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碩 士 論 文 中 華 大 學

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(1)

中 華 大 學

碩 士 論 文

碳纖維索斜張橋阻尼特性 對地震反應影響之研究

系 所 別:土木與工程資訊學系碩士班 學號姓名:M09404001 江坤霖

指導教授:苟昌煥博士 高金盛博士

中華民國九十六年八月

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誌謝

感謝恩師 苟昌煥博士與淡江大學營建系 高金盛博士在這兩 年研究所期間的悉心指導,以及浙江大學 謝旭博士與 布占宇博士 與研究過程中之協助,方使學生的論文得以順利完成,在此謹致上由 衷的敬意與謝忱。

同時感謝逢甲大學交通工程與管理學系 徐耀賜博士與本校 張奇偉博士與萬鼎工程股份有限公司鍾金龍副總經理於口試期間的 觀念指正與建議,使得本論文更臻完善。也感謝所有教導過我的老師 們,本校 李錫霖老師、 徐增興老師、 廖述濤老師、 楊國湘老 師的淳淳 誨,在此致上最真摯的感謝。

在這兩年研究所修業期間,特別感謝冠廷學長、真影學姊、宇軒 學長和同學竣傑、裕民、冠佑、及伊仁、士軒、智榮、亦寧等,在學 業上的幫助與鼓勵,讓我能順利完成研究所兩年的學業。

最後,感謝我的父母及家人在求學過程中的支持與關懷,而成就 了今日的我。

謹以此篇論文獻給曾經幫助過我及關心過我的人。

江坤霖 謹誌 中華民國九十六年七月

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摘要

在跨徑較大的斜張橋中,長短不一的纜索體系所涵蓋的自振範圍 很大,在車輛、地震或風雨荷載作用下,纜索的局部振動易與橋梁體 系發生耦合振動的現象,研究結果顯示碳纖維索斜張橋若不考慮纜索 局部振動之影響,計算應變能比例阻尼時將會些許高估部份振態之阻 尼比,但比例並不大,而鋼索斜張橋與碳纖維索斜張橋相較,考慮及 不考慮纜索局部震動之阻尼分分佈差異較大,當利用常數阻尼計算大 垮度斜張橋地震反應時,往往可以得到較大的地震反應,屬於較為保 守的分析模式,若利用雷利阻尼理論來模擬其阻尼特性,將會因選取 的參考振態不同而產生極大的地震反應差異。

關鍵字: 斜張橋,纜索局部振動,碳纖維索,地震反應,阻尼

(8)

ABSTRACT

In large span cable-stayed bridges, self-vibration of cables covered a wide range due to unequal cable lengths in the system; coupled vibration is prone to occur when local vibration of a cable caused by the load of a vehicle, an earthquake, or the wind or rain resonates with the bridge system. Studies reveal that carbon-fiber cable-stayed bridges, when calculating the strain proportioned damping, damping ratio of part of vibration modes will somehow be over-estimated if not taking the influence of local cable vibration into consideration; in a low proportion, though. Comparing with stell cable-stayed bridges, In a carbon-fiber cable-stayed bridges, whether or not considering the local vibrations has a more substantial effect on the damping distribution. Moreover, when using constant damping to calculate seismic reactions of a large span cable stayed bridge, more significant seismic reactions are often attained;

therefore this is a more conservative analysis model. When using Rayleigh Damping theory to simulate damping characteristics, significant deviations in seismic reactions will occur due to different selection of referencing vibration modes.

Keywords: Cable-stayed bridge, Local vibration of cable, Carbon fiber cable, Seismic response, Damping

(9)

目錄

頁次 誌謝

摘要... I 英文摘要... III 目錄... III 表目錄... VI 圖目錄... VII

第一章 緒論... 1

1-1 前言... 1

1-2 研究動機及目的... 2

1-3 研究內容... 3

第二章 文獻回顧... 5

2-1 靜力分析相關文獻... 5

2-2 拉索振動及斜張橋地震反應相關文獻... 7

2-3 結構阻尼相關文獻... 10

第三章 斜張橋動力分析理論... 12

3-1 梁柱單元矩陣之建立... 12

(10)

3-1-2 梁柱單元勁度矩陣及質量矩陣... 12

3-2 索單元矩陣之建立... 16

3-3 拉索局部振動的自由度縮減法... 21

3-4 整體結構矩陣之建立... 23

3-4-1 整體勁度矩陣 K、質量矩陣 M 之建立... 23

3-4-2 整體阻尼矩陣 C 之建立... 23

3-5 多支承運動方程式之推導... 24

3-5-1 似靜力反應... 26

3-5-2 動力反應... 27

3-6 結構動力反應之直接積分法... 28

3-7 結構地震反應計算理論... 30

3-8 雷利阻尼理論…... 31

3-9 應變能比例阻尼理論... 31

第四章 考慮纜所局部震動對斜張橋阻尼特性之影響... ... 33

4-1 前言... 33

4-2 基本分析資料... 33

4-3 案例分析與討論... 34

4-3-1 案例分析說明... 34

4-3-2 分析結果與討論... 35

(11)

