在複數平面上的對應點為 A，B，C，則

(A)AB的長為 3 (B)△ABC 的周長為 3 3 (C)△ABC 的面積為

4

3 (D) α + β + γ = 0 (E) αβγ = − i

【解答】(A)(B)(D)

【詳解】

(1) z³

= i = cos90° + isin90°

⇒ z = cos30° + isin30°，cos150° + isin150°，cos270° + isin270°

(2)

OA

=

OB = 1，∠ AOB = 120°

⇒

AB

² =

OA

² +

OB

² −2

OA

．

OB

cos120° = 3 ⇒

AB

= 3

∴ △ABC 周長 = 3AB=3 3，△ABC 面積 = 3△OAB = 3(

2

1 × 1 × 1 × sin120°) = 4

3 3

(3) z³

= i 的三根和為 0

⇒ α + β + γ = 0，三根積為 i ⇒ αβγ = i 5.設α∈

C，α ≠ 0，| α | = 1 且α 的主輻角為 199°，則下列敘述，何者正確？

(A) 2000

α

的主輻角是 161° (B) − 91α 的主輻角是 19° (C) − 17

α

的主輻角是 341°

(D) α¹的主輻角是 161° (E) α ²的主輻角是 38°

【解答】(A)(B)(C)(D)(E)

【詳解】

令α = cos199° + isin199°

(A) 2000

α = 2000(cos199° − isin199°) = 2000[cos(− 199°) + isin(− 199°)]

= 2000[cos(360° − 199°) + isin(360° − 199°)] = 2000(cos161° + isin161°)，

主輻角是 161°

(B) − 91α = 91(− cos199° − isin199°) = 91[cos(180° + 199°) + isin(180° + 199°)]

= 91[cos(360° + 19°) + isin(360° + 19°)] = 91(cos19° + isin19°)，主輻角是 19°

(C) − 17

α = 17(− cos199° + isin199°) = 17(cos19° − isin19°)

= 17[cos(360° − 19°) + isin(360° − 19°)] = 17(cos341° + isin341°)， 主輻角是 341°

(D)∵ α．

α = |α|

²

= 1

⇒ α α ⁼

1 ，同(A) ∴ α

1之主輻角是 161°

(E) α ²

= (cos199° + isin199°)

²

= cos2(199°) + isin2(199°)

= cos398° + isin398° = cos38° + isin38° ∴ α ²的主輻角是 38°

6.下列敘述，何者正確？

(A)複數 z = a + bi，a，b∈

R，則 z

∈

R

⇔ b = 0 (B)複數 z = a + bi，a，b∈

R，則 z．

z

= |z|

² (C) z = cosθ + isinθ，則 z

z =

1 (D)複數 z = a + bi，a，b∈

R，則 z > 0

⇔ a > 0

(E)複數 z 在複數平面的對應點是 P，O 為原點，則|z| = OP

【解答】(A)(B)(C)(E)

【詳解】

(A) z∈

R

⇔ a + bi∈

R

⇔ b = 0

(B)∵ |z| =

a

² +

b

² ∴ z．z= (a + bi)(a − bi) = a² + b²

= |z|

² (C)∵ |z| = cos²

θ

+sin²

θ = 1 ∴ z．

z

= |z|

²

= 1

z

z =

⇒ 1

(D) z > 0 ⇔ a + bi > 0 ⇔ a > 0，b = 0

(E)令 z = a + bi，a，b∈

R ∵ P(a，b) ∴ |z| = a

² +

b

² =

OP

7.下列各極坐標方程式，其圖形為一直線者有

(A) r = 0 (B) r = 2 (C) θ = 0 (D) θ = 3 (E) θ = − π

【解答】(C)(D)(E)

【詳解】

(A) r = 0 表極點 (B) r = 2 表半徑為 2，圓心為極點之圓

8.下列敘述何者正確？

(A) Arg( i 2

3 ) = 3

π (B) Arg( − 100i) = 2

3π (C)若 z > 0，則 Arg(z) = 0

(D)若 z < 0，Arg (z) = 0 (E)

a

+

bi

=

a

² +(bi)²

【解答】(B)(C)

【詳解】

(A) Arg ( i 2

3 ) = 2

π (D) z < 0 時，Arg (z) = π (E)

a

+

bi

=

a

²+

b

²

三、填充題( 每題 10 分)

