尺規作圖：

A  B  C  L 

A  B  L 

A  L 

L 

a 

平面幾何作圖中，有很大一部份是尺規作圖。所謂的『尺規作圖』，即是限制只能使用 沒有記號的直尺和圓規，在紙上有限次作出曲線。為什麼作圖要有這樣的限制？首先，從 希臘的學術風潮來看，古希臘人認為,歐幾裡得幾何的理論是最完美的,按照它的公理系統 推證出來的結論才是最準確可靠的,直尺上的刻度是不可靠的。但是幾何離不開作圖,為了 把不準確不可靠的程度降到最低,仿照它的公理,規定了作圖公法,選取了最少的工具和最 簡單的功能,由此產生了尺規作圖法。

尺規作圖：在繪製幾何圖形時，只能使用直尺和圓規來作圖。（其中的直尺，就是沒有刻度、

只能畫直線的尺），現在我們先來做以下有關線段及角的基本作圖。

【範例】 等線段作圖。

【已知】 已知一線段，長度為 a。

【求作】 用直尺和圓規畫一線段，使它和 a 等長。

【作法】 (1) 畫一直線 L，在 L 上任取ㄧ點 A。

(2) 以 A 為圓心，a 為半徑畫弧，

交 L 於 B 點，則 AB 即為所求。

【範例】 線段和的尺規作圖。

【已知】 已知兩線段，長度為 a、b。

【求作】 利用直尺、圓規作出長為 a＋b 線段。

【作法】 步驟一: 利用直尺先畫一線段 L。

步驟二: 設線段的一端為 A。

步驟三: 以線段 a 為半徑，以 A 點為圓心畫弧交線段 L 於 B 點。

步驟四: 以線段 b 為半徑，以 B 點為圓心畫弧交線段 L 於 C 點。

步驟五:  AC 即為所求。

a b 

A  B L 

A  B  L  O 

G 

F 

L 

A  L 

A  C  B  L 

A  C  L 

L  A 

C 

【範例】 線段差的尺規作圖。

【已知】 已知兩線段，長度為 a、b。

【求作】 利用直尺、圓規作出長為 a－b 線段。

【作法】 步驟一: 利用直尺先劃一線段 L。

步驟二: 設線段的一端為 A。

步驟三: 以線段 a 為半徑，以 A 點為圓心畫弧交線段 L 於 B 點。

步驟四: 以線段 b 為半徑，以 A 點為圓心畫弧交線段 L 於

C

點。

步驟五:  CB 即為所求。

【範例】 等角作圖。

【已知】 ∠GOF。

【求作】 一角∠CAB，使∠CAB＝∠GOF。

【作法】 步驟一: 先用直尺劃一線段 L，設線段的一端點為 A。

步驟二: 以適當長為半徑，以 O 點為圓心畫弧，交 OF 於 D 點，交 OG 於 E 點。

以相同半徑，以 A 點為圓心畫弧交線段 L 於 B 點。

步驟三: 以 ED 為半徑，

B

為圓心畫弧交半圓於

C

點。

步驟四: 連 AC ， 

Ð CAB

即為所求。 

O 

G 

F  E 

D 

a b 

A  B  L 

C

A  B  L 

F 

G  E 

X 

Y 

K 

I  V  J 

U 

B  L 

A 

C  D 

【範例】 兩角和的尺規作圖。

【已知】 ∠FGE、∠KIJ。

【求作】 一角∠DAB，使∠DAB＝∠FGE＋∠KIJ。

【作法】 步驟一: 畫直線

L

，設端點為

A

。

步驟二: 以相同半徑，在直線

L

、 

Ð FGE

及 

Ð KIJ

上劃三圓弧。

步驟三:  UV 為半徑，B 為圓心畫弧，得交點為 C。

步驟四:  XY 為半徑，C 為圓心畫弧，得交點為 D。

步驟五: 連 AD ， Ð DAB 即為所求。 

F 

G  E 

K 

I  J 

L  A 

B 

A  L 

C 

B  L 

A 

C  D

【範例】兩角差的尺規作圖。

【已知】∠FGE、∠KIJ。

【求作】一角 Ð CAD，使 Ð CAD＝∠KIJ－∠FGE。

【作法】 步驟一: 畫直線 L。

步驟二: 設端點為 A。

步驟三: 同一半徑，劃三圓弧。

步驟四:  UV 為半徑，B 為圓心畫弧，得交點為 C。

步驟五:  XY 為半徑，B 為圓心畫弧，得交點為 D。

步驟六: 連 AC 、

AD

， 

Ð CAD

即為所求。 

K 

I  V  J 

U 

F 

G  E 

X 

Y 

B  C 

B  C 

D 

C  D 

F 

G  E 

K 

I  J 

L  A

a b c

1

1 2

【範例一】

【已知】兩線段長度分別為 a、b 

【求作】一線段其長度為 2a－b 

【作法】

【練習一】

【已知】三線段長度分別為 a、b、c 

【求作】一線段其長度為 a＋b－c 

【作法】

【範例二】

【已知】有一角為∠1

【求作】某一角其角度＝180 ⁰ －∠1

【作法】

【練習二】

【已知】有兩角分別為∠1、∠2

【求作】某一角其角度＝2∠1－∠2

【作法】

a b

在前面我們已經學會了線段與角的基本作圖，想想看，假如利用這些技巧，有辦法直接做 出直角三角形、正方形或菱形嗎？所以我們將再進一步學習如何利用尺規作圖來作垂直及 平分的技巧，在此之前我們先介紹一些基本名詞。