第五章 不同阻尼模式對斜張橋地震反應之影響... 40

5-1 前言... 40

5-2 基本分析資料……... 40

5-3 案例分析與討論... 41

5-3-1 改變阻尼計算模式對地震反應之影響... 41

5-3-2 改變雷利阻尼之參考振態對地震反應之影響... 43

第六章 結論與建議... 45

6-1 結論... 45

6-2 建議... 46

參考文獻... 47

(12)

表目錄

表 4-1 構件斷面特性... 51 表 4-2 構件楊氏模數及單位重... 51 表 4-3 三種雷利阻尼參考振態的選取依據... 51

(13)

圖目錄

圖 3-1 梁單元座標示意圖... 52

圖 3-2 拉索單元座標示意圖... 52

圖 3-3 拉索初始張力示意圖... 53

圖 3-4 用支點以及振型廣義座標表示的拉索變形... 53

圖 4-1 斜張橋模型圖... 54

圖 4-2 斜張橋有限元模型圖... 54

圖 4-3 碳纖維索斜張橋阻尼周期圖... 55

圖 4-4 鋼索斜張橋阻尼周期圖... 55

圖 4-5 碳纖維索斜張橋主要振態的主梁應變能比率... 56

圖 4-6 碳纖維索斜張橋主要振態的橋塔應變能比率... 56

圖 4-7 碳纖維索斜張橋主要振態的拉索應變能比率... 57

圖 4-8 鋼索斜張橋主要振態的主梁應變能比率... 57

圖 4-9 鋼索斜張橋主要振態的橋塔應變能比率... 58

圖 4-10 鋼索斜張橋主要振態的拉索應變能比率... 58

圖 4-11 縱飄振態 (碳纖維索斜張橋自振頻率,不考慮拉索自由振動)... 59

圖 4-12 對稱豎彎振態 (碳纖維索斜張橋自振頻率,不考慮拉索自由振動)... 59

(14)

圖 4-13 對稱側彎振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,不考慮拉索自由振動)... 59 圖 4-14 反對稱豎彎振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,不考慮拉索自由振動)... 59 圖 4-15 對稱扭轉振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,不考慮拉索自由振動)... 59 圖 4-16 反對稱扭轉振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,不考慮拉索自由振動)... 59 圖 4-17 縱飄振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,考慮拉索自由振動)... 60 圖 4-18 對稱豎彎振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,考慮拉索自由振動)... 60 圖 4-19 對稱側彎振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,考慮拉索自由振動)... 60 圖 4-20 反對稱豎彎振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,考慮拉索自由振動)... 60 圖 4-21 對稱扭轉振態

(碳纖維索斜張橋自振頻率,考慮拉索自由振動)... 60 圖 4-22 反對稱扭轉振態

(15)

(碳纖維索斜張橋自振頻率,考慮拉索自由振動)…... 60 圖 5-1 El Centro 地震波南北向分量... 61 圖 5-2 三種雷利阻尼及應變能彼利阻尼之阻尼週期圖... 61 圖 5-3 主梁豎向變位包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 62 圖 5-4 主梁彎矩包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 62 圖 5-5 橋塔順橋向變位包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 63 圖 5-6 橋塔彎矩包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 63 圖 5-7 主梁豎向加速度包絡圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 64 圖 5-8 橋塔順橋向加速度圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 64 圖 5-9 主梁軸力包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 65 圖 5-10 橋塔軸力包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 65

(16)

圖 5-11 主梁豎向變位包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 66 圖 5-12 主梁彎矩包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 66 圖 5-13 橋塔順橋向變位包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 67 圖 5-14 橋塔彎矩包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 67 圖 5-15 主梁豎向加速度包絡圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 68 圖 5-16 橋塔順橋向加速度圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 68 圖 5-17 主梁軸力包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 69 圖 5-18 橋塔軸力包絡線圖

(常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼比較)... 69

(17)

第一章 緒論

1-1 前言

自古以來交通運輸的便利一直是促進國家經濟發展的重要因 素,而為了跨越地形上的各種限制,橋梁工程在交通建設方面更是扮 演著十分重要的角色。

台灣地形及氣候特殊,季節性的颱風及暴雨常常造成湍急的洪水 及土石流,使河床嚴重沖刷並對跨河橋梁造成危害,為了減少橋梁在 河床上的落墩數目,大跨度的橋梁便成為了未來台灣跨河橋梁的發展 趨勢,因此兼具功能與美觀的大跨度斜張橋(cable stayed-bridge)也 越來越受到重視。

斜張橋結構之主要構件包含了橋塔(tower)、主梁(girder)、

纜索(cable)及基礎(foundation),主梁所承受的載重可借著纜索 張力傳遞至橋塔,並由橋塔通過基礎傳至地面,纜索分擔了大部分主 梁承受的載重,使斜張橋可以大幅減少主梁的段面尺寸提升經濟效 益,是當今中、長跨徑橋梁的最佳選擇之ㄧ。

斜張橋起源自吊橋,因此斜張橋之構造與吊橋相接近,然而相較 於吊橋採用斜張橋更具經濟效益,雖然斜張橋的概念最早可追溯至 17 世紀初,但主要的發展是在二次大戰後,此時的歐洲各國物資缺 乏百廢待新,為了能以有限的資源推動交通建設具有經濟性且成本低

