(47)排列-5(環狀)

(1)

(47)排列-5(環狀)

請看下圖

以上的排列中，可以稱之為bdac，在這排列中每一物件的左鄰跟右鄰列成下表:

物件左鄰右鄰

b c d

d b a

a d c

c a b

再看下圖:

這個排列可以命名為acbd。

我們再看一次這種排列下，每一物件的左鄰和右鄰:

47-1

(2)

物件左鄰右鄰

b c d

d b a

a d c

c a b

因此，對環狀排列而言，bdac 和 acbd 是一樣的，事實上，以下四個環狀排列是一樣的，acbd, cbda, bdac, dacb 都是一樣的，如下圖所示:

對於任何一個n 不同物件的排列，都有 n 個環狀排列，假設 n=3，物件是 A、B 和 C，排列是 BAC，以下 3 個排列是 BAC 對應的環狀排列：

BAC，ACB，CBA

假設n=4，物件是 A、B、C、D，排列是 CDAB，以下 4 個排列是對應於 CDAB 的環狀排列：

CDAB，DABC，ABCD，BCDA

我們可得到以下的定律：

任何n 個不同物件的排列，都有 n 個環狀排列。………(47.1) 對應於同一排列的環狀排列都是相同的因素，我們有以下的定理:

n 個不同物件的環狀排列數量。

P

_nⁿ

n

=

n !

n

=( n−1) ! ………(47.2)

（1） n=4 的環狀排列：

P

_nⁿ

n

=(n−1) !=3!=6

47-2

(3)

假設這四個物件是ABCD，則這六個環狀的排列是:

ABCD………(47.3) ABDC………(47.4) ACBD………(47.5) ACDB………(47.6) ADBC………(47.7) ADCB………(47.8)

也許同學會問，BACD 為何不在以上的排列中，我們可以看出，BACD 有一個對應的環狀排列ACDB 就是（47.6），所以我們可以說，

（47.6）包含了 BACD。

同學們一定會問，假如有一個排列，如何列出所有的排列對應的環狀排列呢？

令這個排列為x1x2…xn，則以下的排列是對應此排列的全部環狀排列：

x1x2…xn-1 xn

x2x3…xn x1

x3x4…x1 x2

. . .

Xnx1…xn-2 xn-1

（2）請列出 31542 的環狀排列:

答案：31524，15423，54231，42315，23154

（3）請列出 ABCDE 的環狀排列:

答案：ABCDE，BVDEA，CDEAB，DEABC，EABCD

最後，我們要討論如何列出所有的環狀排列，我們應該記得，n 個不同物件環狀排列數是(n-1)!，這應該給我們一個靈感，解決此問題，方法如下：

1. 令此物件為 a1, a2,…,an

2. 選取任一物件 ai

3. 列出 ai以外的(n-1)物件 4. 列出(n-1) 物件的所有排列

47-3

(4)

5. 在某一個排列的最前面價上 ai

（4）列出 1234 的全部環狀排列:

答案：假設我們選了2，我們觀察列出所有 134 的排列如下 134

143 314 341 413 431

然後，我們將2 加到做前面去。

2134 2143 2314 2341 2413 2431

（5）列出 123 的環狀排列:

答案：架設我們選了3，我們排列 1 和 2 如下:

12 21

再將3 放到前面去，得到 312

321

以上是123 的全部環狀排列。

(47)排列-5(環狀)