13log17log 21

高雄市明誠中學 高一數學複習測驗 日期：96.03.015 班級 普一 班

範

圍 1-3 對數

座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. log0.1 log0.2 log0.5₅

2

1 之值 =(A) − 2 (B) − 1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

【解答】(C)

【詳解】

原式 = log0.1(log0.2(

1 5 1 2

log ( )1

2 )) = log0.1( 5 log 1

5

1 ) = log0.11 = 0，故選(C) 2. 設x∈R，使log_2x+1(2 + 5x − 3x²)有意義的x所在範圍為

(A) − 2

1< x < 2 (B) − 3

1< x < 2 (C) 0 < x < 2 (D) − 3

1< x < 2 且x ≠ 0 (E) − 2

1< x < 2 且x

≠ 0

【解答】(D)

【詳解】

3 2 0 1

) 2 )(

1 3 ( 0

2 5 3 0

3 5 2

0 1

1 2

2 0 1

1 2

2

2 > ⇒ − − < ⇒ + − < ⇒ − < <

− +

≠

⇒

≠ +

−

>

⇒

>

+

x x

x x

x x

x

x x

x x

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∴ − 3

1< x < 2 且 x ≠ 0，故選(D) 3. (複選)下列式子哪些是正確的？

(A) log77 = 1 (B) log32 + log34 = log36 (C) log517 − log513 =

13 log

17 log

5

5

(D) log₂5．log₂7 = log235 (E) log₄9 = log ₂ 3

【解答】(A)(E)

【詳解】

(A) 對數性質 (B) log32 + log34 = log38 ≠ log36 (C) log₅17 − log₅13 = log₅

13 17 ，

13 log

17 log

5

5 = log₁₃17 ∴ 二式不相等 (D) log₂35 = log2(5．7) = log25 + log27 ≠ log25．log₂7

(E) log₄9 = log 322

2 = 2

2log₂3 = log₂3，log ₂ 3= log

2 1

2

3²

1

= 2 1 2 1

log₂3 = log₂3 ∴ 二式相等 4. (複選)設A，B∈R，下列敘述何者正確？

(A) logA² = 2logA (B) logA²B² = logA² + logB² (C) log ₂

2

BA = logA² − logB² (D) logA = − log

A

1 (E) 0 < y ≠ 1，x > 0，logy x = y x log log

【解答】(E)

【詳解】

(A) A < 0 時不對 (B)(C)(D)於 A = 0 時不對 5. (複選)下列各x值何者大於 1？

(A) log_x10 10= 2

3 (B) x = log

2

132 (C) 10^x =³100 (D) log

2

1x = − 2 (E) ( 2 1)^x = 2

【解答】(A)(D)

【詳解】

(A) logx10 10= 2

3 ⇒ 10 10 = x²

3

⇒ x = 10 (B) x = log

2

132 = log 22⁻1

5 = − 5

(C) 10^x =³100= 10³

2

⇒ x = 3

2 (D) log

2

1x = − 2 ⇒ x = ( 2

1)⁻² = 2² = 4

(E) ( 2

1)^x = (2⁻¹)^x = 2 ⇒ x = − 1 6. (複選)下列敘述何者正確？

(A) log₇( − 3)² = 2log7( − 3) (B)log ₆ 7= log67 (C)

3

log1x = − log3 x (D)若log27 a = log81b，則loga b =

3

4 (E) m∈R，m ≠ 0，則loga b = ^m

am b log

【解答】(B)(C)(D)(E)

【詳解】

(A) log7( − 3)² = 2log73 (B) ²

) 6

6 7 log( ( 7)

log = 2 = log67 (C)∵

m bⁿ n

a^m =

log loga b ∴ ₃ ¹

3

1 log ¹

log x= − x = − log3x

(D) log27a = log81b ⇒ log₃³ a =log₃⁴ b ⇒ ³ a=⁴ b ⇒ a⁴ = b³

∴ log_a b =

3 log 4

log_a4b⁴ = _b3b⁴ =

(E) m a

b m a b b

a a m

a m m a

a^m

log log log

log = log = = loga b

7. 若log2(log3x) + 3log8(log59) = 2，則下列何者正確？

(A) x < 5 (B) 5 ≤ x < 10 (C) 10 ≤ x < 15 (D) 15 ≤ x < 20 (E) x ≥ 20

【解答】(E)

【詳解】

∵ 3log₈(log₅ 9) = 3

3log₂(log₅ 9) = log2(log₅ 9)

原式：log2(log3 x) + log2(log5 9) = 2 ⇒ log2(log3 x．log5 9) = 2 ⇒ log3 x．log5 9 = 4

⇒ log3 x = 9 log

4

5

= 4log9 5 = 2log3 5 = log3 25 ⇒ x = 25，故選(E)