直角與垂直

直角：當一個角的度數是 90 ⁰ 時，叫做直角。

如圖一，∠ABC＝90 ⁰ 。

垂直：當兩條直線或線段相互成直角時，稱這兩條 直線或線段互相垂直。如圖二，L 與 M 兩直線 互相垂直以 L

^

M 表示。

線段中點：若 M 是線段 AB 上的一點，且 AM ＝ MB ， 稱 M 點為線段 AB 的中點。

中垂線：直線 L 垂直於線段 AB ，且其交點 P 平分綠段 AB ， 則直線 L 叫做線段 AB 的垂直平分線或中垂線。

角平分線：直線 CF suur

把∠DCE 平分成兩個相等的角，也就是 Ð DCF= Ð FCE，

則我們說直線 CF suur

是∠DCE 的角平分線或分角線。

有關垂直、平分的尺規作圖：

在此我們要來做以下 5 個有關垂直與平分的尺規作圖 1.過直線上一點作此直線的垂線。

2.過直線外一點作此直線的垂線。

3.給任一線段求作此線段中點(中垂線)。

4.給任一角度求作此角的平分線。

A 

B  C 

L  M 

圖一 圖二 

A  M  B 

L 

P  B 

A 

C 

F 

E 

D

【範例】過直線上一點作此直線的垂線。

【已知】直線 L 和 L 上一點 A。

【求作】畫一直線通過 A，且與 L 垂直。

【作法】步驟一: 以適當長為半徑，A 為圓心畫圓弧，交 L 於 C、D 兩點。

步驟二: 以 CD 為半徑，C、D 為圓心畫兩圓弧，設其交點為 B。

步驟三: 連 AB ，即為所求。

【範例】過直線外一點求作過此點與此直線垂直的直線。

【已知】直線L與L外一點A。

【求作】畫一直線，經過A點，且垂直於L。

【作法一】

作圖原理：將等腰三角形對摺後，所得到的摺線其實是一條底邊的中垂線。

利用此概念，我們可作出過線上一點的垂直線。

步驟一: 取直線 L 外的任意點 A，以 A 點為圓心，適當長為半徑，畫弧，

交 L 於 B、C 兩點。 

A 

L 

C  A  D 

L 

A 

L  B 

C  D 

A 

L  B 

C  D 

A 

L 

90  o  中點 

B  C  L 

A

步驟二: 以 BA 為半徑，分別以 B、C 為圓心，畫弧，設兩弧交點為 D。

步驟三: 連 AD ，即為所求。

【作法二】

作圖原理：箏形的對角線相互垂直，利用這個概念可以完成，過線外一點垂線的 尺規作圖。

步驟一: 在 L 上取 B、C 兩點(大約在 A 點的兩側） 。

步驟二: 以 BA 為半徑、B 為圓心，畫弧，以 CA 為半徑、C 為圓心，畫弧，

設兩弧交點為 D。

步驟三: 連 AD ，即為所求。 

B  C  L 

A 

D 

B  C  L 

A 

D 

對角線 對角線

箏形 

B  C  L 

A 

A 

L  C  B 

D A 

C  L 

B 

【範例】給任一線段求作此線段中點(中垂線) 。

【已知】線段 AB 。

【求作】AB的中點。

【作法】步驟一: 分別以A與B為圓心，取大於 

¹ 

2 

AB 的長為半徑畫弧，

設此二弧相交於C、D兩點。

步驟二: 連接 CD ，則 CD 與 AB 的交點E即為所求的中點。

【範例】給一任意角度作此角的平分線。

【已知】某任意角∠ABC。

【求作】∠ABC的角平分線。

【作法】

作圖原理：菱形的對角線可把自己等分成兩塊，因此，菱形的對角線也是角平分線。

所以，作角平分線也就是在作一個菱形的對角線。

步驟一: 以適當長為半徑，B 點為圓心畫弧交 BA 、 BC 於 X、Y 兩點。 

A  B 

A  B 

C 

D 

A  B 

C 

D  E 

A

C  B 

對角線 

A  X 

B 

Y 

C

步驟二: 以相同的半徑，X、Y 為圓心畫兩個圓弧，設其交點為 Z。

步驟三: 連 BZ ，即為 Ð ABC 的角平分線。

【範例】中垂線應用－將某一線段等分。

【已知】某一線段 AB 。

【求作】將線段 AB 分成四等分。

【作法】步驟一: 作 AB 的中垂線L，交 AB 於C點。

步驟二: 作 AC 的中垂線 M，交 AB 於 D 點。

