龍騰數亦優第40期

編輯室墨記

本期以許志農教授〈日本數學愛好協會的三等分活動〉作為開場，分享日本社團「數 學愛好協會」以「如何將圓形蛋糕三等分」為題徵求而得的幾個有趣的解答，帶您欣賞 日本民眾的數學素養，一起參與這場腦力激盪。

〈牙籤數列專題研究〉則是由陳敏晧老師帶領陳佳欣、顏芸榛、李苡禎三位同學花 費將近九個月的研究成果，經由了解平面牙籤數列的規律，進而延伸探究到空間的牙籤 數列規律。

李維昌老師的〈求解 x 的一元三次方程式的三根〉，利用求解

的一元三次方程式

3 0 2 ( 3 ) ( 3 3) 0

x    x yz x  y z 

的三根，來解

之三根，快來看看！

許雯琇老師、李蕙如老師則分享了〈組合摺紙—鏤空立方體〉這個廣受學生歡迎的 課程主題，藉由有趣的摺紙活動，讓老師和學生可以一起動手玩數學。

繼上期〈一個關於正整數分成三個正整數相加方法數的公式〉之後，許閎揚老師這 次以〈用歐拉定理來做一道圖形分割問題〉分享解決平面分割問題的不同方式，再度帶 來了教學新點子。

109 年學測圓滿落幕，喘口氣，我們這次用輕鬆的心情再次回頭看看今年的題目，

透過辜俊庭老師的〈拋物線內接等腰梯形〉的兩種證明，一起感受 109 學測命題中隱藏 的小貼心～

最後，翻開動手玩數學，一起透過人類的血型來練習數學關係的判讀，還有認識著 名的梅齊里亞克砝碼問題吧！

歡迎將您的教學生活趣聞、甘苦談，教案分享、教材探討，以1000~2000字的內容，註明主 題、作者簡歷、聯絡電話與地址，投稿予[email protected]。

發 行 人：李枝昌 編輯顧問：許志農 總 編 輯：蔡欣樺 執行編輯：林一妃 美術編輯：林佳瑩

發 行 所：龍騰文化事業股份有限公司 地 址：248新北市五股區五工六路30號 電 話：(02)2299-9063

傳 真：(02)2298-9755 創 刊 日：2006/11/30 出 刊 日：2020/04/15

網 址：http://www.lungteng.com.tw

龍騰數亦優 2020.04 目次 龍騰業務跑天下 數學質好畫亦優

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》日本數學愛好協會的三等分活動

陳敏 陳 敏晧 晧 ^{蘭陽女中數學教師} 、 、 陳 陳 佳 佳 欣 欣 、 、 顏芸 顏 芸榛 榛、 、李 李苡 苡禎 禎 ^學生

》》牙籤數列專題研究

李維 李 維昌 昌 國立宜蘭高中退休教師

》》求解 x 的一元三次方程式的三根

許雯琇 臺北市中正高中數學教師 、 、 李 李 蕙 蕙 如 如 高雄市路竹高中數學教師

》》組合摺紙——鏤空立方體

許閎 許 閎揚 揚 彰化藝術高中數學教師

》》用歐拉定理來做一道圖形分割問題

辜俊 辜 俊庭 庭 ^{潮州高中數學教師}

》》拋物線內接等腰梯形

許志農 ^{臺灣師大數學系}

》》動手玩數學專欄

》》動手玩數學《第 39 期》破解祕笈 3

33

43 30

8

38

40

數亦優 3

「別強迫孩子學習，以娛樂的方式指引他們，讓他們的天賦得以被發掘。」

─柏拉圖（Plato, 427－347 B.C.）《理想國》

「喚醒學生的最好辦法是向他們提供有吸引力的數學遊戲、智力題、魔術、笑話、悖論、打油 詩或那些呆板的教師認為無意義而避開的其他東西。」

─馬丁‧加德納（M. Gardner, 1914－2010）

一、引言》

給一條繩子，將頭尾對齊，兩手拉直可以輕易知道繩子的中點在何處，但有辦法知道繩子 的三等分點嗎？國中數學課可以使用直尺及圓規，在平面上，任意給定的線段及角，都可以將 它們二等分，而且線段也可以三等分（想想看，如何辦到？）但是，給定一個角，古希臘人始 終無法找到三等分的有效方法，這是有名的「三等分角的難題」，而且後來的數學家知道：這 是辦不到的事情。如果把問題從真實的「繩子」，抽象平面上的「線段」、「角」跳脫出來，

而是考慮最常碰到的「圓形物」呢？例如披薩或蛋糕之類的東西，我們可有好的辦法將其三等 分嗎？日本社團「數學愛好協會」就以「如何將圓形蛋糕三等分」為題，向社會大眾徵求答 案，並公布了幾個賞心悅目的民眾解答。從這些有趣的分割答案中，可以欣賞到日本民眾的數 學素養。

協會在推特上發布各民眾的成果，以下兩種就是用「同心圓」切法而入選的作品，其差異 點在：同心圓半徑比為等差「1: 2 : 3」或特殊比「 3 : 6 : 9 」的分別。特殊比的切法被評審 笑說「分到最外圈的也太可憐」。

另一個有趣的切法是：畫三條水平線將鉛直的直徑四等分，其中第二條水平線剛好通過圓心，

再從圓心畫出三條半徑，這三個扇形就可以將圓三等分了。原因很簡單，以下方扇形來看，它 與第三條水平線所圍成的三角形是特別角30   30 120 的等腰三角形，故左右兩扇形圓心角 均為30   90 120 。

許志農／臺灣師大數學系

數亦優 4

除了上述三種切法外，我們將介紹幾個有趣，又有特色的切法，特別是最優秀獎的「六芒星」

切法。

二、幾個入賞切法》

「水果削皮器」切法是另一個入選的切法，圖形看似複雜，但其原理卻極為簡單。在左圖 中，從圓心出發，畫一條折線至圓周上，然後將此折線以圓心為中心，分別旋轉120 及 240 ，共得到三條一模一樣的折線，而這三條折線將圓區域分割成三塊一模一樣的圖形，這 樣就完成一種三等分的切法。當我們將折線換成複雜一點的螺線時，所得到的切法就是右圖的