(18)

的斜張橋因而被大量的採用,1956 年德國人 Dischinger 設計了門架式 橋塔雙索面輻射式吊索配置的瑞典Stromsund橋,成為第一座近代斜張 橋。

1-2 研究動機及目的

斜張橋等長大橋梁之構件單元複雜,在分析時雖然質量和勁度都 可以精確的模擬,但在系統阻尼方面卻未得到較好的模擬方法,要正 確的估計結構阻尼參數十分困難。

目前結構阻尼參數選擇的方法多為依靠以往的經驗公式及經驗 數值,如一般使用的常數阻尼和雷利阻尼等,常數阻尼假設阻尼不隨 頻率變化,阻尼值為一不變的常數,較適合材料單一、阻尼分布均勻 的結構物,而雷利阻尼為正交阻尼的一種,假定阻尼與結構的質量和 勁度矩陣成正比。

纜索為斜張橋最柔軟的構件,其兩端支點受擾動作用時容易誘發 索的局部振動,此局部振動情形不但可能引起橋梁複雜的振動特性且 會改變斜張橋振動能量的分佈及阻尼特性,因而斜張橋纜索的局部振 動有其探討的必要性。

本文以考慮纜索性質的變化對斜張橋阻尼特性的影響,以及改變 不同阻尼模式對斜張橋地震反應之影響兩方面來對斜張橋進行探討

。希望在完成以上的探討之後,能對斜張橋之結構阻尼參數的選擇方

(19)

面能得到有益的結論。

文中將比較斜張橋考慮及不考慮纜索局部振動時阻尼特性的差 異,並在採用常數阻尼、雷利阻尼、應變能比例阻尼等阻尼模式下,

對斜張橋進行動力分析,以求得各種阻尼計算方式在斜張橋地震反應 上所產生的影響。

1-3 研究內容

本論文研究內容共分為六個章節,各章編排及內容簡述如下:

第一章:緒論

敘述研究背景、研究動機及目的和研究內容。

第二章:文獻回顧

針對國內外橋梁有關的研究結果做些整理及概述。

第三章:斜張橋動力分析理論

概述本文所使用的斜張橋動力分析理論,包含纜索局部 振動分析理論、斜張橋地震反應分析理論及阻尼計算理 論。

第四章:考慮纜索局部震動對斜張橋阻尼特性之影響

在考慮不同斜纜索材料性質的情況下,探討考慮及不考 慮纜索局部振動對斜張橋阻尼特性之影響。

(20)

利用常數阻尼、雷利阻尼及應變能比例阻尼理論計算斜 張橋之阻尼特性,並分別對其進行地震反應分析以求得 碳纖維索斜張橋在不同阻尼模式下地震反應的差異。

第六章:結論與建議

對本文分析結果提出結論,並針對後續的研究發展提出 適當的建議。

(21)

第二章 文獻回顧

2-1 靜力分析相關文獻

1970年到1990年間,在國外已有許多斜張橋方面的研究報告,研 究方向主要集中於斜張橋初形與變形分析方法等靜力方面的研究探 討。其中:

1971年Tang【1】建議將斜張橋非線性效應納入考慮,利用迭代 法作分析。

1972年Lazar、Toritsky及Douglass【2】利用斜索預拉力抵抗外部 載重,並利用載重平衡法作分析。

1972年Tang【3】進行斜張橋結構靜力分析時,係根據Ernst【4】

所提出之等效纜索彈性模數與考慮梁-柱效應之方法,從此有關斜張 橋非線性行為的探討開始受到重視。

1976年Podolny【5】則提出勁度法作為斜張橋靜力分析之依據,

並指出斜張橋大部份非線性行為,均因纜索之中垂效應所產生,此非 線性效應於初始靜載重分析時即應納入考慮。

1978年Fleming【6】考慮在軸向力、撓曲彎矩作用下對梁元素勁 度的影響,推導梁元素受軸力作用下的穩定函數,以修正軸向勁度、

側向勁度及撓曲勁度,便於利用有限元素的觀念建立斜張橋的結構分 析模型。

(22)

1987年Hegab【7,8】以能量法配合迭代過程作三度空間雙索面斜 張橋結構分析並考慮扭力對結構之影響,文中指出此法更易收斂。

1990年Nazmy與Abdel-Ghaffar【9】應用有限元素法進行三維斜 張橋非線性靜力分析,文中斜張橋分析模型主跨距定為1100ft及 2200ft,分別代表現在與未來之斜張橋,利用載重增量迭代法及結構 之切線勁度矩陣作分析,並考慮所有可能之非線性行為。

國內則是在近二十年才陸陸續續有許多斜張橋相關的研究發 表。其中:

1992年洪嘉隆【10】則探討了單索面斜張橋在車輛作用下之衝擊 係數。

1992年楊瓊貴【11】提出了處理斜張橋靜力非線性問題之變形分 析流程。

1993年王寶璽【12,13,14,15,16】透過雙迴路迭代計算得到其數值 解,而雙迴路迭代即是包含平衡迭代及形狀迭代兩個型式混合使用。

其中平衡迭代即是以纜索稍具預力起算,透過迭代過程求取受預力作 用下的非線性平衡位置;而形狀迭代是用尋求合理的變形位置,透過 控制主梁變位的精度,來決定是否停止計算。若變形不為所求,則透 過之前平衡迭代所得到的元素軸力作為預力,重新進行迭代,如此即 可求得在合理初形下的系統勁度矩陣與內力分佈。然而在非線性分析