步驟三: 作 BC 的中垂線 N，交 AB 於 E 點，

則 C、D、E 三點將 AB 四等分。

【結論】將一線段 2 ⁿ 等分，需作中垂線「2 ⁿ －1」次。

【範例】如右圖， AB ＝7 公分， AC ＝11 公分，

又 M 為 BC 中點，則 AM ＝______公分。

【解答】  BC ＝11－7＝4 公分。

Q M 為 BC 中點 Þ BM= CM ＝2 公分。

\ AM ＝ AB ＋ BM ＝7＋2＝9 公分。 

Z  A 

X 

B 

Y  C 

Z  A 

X 

B 

Y  C 

A  B 

M  L  Ｎ

Ｄ Ｃ Ｅ

Ａ Ｂ Ｍ Ｃ 

A  B

A 

B  C 

A  B 

A 

B  C 

【範例一】

用尺規作圖在ΔABC 中過 A 點作 BC 上的高。

【練習一】

用尺規作圖將 AB 分成 1:7。

【範例二】

用尺規作圖作已知三角形兩邊中點的連線。

A 

B  C 

A 

B  C 

【練習二】

用尺規作圖作出三角形各頂點到對邊中點的連線。

【範例三】

用尺規作圖作出已知三角形三內角的平分線。

【練習三】

用尺規作圖作出一個 45 度的角。

A 

B  C 

1  2  3  4 

A 

O 

B 

D 

C 

E 

O  A 

B  C  P 

Q 

【範例四】

用尺規作圖作出已知三角形三邊的中垂線

【練習四】

小名用圓規畫圓，不小心鉛筆斷了，只劃出右邊的圓弧，

請你找出圓心並把圓畫出來。

【範例五】

如圖，OA^ OB ，若直線 OP 平分角∠AOC，

直線 OQ 平分角∠BOC，則∠POQ＝______。

【練習五】

如圖， DO^ AB ， CO^ OE ，∠1＝55˚，

則∠2＝_____，∠3＝______，∠4＝_____

A 

L  E 

1 B  D 

C  A 

1 L  B 

A 

L  E 

1 B  D 

C 

F 

L 

A 

A  E 

1 C 

F  M 

2 

在前面的作圖，都是有關垂直的作圖部分，但在幾何學中我們亦常用到平行的觀念及性質，

所以我們接著來介紹如何畫平行線的尺規作圖。

平行尺規作圖：給定任一直線及線外一點，作出過此點且與此直線平行的直線。

【已知】直線 L 與線外ㄧ點 A。

【求作】過 A 點作ㄧ平行線 M 與 L 平行。

【作法一】步驟一: 過線外一點 A 隨意畫與 L 交錯之直線，

交直線 L 於 A 點，所設成的角為 Ð 1。

步驟二: 分別以 A、B 為圓心，相同長度為半徑畫弧，交點分別為 C、D、E。

步驟三: 以 E 為圓心， CD 為半徑畫弧，交點為 F 點。

步驟四: 連接 AF 線段即為所求。

【作法二】 步驟一: 過 A 點作 AH suur

^

L。

步驟二: 過 A 點作直線 M 垂直 AH suur

，則 M//L。 

L 

A 

H 

L 

A 

H 

M

同側內角和 小於兩直角

延長後相交

L

1 

L

2 

L 

L

1 

2  1  3  4 

L 

古希臘的幾何，也就是歐幾里德的幾何是由公設所建立，其中公設五是很重要的，此公設 又稱之為平行公設，是有關平行的幾何。

【公設五】若一直線和兩直線相交，且其中一側的同側內角和小於兩直角，則將此兩直線 延長後，會交於同側內角和小於二直角的一側。

平行線的定義與性質 平行線的定義:

由【公設五】我們給定兩直線將平行的定義。在平面的兩條直線，若有一直線能同時 垂直於這兩條直線，就說這兩條直線互相平行。且平行的兩條直線永不相交。如下圖，

直線 L ₁ 與 L ₂ 平行，記作 L ₁ /

/

L ₂ ，讀作「L ₁ 平行於 L ₂ 」。

平行觀念：

(1) 兩平行線之間保持相同的距離，且無限延伸後沒有交點。

(2) 一線段若垂直於平行線中的一條直線，必垂直於平行線中的另一條直線。

截線：在一平面上，直線 L 分別與直線 L ₁ 與 L ₂ 相交於不同兩點時，則 L 叫做 L ₁ 與  L ₂ 的截線。如下圖，L 叫做 L ₁ 與 L ₂ 的截線。