1.sin111° + isin201°化為極式為 。

【解答】cos339° + isin339°

【詳解】

sin111° + isin201° = sin(90° + 21°) + isin(180° + 21°) = cos21° − isin21°

= cos(360° − 21°) + isin(360° − 21°) = cos339° + isin339°

2.sin10° − icos10°化為極式為 。

【解答】cos280° + isin280°

【詳解】

sin10° − icos10° = cos(270° + 10°) + isin(270° + 10°) = cos280° + isin280°

3. °+ °

°

−

°

° +

°

80 sin 350

sin

) 39 sin 39

)(cos 139 sin 221

(cos

i

i

i = 。

【解答】1

【詳解】

原式 =

° +

°

−

°

−

°

° +

°

−

80 sin 80

cos

) 39 sin 39

)(cos 41 sin 41

cos (

i

i

i =

°

−

°

°

−

°

°

−

°

80 sin 80

cos

) 39 sin 39

)(cos 41 sin 41

(cos

i

i i

= cos(− 41° − 39° + 80°) + isin( − 41° − 39° + 80°) = cos0° + isin0° = 1

4. ₃

4 6

) 40 sin 50

(sin

) 87 cos 87

(sin ) 78 cos 78

(sin

° +

°

°

−

°

° +

°

i

i

i

= 。

【解答】 i 2

3 21 −

【詳解】

原式 = ⁶ ₃ ⁴

) 40 sin 40

(cos

) 3 sin 3

(cos ) 12 sin 12

(cos

° +

°

°

−

°

° +

°

i

i

i

=

° +

°

°

− +

°

−

° +

°

120 sin 120

cos

)]

12 sin(

) 12 )[cos(

72 sin 72

(cos

i

i i

= cos(72° − 12° − 120°) + isin(72° − 12° − 120°) = cos(− 60°) + isin(− 60°) = 2 1−

2 3

i

5.設(cos10 + isin10)⁶ = cosθ + isinθ，0 ≤ θ ≤ 2π，則θ = 。

【解答】60 − 18π

【詳解】

(cos10 + isin10)⁶ = cos60 + isin60 = cosθ + isinθ（0 ≤ θ < 2π），故θ = 60 − 18π

6.複數 z = 2 3 + 2i 的極式為 ，其所代表點的極坐標為 。

【解答】4(cos

π + isin6 6

π )；[4，

6 π ]

【詳解】

z = 2 3 + 2i，|z| =

(2 3)² +2² = 4

∴ z = 4(

2 1

23 +

i) = 4 (cos

6 π + isin

6

π )，此即為 z 的極式，又 z 的代表點的極坐標為[4，

6 π ]

