13log17log 21

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：93.03.04 班級

範

圍 1-3 對數+Ans

座號

姓 名 一. 單選題(每題 10 分)

1. 設x∈R，使log2x+1(2 + 5x − 3x²)有意義的x所成的集合為 (A){x| −

2

1< x < 2} (B){x| − 3

1< x < 2} (C){x| 0 < x < 2} (D){x| − 3

1< x < 2 且x ≠ 0}

(E){x| − 2

1< x < 2 且x ≠ 0}

答案：(D) 解析：

3 2 0 1

) 2 )(

1 3 ( 0

2 5 3 0

3 5 2

0 1

1 2

2 0 1

1 2

2

2 > ⇒ − − < ⇒ + − < ⇒ − < <

− +

≠

⇒

≠ +

−

>

⇒

>

+

x x

x x

x x

x

x x

x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∴ − 3

1< x < 2 且 x ≠ 0，故選(D)

2. log_0.1 log_0.2 log_0.5

5 2

1 之值 =(A) − 2 (B) − 1 (C) 0 (D) 1 (E) 2 答案：(C)

解析：原式 = log0.1(log0.2( ⁵

1

2 12

log ⁻ )) = log0.1( 5 log 1

5

1 ) = log0.11 = 0，故選(C) 二、複選題(每題 10 分)

3.下列各x值何者大於 1？

(A) log_x10 10= 2

3 (B) x = log

2

132 (C) 10^x =³100 (D) log

2

1x = − 2 (E) ( 2 1)^x = 2 答案：(A)(D)

解析：

(A) log_x10 10= 2

3 ⇒ 10 10 = x²

3

⇒ x = 10 (B) x = log

2

132 = log 22⁻1

5 = − 5

(C) 10^x =³100= 10³

2

⇒ x = 3

2 (D) log

2

1x = − 2 ⇒ x = ( 2

1)⁻² = 2² = 4

(E) ( 2

1)^x = (2⁻¹)^x = 2 ⇒ x = − 1 4. 下列式子哪些是正確的？

(A) log77 = 1 (B) log32 + log34 = log36 (C) log517 − log513 =

13 log

17 log

5

5

(D) log₂5．log₂7 = log235 (E) log₄9 = log ₂ 3

答案：(A)(E) 解析：

(A) 對數性質 (B) log₃2 + log34 = log38 ≠ log36 (C) log517 − log513 = log5

13 17 ，

13 log

17 log

5

5 = log1317 ∴ 二式不相等 (D) log₂35 = log₂(5．7) = log₂5 + log₂7 ≠ log₂5．log₂7

(E) log49 = log 322

2 = 2

2log23 = log23，log ₂ 3= log

2 1

2

3²

1

= 2 1 2 1

log23 = log23 ∴ 二式相等 5. 若a > 0，b > 0，下列的對數式中哪些恆成立？

(A) (loga)(logb) = log(a + b) (B) − loga = log a

1(C) log b

a= loga − logb (D) (loga)² = 2loga

答案：(B)(C)

解析：(A) (loga)(logb) ≠ log(a + b) (B) − loga = loga⁻¹ = log a 1

(C) log b

a= loga − logb (D) (loga)² ≠ 2loga = loga ² 三、填充題(每題 10 分)

1. log23 = a，log37 = b，試以a，b表示log4256 = 。

答案： a ab

ab + +

+ 1

3

解析：

log4256 =

42 log

56 log

3

3 =

7 log 3 log 2 log

7 log 8 log

3 3

3

3 3

+ +

+ =

a b a b

+ +

+ 1 1

3

= a ab ab + +

+ 1

3

2. 化簡log23．log764．log35．log549 之值 = 。 答案：12

解析：

log23．log764．log35．log549 = log23．log35．(2log57)．(6log72)

= 12．log23．log35．log57．log72 = log22 = 12 3. 求log₂

16

1 + log5125 + log ₃1 + 2^log23之值 = 。 答案：2

解析：原式 = 4log2

2

1 + 3 + 0 + 3 = − 4 + 3 + 0 + 3 = 2 4.求(log94)．(log25 3 )．(log ₂5) = 。 答案：2

1

解析：原式 = ( 2

2log₃2)(

2 2 1

log₅3)(

2 1

1 log₂5) = 1．

4

1．2(log₃2．log₂5．log₅3) = 2 1

5. 解(

3 2)^x = (

2

3)^2x−3，x = 。 答案：1

解析：

兩邊取對數，得 xlog 3

2= (2x − 3)log 2 3

⇒ (2log 2 3− log

3

2)x = 3log 2

3 ⇒ (3log 2

3) x = 3log 2

3 ⇒ x = 1

6. (log₃8 + log9

4

1)(log₄3 + log29) = 。 答案：5

解析：

原式 = ( 3 log

2 log

3 −

3 log 2

2 log

2 )(

2 log 2

3 log +

2 log

3 log

2 ) = (2．

3 log

2 log )(

2 5．

2 log

3 log ) = 5

7. 方程式log7(7^x + 49) = 2

x+ 1 + log72 的解為 。 答案：2

解析：

log7(7^x + 49) = 2

x+ 1 + log72 = log77²

x

+ log77 + log72 ⇒ log7(7^x + 49) = log7(14．7²

x

)