截角：直線 L 為 L ₁ 與 L ₂ 的截線，形成 8 個截角，如下圖。 

L

1 

L

2 

L

1 

L

2

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

L

1 

L

2 

2  1  3  4 

6  5  7  8 

L 

(1)同位角相等：

Ð 1 在 L ₁ 的右上方， Ð 5 在 L ₂ 的右上方，位置相同都 在右上方，故稱∠1 與∠5 為同位角，同理，∠4 與∠8、

∠2 與∠6、∠3 與∠7 都是同位角。在此我們可知:

∠1＝∠5；∠4＝∠8；∠2＝∠6；∠3＝∠7。

【證明】如右圖，做 AC 線段，同時垂直於 L ₁ 與 L ₂ 。 在

D

ADB 與

D

AEC 中，∠B＝∠C 皆為直角，

且∠BAD＝∠CAE。

在

D

ADB 中，∠A＋∠B＋ Ð 1＝180 ⁰ (三角形內角和 180 ⁰ )。

在

D

AEC 中，∠A＋∠C＋ Ð 5＝180 ⁰ (三角形內角和 180 ⁰ )。

Þ Ð 1＝ Ð 5，故同位角相等。

(2)內錯角相等：

∠5 與∠3、∠4 與∠6，都在 L ₁ 與 L ₂ 的內側，但交錯在  L 的兩邊，故稱為內錯角，在此我們可知∠3＝∠5；

∠4＝∠6。

【證明】如右圖，∵∠1＝∠3(對頂角相等) 又Q ∠1＝∠5(同位角相等)

∴∠3＝∠5，故內錯角相等。

(3)同側內角互補：

∠5 與∠4 都在 L ₁ 與 L ₂ 的內側，且在 L 的同一側，

故稱為同側內角；同理，∠3 與∠6 也為同側內角。

在此我們可知∠4＋∠5 ＝ 180 ⁰ ；∠3＋∠6 ＝ 180 ⁰ 。

【證明一】∠1＋∠4＝180 ⁰ 

∵∠1＝∠5(同位角相等)

∴∠4＋∠5＝180 ⁰ 

【證明二】如右圖，做 AB 線段，同時垂直於 L ₁ 與 L ₂ 。

∵四邊形 ABCD 內角和為 360 ⁰ 

∴∠A＋∠B＋∠5＋∠4＝360 ⁰

Þ ∠4＋∠5=360 ⁰ －90 ⁰ －90 ⁰ ＝180 ⁰ ， 故同側內角互補。 

1 4 

5 8 

D 

E  A 

L

1 

L

2 

B 

C 

L

1 

L

2 

L 

3  4 

6  5 

A 

B  C 

D

L

1 

L

2 

L 

1  2  3 

A  B 

A  B 

65 

^O 

1  65 

^O 

2 

情形一 情形二 

L1  L2 

L3 

1 

L4  100 ⁰ 

100 ⁰  80 ⁰ 

【範例】如圖，L ₁  // L ₂ ，L 是 L ₁ 與 L ₂ 的一條截線，∠1＝55 ⁰ ，求∠2、∠3？

【解說】∵L ₁  // L ₂ 

∴∠1＝∠2＝55 ⁰ （內錯角相等）

∠1＋∠3＝180 ⁰  （同側內角互補）

∠3＝180 ⁰ －55 ⁰ ＝125 ⁰ 

【範例】(1) 如附圖，直線 L1、L2、L3、L4 中，互相平行的有______。

(2) 其中∠1 ＝______。

【解說】(1) L₃ // L₄ （∵同側內角互補）

(2) ∠1 ＝180 ⁰ －100 ⁰ ＝80 ⁰ 

【範例】設∠A 與∠B 的兩邊互相平行，若∠A＝65 ⁰ ，求∠B＝？

【解說】

可能有兩種情形(如右圖)：

（1） ∠1＝∠A＝65 ⁰ （同位角相等），

∠B＝∠1＝65 ⁰ （同位角相等）

（2） ∠2＝∠A＝65 ⁰ （內錯角相等）

∠B＝180 ⁰ －∠2＝180 ⁰ －65 ⁰ ＝115 ⁰ （同側內角互補）

平行線的判別:

在前面我們知道，L ₁ // L ₂ ，L 為 L ₁ 與 L ₂ 的截線，則有同位角相等、內錯角相等 及同側內角互補的性質，那反過來假設 L ₁ 與的 L ₂ 被一直線所截，則此三性質是否也可 推得 L ₁ // L ₂ ？