(23)

的過程中,如何正確求得迭代過程中桿件的變形是決定分析結果正確 與否的關鍵。

1996年林堉溢【17】利用空間剛架幾何非線性分析流程和幾何非 線性梁柱元素,再加上斜張橋之纜索元素,且利用等效彈性係數考慮 其非線性行為,然後利用牛頓-勒卜生法求解。所進行之分析包括:

預力調整分析、活載重分析和受風力分析

2000年康鳳明【18】提出斜張橋挫屈分析與非線性行為之間的若 干相關性。

2000年林宏達【19】指出,在斜張橋初形分析時,調整索力最常 用的方法包括剛性支承連續梁法、零位移法、倒拆和正裝法、無應力 狀態控制法、內力平衡法和影響彎矩法等。

2002年王彥博【20】運用幾何非線性分析流程,並採用形狀迭代 的概念來求解斜張橋受預力作用下的系統參數。

2002年唐子揚【21】提出如何應用增量法、迭代法及增量迭代法 求解非線性靜力問題。

2-2 纜索振動及斜張橋地震反應相關文獻

在有關纜索振動對斜張橋地震反應影響的研究中,國外已有許多 研究成果:

(24)

2002年Inoue K.和Sugimoto H.等【22】採用纜索附加質量的方法 來改變索橋的振動特性,以減輕並控制索塔的地震反應。但是由於附 加質量後的纜索振動特性與一般斜張橋纜索的振動特性不同,因此新 建橋梁不得直接參照而只限於舊橋的耐震加固。

1995年Ali H.M.和Abdel-Ghaffar A.M.【23】以四節點等參索單元 來模擬纜索的面內和面外振動,並分析了斜張橋考慮纜索局部振動影 響時的地震反應。由於四節點纜索單元難以精確地考量纜索的高階振 態,因此所得結果僅為近似值。

1991年Abdel-Ghaffar A.M.和Khalifa M.A.【24】認為纜索的局部 振動對斜張橋某些振態的振態參與係數有較明顯的影響,因此建議在 斜張橋進行地震反應分析時,需考慮纜索的局部振動效應。唯該研究 僅對振動特性進行探討,並未對地震反應進行分析。

2000年Caetano E.,Cunha A.和Taylor C.A.【25】認為斜張橋若考 慮纜索的局部振動時,在寬帶地震的激勵下,纜索與纜索、纜索與主 梁、纜索與橋塔之間的振動將會互相干擾,因而會產生一種系統阻 尼,這種系統阻尼將會使地震反應減小;反之,在窄帶地震的激勵下,

斜張橋的地震反應將會增大。

國內近期有關纜索局部振動對斜張橋地震反應影響的研究則有:

2004年吳崧琦【26】利用有限元素法進行斜張橋三維靜、動態分

(25)

析,結果顯示,在靜態交通荷載作用下,主要變形發生在橋梁大梁之 垂直向,而在單向車道滿載作用下亦顯現扭轉變形效應,低頻振態以 橋面垂直向振動為主。當三主方向分別受文中所選用地震力作用時,

高屏溪斜張橋主要受水平順橋向地震力控制,且非線性效應及垂直地 震力之效應在斜張橋結構分析中不容忽視。

2004年陳威中【27】認為以多個拉索元素模擬斜拉索時,在初形 分析中,可以得到較接近真實的形狀;頻率分析時,可得到更接近真 實的情形;在變形分析中,斜拉索有無細分,結果差異很小;在動力 分析分面,兩者所得結果均很相近。

2004年司裕仁【28】在鋼索動態的部分,觀察鋼索的中點橫向位 移反應並加以控制,採用兩種數值方法互相印證可信度,一種為擬靜 態與動態分析理論,而另一種則於有限元素的套裝軟體建立模型加以 模擬比較。並對鋼索端點施加不同外在振動型態,包括諧和函數以及 地震加速度歷時在不同的數值方法中比較之。最後並對鋼索加以控制 並分析結果。

2005年吳建成【29】認為在動力分析中,以桁架元素模擬纜索,

雖然可以便利的考慮纜索之中垂效應,但無法針對纜索的動力行為作 分析。並且以懸鏈線形纜索元素,對纜索的動力行為作分析。

(26)

2-3 結構阻尼相關文獻

1945年Rayleigh【30】提出一種理想化的阻尼模型,此種阻尼模 型假設阻尼矩陣是質量矩陣和剛度矩陣的線性組合。

1960年Caughey【31】提出了比例阻尼的更一般形式,通過改變 多個比例係數調整系統阻尼比之分布,相較於Rayleigh阻尼,此方式 能更合理的模擬結構振態阻尼的分布。

1993年Clough 等【32】提出可以考慮結構各部分阻尼不同影響 的非比例阻尼理論,由分塊的Rayleigh 阻尼矩陣疊加而成非比例阻尼 矩陣,但這種方法得到的阻尼矩陣是振態耦合的,計算比較困難。另 一個比較常用的阻尼模型是應變能比例阻尼,假定結構的振態阻尼比 與各個組成部分的應變能對結構總應變能的貢獻成正比。