「水果削皮器」切法了。

「無限四等分」切法獲得優秀獎，這種運用無限趨近的概念，讓評審無奈地說「切幾年也 不會到三等分吧！」這切法是這樣的：將圓切四等分，取其中一份，再將隔壁那份切四等分，

也取其中一小份，繼續將那小份的隔壁再切四等分，仍然取其中一小份，…，如此一直進行下 去，所取的總和會是圓面積的三分之一，如下圖所示。

數亦優 5 關於「無限四等分」切法，我們也可以這樣來解釋：將圓切四等分，讓甲、乙、丙三人各取一 份，再把剩下的第四份切成四等分，仍讓甲、乙、丙三人各取其中一小份，繼續將剩下的第四 小份切成四等分，一樣讓甲、乙、丙三人各取一份，…，如此一直進行下去，顯然，甲、乙、

丙三人最後各分得圓面積的三分之一。若要用數學來表達，這切法的想法也許是來自有名的阿 基米德無窮等比級數的求和公式

1 2 3

1

1 1 1 4 1

4 4 4 1 1 3 4

    



 。

三、三等分最優秀賞—六芒星切法》

壓軸的是第一名最優秀獎，由奇特的「六芒星」切法奪下，神秘的圖騰讓評審及網友全都 驚呆，評審對此感到不可思議，點評表示「到底怎麼想出來的」，還說「用這方法切蛋糕絕對 能hold 住全場。」

將邊長為 6 的正三角形倒立，如下圖所示，此時高為 3 3 ，再利用畢氏定理可以知道：邊 上的三等分點O 至頂點的距離為 2 7 。

上面這個簡單的模型，可能是「六芒星」切法的基本脈絡，讓我們來欣賞這奇妙的切法。

「圓三等分最優秀獎」如下圖所示，它是根據以下四個條件切割而得：

1. 過O 點作一條長度為 6 的水平線段，且讓 O 點為該線段的三等分點，並以此線段為邊作一 個倒立的正三角形。

2. 連接此倒立正三角形各邊的三等分點，作出一個同樣邊長的正三角形。

3. 以 O 為圓心，作一半徑為 2 7 的圓。

數亦優 6

4. 圖中有三條垂線，有兩條的垂足剛好是小正三角形的邊上中點，而另一個垂足與小正三角 形的頂點距離剛好是1。

求證：這些分割線將圓切割成甲，乙及丙三塊，他們會將圓面積三等分。

證明：我們把圓形區域想像成一間教室，而且被那些切割線分割，在尊重切割線（但不考慮顏 色）的情況下，希望用種類最少的磁磚將圓形教室密鋪。因為是圓弧外圍，所以一定會 用到不是多邊形的磁磚（例如弓形等），而且根據題目對圓形的切割，先盡量用小正三 角形去鋪設，是較理想的方式。

遵循上述分析，在尊重分割線及盡量用小正三角形密鋪的情況下，我們可以得到以下的 磁磚密鋪圖。

在此密鋪圖中，用到以下五種形狀不同的磁磚（不考慮顏色）：

1. 小正三角形磁磚（邊長 2）。

2. 直角三角形磁磚（ 30     ），兩塊此類磁磚可以拼成一塊小正三角形磁磚。 60 90 3. 鈍角三角形磁磚（ 30   30 120 ），可拆成兩塊直角三角形磁磚。

4. 小弓形磁磚（其圓心角為 20 度）。

5. 大弓形磁磚（其圓心角為 40 度）。

現在可以來算三塊區域各密鋪多少面積的磁磚，從密鋪圖可以知道：

甲塊＝12 小正三角形+4 直角三角形+2 鈍角三角形+2 小弓形+2 大弓形 ＝16 小正三角形+2 小弓形+2 大弓形；

乙塊＝12 小正三角形+4 直角三角形+2 鈍角三角形+2 小弓形+2 大弓形 ＝16 小正三角形+2 小弓形+2 大弓形；

丙塊＝14 小正三角形+2 直角三角形+1 鈍角三角形+2 小弓形+2 大弓形 ＝16 小正三角形+2 小弓形+2 大弓形。

因此，甲，乙及丙三塊面積都一樣，即他們會將圓面積三等分。

在「六芒星」切法中，不僅甲，乙，丙（六芒星）將圓形三等分，而且從證明中也可以發現：

圓弧上的三分割點也將圓周三等分。將六芒星拆開來看，正三角形是一種陽性的象徵，倒立的 正三角形則是陰性，用六芒星作切法，是否有圓融的味道呢？

數亦優 7

四、結語》

大眾普遍不喜歡數學或對數學比較冷漠，很可能是學生時期大量的考試和測驗卷，扼殺了 數學學習的樂趣，或因受挫折而產生排拒心理。日本社團「數學愛好協會」經常透過有趣的數 學活動，讓大家腦力激盪，互相學習交流。像這次的圓形蛋糕三等分活動，沒有什麼唯一的標 準答案，更沒有限定範圍，需要活用既有的數學知識進行探究，這和固定形式考試的感受是截 然不同的，能真正增進彼此的數學素養。看看這些解答，已經囊括了國中和高中的數學知識，

其實入賞當中還有個較為困難的解法：圓內任取一點，過該點畫出間隔 30 度的六條線並將圓 分成 12 塊，如下圖所示。將每間隔兩塊的部分歸為同一類，則恰分成三類，且將圓三等分，

而這其實是「披薩定理」最新成果的一個特例。

讀者有沒有興趣動手想出自己的「蛋糕三等分」切法呢？或是做做以下兩道趣題。

1. 將圓形蛋糕以刀子切割兩刀，這兩刀互相垂直，蛋糕被分成四塊，如下圖所示。甲先取其 中不相鄰的兩塊，乙再取剩下不相鄰的兩塊。問：有哪些切法會讓甲、乙兩人所取得的蛋 糕面積一樣大？