7.設 z = cos72° + isin72°，則 z⁷⁵ + z⁷⁶ + z⁷⁷ + … + z³⁶⁵之值為 。

【解答】1

【詳解】原式 =

z z z

−

− 1

) 1 ( ²⁹¹

75 = 1（z⁵ = cos360° + isin360° =1）

8.設 z = − 3i，則：(1)化為極式 z = 。 (2) z 的主輻角為 。

【解答】(1) 3(cos 2 3π + isin

2 3π

) (2) 2 3π

【詳解】(1) z = − 3i = 3 [0 + (− i)] = 3 (cos 2

3π + i sin 2

3π ) (2) Arg z = 2 3π

9.設

ω 為 x

³ = 1 的一虛根。若無窮級數 1 + 2 1

ω +

4

1

ω

² + … + _n 2

1

ω

ⁿ + …之和為α + βω，其中α，

β 為實數，則α = ，β = 。

【解答】α = 7 6；β =

7 2

【詳解】

x

³ = 1 的根為 1，

ω，ω

² 其中

ω = cos

3 2π + isin

3 2π

滿足

ω

³ = 1 且 1 +

ω + ω

² = 0

1 + ²

4 1 2

1ω+ ω + … + _n 2

1 ω + … _n

公比2

1

ω 的無窮等比級數其和為

2ω 1 1

1

−

= α + βω（α，β∈

R）

∴ 1 = (1 − 2

1

ω)(α + βω) = α + βω−

2 1αω −

2 1βω²

= α + (β − 2 1α)ω −

2

1β (− 1 − ω) = (α + 2 1β) + (

2 3β −

2 1α)ω

⇒ 1 + 0ω = (α + 2 1β) + (

2 3β −

2

1α)ω⇒ α + 2

1β = 1 且 2 3β −

2

1α = 0 ⇒ α = 7 6；β =

7 2

10.方程式 x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0 的五個複數根可表為 xk

= ；又以此五個根為

頂點在複數平面上所成五邊形區域的面積為 。

【解答】xk

= cos

3

π k + isin

3 π

k ，k = 1，2，3，4，5；

4 3 5

【詳解】

(x − 1)(x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1) = x⁶ − 1

x

⁶ − 1 = 0 ⇒ x⁶

= 1 = cos0 + isin0 的根為 x

k

= cos

6

2kπ + isin 6 2kπ

，k = 0，1，2，3，4，5

其中 x₀

= cos0 + isin0 = 1，故 x

⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1 = 0 的五個根 為 xk

= cos

6

2kπ + isin 6 2kπ

，k = 1，2，3，4，5

設 x_k在複數平面上的對應點為 P_k，則五個點 P₁，P₂，P₃，P₄，P₅為頂點的五邊形如圖：

∠ P1

OP

2

=∠ P

2

OP

3

=∠ P

3

OP

4

=∠ P

4

OP

5

=

3

π ，∠ P1

OP

5

=

3 2π

∴ 五邊形的面積為 4△P1

OP

2 + △P1

OP

5

= 4 ×

2

1．1²．sin 2 1 3 +

π ．1²．sin 3 2π

= 4

3 5 2

3 2

5× =

11.設 f (x) = x¹⁰⁰ + x⁵⁰ + 1，則 f ( − 2 1 i+

)= 。

【解答】i

【詳解】z = 2

) 1 ( +

i

− = − (cos

π + isin4 4 π )

f (−

2 1 i+

) = f (z) = z¹⁰⁰ + z⁵⁰ + 1 = (cos

π + isin4 4

π )¹⁰⁰ + (cos

π + isin4 4

π )⁵⁰ + 1

= (cos25

π + isin25π) + (cos

2

25π + isin 2

25π ) + 1 = (cos

π + isinπ) + (cos

π + isin2 2 π ) + 1 = − 1 + 0 + 0 + i + 1 = i

12.設 z =

i i

3 1

1

−

+ ，求：(1)以主輻角將 z 化成的極式為 。 (2) z¹⁰ = 。

【解答】(1) 2

1 (cos105° + isin105°) (2) 64

3− 64

1

i

【詳解】

(1)|z| = |

i i

3 1

1

−

+ | =

| 3 1

|

| 1

| i i

−

+ =

3 1

2 + =

2 2 =

2 1

∴ z = 2 1 (

i i

3 1

2 2

−

+ ) = 1 [2

) 3 1 )(

3 1 (

) 3 1 )(

2 2 (

i i

i i

+

−

+

+ ] =

2 1 (

3 1

6 2 6 2

+

− +

+ i i

)

= 1 [2

4 6 2−

+ ( 4 2 6+ )i] =

2

1 (−cos75° + isin75°)

=

1 [cos(180° − 75°) + isin(180° − 75°)] =2 2

1 (cos105° + isin105°)

(2) z¹⁰ = ( 2

1 )¹⁰(cos105° + isin105°)¹⁰ = ₅ 2

1 (cos1050° + isin1050°)

= 32

1 [cos (1050° − 360° × 3) + isin (1050° − 360° × 3)]

= 32

1 [cos (− 30°) + isin (− 30°)] = 32

1 (cos 30° − isin30°) = 32

1 ( 2

3− 2 1

i) =

64 3−

64 1

i

13.求 3

6

) 3 1 (

) 3 3 (

i i

+

+ 之值 = 。

【解答】216

【詳解】

∵ 3 + 3 i = 2 3 ( 2

3+ 2

1

i) = 2 3 (cos

6 π + isin

6 π )

∴ (3 + 3 i)⁶ = (2 3 )⁶(cosπ + isinπ) = − (2 3 )⁶ = − 2⁶．3³ 又 ∵ 1 + 3 i = 2(

2 1+

2

3

i) = 2(cos

3 π + isin

3

π ) ∴ (1 + 3 i)³ = 2³(cosπ + isinπ) = − 2³

故 3

6

) 3 1 (

) 3 3 (

i i

+

+ = ⁶ ₃ ³

2 3 2

−

⋅

− = 2³．3³ = 216

14.x⁶ = − 32 + 32 3 有 6 個根，此六個根在複數平面上對應的六個點所圍成的六邊形，其面

i

積為 。

【解答】6 3

【詳解】

− 32 + 32 3 = 64( −

i

i 2

3

1 +2 ) = 64(cos

3 sin2 3

2π π

+i )

z

k = 2(cos 6 3 2

2

π π

+

k

+ isin 6 3 2

2

π π

+

k

)，k = 0，1，2，3，4，5

將六個根圖示在高斯平面上圖形為一正六邊形，六個頂點在以原點為圓心，半徑為 2 的圓 形上則正六邊形 ABCDEF 的面積為 6．

2

1．2．2sin60°= 6 3

15.求 Arg(

−i 1

1 ) = 。

【解答】4 π

【詳解】

−i 1

1 =

) 1 )(

1 (

1

i i

i

+

−

+ =

2

1 i+ = )