1997年H. Yamaguchi, Manabu Ito【33】利用能量方法估計了斜張 橋的振態阻尼,研究表示斜張橋的振態阻尼依賴於振態的耦合特性,

若與主樑耦合振動的子結構具有較高的阻尼,那麼耦合振態的阻尼就 會因此增大。

1991年K. Kawashima 和S. Unjoh【34】研究了斜張橋可動支座的 滑動摩擦,基礎的能量散逸,纜索佈置對整橋阻尼比的影響,提出了 一種估計斜張橋振態阻尼比的方法,通過以一座斜張橋測得的加速度 反應作為地震輸入,假定不同阻尼比,計算了斜張橋地震回應,並與

(27)

實測地震反應對比,得到以下結論:(1)阻尼比依賴於能量耗散機 理和振態,必須考慮每個子結構阻尼類型以及能量耗散多少,即使同 一座斜張橋,如果激勵點或者激勵方向不同,得到的阻尼比也不同,

這是因為阻尼依賴於振態。(2)現場振動試驗測到的阻尼比比較分 散的原因之一可能是阻尼比依賴於振態。(3)纜索佈置和纜索數量 是阻尼比的影響因素之一。

1993年K. Kawashima,S. Unjoh,和M. Tunomoto【35】提出一種 斜張橋阻尼比評估方法,把斜張橋分成能量耗散機理相似的數個子結 構,每個子結構對應一個能量耗散方程式,而此能量耗散方程用子結 構的應變能或者某一個點的位移來描述。通過對斜張橋整體的能量耗 散和應變能進行評估,便可以得到某個特定振態的阻尼比。這種方法 應用到一個斜張橋模型上,可得到了較為滿意的估計精度。

(28)

第三章 斜張橋動力分析理論

3-1 梁柱單元矩陣之建立

本文無論是主梁或橋塔均採薄壁結構,因此各單元均以薄壁梁理 論來建立分析模式。

3-1-1 基本假設

(1) 變形前後斷面形狀不改變,即忽略波松比的效應。

(2) 軸向變位微分係數比其它兩個方向小,即忽略軸向二次以上之 微分係數項。

3-1-2 梁柱單元勁度矩陣及質量矩陣

如圖 3-1 所示,若梁柱單元上任意點 x ,,y z 的變位以UVW來 表示;轉角以 來表示;並以wG表斷面重心的軸向變位、ws為斷面單 位畸變翹曲產生的軸向變位;uSvS、 分表斷面剪切中心的變位與 轉角,則【36】:

s

s y y

u z y x

U , ,

!

s

s x x

v z y x

V , , (3-1)

s s s

G xu yv w

w z y x

W , ,

!

其中

xsys為斷面剪切中心座標;

(29)

ˊ表示對z軸的微分

斷面可以分為結構材料和非結構材料兩種類型,其動能可表示為

【36】

Vs V

s s s

e U V W dV U V W dV

T g

1

1 2 2 1 2

2 2 2

2 1

z eq s s G u s v s p

s A u v w H u H v I dz

g

2 2

2

2 2 2

2

1 (3-2)

其中

g為重力加速度;

s為剛性材料的單位重;

Vs為剛性材料的體積;

1為非剛性材料的單位量;

V1為非剛性材料的體積;

1

1 x s s eq

u A y G

H

1

1 y s s eq

v A x G

H

2 1 2

1

1 1

1

1 2 x s y s eq s s

s y

x s y x

p I I I I G y G x A x y

I

1

1 dA

dA A

s eq

根據 3-1-1 節的基本假設(1),材料的應變能Ue可以表示為【36】

V zz xz yz s

e E G G dV

U

s

2 2

2

2 1

(30)

z

z G y s x s w G J dz

dz I

v I u I w

E A 2 2 2 2 * 2

2

2 (3-3)

其中

E表示楊氏模數;

G表示剪切模數;

zz表示軸向應變;

xzyz為剪切應變;

dA

A

dA w

Iw s2

y dA x w

x x y w y

J s s s s

2 2

*

ydA 0 w xdA w xydA dA

ws s s

外力包含是xyz方向的自重在重心位置的作用,扭矩對剪 切中心的作用以及畸變翹曲的作用【36】。外力勢能Pe可表示為

z x y z t

e P U z P V z P W z m dz

P 0,0, 0,0, 0,0,

dz w P m x P y P w P v P u

zPx s y s z G x s y s t z s (3-4)

由上面定義的動能、應變能及外力勢能,根據 Hamilton 原理並 經過變換後,則可得到梁柱單元的運動方程式如下

f d k d

me e (3-5)

(31)

當梁柱單元之變位採用 Hermite 插值函數來表示時,軸向變位可 用 Hermite 一次插值函數,平面內變位及轉角可用 Hermite 三次插值 函數來表示,則有

W Nw

wG

!

U Nu uS

!

V Nv vS

!