2. 拿條繩子操作，找找看三等分點在何處？

顯然地，數學不僅躲在書本裡，它在我們生活周遭到處都是。

五、參考文獻》

「數學愛好協會」社團網址：https://twitter.com/mathlava。

數亦優 8

一、前言》

我們在網路上發現到一個非常有趣的數列 ¹：在平面上，第一步驟由一根垂直牙籤組成，

第二步驟將垂直牙籤的端點各擺上一根水平的牙籤，且新牙籤中點與原來牙籤的端點重合，第 三步驟將第二步驟擺上牙籤的端點各擺上一根彼此垂直的牙籤，依此類推，如下圖所示，將各 步驟的牙籤總數列舉成一個數列，即1,3,7,…稱為牙籤數列（toothpick sequence）。我們的目標 是了解平面的數列規律，進而延伸到空間的數列規律。

▲專題研究流程圖

二、研究目的》

1. 繪製平面牙籤數列的圖形

為了尋找規律，在二維的幾何模式中，我們先定義第 n 次步驟的牙籤總數為T ，即_n

1 1, 2 3, 3 7,...

T  T  T  ，另外，定義第 n 次步驟的新增牙籤總數為t ，即_n t₁1,t₂2,t₃4,...。我 們先繪製前18 次牙籤數列圖形，觀察與整理T 、_n t 的數值變化，如下圖。 _n

1 https://en.wikipedia.org/wiki/Toothpick_sequence

陳敏晧／蘭陽女中數學教師 陳佳欣、顏芸榛、李苡禎／蘭陽女中學生

數亦優 9

1 1

t  t₂ 2 t₃ 4

1 1

T  T₂ 3 T₃ 7

4 4

t  t₅ 4 t₆ 8

4 11

T  T₅15 T₆ 23

7 12

t  t₈ 8 t₉ 4

7 35

T  T₈43 T₉47

數亦優 10

10 8

t  t₁₁12 t₁₂ 12

10 55

T  T₁₁67 T₁₂79

13 16

t  t₁₄28 t₁₅32

13 95

T  T₁₄123 T₁₅155

16 16

t  t₁₇ 4 t₁₈ 8

16 171

T  T₁₇175 T₁₈183

數亦優 11 我們將上面數列整理成表格如下，以方便觀察數據：

T₁ T₂ T₃ T₄ T₅ T₆ T₇ T₈ T₉ T₁₀ T₁₁ T₁₂ T₁₃ T₁₄ T₁₅ T₁₆ T₁₇ T₁₈ 橫 0 2 2 6 6 14 14 22 22 30 30 42 42 70 70 86 86 94 直 1 1 5 5 9 9 21 21 25 25 37 37 53 53 85 85 89 89 總

數 1 3 7 11 15 23 35 43 47 55 67 79 95 123 155 171 175 183 引理一：

根據奇偶性，我們有下列結論：

1.1 直的牙籤總數必為奇數。

1.2 橫的牙籤總數必為偶數。

1.3 因為總數＝直的＋橫的，因此，根據上述結論，牙籤總數T 必為奇數。此外，若以_n x_n 表示第n 次橫的牙籤總數，以y 表示第 n 次直的牙籤總數，則 lim_n ⁿ 1

n n

x y

  。

接著我們透過科學製圖技術，以直方圖（histogram）呈現直的牙籤總數、橫的牙籤總數、

總數，其遞增的狀況便能一目了然。

我們進一步想要知道T 的遞增情形，因此，我們計算到_n n53，如下表格：

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T n 1 3 7 11 15 23 35 43 47 55 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 67 79 95 123 155 171 175 183 195 207

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 223 251 283 303 319 347 383 423 483 571

數亦優 12

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 651 683 687 695 707 719 735 763 795 815

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 831 859 895 935 995 1083 1163 1199 1215 1243

51 52 53 1279 1319 1379

因為從開始到四位數的牙籤數列共有125 項，因此，先討論到前 125 項的T ： _n 第1 到第 125 項 樣本個數 機率

一位數 3 項 9 0.333 二位數 10 項 90 0.111 三位數 32 項 900 0.036 四位數 80 項 9000 0.009

假設一位數牙籤數列出現的機率為 p ，二位數牙籤數列出現的機率為₁ p ，…，根據上₂ 表，p₁0.333，p₂0.111， p₃ 0.036，p₄ 0.009。

（續）引理一：

1.4 若假設第k 位數牙籤數列出現的機率為p ，則_k p_k 3p_k1,k1,2,3。

將第k 位數牙籤數列出現的機率為p 畫成直方圖與圓面積圖更容易看出彼此的關係，如上_k 圖。

2. 平面牙籤數列的規律

先考慮數列   1,2,4,4,4,8,12,8,4,8,12,12,16,28,32,16,4,8,...，可以觀察到字元網底的項t_{n n1} 代表 ₂k ^{2 ,}

 

t  k k  ，接著將  項按t_{n n1} t t2k, 2 1k ,t2k2,...,t2k11 重新排列如下：

1 2 4

4 4 8 12

8 4 8 12 12 16 28 32

16 4 8 12 12 16 28 32 20 16 28 36 40 60 88 80…

數亦優 13 其中

3 2 11 21 1 1 2 1 2 4

t t _  t t_     ，t5t2 12_ 2t1     ， t2 2 1 2 4

6 2 22 22 2 1 2 2 4 8

t t _  t t_     ，t7 t2 32_ 2t3t3 1_    2 4 4 12，

28 2 124 212 12 1 2 12 16 40

t t _  t t _     ，因此， ₂k 2 ₁, 1,2,3,...,2 1

k

j j

t _j t t_ j  。 引理二：

2.1 若定義第 n 步驟的新增的牙籤總數為t ，則_{n 2}

1

2 , 0

2 , 1,2,3,...,2 1

k

k j k

j j

t j

t t j

 

 

 

  

 。

2.2 奇數次時，直的牙籤總數一定大於橫的牙籤總數。

3. 平面牙籤級數的規律 接著考慮第n 列的項數總和，

1 第1 列和 = 12¹ 2⁰

2 4 第2 列和 = 62³2¹

4 4 8 12 第3 列和 = 282⁵ 2² 8 4 8 12 12 16 28 32 第4 列和 = 1202⁷ 2³ 16 4 8 12 12 16 28 32 20 16 28 36 40 60 88 80 第 5 列和 = 4962⁹2⁴ 因此，第n 列的項數總和