2 1 2 ( 1 2

1 +

i

)

sin 4 (cos4

2

1

π π

+

i

= ∴ Arg(

−i 1

1 ) = 4 π

16.設 a ∈ C，| a | = 8，主輻角 Arg (a) = 3 4π

， (1)將 a 以極式表示為 。

(2)若 z⁶ = a 之六根為 z0，z₁，z₂，z₃，z₄，z₅，若 z₃位於複數平面的第三象限，將 z₃以極式 表示為 。

【解答】(1) 8 (cos 3

4π + isin 3 4π

) (2) 2 (cos 9

11π + isin 9 11π

)

【詳解】

(1) | a | = 8，Arg (a) = 3

4π ⇒ a = 8 (cos 3

4π + isin 3 4π

) (2) z⁶ = a = 8 (cos

3

4π + isin 3 4π

)

z

k =⁶ 8 cos 6 3 2

4

π π

+

k

+ isin 6 3 2

4

π π

+

k

)，k = 0，1，2，…，5

∴ z₃ =⁶ 8 (cos 6 3 6 4

π

₊

π

+ isin 6 3 6 4

π

₊

π

) = 2 (cos 9

11π + isin 9 11π

)

17.設 z∈

C，且|z| = 2|z − 1|，Arg(

z z 1−

) =3

π ，則|z| = 。

【解答】 3

3 2

【詳解】

∵ |z| = 2|z − 1| ⇒

2

| 1

| −1 = z

z ，而 Arg

) 3 ( −1 ₌π

z z

∴ 2

1 = 1

− z

z (cos

π + isin3 3 π ) =

4 3

1+ i ⇒ 4z − 4 = (1 + 3 i)z

⇒ z(3 − 3 i) = 4 ⇒ |z| |3 − 3 i| = 4 ⇒ |z| =

3 3 2 3 2 3 2

4 12

4 = = =

18.化簡(1 + cos20° + isin20°)⁹⁸⁷

= r(cosθ + isinθ)，r > 0，0°

≤ < 360°，則θ = 。

θ

【解答】150°

【詳解】

1 + cos20° + isin20° = 1 + cos2(10°) + isin2(10°)

= 1 + 2cos²10° − 1 + i(2sin10°cos10°) = 2cos10°(cos10° + isin10°)

(1 + cos20° + isin20°)⁹⁸⁷

= [2cos10°(cos10° + isin10°)]

⁹⁸⁷ = (2cos10°)⁹⁸⁷(cos9870° + isin9870°) = (2cos10°)⁹⁸⁷(cos150° + isin150°) = r (cosθ + isinθ)，r > 0，0° ≤ θ < 360°

∴ θ = 150°

19.設數列＜an＞滿足 a1 = i，a_n+1 =

ωa

n，其中

ω = cos

3 2π + isin

3 2π

，則 a42 = 。

【解答】 )

2 ( 1 2

3 + −

i

【詳解】

由 a₁ = i，an+1 = ωan知數列＜a_n＞為首項 i，公比

ω 的等比數列

已知 a_n+1 = a1

ω

ⁿ，a₄₂ = iω⁴¹ = iω^3×13+2 = iω²（∵

ω

³ = 1）

即 a42 = i(cos 3 4π + isin

3

4π ) = i(−

2 1−

2 3

i) =

2 3+ (−

2 1)i

20.設 z + z

1= 3 ，則 z²⁰¹⁰ + ₂₀₁₀¹

z 之值為 。

【解答】2

【詳解】

由 z + z

1= 3 ⇒ z² − 3 z + 1 = 0 ⇒ z = 2

3±i= cos

π ± isin6 6 π

令 z = cos

π + isin6 6 π

則 z²⁰¹⁰ + ₂₀₁₀¹

z = (cos

π + isin6 6

π ) ²⁰¹⁰ + (cos

π + isin6 6

π ) ^{− 2010} = 2 cos²⁰¹⁰ 6

π= 2

同理，令 z = cos

π − isin6 6

π 時，z²⁰¹⁰ + ₂₀₁₀¹

z 也為 2，故所求 z²⁰¹⁰ + ₂₀₁₀¹ z = 0

21.以 2x − 3 + i 除 x⁶⁰ − 1 之餘式為 。

【解答】0

【詳解】

R = (

2 3−i

)⁶⁰ − 1 = (cos 6 π − isin

6

π )⁶⁰ − 1 = cos10π − isin10π − 1 = 0

22.△ABC 中，(sinA + icosA)(sinB + icosB)(sinC + icosC)之值為 。

【解答】i

【詳解】

原式= [cos(90° − A) + isin(90° − A)][cos(90° − B) + isin(90° − B)][cos(90° − C) + isin(90° − C)]

= cos(90° − A + 90° − B + 90° − C) + isin(90° − A + 90° − B + 90° − C) = cos[270° − (A + B + C)] + isin[270° − (A + B + C)] = cos90° + isin90° = i