1. 設多項式 f x ( ) = + − x

(1)

習題習題習題

習題 3-1 解答解答解答解答一

一一

一、基本題基本題基本題基本題

1. 設多項式 f x ( ) = + − x

³

( a 1) x

²

+ 2 x − 3 ， g x ( ) = − x

³

2 x

²

− + + bx c 1 且 f（x）與 g（x）兩多項式相等，試求 a，b，c 的值

解解解

解因為 f（x）＝g（x），即 x

³

+ − ( a 1) x

²

+ 2 x − = − 3 x

³

2 x

²

− + + bx c 1 ，

比較各項係數後可得

1 2 2

3 1

a b c

− = −

= −

−



= +

 

 

，

。因此 a＝－1，b＝－2，c＝－4

2. 設多項式 f x ( ) = 2 x

³

− + x

²

3 x − 4 ， g x ( ) = − ( x 1)

²

，試求：

(1) f（x）＋g（x） (2) f（x）－g（x）

(3) f（x）g（x） (4) f（x）除以 g（x）的商式及餘式

解解解

解 f x ( ) = 2 x

³

− + x

²

3 x − 4 ，

2 2

( ) ( 1) 2 1 g x = − x = − x x +

(1) f x ( ) + g x ( ) = 2 x

³

+ − + ( x

²

x

²

) (3 + x − 2 ) ( 4 1) x + − + = 2 x

³

+ − x 3 (2) f x ( ) − g x ( ) = 2 x

³

+ − − ( x

²

x

²

) (3 + x + 2 ) ( 4 1) x + − − = 2 x

³

− 2 x

²

+ 5 x − 5

(3)

³ ²

2

3 2

4 3 2

5 4 3 2

2 3 4

) 2 1

2 3 4

4 2 6 8

2 3 4

2 5 7 11 11 4

x x x

x x

x x x

x x x x

x x x x x

− + −

× − +

− + −

− + − +

− + −

− + − + −

(4)

2 3 2

3 2

2 2

2 3

2 1 2 3 4

2 4 2

3 4

3 6 3

7 7 x

x x x x x

x x x

x x

x +

− + − + −

− + + −

− +

−

f（x）除以 g（x）的商式為 2x＋3，餘式為 7x－7

(2)

3. 利用綜合除法求解下列問題：

(1) ( x

³

+ 5 x

²

− ÷ + 6) ( x 1) 的商式和餘式 (2) x

⁶

÷ − ( x 2) 的商式和餘式解

解解

解 (1) 1 +5 +0 6 1

1 4 4

1 4 4 2

− −

− − +

+ − −

故（x

³

＋5x

²

－6）÷（x＋1）的商式為 x

²

+ 4 x − 4 ^{，餘式為－2} (2) 1 0 0 +0 + 0 + 0 + 0 2

+2 +4 +8 +16 +32 +64 1 +2 +4 +8 +16 +32 +64

+ +

故 x

⁶

÷ − ( x 2) 的商式為 x

⁵

+ 2 x

⁴

+ 4 x

³

+ 8 x

²

+ 16 x + 32 ^{，餘式為 64}

4. (1) 已知多項式 f x ( ) = − x

³

8 x

²

+ − x 85 ，試求 f（9）的值 (2) 試求 x

¹⁰¹

+ x

¹⁰

+ 2 ^除以 ^{x－1 的餘式}

解解解

解 (1) f（9）即 f（x）除以 x－9 的餘式，

由綜合除法

1 8 1 85 9

9 9 90

1 1 10 5

− + − + + +

+ + +

故 f（9）＝5

(2) 令 g x ( ) = x

¹⁰¹

+ x

¹⁰

+ 2 ，g（x）除以 x－1 的餘式為 g（1）。

101 10

(1) 1 1 2 4

g = + + = ，故 x

¹⁰¹

+ x

¹⁰

+ 2 ^除以 x－1 的餘式為 4

5. 下列何者是多項式 f x ( ) = 2 x

⁴

+ 3 x

³

− 2 x

²

− − x 2 的因式？

(A) x＋1 (B) x＋2 (C) x＋5 (D) x－3

解解解

解由因式定理可知若 x－a 為 f（x）的因式，則 f（a）＝0 (A) ×： f ( 1) − = − − + − = − ≠ 2 3 2 1 2 4 0

(B) ○： f ( 2) − = 2 ( 2) −

⁴

+ − 3 ( 2)

³

− − 2 ( 2)

²

− − − ( 2) 2 = 32 24 8 2 2 − − + − = 0

(C) ×： 2 3 2 1 2 5

10 35 165 830

2 7 33 166 828

+ − − − −

− + − +

(D) ×： 2 3 2 1 2 3

6 27 75 222

2 9 25 74 220

+ − − −

+ + + +

故選(B)

(3)

6. 已知 2 x

²

− + x 2 除以 x＋1 得商式 2x－3，餘式為 5。請完成下列算式：

(1) 2 x

²

− + x 2 ＝（x＋1）（2x－3）＋

(2)

2

2 1 x x

x

− +

+ ＝（2x－3）＋

解解解

解 (1) 由除法原理可知 2 x

²

− + = + x 2 ( x 1) (2 x − + 3) 5

(2)

2

2 ( 1) (2 3) 5 5

(2 3)