2

 2

1 0

1 2 2

T  

2 1 3 0 1

2 1 (2 2 ) (2 2 ) T _    

3 1 3 5 0 1 2

2 1 (2 2 2 ) (2 2 2 ) T _      

4 1 3 5 7 0 1 2 3

2 1 (2 2 2 2 ) (2 2 2 2 ) T _        

根據數學歸納法（Mathematical Induction），

1 3 5 7 2 1 0 1 2 3 1

2 1k (2 2 2 2 2 k ) (2 2 2 2 2 )k

T _       ^       ^

0 2 1

2(4 1) 2 (2 1) 2 3 2 1

4 1 2 1 3

k k k   k 

  

  ，其中k  。檢核k ， 4

4

2 4 1 4

2 1 15

2 3 2 1 512 48 1 465

3 3 3 155

T T

 



    

     ，核證。進一步延伸，

1 1

2 2 1 2

2 3 2 1 2 1

3 2 3

k k k

k k k

T T t k

 



   

     。

數亦優 14

接著討論T₂k_j的結果，首先考慮

9 8 9 8 21 2 8 21 (1 2) 1 8 2 1 2 1

T    T t T t   t T t  t t   t T T T  ，

10 8 9 10 8 (21 2) (22 3) 8 2(1 2) (1 2 3) 1 8 2 2 3 1

T   T t t  T t t  t t  T t t  t  t t   t T T   T 依此類推，得 ₂k ₂k 2 ₁ 1, 1,2,3,...,2 1

k

j j

T _jT  T T_  j  。 引理三：

若前n 列項總和為T ，則_n

1 2

2 2 1

2 1 3

2 1, 1,2,3,...,2 1

k

k k

k

k

j j

j

T

T T T T j



 

  



      



。

4. 平面牙籤數列中的數學奧秘

接著我們把數列 T_n  1,3,7,11,15,23,35,43,47,55,67, 重新排列，將各項的值轉換成巴 斯卡三角形（Pascal Triangle）的陳列方式，竟發現其中許多神奇的等差數列（Arithmetical Progression）、等比數列（Geometrical Progression）與遞迴關係（Recursion Relationship）。

數亦優 15 第n 列的數字總和為T ，透過上方的數值重新分解，我們有如下的數學發現： _n

引理四：

4.1 除了第一行外，其餘的項（term）都是偶數。

4.2 除了第一行外，將第二行的數將右下方平移（translation），即得右下方的項。

4.3 第一行除了首項外，產生 1,3,1,3,5,7,1,3,5,7,...的規律。

4.4 第二行以降，除了首項外，產生 2,6,2,6,10,14,2,6,10,14,...的規律。

4.5 各列的數字個數為公差 1 的等差數列。

5. 牙籤數列圖形的封閉圖形

接著考慮牙籤數列圖形的封閉圖形，用長方形或正方形色塊封閉如下，我們定義平面覆蓋 率＝（牙籤總數）÷（封閉圖形面積），我們將數值取到小數點第二位，第三位四捨五入。

1 × 1 正方形 1 × 2 長方形

A1 A2 A3

平面覆蓋率3 ÷ 1 = 3 平面覆蓋率7 ÷ 2 = 3.5

2 × 2 正方形 2 × 3 長方形 3 × 3 正方形

A4 A5 A6

平面覆蓋率11 ÷ 4 = 3.75 平面覆蓋率15 ÷ 6 = 2.5 平面覆蓋率23 ÷ 9 ≈ 2.56

數亦優 16

3 × 4 長方形 4 × 4 正方形 4 × 5 長方形

A7 A8 A9

平面覆蓋率35 ÷ 12 ≈ 2.92 平面覆蓋率43 ÷ 16 ≈ 2.69 平面覆蓋率47 ÷ 20 = 2.35

5 × 5 正方形 5 × 6 長方形 6 × 6 正方形

A10 A11 A12

平面覆蓋率55 ÷ 25 = 2.2 平面覆蓋率67 ÷ 30 ≈ 2.23 平面覆蓋率79 ÷ 36 ≈ 2.19

6 × 7 長方形 7 × 7 正方形 7 × 8 長方形

A13 A14 A15

平面覆蓋率 95 ÷ 42 ≈ 2.26 平面覆蓋率 123 ÷ 49 ≈ 2.51 平面覆蓋率155 ÷ 56 ≈ 2.77

數亦優 17 8 × 8 正方形 8 × 9 長方形 9 × 9 正方形

A16 A17 A18

平面覆蓋率 171 ÷ 64 ≈ 2.67 平面覆蓋率 175 ÷ 72 ≈ 2.43 平面覆蓋率183 ÷ 81 ≈ 2.26

引理五：

5.1 圖形 A2N 可由 N × N 正方形所圍成；圖形 A(2N+1)可由 N × (N+1)長方形所圍成。

5.2 若第 n 個圖形的平面覆蓋率定義為d ，則_n 5 lim ⁿ 2

n d

  。

6. 平面牙籤數列的數字表徵

接著改良 Mats Granvik 的作法 ²，我們將牙籤端點轉換成數字的概念，重疊之處數字累 加，牙籤數列的圖形不變，我們發現一個很驚奇的結果：若第 n 個牙籤數列圖形中，1 有a_n 個、2 有b 個、3 有_n c 個，則牙籤總數_n 2 3

3

n n n

n

a b c

T    ；這種數字型的牙籤數列圖形的數字 僅會出現1 或 2 或 3。

2 Mats Granvik, Additional illustration: Number blocks where each number tells how many times a point on the square grid is crossed or connected to by a toothpick, Jun 21 2009.