(1)兩條直線被一直線所截，若截出的同位角相等，則此兩直線平行。

如下圖，若 L 為 L ₁ 與的 L ₂ 截線，且∠1＝∠2

【證明】過 A 點作直線 P，使 P

^

L ₂ 於 A。

Þ ∠2＋∠y＝90 ⁰ …○ ¹

∠1＋∠y＝180 ⁰ －x…○ ²

○ ² －○ ¹ ∠1－∠2＝90 ⁰ －x

∵∠1＝∠2 (同位角相等)。

L

1 

L

2 

L  1 

2  P 

y  x  1 

A

L

1 

L

2 

X  O  O  X 

X  O  O  X 

L 

L1 

L2 

L 

x  y 1  z 4 

L1 

L2 

L 

1 

3  x 

y 

(2)兩條直線被一直線所截，若截出的內錯角相等，則此兩直線平行。

如下圖，若 L 為 L ₁ 與的 L ₂ 截線，且∠1＝∠3

【證明】∠x＋∠1＝180 ⁰ 

∠3＋∠y＝180 ⁰ Þ ∠x＝∠y 

By(1)故 L ₁ // L ₂ 。

(3)兩條直線被一直線所截，若截出的同側內角互補，則此兩直線平行。

如下圖，若 L 為 L ₁ 與的 L ₂ 截線，且∠1＋∠4＝180 ⁰ 

【證明】∠y＋∠1＝180 ⁰ …○ ¹

∠z＋∠4＝90 ⁰ …○ ²

∠x＝∠y＋∠z (外角定理)…○ ³ 

○ ¹ ＋○ ² ＋○ ³

Þ (∠y＋∠1)＋(∠z＋∠4)＋∠x＝180 ⁰ ＋90 ⁰ ＋(∠y＋∠z) Þ ∠1＋∠4＋∠x＝270 ⁰ 

∵∠1＋∠4＝180

∴x＝90 ⁰ ，故 L ₁ // L ₂ 。

【結論】若兩平行線被一直線所截，則(1)同位角相等；(2)內錯角相等；(3)同側內角 互補。

若兩條直線被一直線所截若(1)同位角相等；(2)內錯角相等；(3)同側內角互 補，三者其中一個成立，則此兩直線平行。

若兩條平行線被截線所截時，形成的八個角，角度只有兩種，如圖所示。

A 

B 

C 

L1

L2 

1 

2 

L  A 

B 

C 

L1

L2  3 

4  1 

2 

A 

B 

C 

L

1

L

2  1 

2 

L  A 

B 

C 

L1

L2  3 

4  1 

2 

1  L 

M  2 

3  4 

A 

B 

C 

D 

A  L 

M  B  N 

D  3  C  4 

5  6 

1 

平行線性質的應用：對於平行線，除了常用平行線性質：(1)同位角相等；(2)內錯角相等；

(3)同側內角互補，我們將介紹幾個相關延伸性質。

1. 若 L ₁  // L ₂ ，則∠ABC＝∠1＋∠2

【證明】過 B 點作 L 平行 L ₁ ，

∵L ₁  // L ₂  ∴ L // L ₂

Þ ∠1 ＝∠3，∠2＝∠4 (內錯角相等) 故∠ABC＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2。

2. 若 L ₁  // L ₂ ，則∠1＋∠ABC＋∠2＝360 ⁰ 

【證明】過 B 點作 L 平行 L ₁ ，

∵L ₁  // L ₂  ∴ L // L ₂ Þ ∠1 ＋∠3＝180 ⁰ ，

∠2 ＋∠4＝180 ⁰ （同側內角互補）

故∠1＋∠ABC＋∠2＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360 ⁰ 

3. 如右圖，若 L // M，則∠1＋∠3＝∠2＋∠4。

【證明】過 B 點作 N 平行 L，

∵L // M ∴ N // M Þ ∠1 ＝∠5，

∠3＝∠4 ＋∠6

故∠1＋∠3＝∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠4

L 

V 

A 

B  H  C 

A ^' 

L 

V 

A 

B  C 

A ^' 

A 

B  C 

1 

D  2  E 

4.平行線上的三角形面積（同底等高的概念）

當 A 點在 L 上移動時…

D

ABC 的形狀會隨之改變，但是

D

ABC 的面積是不變的。

說明： 

D ABC

的底永遠是 BC （同底） 

ABC

D

的高 AH 是定值（等高）（ AH 即為平行線

L

、

V 

的距離）

那假設 L 與 V 不平行的話，如下圖:

當 A 點在 L 上移動時…

D

ABC 的形狀會隨之改變，則

D

ABC 的面積會隨著高度不同 而改變。

說明: 

D ABC

的底永遠是 BC （同底） 

ABC

D

的高會隨著 L、V 之間的距離不同而改變，所以面積也會跟著改變。 

ABC

D

面積 ñ D 

A

^' 

BC

面積

5.利用平行線性質證明三角形內角和＝180 ⁰  如圖，試證明∠ACB＋∠ABC＋∠BAC＝180 ⁰ 

【證明】過 A 點作直線 L 平行 BC 

∵∠ABC＝∠1；∠ACB＝∠2 （內錯角相等）

∴△ABC 內角和＝∠ACB＋∠ABC＋∠BAC 

＝∠2＋∠1＋∠BAC＝180 ⁰  6.利用平行線性質證明外角定理

如圖，試證明∠1＝∠ABC＋∠BAC 

【證明】 過 A 點作直線 DE // BC 

∵∠ABC＝∠2（內錯角相等）

∴∠1＝∠DAC 

＝∠2＋∠BAC 

＝∠ABC＋∠BAC 

A  L 

B  C 

1  2

L 

M 

130 ⁰  x ⁰  125 ⁰ 

A 

C  B  D 

E 

D' 