二、填充題(每題 10 分)

1. 設 3^log35+ 4^log45= 2^log2x，則x = 。

【解答】10

【詳解】

3^log35+ 4^log45= 2^log2x ⇒ 5 + 5 = x ⇒ x = 10

2. 設log23 = a，log35 = b，log57 = c，則以a，b，c表示log10528 之值為 。

【解答】a ab abc abc

+ +

+ 2

【詳解】

log23 = a，ab = log23．log35 = log25，abc = log23．log35．log57 = log27 log₁₀₅28 =

105 log

28 log

2

2 =

7 log 5 log 3 log

7 log 4 log

2 2

2

2 2

+ +

+ =

abc ab a

abc + +

+ 2

3. 求log₃7．log₇90 −

81 log

100 log

49

7 = 。

【解答】2

【詳解】

原式 = log390 −

9 log

10 log 2

7

7 = 2 + log310 −

3 log 2

10 log 2

7

7 = 2 + log310 − log310 = 2 4. 求下列各對數的值：

(1) log 21

8 + 2log 3

35− log14 + log27 = 。 (2) log₂3．log₃5．log₅7．log₇32 = 。 (3) (log252 + log5

8

1)(log25 + log4 5 ) = 。

【解答】(1)2 (2)5 (3)−

8 25

【詳解】

(1) log 21

8 + 2log 3

35− log14 + log27 = log 21

8 + log(

3

35)² − log14 + log27

= log(

21 8 ×

9 1225×

14

1 × 27) = log(4 × 25) = log10² = 2 (2)log₂3．log₃5．log₅7．log₇32 = log₂32 = log₂2⁵ = 5 (3)(log252 + log5

8

1)(log25 + log4 5 ) = (log252 + log25

64

1 )(log425 + log4 5 )

= log₂₅ 32

1 ．log₄25 5 = log 252

−5．log 522

2 5

= 2

−5

． 2 2 5

．log₅2．log₂5 = − 8 25

5. 設 4^logx − 3．x^log2 − 4 = 0，則x = 。

【解答】100

【詳解】

(2^logx)² − 3．2^logx − 4 = 0 ⇒ (2^logx − 4)(2^logx + 1) < 0 ⇒ 2^logx = 4 = 2² ⇒ logx = 2

∴ x = 100

6. a = log77⁸，b = 10^log4，則a + b = 。

【解答】12

【詳解】

a + b = log77⁸ + 10^log4 = 8log77 + 4 = 8 + 4 = 12

7. 設log_a x = 3，logb x = 4，logc x = 5，logd x = 6，則logabcd x之值為 。

【解答】19 20

【詳解】

logx a = 3

1，logx b = 4

1，logx c = 5

1，logx d = 6 1

⇒ log_x a + log_x b + log_x c + log_x d = 3 1+

4 1+

5 1+

6

1 ⇒ log_x abcd = 20

19 ⇒ log_abcd x = 19 20

8. 求(log₉4)．(log₂₅ 3 )．(log ₂5) = 。

【解答】2 1

【詳解】

原式 = ( 2

2log₃2)(

2 2 1

log₅3)(

2 1

1 log₂5) = 1．

4

1．2(log₃2．log₂5．log₅3) = 2 1

9. 方程式log3(x² − 13) − log3(x − 3) = 2 之解為 。

【解答】7

【詳解】

log₃(x² − 13) − log₃(x − 3) = 2 ⇒ ⇒ x >

⎩⎨

⎧

>

−

>

− 0 3

0

2 13 x

x 13

3

2 13

−

− x

x = 3² = 9 ⇒ x² − 9x + 14 = 0 ⇒ (x − 7)(x − 2) = 0 ∴ x = 7

10.解(

3 2)^x = (

2

3)^2x−3，x = 。

【解答】1

【詳解】

兩邊取對數，得 xlog 3

2= (2x − 3)log 2 3

⇒ (2log 2 3− log

3

2)x = 3log 2

3 ⇒ (3log 2

3) x = 3log 2

3 ⇒ x = 1 11. log3(log949) + 2log9(log73⁹) = 。

【解答】2

【詳解】

所求 = log3(log949) + log3(log73⁹) = log3(log949．log73⁹) = log3(log37．log73⁹) = log39 = 2 + 3 − 5