數亦優 18

1 1

t  t₂ 2 t₃ 4 t₄ 4

1 1

T  T₂ 3 T₃ 7 T₄ 11

5 4

t  t₆ 8 t₇12

5 15

T  T₆23 T₇35

8 8

t  t₉ 4 t₁₀ 8

8 43

T  T₉47 T₁₀55

11 12

t  t₁₂ 12 t₁₃16

11 67

T  T₁₂79 T₁₃95

數亦優 19

14 28

t  t₁₅32

14 123

T  T₁₅155

討論如下：

T₁ T₂ T₃ T₄ T₅ T₆ T₇ T₈ T₉ T₁₀ T₁₁ T₁₂ T₁₃ T₁₄ T₁₅ 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 個數 1 3 5 5 5 9 13 9 5 9 13 13 17 29 33 17 2 0 2 8 14 18 22 36 50 54 58 70 86 98 114 152 3 0 0 0 0 0 4 8 8 8 12 16 16 20 36 48 Tn 1 3 7 11 15 23 35 43 47 55 67 79 95 123 155

根據上述圖表、直方圖可知，lim ⁿ 1

n n

b T

  。

數亦優 20 引理六：

6.1 若第 n 個牙籤數列圖形中，1 有a 個、2 有_n b 個、3 有_n c 個，則牙籤總數 _n 2 3

3

n n n

n

a b c T    。

6.2 lim ⁿ 1

n n

b T

  。

7. 擬正方形的牙籤數列圖形：

在畫牙籤數列圖形中，我們發現有一種擬正方形圖形，也就是很接近正方形圖形（因為還 有四個上下左右的半根牙籤），經過仔細畫圖與研究後，第 n 個牙籤數列圖形竟形成遞迴關 係，如此結果讓我們喜出望外。

第一個擬正方形 第二個擬正方形

4 22

n  n  8 2³

第三個擬正方形 第四個擬正方形

16 24

n  n32 2 ⁵

數亦優 21

第五個擬正方形 第六個擬正方形

64 26

n  n128 2 ⁷

引理七：

第k 個擬正方形位於第 2 2 , ^k k 步驟。

8. 立體牙籤數列的圖形與規律

最後我們研究立體的牙籤數列，我們沿用平面的符號定義第 n 次步驟的新增的牙籤總數為 t ，且第 n 次步驟的牙籤總數為n T 。我們仿照平面擬正方形的想法，討論空間中擬正立方體，_n 發現擬正立方體的圖形出現在第6,12,24,...步驟。

t1 = 1（x 軸方向） t2 = 2（y 軸方向）

T1 = 1 T2 = 3

t₃ = 4（z 軸方向） t₄ = 8（x 軸方向）

T₃ = 7 T₄ = 15

數亦優 22

t5 = 8（y 軸方向） t6 = 8（z 軸方向）

T₅ = 23 T₆ = 31 擬正立體

t₇ = 8（x 軸方向） t₈ = 16（y 軸方向）

T₇ = 39 T₈ = 55

t9 = 32（z 軸方向） t10 = 64（x 軸方向）

T9 = 87 T10 = 151

t₁₁ = 32（y 軸方向） t₁₂ = 16（z 軸方向）

T₁₁ = 183 T₁₂ = 199 擬正立方體

數亦優 23 t13 = 8（x 軸方向） t14 = 16（y 軸方向）

T13 = 207 T14 = 223

t₁₅ = 32（z 軸方向） t₁₆ = 56（x 軸方向）

T₁₅ = 255 T₁₆ = 281

t₁₇ = 56（y 軸方向） t₁₈ = 64（z 軸方向）

T₁₇ = 337 T₁₈ = 401 將空間的牙籤數列數據整理如下：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 t_n 1 2 4 8 8 8 8 16 32 64 32 16 8 16 32 56 56 64 Tn 1 3 7 15 23 31 39 55 87 151 183 199 207 223 255 281 337 401 接著我們將數據細分成 x 軸、y 軸、z 軸三個面向，並畫出個別的折線圖，藉此了解不同維度 的遞增或遞減情形。

數亦優 24

x y z

t1 1 t1 0 t1 0 t2 0 t2 2 t2 0 t₃ 0 t₃ 0 t₃ 4 t₄ 8 t₄ 0 t₄ 0 t5 0 t5 8 t5 0 t₆ 0 t₆ 0 t₆ 8 t₇ 8 t₇ 0 t₇ 0 t₈ 0 t₈ 16 t₈ 0 t9 0 t9 0 t9 32 t₁₀ 64 t₁₀ 0 t₁₀ 0 t₁₁ 0 t₁₁ 32 t₁₁ 0 t₁₂ 0 t₁₂ 0 t₁₂ 16 t13 8 t13 0 t13 0 t14 0 t14 16 t14 0 t₁₅ 0 t₁₅ 0 t₁₅ 32 t₁₆ 56 t₁₆ 0 t₁₆ 0 t17 0 t17 56 t17 0 t₁₈ 0 t₁₈ 0 t₁₈ 64