1  L 

M  76 ⁰ 

43 ⁰  A 

B 

C 

D  45 ⁰ 

1  2  45 

⁰ 

35 

⁰ 

L 

M 

A  B 

C  D 

E 

G 

F  H 

I 

【範例】如圖，若 L // M，求∠1＝？∠2＝？

【解說】∠1＝35 ⁰ （內錯角相等）

∠2＝35 ⁰ ＋45 ⁰ ＝80 ⁰ 

【範例】如圖，若 L // M，求 x＝？

【解說】130 ⁰ ＋x＋125 ⁰ ＝360 ⁰ 

∴x＝105 ⁰ 

【範例】如圖，若 L // M，求∠1＝？

【解說】∠1＋76 ⁰ ＝45 ⁰ ＋43 ⁰ 

∴∠1＝12 ⁰ 

【範例】如附圖，長方形 ABCD 中，沿 AC 摺疊，D 點 落在 D＇點上，若∠DAC＝25 ⁰ ，則：

(1) ∠ACD＝？ (2) ∠AEB＝？  (3) ∠ECD＝？

【解說】(1) △ADC 中，∠DAC＝25 ⁰ ，∠D＝90 ⁰ 

∴∠ACD＝180 ⁰ －25 ⁰ －90 ⁰ ＝65 ⁰ ＝∠ACD＇

(2) ∵∠DAC＝∠D’AC＝25 ⁰ 

∴∠DAE＝∠DAC＋∠D’AC＝50 ⁰ 

∴∠DAE＝∠AEB＝50 ⁰ （內錯角相等）

(3) ∵∠ACE＝∠DAC＝25 ⁰ （內錯角相等）

∴∠ECD’＝∠ACD’－∠ACE＝65 ⁰ －25 ⁰ ＝40 ⁰ 

【範例】如附圖，AB  //CD  ，且正五邊形 EFGHI 的 頂點 H、F 分別在 AB  、CD  上，又∠GFD 的 度數是∠EFC 的 3 倍，求：(1) ∠GFD =？

(2) ∠AHI  =？

【解說】(1) 正五邊形一內角＝ 

5  180  )  2  5 

(  - ´ ⁰

＝108 ⁰  設∠EFC  ＝x ⁰  ∴∠GFD  ＝3x ⁰

Þ x ⁰ ＋108 ⁰ ＋3x ⁰ ＝180 ⁰ ，x ⁰ ＝18 ⁰  故∠GFD  ＝ 18 ⁰ ×3 ＝54 ⁰ 

(2) ∵AB  //CD  ∴∠HGF =∠BHG +∠GFD 

L1 

L2 

A  B 

C  3 

1 

2 4

L 

M  A 

2 

1  P 

【範例】如附圖，有一條光線 L1經過兩個互相垂直 的平面鏡反射後，反射光線為 L₂，那麼 L¹ 和 L2 是否平行？為什麼？

【解說】∠ABC  ＝ 90 ⁰ Þ ∠1 ＋ ∠2=90 ⁰ ， 又∠1 ＝∠3，∠2 ＝∠4，

所以∠1 +∠2 +∠3 +∠4＝180 ⁰ （同側內角互補）

，故 L₁ // L₂。

【範例】若 L // M  ，選出面積相同的圖形

【解說】甲面積：甲= 

2 

1

´ 4 ´ H=2H  乙面積：乙=3H 

丙面積：丙=2H  丁面積：丁= 

2 

1

´ 4 ´ H=2H 

戊面積：戊= 

2 

1

´ (3+1) ´ H=2H 

【範例】如圖，已知 L // M，若∠1＝40 ⁰ 、∠2＝70 ⁰ 、

∠A＝25 ⁰ ，則∠P＝______度。

【解說】∠P＝∠1 ＋∠2 －∠A

＝110 ⁰  － 25 ⁰ 

＝ 85 ⁰ 

【範例】如圖，已知 L//M，請問：

∠1+∠2+∠3+∠4+∠5 等於_________度。

【解說】作 

L  、 

₁ 

L  、 

₂ 

L  平行

₃ 

L 

∵

L

// 

L 

₁  ∴∠1＝∠a (同位角相等)

∵ 

L  // 

₁ 

L 

₂  ∴∠a＋∠2＝∠b (同位角相等)

∵ 

L  // 

₂ 

L 

₃  ∴∠b＋∠3＝∠c (同位角相等) 則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5

＝∠a+∠2+∠3+∠4+∠5

＝∠b+∠3+∠4+∠5

＝∠c+∠4+∠5＝180 ⁰ 

甲 乙 丙 丁 戊 H 

L 

M 

L 

M  1 

2  3 

4  5 

2 3 4

5

L

M a

b

c

1

L

1

L

2

L

3

【範例】如附圖，已知

AB

//

DE 

，若∠1 ＝ 80 ⁰ ，

∠2 ＝ 40 ⁰ ， 則∠3 ＝______。

【解說】作

¾  ¾®

_AB  與

¬  ¾¾

_ED 

∵

AB

//

DE 

∴∠1 ＝∠4 ＝ 80 ⁰ (內錯角相等)