⇒ 7^x + 49 = 14．7²

x

⇒ (7²

x

)² − 14．7²

x

+ 49 = 0

⇒ (7²

x

− 7)² = 0 ⇒ 7²

x

= 7 ⇒ 2

x= 1 ⇒ x = 2 8. 設18^a =2，試以 表示a log₃2 = 。

答案： a

a

− 1

2

解析：

取 log ⇒ 2

18^a = alog18=log2 ⇒ a(2log3+log2)=log2

⇒ 2a． 1

2 log

3

log + a= ⇒

a a 2 3 1

log₂ = − ∴

a a

= − 1 2 2 log₃

9. 化簡求值：

(1) log10

9

25− log105 + log10

35

27− log10

70

3 = 。 (2) (log23 + log1681)(log38 − log92) = 。 答案：(1) 1 (2) 5

解析：

(1)原式 = log10 ( 9 25÷ 5 ×

35 27÷

70

3 ) = log10 ( 9 25×

5 1×

35 27×

3

70) = log10 10 = 1

(2)原式 = (log23 + 4

4log23)(3 log32 − 2

1log32) = 2 log23 × 2

5log32 = 5 10. 方程式log3(x² − 13) − log3(x − 3) = 2 之解為 。

答案：7 解析：

log₃(x² − 13) − log3(x − 3) = 2 ⇒ log3

3

2 13

−

− x

x = log3 3² = 9 ⇒

3

2 13

−

− x

x = 3² = 9

⇒x² − 9x + 14 = 0 ⇒ (x − 7)(x − 2) = 0

又 ⇒ x >

⎩⎨

⎧

>

−

>

− 0 3

0

2 13 x

x 13

∴ x = 7 11.對數定義：

(1)設log

2

3a = 4，則a = 。 (2)設logb 9 3= 5，則b = 。 答案：(1)

16

81 (2) 3

12.求log8( 2+ 3 − 2− 3 ) = 。 答案：6

1

解析：

3

2+ − 2− 3= 2

1 ( 4+2 3− 4−2 3) = 2

1 [( 3+ 1) − ( 3 − 1)] = 2

∴ log8( 2+ 3 − 2− 3) = log23 2= 3 2 1

log22 = 6 1

13.設 4^logx − 3．x^log2 − 4 = 0，則x = 。 答案：100

解析：

(2^logx)² − 3．2^logx − 4 = 0 ⇒ (2^logx − 4)(2^logx + 1) < 0 ⇒ 2^logx = 4 = 2² ⇒ logx = 2

∴ x = 100 14.化簡log

32 81+ 3log

3 5+ log

9

1+ log768 之值為 。 答案：3

解析：

原式 = log 32

81+ log ( 3

5)³ + log 9

1+ log 768 = log(

32 81×

27 125×

9

1×768) = log 1000 = 3 15.解方程式log6x + log6(x − 1) = 1，得x = 。

答案：3 解析：

log₆x + log₆(x − 1) = 1 ⇒log₆[x(x − 1)] = log₆6 ⇒ x² − x = 6

⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ (x − 3)(x + 2) = 0

又 ⇒ x > 1， ⇒ x = 3 或 − 2（不合）

⎩⎨

⎧

>

−

>

0 1

0 x

x 　　

16.方程式log

2

1(x + 3) − 2log

2

1(x − 1) = 1 之解為 。 答案：x = 5

解析：

log

2

1(x + 3) − 2log

2

1(x − 1) = 1 ⇒ log

2

1 2

) 1 (

3

− + x

x = log

2 1 2

1

⇒ ₂

) 1 (

3

− + x

x =

2

1 ⇒ x² − 2x + 1 = 2x + 6 ⇒ x² − 4x − 5 = 0 ⇒ x = 5 或 − 1

原式有意義 ⇒ ⇒ x > 1；得x = 5

⎩⎨

⎧

>

−

>

+ 0 1

0 3 x x

17.x的方程式x^(log2x)−a= 32 有一根為 2 1，則

(1) a = 。 (2)此方程式的另一根為 。 答案：(1) 4 (2) 32

解析：

(1)∵

2

1為x^(log2x)−a= 32 之一根，代入 ⇒ ^2)−a

(log₂1

2)

(1 = 32

⇒ )

2

(1 ^−1−a = 2⁵ ⇒ − 1 − a = − 5 ⇒ a = 4

(2) = 32 ⇒ = log 32 ⇒ (log x − 4)(log x) = 5

⇒ (log x)

4 ) (log₂x−

x log₂ x^(log2x)−4 2 2 2

2 2 − 4log x − 5 = 0 ⇒ (log x − 5)(log x + 1) = 0

⇒ log x = 5，− 1 ⇒ x = 2

2 2 2

2 5，2⁻¹ ⇒ x =

2

1，32 ∴ 另一根為 32 18.設

α

β

α

β

1

解析：

∵ (log3x)(log4x) = 1 的二根為

α

β

⇒ (log x + log3)(log x + log4) − 1 = 0 的二根為

α

β

⇒ (log x)² + (log3 + log4)(log x) + (log3)(log4) − 1 = 0 的二根為

α

β

α

β

α

β

αβ

12

1 ⇒

αβ

1