x 的波峰出現在第 10,16 的步驟中，週期 16 10 6   。

y 的波峰出現在第 11,17 的步驟中，週期 17 11 6   。

數亦優 25 z 的波峰出現在第 9,15 的步驟中，週期 15 9 6   。

因此，空間中，無論是x,y,z 維度上，出現波峰的週期均為 6。

最後將空間中的牙籤數列包覆在長方體或正方體中，定義空間覆蓋率＝（牙籤總數）÷

（封閉圖形體積），我們將數值取到小數點第二位，第三位四捨五入。

t₁ = 1（x 軸方向）

T₁ = 1 1 × 1 × 1 正方體 空間覆蓋率1 ÷ 1 = 1

t₂ = 2（y 軸方向）

T₂ = 3 1 × 1 × 1 正方體 空間覆蓋率3 ÷ 1 = 3

t₃ = 4（z 軸方向）

T₃ = 7 1 × 1 × 1 正方體 空間覆蓋率7 ÷ 1 = 7

t₄ = 8（x 軸方向）

T₄ = 15 2 × 1 × 1 長方體 空間覆蓋率15 ÷ 2 = 7.5

數亦優 26

t₅ = 8（y 軸方向）

T₅ = 23 2 × 2 × 1 長方體 空間覆蓋率23 ÷ 4 = 5.75

t₆ = 8（z 軸方向）

T₆ = 31 2 × 2 × 2 正方體 空間覆蓋率31 ÷ 8 ≈ 3.88

t₇ = 8（x 軸方向）

T₇ = 39 3 × 2 × 2 長方體 空間覆蓋率39 ÷ 12 = 3.25

t₈ = 16（y 軸方向）

T₈ = 55 3 × 3 × 2 長方體 空間覆蓋率55 ÷ 18 ≈ 3.06

t₉ = 32（z 軸方向）

T₉ = 87 3 × 3 × 3 正方體 空間覆蓋率87 ÷ 27 ≈ 3.22

t₁₀ = 64（x 軸方向）

T₁₀ = 151 4 × 3 × 3 長方體 空間覆蓋率151 ÷ 36 ≈ 4.19

數亦優 27 t₁₁ = 32（y 軸方向）

T₁₁ = 183 4 × 4 × 3 長方體 空間覆蓋率183 ÷ 48 ≈ 3.81

t₁₂ = 16（z 軸方向）

T₁₂ = 199 4 × 4 × 4 正方體 空間覆蓋率199 ÷ 64 ≈ 3.11

t₁₃ = 8（x 軸方向）

T₁₃ = 207 5 × 4 × 4 長方體 空間覆蓋率207 ÷ 80 ≈ 2.59

t₁₄ = 16（y 軸方向）

T₁₄ = 223 5 × 5 × 4 長方體 空間覆蓋率223 ÷ 100 ≈ 2.23

t₁₅ = 32（z 軸方向）

T₁₅ = 255 5 × 5 × 5 正方體 空間覆蓋率255 ÷ 125 = 2.04

t₁₆ = 56（x 軸方向）

T₁₆ = 281 6 × 5 × 5 長方體 空間覆蓋率281 ÷ 150 ≈ 1.87

數亦優 28

t₁₇ = 56（y 軸方向）

T₁₇ = 337 6 × 6 × 5 長方體 空間覆蓋率337 ÷ 180 ≈ 1.87

t₁₈ = 64（z 軸方向）

T₁₈ = 401 6 × 6 × 6 正方體 空間覆蓋率401 ÷ 216 ≈ 1.86

引理八：

8.1 第 k 個擬正立方體位於第 3 2 , ^k k 步驟。

8.2 若第 n 個圖形的空間覆蓋率定義為e ，則 lim_{n n} 2

n e

  。

8.3 空間的牙籤數列T 包覆於 k × k × k 的正方體中，其餘的空間牙籤數列圖形包覆於長方體_3k 中。

8.4 空間中，無論是 x,y,z 維度上，出現波峰的週期為 6。

三、討論與展望》

總之，在大家一起合作、討論的過程中，我們互相學習很多數學課本以外的知識，也覺得 研究數學是件很有意義的事，我們利用課餘時間及中午時間研究，下課時更常利用 line 通訊軟 體討論，花了近九個月的時間，有一點小結果也算是讀高一數理班的意外收穫。以下是我們的 未來展望：

1. 立體牙籤數列中的t 與_n T ，我們沒有找到規律，希望日後能有所突破。 _n 2. 我們期待能透過 3D 列印技術將立體牙籤數列圖形列印出。

3. 將來利用繪圖軟體，透過指令畫出第 n 次的平面和立體的立體牙籤數列圖形。

數亦優 29

四、參考文獻》

1. Applegate, David; Pol, Omar E.; Sloane, N. J. A. (2010). "The toothpick sequence and other sequences from cellular automata". Proceedings of the Forty-First Southeastern International Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing. ongressus Numerantium. 206. pp.

157–191.

2. Cipra, Barry A. (2010). "What Comes Next?". Science. AAAS. 327: 943.

3. Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A139250 (Toothpick sequence)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

4. Joe Champion, Ultimate toothpick pattern, Boise Math Circles, Boise State University.

5. Steven R. Finch, Toothpicks and Live Cells, July 21, 2015.

6. Mats Granvik, Additional illustration: Number blocks where each number tells how many times a point on the square grid is crossed or connected to by a toothpick, Jun 21 2009.

五、附錄》

學生用牙籤合作組成牙籤數列圖形。

▲空間中的牙籤數列模型 ▲研究團隊與牙籤數列實作合照

數亦優 30

一、研究目的》

利 用 求 解 x 的 一 元 三 次 方 程 式 x³ 0 x² ( 3 )yz x (y³z³) 0 的 三 根 ， 來 解

3 0 2 ( ) ( ) 0

x  x  p x  q  之三根。

二、研究過程》

（一）將(y³z³)分解成三式的乘積：

1. 假設 1 3 2

^{ } i，我們可以得到 ² 1 3 2

 ^{ } i，³ ，1 ²    1 0

2. (y³z³) ( y z y )( ²yz z ²)

3 2 4 2 3 2

(y z)[ y (  ) yz  z ]

       

2 2

(y z)(y  z)( y z)

   

  

  

3. 令  ，y z   y²z，  ²yz 我們可得  y²yz z ²

（二）求    之值：

1.     (y z ) (y²z) ( ²yz)

2 2

(y y  y) (z  z z)

     

2 2

(1   )y (1  )z

      0 y 0 z 0

     我們可得    

（三）求    之值：

1.         (  )

( )

  

  

2 

  

2 2 2

(y z) (y yz z )

     

2 2 2 2

( y 2yz z ) (y yz z )

      

 3yz

李維昌／國立宜蘭高中退休教師

數亦優 31

（四）求解x³ 0 x² ( 3 )yz x (y³z³) 0 之三根：

1. 我們已經得到

3 3

0 3yz y z

  

  



  

    

  



2. x³ 0 x² ( 3 )yz x (y³z³)

3 ( ) 2 ( ) ( )

x    x    x 

          (x )(x )(x ) 0

    

求得三根為x  或 x   或 x   

亦即三根為x   或y z x y²z或x ²yz

（五）求解x³ 0 x²( )p x ( ) 0q  之三根：

1. 我們取

3 3

3 (1)

(2) yz p

y z q

 

  







令 ³ , ³

2 2

q q

y t z  t

3 3

3 3 3 3 ( ) ( )