∴∠5＝180 ⁰ －∠4＝180 ⁰ －80 ⁰ ＝100 ⁰ 

∠3 ＝∠2＋∠5＝40 ⁰ ＋100 ⁰ ＝140 ⁰ 

【範例一】 【練習一】

如圖，L 是 L ₁ 與 L ₂ 的截線，求：

(1) ∠1＝_____度，∠1 的內錯角是___，其 度數是_____度。

(2) ∠2＝_____度，∠3 的同位角是___，其 度數是_____度。

如圖，L 是 L ₁ 與 L ₂ 的截線，設∠1＝50 ⁰ 求：

(1)∠3 的內錯角是___，其度數是_____度。

∠3 的同側內角是___，其度數是____度。

(2)∠5 的同位角是___，其度數是_____度。

(3) ∠4 的鄰角是______，其度數是____度。

(4) ∠6 的對頂角是___，其度數是_____度。

【範例二】 【練習二】

如圖，L ₁  // L ₂ ，求∠ABC＝？ 如圖，已知 L // M，則∠1＋∠2＝？ 

L

1 

L

2 

L  1  2  4  3 

6  5  8  7 

A  B 

C 

D 

E  1 

2  3 

A  B 

C 

D  E 

1 

2  3 

4  5 

2  1  3 

5 4  6  150 ⁰ 

95 ⁰  L1 

L2 

L 

L1 

L2 

A 

B 

C  150 ⁰ 

40 ⁰ 

1 

112 ⁰ 

57 ⁰ 

43 ⁰ 

150 ⁰  2 

L 

M

45 ⁰ 

1 

2 

3  4 

60 ⁰  L 

M 

【範例三】 【練習三】

如圖，L // M，∠1：∠2 ＝ 4：5，且

∠3 ＝ 99 ⁰ ，則∠1 ＝？

如圖，已知 L // M，若∠1＝( 7x＋1) ⁰ 

，∠2 = ( 3x＋8 ) ⁰ ，則∠1＋∠4＝？

【範例四】 【練習四】

如圖，L¹ // L²，若∠1 = 100 ⁰ ，∠2 = 150 ⁰ 

，則∠3 =？

如圖，AE //DF ，∠A +∠B +∠C +∠D =？

【範例五】 【練習五】

如圖，L // M，若∠1 ＝ 12 ⁰ 、∠2 = 33 ⁰ 、

∠3 = 95 ⁰ ，則∠4 ＝？

如圖，L¹ // L²，求∠1 的度數。 

L1 

L2 

A 

B 

C  1 

2  3 

L1 

L2 

1 

2 

3 

A  B 

C 

D 

E 

F 

L 

M 

1  2 

3 

4 

L1 

L2 

20 ⁰  110 ⁰ 

1  40 ⁰

A 

B  C 

D  1  2  E 

【範例六】 【練習六】

(1)如圖，已知 AB // DE ，若∠1 = 80 ⁰ ，

∠2 = 40 ⁰ ，則∠3 =______。

(2) 如圖，∠1 ＝∠A，且 10∠1 ＝ 5∠B ＝ 2∠C＝則∠B＝______度。

(1) 如圖，已知 L // M，四邊形 ABCD 為正 方形，若∠1＝150 ⁰ ，則∠2＝？

(2) 如圖，∠1 ＝15 ⁰ ，∠2 ＝50 ⁰ ，則當

∠3＝？時 

AD //  EF 

。

【範例七】 【練習七】

如圖，L // M，

ABCD

為正方形，求 

Ð 1

。 如圖，L // M，

ABCD

為正方形，求 

Ð 1

A  B 

C 

D  E 

1 

3  2 

A 

B 

C 

D  1 

2 

L 

M 

A 

B  C 

D 

E 

F  1 

2  4  3 

A 

B 

C  D 

L 

M 

1  2x 

x 

A 

B 

C  D 

L 

M 

1  3x 

2x

【範例八】 【練習八】

如圖，U//V，

ABCDE

為正五邊形，求 y ⁰  如圖，U//V，

ABCDE

為正五邊形，求 y ⁰ 

【範例九】 【練習九】

如圖，若 L//M，求∠1。 如圖，若 L//M，求∠1。

【範例十】 【練習十】

如圖，已知 AB // CD ，L 為截線， EP 平分

∠BEF， FP 平分∠EFD，試說明 EP 與 FP 之間 的關係。

如圖，已知 AB // CD ，L 為截線， EP 平分

∠BEF， FP 平分∠EFD，且∠BEF＝120 ⁰ ，試 問：(1) ∠1、∠2、∠3、∠4 各多少度?