θ

Nθ

(3-6)

其中

T θ

w N 1 z,z

N

T v

u N 1 3z2 2z3, z 2z2 z3 l ,3z2 2z3, z2 z3 l

N ; (3-7)

z表單元之座標除以單元之長度l

由上述之變位函數即可組成梁柱單元之形狀函數矩陣N,而梁柱單元 之勁度矩陣為

l T

TP DPNdz

N

ke (3-8)

其中

P表微分矩陣;

D表材料特性矩陣,可由虎克定律依應力與應變關係求得 梁柱單元之質量矩陣亦可由N得出

l

TρA Ndz N

me (3-9)

(32)

為單位體積質量;

A為梁柱之斷面面積

3-2 索單元矩陣之建立

索單元之斷面為圓形斷面,呈兩軸對稱,斷面重心與剪切中心位 置一致,如圖 3-2 所示。在忽略高次項的影響,索的變位場則可以表 示為【36】

y u z y x

Uc , ,

(

x v z y x

Vc , ,

(3-10)

v y u x w z y x

Wc , ,

!

其中

下標c表示為索單元;

uvw分 為重心沿xyz方向的變位;

為繞z軸的轉角;

' 表示對z軸的微分。

而索單元的應變可表示為【36】

2 2

2

2 1

z W z

V z

U z

Wc c c c

zz (3-11)

式(3-11)中索的應變可分為線性項 zzL及非線性項 zzN

(33)

z Wc

L

zz (3-12)

2 2

2

2 1

z W z

V z

Uc c c

N

zz (3-13)

上式中,上標LN 分 表示線性項和非線性項。

把式(3-10)代入式(3-12)、(3-13)中,並忽略 3 次以上項,得

v y u x

L w

zz (3-14)

u y v x y

x v u

N w

zz

2 2 2 2 2 2

2

1 (3-15)

利用線性化有限變位理論,應變能的變分可以表示為【36】

v N zz c L

V zz L zz c

e E dV dV

U 0 (3-16)

其中

Ec為索的楊氏模數;

co為成橋狀態索的應力。

首先把式(3-14)代入式(3-16)右邊第一項,得

c V L

e E w xu yv w x u y v dV

U

z c c c

c A w w I u u I v v dz

E (3-17)

其中

dA

Ac

dA y dA x

Ic 2 2

xydA 0 ydA

xdA (3-18)

(34)

其次,在式(3-16)的非線性項中,索的初始應力 c0與索的張力T0有 關,由索兩端的水平分力H0相等,可得T0H0的關係為(見圖 3-3)

0cos

0 T

H (3-19)

因此,索在成橋狀態時的初始應力 c0可改寫為

cos

0 0

0

c c

c A

H A

T (3-20)

將式(3-15),(3-20)代入式(3-16)第二項,得

z c c c c

c N

e A w w Au u Av v I dz

A

U H 2

cos

0 (3-21)

另外,索的動能可表示為【36】

V c c c

c

e U V W dV

T g 2 2 2

2

1 (3-22)

其中

c表示索單位長度的重量;

g為重力加速度;

˙表示對時間的微分。

將式(3-10)代入式(3-22)並考慮式(3-18)得

z c c c c

c

e Au u Av v A w w I dz

T g 2 (3-23)

上式忽略了Wc2的 2 次以上微分項。

為了盡可能地得到索單元振動的真實反應,插值函數採用與梁柱 單元相同的 Hermite 多項式:

c

wW

N

w

!

(35)

c uU N

u

!

c vV N

v

!

c θΘ

N (3-24)

其中

z T

z,

θ 1

w N

N

l T

z z z z l z z z z

z2 2 3, 2 2 3 ,3 2 2 3, 2 3 3

v 1

u N

N

T cj ci w

c w ,

W

T cj cj ci

ci u u u

u , , ,

Uc

T cj cj ci

ci v v v

v , , ,

Vc

T cj ci,

Θc (3-25)

將式(3-24)代入式(3-17)中,並由 WcUcVc的任意性,得 索單元的勁度矩陣kcL為【36】

0 0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

33 22 11

cL cL cL

k k k

kcL (3-26)

其中

l T c c

cL E A dz

k11 Nw Nw

l T c c

cL E A dz

k22 Nu Nu

l T c c

cL E A dz

k33 Nv Nv (3-27)

(36)

任意性,得索單元的幾何勁度矩陣kcg為【36】

cg cg cg cg g

k k k k

44 33 22 11

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

kc (3-28)

其中

l

cg T dz

k11 Nw Nw

l

cg T dz

k22 Nu Nu

l

cg T dz

k33 Nv Nv

l T c

cg c dz

A

k44 2I Nθ Nθ (3-29)

同樣,把式(3-24)代入式(3-23)中,並由 WcUcVc, 的 任意性,得索單元的質量矩陣mc為【36】

c c c c

c c

m m m m

g r A

44 33 22 11

0 0 0

0 0

0

0 0 0

0 0 0

mc (3-30)

其中

l

c T dz

m11 Nw Nw

l

c T dz

m22 Nu Nu

l

c T dz

m33 Nv Nv

l T c

c c dz

A

m44 2 I Nθ Nθ (3-31)

(37)