2 2 2 2

q q q q

y z  t  t t t q

           

    ，滿足(2)式

將 ³ , ³

2 2

q q

y t z  代入(1)式得到 t

2 3 2

3 3

3 3 3

2 2 4

q q q

yz  t  t  t  p

             

2 2

3 4 3

q p

   t

3 3

2 2

3 4 3

q p

 t   

     

2 3

2

4 27

q p

   t ^{2 2 3} 4 27 q p

 t  ^{2 3}

4 27 q p

  t 

若取

2 3

4 27 q p

t  得到一組解

2 3 2 3

3 3

( , ) ,

2 4 27 2 4 27 q q p q q p

y z  

 

    

 

 

2. 解x³ 0 x²( )p x ( ) 0q  之三根

為x   或y z x y²z或x ²yz

其中

2 3 2 3

3 3

( , ) ,

2 4 27 2 4 27 q q p q q p

y z  

 

    

 

 

數亦優 32

三、結論》

求解x 的一元三次方程式x³ 0 x² ( 3 )yz x (y³z³) 0 的三根，我們利用因式分解的 方法。假設x³ 0 x² ( 3 )yz x (y³z³) ( x)(x)(x)，比較等式兩邊係數可得

3 3

0 3yz y z

  

  



  

    

  



。

我們尋找一組( , , ) (    y z ,y ²z, ²yz)來滿足上面的聯立方程式。進而利用這 個 因 式 分 解 式 x³ 0 x² ( 3 )yz x (y³z³) ( x)(x)(x)來 解x 的 一 元 三 次 方 程 式

3 0 2 ( ) ( ) 0

x  x  p x  q  之三根。

數亦優 33

一、前言》

組合摺紙是完成立體幾何形體最容易的方式，只要學會一個組件摺法，再視需要完成 6 個、8 個、12 個、20 個、…各種數量組件（見文末延伸），便可組裝成想要的幾何物件，過 程中不需使用膠水黏貼，成品美觀又堅固，適合各種年齡層讀者體驗實作。

鏤空立方體需要 12 個組件，組裝容易，成品鏤空更能呈現立方體之美，很適合做為組合 摺紙的入門作品。高雄女中退休數學教師林義強老師說：「The real models are always the best approach to Shapes, Space, and Symmetry.」趕快動手做一顆鏤空立方體，你將更能體會這句話的 意涵！

二、材料準備》

長寬比為2:1 的長方形色紙，12 張。

1 感謝《藝數摺學寫作群組》林口國中李政憲老師、中壢高商吳淑惠老師、仁德文賢國中王儷 娟老師、楠梓國中顏敏姿老師協助校稿。

許雯琇／臺北市中正高中數學教師 李蕙如／高雄市路竹高中數學教師¹

數亦優 34

三、摺出一個組件》

先取出一張長寬比為2:1 的長方形色紙，一起來摺出一個鏤空立方體組件吧！

1.將長方形色紙短邊分成 4 等分。 2.將上、下的長邊摺到中線；完成後翻面。

3. 如圖，兩側各作一個等腰直角三角形，

但只需作出 A、B 兩點標記。（成品才 不會有多餘線段哦！）

4. 摺出線段 AB。

（可以先用沒有水的筆畫線，比較好 摺）

5.摺出角 CAD 的角平分線。 6.摺完角平分線後，如圖。

7.另一側一樣摺出角平分線，完成組件。 說明：每個組件都有 2 個「手」、2 個

「口袋」。

其餘11 張色紙亦重複相同動作，完成所有組件。

數亦優 35

四、組裝作品》

1. 先拿 3 個組件，將「手」放入「口袋」，完成一個角。

2. 把剛才完成的角稱為角 1，接著依序完成角 2、角 3、角 4。（配色小提醒：若希望每個正 方形面都能看到四個顏色，則放入同一張色紙兩個口袋的手必須為同一個顏色。）

3. 翻面，以順時針方向依序完成角 5、角 6、角 7、角 8，鏤空立方體就完成。

五、數學討論》

完成作品後，提供一些數學問題讓學生思考，才能從「手作課程」提升為「數學課堂」哦！以 下提供幾個問題讓讀者們思考：

1. 製作組件過程中，步驟 2～步驟 4 的長方形，其長寬比是多少？

2. 一個組件完成後，可發現如右圖的摺痕，請問哪一條線 段代表鏤空立方體的稜？設原始長方形色紙的長邊長為 4，則鏤空立方體的稜長是多少？

3. 鏤空立方體每個面都有一個挖空的正方形，設鏤空立方體的稜長為 a，挖空的正方形邊長 為b，請問 a：b 是多少？

數亦優 36

六、數學討論參考解法》

1. 由步驟 1 到步驟 2 的過程，可知長方形從長寬比 2:1，變成長寬比 4:1。

2. (1) 鏤空立方體的稜為AB 。

(2) 長方形長邊為 4，短邊為 1，故AH  ，1 BH ， 2 得稜長AB 5。

3. 已知 G 是 CD 的中點，故FC CG GF: : 2 :1: 5，

又 1

: : 1:1:

FS SP PG 2，故 2 SP 5GF，

得 2

: 2 : ( 5) 5 :1 FC SP 5  ， 因此a b:  5 :1。

七、進階挑戰》

挑戰一

若覺得色紙顏色全部顯現在外面不夠美觀，可以改用正方形色紙，摺出 8 等分，再將最上方與 最下方的兩個長方形摺出十六等分的等分線，依下圖指示調整山谷線，其餘步驟 3～步驟 7 都 相同，就能做出有變化的組件，用這個組件完成的鏤空立方體更加活潑。