1 1 1 1

x x x x

x x x x x

− + = + − + = − +

+ + + +

二二

二二、進階題進階題進階題進階題

7. 設 f（x），g（x）皆為三次多項式，h（x）為一次多項式，試問下列各敘述是否正確？若不正確，請寫出正確的結論

(1) f（x）＋g（x）為三次多項式 (2) f（x）g（x）為九次多項式

(3) 若 f（x）除以 h（x）的餘式為 r，則 f（x）除以 3h（x）的餘式為 3r

(4) 若 f（x）除以 h（x）的商式為 q（x），則 f（x）除以 3h（x）的商式為 3q（x）

解解解

解 (1) f（x）＋g（x）的次數為小於或等於三次，

例如： f x ( ) = x

³

， g x ( ) = − x

³

+2 x ，則 f x ( ) + g x ( ) = 2 x 為一次多項式 (2) 設 f x ( ) = a x

₃ ³

+ a x

₂ ²

+ a x

₁

+ a

₀

^， g x ( ) = b x

3 ³

+ b x

2 ²

+ b x b

1

+

0

^，

則 f x g x ( ) ( ) = a b x

_{3 3} ⁶

+ ( a b

_{3 2}

+ a b x

_{2 3}

)

⁵

+ + L a b

_{0 0}

，f（x）g（x）為六次多項式 (3) 設 f（x）除以 h（x）的商式為 q（x），餘式為 r，

由除法原理可知 f（x）＝h（x）q（x）＋r，

則 1

( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) f x h x q x r h x  3 q x  r

= + =   +

  ，故 f（x）除以 3h（x）的餘式仍為 r

(4) 由(3)可知 1

( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) f x h x q x r h x  3 q x  r

= + =   +

  ，故 f（x）除以 3h（x）的商式為 1

3 q x ( )

8. (1) 若 x

⁴

+ ax

²

+ − bx 4 有因式 x－1 及 x＋2，試求 a，b 的值

(2) 設三次多項式 f（x）滿足 f（1）＝f（2）＝0，且 f（0）＝2，f（－1）＝－6，

試求 f（x）

解解解

解 (1) 由因式定理可知 f（1）＝0，f（－2）＝0，

可得 (1) 1 4 0

( 2) 16 4 2 4 0

f a b

= + + − =

 

− = + − − =



，

，故 3

4 2 12

a b a b

+ =

 

− = −



，

。

因此 a＝－1，b＝4

(4)

(2) 由 f（1）＝f（2）＝0 及因式定理，可設 f（x）＝（x－1）（x－2）（ax＋b）

依題意 f（0）＝2，f（－1）＝－6，

代入得 (0) (0 1) (0 2) (0 ) 2 ( 1) ( 1 1) ( 1 2) ( ) 6

f b

f a b

= − − + =

 

− = − − − − − + = −



，

，故 2 2

6 ( ) 6

b a b

=

− + = −

 



，

，解得 a＝2，b＝1

因此 f（x）＝（x－1）（x－2）（2x＋1）＝ 2 x

³

− 5 x

²

+ + x 2

9. 若多項式 f x ( ) = 4 x

³

− 6 x

²

− 2 x + 3 = a ( x + 1)

³

+ b ( x + 1)

²

+ c x ( + 1) + d ，其中 a，b，c，d 為常數，試求 a，b，c，d 的值。（提示：連續用綜合除法）

解解解

解連續使用綜合除法

4 6 2 3 1

4 10 8

4 10 8 5

4 14 4 14 22

4 4 18

− − + −

− + −

− +

−

所以 f x ( ) = 4 ( x + 1)

³

− 18 ( x + 1)

²

+ 22 ( x + − 1) 5 ，因此 a＝4，b＝－18，c＝22，d＝－5

10. (1) 設多項式 f（x）除以 x－2 的餘式為 2，除以 x－3 的餘式為 5，試求 f（x）除以

2

5 6

x − x + ^的餘式

(2) 設多項式 f（x）除以 x－1 的餘式為 2，除以 x

²

+ − x 6 的餘式為 2x－3，試求 f（x）

除以 x

²

+ 2 x − 3 ^的餘式解

解解

解 (1) 設 f（x）除以 x

²

− 5 x + 6 的商式為 q（x），餘式為 ax＋b 由除法原理可知

( ) (

2

5 6 ) ( ) ( ) f x = x − x + q x + ax b +

＝（x－2）（x－3）q（x）＋（ax＋b），

且由餘式定理及題意可知 f（2）＝2，f（3）＝5 故 (2) 2 2

(3) 3 5

f a b

= + =

 

= + =



，

，得 a＝3，b＝－4

因此 f（x）除以 x

²

− 5 x + 6 的餘式為 3x－4

(5)

(2) 設 f x ( ) = ( x

²

+ 2 x − 3) ( ) ( q x + ax b + ) ，

即 f（x）＝（x＋3）（x－1）q（x）＋（ax＋b）

由餘式定理及題意可知 f（1）＝2， f x ( ) = ( x

²

+ x − 6) q x

₁

( ) + 2 x − 3 ^，即 f（x）＝（x＋3）（x－2）q

1

（x）＋2x－3，

得 f（－3）＝0＋2（－3）－3＝－9

將 f（1）＝2，f（－3）＝－9 代入 f（x）＝（x＋3）（x－1）q（x）＋（ax＋b），得 (1) 2

( 3) 3 9

f a b

= + =

 

− = − + = −



，

，解得 11

a = 4 ， 3 b = − 4 故 f（x）除以 x

²

+ 2 x − 3 ^的餘式為 ¹¹ ³

4 x − 4

11. 若多項式 x

³

＝ax（x－1）（x－2）＋bx（x－1）＋cx＋d，試求 a，b，c，d 的值解解解

解令 x＝0 代入，0＝a．0＋b．0＋c．0＋d，得 d＝0 令 x＝1 代入，1＝a．0＋b．0＋c．1＋d，得 c＝1 令 x＝2 代入，8＝a．0＋b．2．1＋c．2＋d，得 b＝3 比較左右兩式 x

1. 設多項式 f x ( ) = + − x

習題 習題 習題

習題 3-1 解答 解答 解答 解答 一

一 一

一、基本題 基本題 基本題 基本題