−

2 log

= 。

【解答】 81 2−161

【詳解】

原式 = (2²) ^{2log 2 log 2}

1 3 log

2 ₂ ³ ₅

5

3 −

− + =2^log23−4 +3^{log3 2} −2 = 3 ⁻⁴ + 2 − 2 =

81 2−161 13.方程式log₂(x − 1) = log₄(2 − x) + 1 之解為 。

【解答】2 2− 1

【詳解】

∵ ⇒ 1 < x < 2 原式化為log

⎩⎨

⎧

>

−

>

− 0 1

0 2

x x

4(x − 1)² = log4(2 − x) + log44 ⇒ (x − 1)² = 4(2 − x) ⇒ x² + 2x − 7 = 0

⇒ x = − 1±2 2，但 1 < x < 2 ∴ x = − 1 + 2 2 14.已知log₁₀2 = 0.3010，log103 = 0.4771，則

(1) log₁₀5 之值為 。 (2) log₁₀6 之值為 。

【解答】(1) 0.6990 (2) 0.7781

【詳解】

(1) log105 = log10

2

10= log1010 − log102 = 1 − 0.3010 = 0.6990

(2) log106 = log10 (2 × 3) = log102 + log103 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781 15.設log4 x = −

2 3，logy

3 4

16 =81 ，則(1) x = 。 (2) y = 。

【解答】(1) 8 1 (2)

27 8

【詳解】

(1) log₄ x = − 2

3 ⇒ x = 4 ²

−3

=2 =⁻³ 8 1

(2) log_y

3 4 16 =81 ⇒

81 16= y³

4

⇒ (3

2)⁴ = y³

4

⇒ y³

1

=3

2 ⇒ y = ( 3 2)³ =

27 8

16.設log₃{log

2

1[log₅(x + 3)]}有意義，則x的範圍是 。

【解答】− 2 < x < 2

【詳解】

log

2

1[log5(x + 3)] > 0 = log

2

11，即 0 < log5(x + 3) < 1 ⇒ 1 < x + 3 < 5 ⇒ − 2 < x < 2 17.log2(log232 + log

2 1 4

3+ log436) = 。

【解答】3

【詳解】

原式 = log2(log22⁵ + log ₁

2⁻ 4

3+ log 622

2) = log2(5 − log2

4

3+ log26) = log2(5 + log2

4 3 6 )

= log2 (5 + 3) = 3

18.求log8( 2+ 3 − 2− 3 ) = 。

【解答】6 1

【詳解】

3

2+ − 2− 3= 2

1 ( 4+2 3− 4−2 3) = 2

1 [( 3+ 1) − ( 3 − 1)] = 2

∴ log8( 2+ 3 − 2− 3) = log23 2 = 3 2 1

log22 = 6 1

19.若 2^x = y + 1，x = 2log2(y − 1)，則x + y之值為 。

【解答】5

【詳解】

(1) x = 2log2(y − 1) = log2(y − 1)² ⇒ (y − 1)² = 2^x且y − 1 > 0

(2)但 2^x = y + 1 ∴ (y − 1)² = y + 1 > 0 ∴ y = 3 或y = 0（不合 ∵ y − 1 > 0）

(3)∴ 2^x = 4 ⇒ x = 2 ∴ x + y = 5 20.方程式log

2

1(x + 3) − 2log

2

1(x − 1) = 1 之解為 。

【解答】x = 5

【詳解】

原式有意義 ⇒ ⇒ x > 1

log

⎩⎨

⎧

>

−

>

+ 0 1

0 3 x x

2

1(x + 3) − 2log

2

1(x − 1) = 1 ⇒ log

2

1 2

) 1 (

3

− + x

x = log

2 1 2

1

⇒ ₂

) 1 (

3

− + x

x =

2

1 ⇒ x² − 2x + 1 = 2x + 6 ⇒ x² − 4x − 5 = 0 ⇒ x = 5 或 − 1 得x = 5

21.若方程式log3(3^2x + 9) = 1 + x + log32，則方程式之解x = 。

【解答】1

【詳解】

log3(3^2x + 9) = 1 + x + log32 = log33 + log33^x + log32 = log3(6．3^x)

∴ 3^2x + 9 = 6．3^x ⇒ (3^x)² − 6．3^x + 9 = 0 ⇒ (3^x − 3)² = 0 ⇒ 3^x = 3 ∴ x = 1 22.求值：log3