挑戰二

用長寬比為 2:1 的色紙摺製組件，但組件要能同時呈現白色、彩色兩種色調，請問組件要如何 完成？試將12 個這種組件組合成一個鏤空立方體。

（組裝小提醒：有些部分要改成從內部組裝。）

數亦優 37 挑戰三

做12 個鏤空立方體，把它們串在一起，變成立方體環。（下圖左）

挑戰四

摺一個正四面體，恰好嵌在鏤空立方體裡面，方便欣賞正四面體、正六面體特別的關係。（下 圖中）

挑戰五

摺一個適當大小的正八面體，讓這個正八面體恰好可以卡在鏤空立方體的內部且不會移動位 置。切記！正八面體不可以太小也不可以太大哦！（下圖右）

八、總結》

因應 108 課綱，筆者任教的學校已試行多年跑班探索式選修，提供學生多元探索機會，筆者亦 有參與開設「趣味數學」、「藝數摺學」課程。每年，「鏤空立方體」這個主題總是學生最喜 愛的內容之一，學生在兩節課共 100 分鐘時間內，能不疾不徐地完成作品，並進行小組討論。

歡迎有興趣的老師一起帶學生動手玩數學！

九、參考資料》

1. 阮華剛、譚志良(2014)。摺紙與數學。

https://www.edb.gov.hk/attachment/tc/curriculum-development/kla/ma/res/Cabinet%2017.pdf。

2. Diamond Window Cube 教學影音：https://www.youtube.com/watch?v=vftcf6RKgos。

十、延伸》

下面三件組合摺紙作品由左而右分別使用 4 張、10 張、30 張組件完成（這三件作品的組件均 不相同）；組合摺紙作品種類繁多，有興趣的讀者歡迎自行上網搜尋「組合摺紙」。

數亦優 38

一、前言》

在高中數學的數列級數單元中有這樣一道問題[1]：設平面上n 個圓通過同一點 A ，這 n 個 圓最多可將平面分割成多少區域？本題原本是用來給學生練習觀察數列前後項的關係並寫出它 的遞迴式。若我們以組合數學角度來看，本題除了遞迴關係的解法外，使用歐拉定理也是解決 平面分割問題的主要方式。

二、本文》

圖形理論中的歐拉公式是計數平面區域數的一項重要工具，它的敘述如下：

定理 1[2]：若一個連通平面圖 G 有v 個頂點、 e 個邊、 r 個區域，則v e r   。例如下圖為2

一連通平面圖，頂點數v=9，邊數e=11，區域數（含無限大區域）r    。 2 e v 4

回到我們的問題：設平面上n 個圓通過同一點 A ，這 n 個圓最多將平面分割成多少區域？在解 決之前我們先看當n 時的情形，如下圖： 4

許閎揚／彰化藝術高中數學教師

數亦優 39 顯然它是一個連通平面圖，為了求得它的區域數，我們先計算它的頂點數與邊數。

頂點數(v )：因任選兩圓有 2 個交點，其中一交點為 A ，且任三圓除 A 點外無其他共同交點，

所以圖形頂點數為1C₂⁴ 。 7

邊數(e )：因為每個圓上的頂點數等於它的邊數，除 A 點之外其他的頂點分屬兩個圓（例如P₁ 在C 與₁ C 圓上），又 A 點在每個圓上，所以總邊數為₂ 2C₂⁴ 4 16。

另一個計算方式是先計算一個圓上的邊數，再計算總邊數。因為任兩圓有 2 個交點 且其中一個是A 點，所以任一圓跟其他 3 圓有 4 個交點，這 4 個交點將圓分割成 4 個邊，圖形一共有4 個圓，所以總邊數為 16。

區域數( r )：由歐拉公式 r    2 e v 2 16 7 11  。

對於一般的情形我們有如下定理：

定理2：設平面上n 個圓通過同一點 A ，這 n 個圓最多將平面分割成

2 2

2 n  n

區域。

證明：若這n 個圓將平面分割成最多區域，則任 2 圓必有 2 個交點，且任三圓除 A 點外無其他 共同交點。因為這n 個圓通過同一點 A ，所以為一連通平面圖。接著我們計算它的頂點數與邊 數。

頂點數(v )：因任選兩圓有 2 個交點，其中一交點為 A ，且任三圓除 A 點外無其他共同交點，

所以圖形頂點數為C₂ⁿ 。 1

邊數(e )：因為每個圓上的頂點數等於它的邊數，除 A 點之外其他的頂點分屬兩個圓，又 A 點 在每個圓上，所以總邊數為2C₂ⁿ n n²。

另一個計算方式是先計算一個圓上的邊數，再計算總邊數：因為任兩圓有 2 個交點 且其中一個是A 點，所以任一圓跟其他n 圓有 n 個交點，這 n 個交點將圓分割成1

n 個邊，圖形一共有 n 個圓，所以總邊數為n 。 ² 區域數( r )：由歐拉公式

2 2

2

2 2 ( 1) 2

2

n n n

r    e v n  C     。 得證。

三、參考書目》

[1] 許志農等，(103 課綱)，龍騰版普通高級中學數學第二冊課堂講義。

[2] D. B. West, (2001), Introduction To Graph Theory, Prentice Hall, 2nd edition.

數亦優 40

一、前言》

筆者在做109 年學測數學科選填第 F 題時，第一個反應是有個條件似乎是多餘的──雖然 多了這個條件，考生比較容易畫出等腰梯形，進而利用拋物線標準式，很快找到答案。現將原 題截取如下：

F. 坐標平面上有一條拋物線 ，其上有四個點構成等腰梯形，且等腰梯形的對稱軸與  的對 稱軸重合。已知該等腰梯形的上底為 4、下底為 6、高為 14，則 的焦距為 。

（化為最簡分數）

在此題的敘述中，筆者直覺第三句話「且等腰梯形的對稱軸與 的對稱軸重合」似乎是多餘 的，也就是「若拋物線上存在四個點可構成等腰梯形，此等腰梯形的對稱軸必與拋物線的對稱 軸重合」。

二、證明》

筆者在此提供二種證明，第一個證明是定坐標證明，第二個證明是非定坐標幾何證明。

（一）定坐標證明

1. 等腰梯形對稱軸垂直拋物線對稱軸，很明顯不存在該等腰梯形。

2. 等腰梯形對稱軸與拋物線對稱軸既不重合也不垂直，示意圖如下。

ABCD 為等腰梯形，AB CD ， BC AD//  ，現要證明此等腰梯形不存在。

辜俊庭／潮州高中數學教師

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