3-3 拉索局部振動的自由度縮減法

由於柔性拉索在外力作用下容易發生面內和面外的局部振動,此 振動易和整體結構的振動發生耦合現象,因此常按多質點來直接模擬 拉索的內部振動。為了減少自由度的計算,本文將引用 Nagai 等人【34】

所提出的靜態濃縮法,依據結構動力學中自由度凝聚方法和廣義自由 度的觀念,將拉索的振態作為自由度來考慮。

拉索的局部振動可依據振態疊加原理,由邊界節點的位移(即支 點位移)及由拉索各振態組合得到【35】,如圖 3-4 所示。

很顯然的,本方法的計算精度與考慮的振態數目有關,由於一般 結構前幾階的振態影響較大,因此拉索的局部振動影響可用前幾階振 態來近似表示。

在分析過程中,可將曲線拉索單元按圖 3-4 所示的方式進行離散

(亦即可將曲線拉索近似成由 n 個節點組成的折線結構來模擬)。在 平衡狀態下,折線拉索單元將滿足以下的方程式:

0 0 0

d d d

k k 0

k k k

0 k

k

n i 1

n n, i n,

n i, i i, i,1

i 1, 1,1

(3-32)

在(3-32)式中k 為拉索單元的初始切線勁度子矩陣;i,j

d

1

d

n為單 元兩端節點的位移向量;

d

i為單元內部節點的位移向量,它可以用端 節點的位移向量表示成下列的形式:

(38)

n 2 1 1

i

T d T d

d

(3-33)

在(3-33)式中:

n i, 1 i i, 2

i,1 1 i i, 1

k k T

k k

T (3-34)

另一方面,拉索單元的自由振動方程式為:

0 0 0

d d d

k k 0

k k k

0 k

k

d d d

m m

0

m m

m

0 m

m

n i 1

n n, i n,

n i, i i, i,1

i 1, 1,1

n i 1

n n, i n,

n i, i i, i,1

i 1, 1,1

(3-35)

在(3-35)式中,m 為拉索單元的質量子矩陣。 i,j

若以

Φ

表示兩端為固定的拉索單元之正規化振態矩陣,則有

Ψ d d T Ψ d d

0 Ι 0

Φ T T

0 0 Ι

d d d

n 1 s n 1 2

1 n

i 1

(3-36)

在(3-36)式中,

Ι

為單位矩陣;

Ψ

為振態廣義位移向量。

由(3-35)式和(3-36)式可得到以下拉索單元考慮局部振動的 自由振動方程式:

0 0 0

Ψ d d K Ψ d d

M n

1 c n

1 c

~

~ (3-37)

在(3-37)式中:

T

s

K T K

T M T M

c T s c

s c T s

~

c

~

(3-38)

其中

M

c

K

c分別為拉索單元的質量與勁度矩陣;

T

s為座標轉換矩陣

(39)

0 Ι 0

Φ T T

0 0 Ι

Ts 1 2 (3-39)

在(3-39)式中,

T

1

T

2為拉索端點對節點的位移影響矩陣。

由(3-37)式中得知,拉索單元的振動可由支座位移和振態反應的組 合而得到,其中M~c

K~c

分別表示濃縮後的單元質量和勁度矩陣。

3-4 整體結構矩陣之建立

以下分別對整體勁度矩陣 K 、質量矩陣M 之建立及整體阻尼矩 陣 C 之建立作說明。

3-4-1 整體勁度矩陣 K 、質量矩陣M 之建立

當斜張橋各單元之勁度及質量矩陣建立後,需再進行疊加以獲得 橋梁整體之勁度矩陣及質量矩陣。為了能使各單元矩陣疊加的過程更 加系統化,本文將採用單元定位向量的觀念【36】來完成,所謂單元 定位向量是將各節點之未知量編號依單元連接節點之序號所編排而 成的向量,它能將各矩陣中之元素正確的疊加到整體結構矩陣中。

3-4-2 整體阻尼矩陣 C 之建立

本文將考慮由模態分析逆運算求得阻尼矩陣【36】

T 1

N

1

r r

r r 1

c

r

r φ

φ M M M

K

C a (3-40)

(40)

其中

c c

N

a 2 N

1

c c

N r N r

ˆr

Nc表考慮的振態個數;

r表第 r 振態之複合振態阻尼比【36】;

r表第 r 振態之自然頻率;

φr表第 r 振態之特徵向量

3-5 多支承運動方程式之推導

一般橋梁結構動力分析,均假設各橋墩支承受相同之振動,即採 用同步支承震波輸入之分析方法。然而斜張橋結構受震反應並非如此 單純,因斜張橋跨徑長,使得各橋墩間震波傳遞產生延滯時差之情 形。因此,為了解斜張橋受震之實際反應,須採多支承振動理論進行 分析【36】。

一般多自由度系統在未受任何擾動下,其動力平衡方程式表示如 下【36】:

0 KY Y C Y

M t t t (3-41)

其中

(41)

MCK分別為結構體包含支承自由度之系統質量、阻尼 及勁度矩陣;

YtYtYt分別為結構體包含支承自由度之所有自由度對某 一固定座標之絕對加速度、速度與位移向量。

為探討結構體多支承振動特性,可將結構體總自由度N區分為兩 種,即支承點之運動自由度Nb與非支承點之運動自由度Ns,也就是

s

b N

N

N 。因此,結構體總位移向量Yt亦可區分為結構體支承處之 位移向量Yb與非支承處之位移向量Ys兩部份,如下所示:

b s

t Y

Y Y (3-42)