3 31 + (

3 log log −8

3 log

1

2

)．log2 3= 。

【解答】−

2 1

【詳解】

log3

3 31 + (

3 log log −8

3 log

1

2

)．log2 3 = log3 2 3

3 1 + (

3 log

2 log

3 −

3 log

1

2

)．log23²

1

= log33 ²

−3

+2

1(3log32 − 3 log

1

2

)．log23 = − 2 3+

2

1(3 − 1) = − 2

3+ 1 = − 2 1

23.解x^logx = 10

x2 ，得x = 。

【解答】10

【詳解】

x^logx = 10 x2

⇒ logx^logx = log 10

x2

⇒ (logx)² = 2logx − 1

⇒ (logx)² − 2logx + 1 = 0 ⇒ (logx − 1)² = 0 ⇒ logx = 1 ⇒ x = 10 24.3 ^{log 3}

5 log 2

2 2

+ 5^{log 24} = 。

【解答】650

【詳解】

原式 = 3^log352+ 5^log216= 25 + 5⁴ = 650

25.無窮級數log₉ 3+log₉ 3+log₉ 3 +…+log₉ " 3 +…的和為 。

【解答】2 1

【詳解】

原式 = 2 ³

2 2 2

2) (1

3 2)

(1

3 2 1

3 3 log 3 log 3

log + + +… ⁽²¹⁾ⁿ

3 3 log 2

+ +…

= 2

2) (1 2 2) (1 2 2

1 2 3

+

+ +…

2 2) (1 ⁿ

+ 2

) 1 2 1 1

2 1 2(

1 =

−

=

26.設 2^{log x}．x^log2 − 3(x^log2) − 2^{1 + log x} + 4 = 0，則x之值為 。

【解答】1 或 100

【詳解】

(1) 2^{log x} = x^log2

(2)原方程式即(2^{log x})(2^{log x}) − 3(2^{log x}) − 2(2^{log x}) + 4 = 0

⇒ (2^{log x})² − 5(2^{log x}) + 4 = 0 ⇒ 2^{log x} = 1 或 2^{log x} = 4

⇒ log x = 0 或log x = 2 ⇒ x = 1 或 100

27.設 logA = a，logB = b，logC = c，且 a + b + c = 0，求 A ⁾

1 (1

c b+

．B ⁾

1 (1

a c+

．C ⁾

1 (1

b a+

之值。

【解答】1000 1

【詳解】

原式取log ⇒ log A ⁾

1 (1

c b+

+ logB ⁾

1 (1

a c+

+ logC ⁾

1 (1

b a+

= (b 1+

c

1)log A + ( c 1+

a

1)logB + ( a 1+

b

1)logC = b a+

c a+

c b+

a b+

a c+

b c

=a b+

a c+

a a+

b a+

b c +

b b+

c a+

c b +

c c− 3 =

a c b a+ + +

b c b a+ + +

c c b

a+ + − 3 = − 3

∴ A ⁾

1 (1

c b+

．B ⁾

1 (1

a c+

．C ⁾

1 (1

b a+

= 10⁻³ = 1000

1

28.設a_n = log₂2 + log₂4 + log₂8 +…+ log₂2ⁿ，求_∑^∞

=1

1

n an 之值。

【解答】2

【詳解】

a_n = log22 + log24 + log28 +…+ log22ⁿ = 1 + 2 + 3 +…+ n = 2

1n(n + 1)

⇒ )

1 1 (1 ) 2 1 (

2 1

− + + =

= n n n n

a_n

∴ S_n =_∑

− +

= n

k ¹ k k )

1 1 (1

2 = )

4 1 3 (1 3) 1 2 (1 2) 1 1 [(1

2 − + − + − +…+ )]

1 1 (1

− + n n

= 2(1−

1 1

+

n ) ⇒ ) 2

1 1 1 ( lim2 1 lim

1

+ =

−

∑ = =

∞

→

∞

= →∞S n

a ⁿ

n n

n n

29.解下列聯立方程式 。

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

=

−

+ 21

3 log

1 3 5 log 7

1

6 y

y

x

x ．

【解答】x = 100，y = 1

【詳解】

c × 3 + d × 5 ⇒ 51 log x = 102 ⇒ log x = 2 ⇒ x = 10

⎩⎨

⎧7logx−5．3^y =−1……c 6 logx + 3．3^y = 21……d

2 = 100 代入c 14 − 5．3^y = −1 ⇒ 3^y= 3 ⇒ y = 1

30.芮氏規模衡量地震的定義為r = logI，其中r代表地震的強度（單位：級），而I代表所釋 放出的能量。試問一個 7.2 級地震釋放出的能量約等於 6.4 級地震釋放出的能量的多少 倍？（計算至小數點後第 2 位，hint：利用對數表）

【解答】6.31 倍

【詳解】

設logI1 = 7.2，logI2 = 6.4 ⇒ log

2 1

II = 7.2 − 6.4 = 0.8，由查表知log6.31 = 0.8

∴

2 1

II = 6.31，則 7.2 級地震釋放出的能量是 6.4 級的 6.31 倍