(2)∠1＋∠3＝? 

A 

B 

C 

D  E  4x 

5x 

y  U 

V 

A 

B 

C 

D  E  5x 

7x 

y  U 

V 

L 

1  M  78 ^O 

62 ^O  31 ^O 

L 

M  A 

B  C 

D  41 ^O  25 ^O 

1 

B 

D  A

C 

E 

P 

F 

L  1  2 

3  4

古希臘三大幾何作圖問題

在數學的歷史上有三個問題始終以可驚的力量堅定了兩千多年。初等幾何學到現在至 少已有了三千年的歷史，在這期間努力於初等幾何學之發展的學者們曾經遇到過很多的難 題，而始終絞著學者腦汁的卻就是這三個問題：

「立方倍積」 ，「化圓為方」和「三等分角」，而這三個問題，也就被合稱為「古希臘三 大幾何問題」。

(1) 立方倍積問題：求作一個正立方體，使其體積為邊長為 1 的正立方體的 2 倍。

(2) 方圓問題：求作一個正方形，使其面積和半徑為 1 的圓面積相等。

(3) 三等分角問題：三等分任意已知角。

有關立方倍積問題:

關於立方倍積的問題有一個神話流傳：當年希臘提洛斯（Delos）島上瘟疫流行，居 民恐懼也向島上的守護神阿波羅（Apollo）祈禱，神廟裡的預言修女告訴他們神的指示：

“把神殿前的正立方形祭壇加到二倍，瘟疫就可以停止。＂由此可見這神是很喜歡數學 的。居民得到了這個指示後非常高興，立刻動工做了一個新祭壇，使每一稜的長度都是 舊祭壇稜長的二倍，但是瘟疫不但沒停止，反而更形猖獗，使他們都又驚奇又懼怕。

結果被一個學者指出了錯誤：「稜二倍起來體積就成了八倍，神所要的是二倍而不是 八倍。」大家都覺得這個說法很對，於是改在神前並擺了與舊祭壇同形狀同大小的兩個 祭壇，可是瘟疫仍不見消滅。人們困擾地再去問神，這次神回答說：「你們所做的祭壇體 積確是原來的二倍，但形狀卻並不是正方體了，我所希望的是體積二倍，而形狀仍是正 方體。」居民們恍然大悟，就去找當時大學者柏拉圖請教。

由柏拉圖和他的弟子們熱心研究，但不曾得到解決，並且耗費了後代許多數學家們 的腦汁。而由於這一個傳說，立方倍積問題也就被稱為提洛斯問題。

而此問題即是解 2=X ³ 的代數問題。那請問 X=2 ^1 / 3 的長度是否可以用圓規直尺所畫出呢？

說明: 設原立方體的邊長為 1，要作出的立方體邊長為 x，則 x 要滿足 ，這個方 程式沒有有理根，當然就沒有尺規作圖的 x 了。

體積=2  體積=1 

1 

X 

X 

X

πr 

² 

r  r

2πr

有關化圓為方問題:

方圓的問題與提洛斯問題是同時代的，由希臘人開始研究。有名的阿基米得把這問題 化成下述的形式：已知一圓的半徑是 r，圓周就是 2πr，面積是 πr ² 。由此若能作一個直 角三角形，其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長 2πr 及半徑 r，則這三角形的面積就是 

1 

2 

×(2πr)×r＝πr ² 與已知圓的面積相等。由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來。

但是如何作這直角三角形的邊 πr 長度。即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長，這 問題阿基米德可就解不出了。

有關三等分角問題:

西元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法， 二等分一個 已知角既是這麼容易，很自然地會把問題略變一下：三等分怎麼樣呢？這樣，這一個問題 就這麼非常自然地出現了。對於特別角 45 ⁰ 、90 ⁰ 、135 ⁰ 、180 ⁰ 等角可以三等分， 但是任 意的角並不可以三等分，接著我們來看看如何將 90 ⁰ 角三等分。

【範例】將 90 ⁰ 角三等分。

【已知】某一角∠A＝90 ⁰ 。

【求作】兩直線將∠A 三等分。

【作法】步驟一: 以 A 為圓心，適當長為半徑化弧，交角的兩邊於 B、C 兩點。

步驟二: 分別以 B、C 為圓心， AB 為半徑化弧，交 BC 於 D、E 兩點。 

A  B 

C 

A  B 

C  D 

E

步驟三: 連接 AD 、 AE ，則 AD 、 AE 將∠A 三等分。

注:1837 年法國數學家凡齊爾(1814-1848)首次運用了代數的方法嚴格證明了這個問題是尺 規 作圖不可能的，至此這個才算獲得解決。但由於對他的研究，使人們發現了一些特殊 的曲線，如圓錐曲線、蚌線、蔓葉線等，促進了圓錐曲線理論的建立和發展。人們還發現，

只要不受尺規作圖工具的約束，倍立方體的問題是可以解決的。 

A  B 

C  D 

E