將式(3-42)代入式(3-41)中,則整體結構系統之運動方程式 可改寫為

0 . 0

b s b T sb

sb s b

s b T sb

sb s b s b T sb

sb s

Y Y K K

K K Y

Y C C

C C Y Y M M

M

M (3-43)

其中

MsCsKs分別為結構體非支承自由度系統質量、阻尼及勁度 矩陣,三者皆為Ns×Ns階;

MbCbKb分別為結構體支承自由度系統質量、阻尼及勁度矩 陣,三者皆為Nb×Nb階;

MsbCsbKsb分別為結構體支承與非支承自由度之相關互制質

(42)

根據多支承振動特性,結構體非支承自由度之位移向量Ys可再分 為下列兩種位移:

(1) 似靜力反應位移:結構體於支承處產生位移Yb,導致非支承 自由度發生靜位移Yss。因此項結構體之位移反應不涉及動態 特性,故稱為似靜力反應(quasi-static response)。

(2) 動力反應位移:假設結構體各支承均固定情況下,受地震擾 動相應於非支承自由度產生之動力位移Ysd。此項結構體之位 移反應與傳統固定支承動力反應解法一樣,故稱為動力反應

(dynamic response)。

依上述多支承振動特性,結構體之總位移向量,即(3-42)式,可改 寫為

0 Y Y

Y Y Y Y

d s b

s s b s

t (3-44)

式(3-44)中等號右邊第一項為似靜力反應位移,第二項為動力反應 位移。以下將就似靜力反應與動力反應,分別說明其推導之過程。

3-5-1 似靜力反應

由於該部分結構體承受之外力為零,故支承位移Yb造成結構體的 靜力平衡方程式為:

0 0 Y Y K K

K K

b s s b T sb

sb

s (3-45)

(43)

式(3-45)中,除了結構體非支承自由度位移Yss外,其餘KsKsb均 為已知,Yb亦可由地表加速度積分求得。因此展開上半部方程式再移 項後可得

b s

s RY

Y (3-46)

其中

R為似靜影響係數矩陣(quasi-static influence matrix),其表示為

sb 1

s K

K

R (3-47)

至於似靜力影響係數R矩陣之求解,可將式(3-47)移項成

sb

sR K

K (3-48)

如此便可依一般求解聯立方程式的方法計算R矩陣。

3-5-2 動力反應

關於結構體非支承自由度動力反應位移Ysd之求解,可對式(3-43)

上半部展開得

0 Y K Y K Y C Y C Y M Y

Ms s sb b s s sb b s s sb b (3-49)

將式(3-49)中的非支承處位移向量Ys依式(3-44)分解為YssYsd, 並將YsdYsdYsd留在等號左邊,整理後可得

d s s d s s d s

sY CY K Y

M MsYss MsbYb

sb b s

s

sY C Y

C

(44)

由式(3-45)可已知上式中KsYss KsbYb 0,此外將式(3-46)做 一次與二次微分後可得Yss RYbYss RYb,並將其代入式(3-50)中 可得

d s s d s s d s

sY CY K Y

M MsR Msb Yb

CsR Csb Yb (3-51)

簡化後得

d s s d s s d s

sY CY K Y

M MsR Msb Yb (3-52)

從式(3-52)中可以發現,傳統同步支承運動方程式實為動力反應方 程式的一個特例。也就是當支承加速度Yb恰為同步時,式(3-52)將 與傳統同步支承運動方程式相同。

3-6 結構動力反應之直接積分法

系統運動方程式的以增量的形式可表示為【36】

i i

i

i C u K u P

u

M (3-53)

其中

i i

i u t t u t

u

i i

i u t t u t

u

i

i t u t

t u

u

i i

i Pt t P t

P (3-54)

上式中, 表示增量,i表示在 i 個時間。

(45)

每一個增量步的初始加速度可以直接由平衡方程式得到

i i

i

i M P Cu Ku

u 1 (3-55)

線性加速度法假設加速度隨時間呈線性變化,即

t t u t

u t

u i i i (3-56)

其中 t ti 1 tiui ui 1 uiti t ti 1

上式分別積分一次,二次得到速度和位移的表達式

t t u t

t t u u t

u i i i i i

2

2

(3-57)

t t u t

t u t

t t u u t

u i i i i i i i

6 2

2

(3-58)

從式(3-57)和(3-58)可以得到當t ti 1時的速度增量和位移增量

2 u t t u

ui i i (3-59)

6 2

2

2 t

t u u t u

ui i i i (3-60)

式(3-60)等號右端第 3 項的係數

6

1從數值積分的穩定性考慮可以設

為係數 ,得到

2 2

2t u t u

t u

ui i i i (3-61)

從式(3-59)和(3-61)可以解得 uiui

i i

i

i u u

u t u t

2 1 1

1

2 (3-62)

i i

i

i u u tu

u t

4 1 1 2

1 2

1 (3-63)

把式(3-62)、(3-63)代入式(3-53)得

ui

K C

M 1

1

參考文獻

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