99 學年度第二學期高一數學金頭腦競賽試題

(1)

99 學年度第二學期高一數學金頭腦競賽試題

注意

① 請各隊同學於 4/13（三）下午 12:55 至篤行樓四樓語言教室進行比賽。

② 不可使用計算機與量角器，但直尺、圓規不在此限。

③ 一律使用黑筆或藍筆作答，並詳列計算過程，不可使用鉛筆，否則不予計分。

④ 不可攜帶答案入場。

⑤ 每一題都要有計算過程，即使是選擇題也必須說明原因，否則不與計分。

1.

)

4 3 4 2 4 (1 3) 2 3 (1 2

1+ + + + +

+...+

) 100 ... 99 100

2 100

( 1 + + +

等於?

解: = ∑

⁼

=

+

+ +

99

1

1 ...

n

1

k k

k

1 ...

1 +

+ +

k

= ∑

⁼

=

+ ×

100

1

ⁿ

k

k k

=

2 ) 1 ( 1

1 × + +

k k

k

=

2 1

×k

∑

⁼

=

+

+ +

99

1

1 ...

n

1

k k

k

= ∑

⁼

= 99

2

1

ⁿ

k

k = 2

100 99 2

1× ×

=2475

2. 某人存入 30 萬元，言明年利率 8%，以半年複利計息，求滿一年的本利和

解

:

300000*(1+4)平方=324480

3. 此圖從花瓣中間一筆畫完的畫法有幾種?

解

:

^花 ^{(4×3×2×1×2}

⁴

)×葉(2×2)=1536 種

4. 如圖,共 2n 個格子,有 6 種顏料,如每格上色, 相鄰的格子不可同色,則有多少種塗法?

解: 第 1 第 2 格有 6×5 種塗法

...

(2)

第 3 第 4 格有(1) 2、3 同色=1×5 種 (2) 2、3 不同色=4×4 種共 21 種塗法

此後格子也把上下分成一組,每一組也都有 21 種塗法故有

30×21ⁿ⁻¹

7

種塗法(or10×21ⁿ種)

5. n×(n-1)×(n-2)×(n-3)... ,每一項比前一項少 1,共 n+1 項,則此式等於多少?

解: 第 n+1 項為 n-(n+1)-1=0 ,故此式等於

0

6. 某知名甜甜圈專賣店推出新品「益智甜甜圈」 (如上圖)，甜甜圈分成 A~H 八個區域，共有草莓、哈密瓜、芒果、水蜜桃四種口味可供選擇，但規定相鄰兩區域的口味不可重複，請問共有幾種搭配方法 ?

解:

A(4) →B(3) →C(1) →D(3) →E(2)→F(2) →G(2)→H(2) =2

⁶

× 3

²

(A,C 同色) ↘C(2) →D(2) →E(2)→F(2) →G(2)→H(2) = 2

⁸

× 3(A,C 不同色)

共有 2

⁶

× 3

²

+ 2

⁸

× 3 = 1344 A:1344 種

7. ∣x+y∣+ (x − y)

²

= T , T∈ 質數 , x, y ∈ 整數, 求數對(x, y)有幾組解

解:

∵(x+y)與(x-y)必同為偶數或同為奇數

∴∣x+y∣+ (x − y)

²

必為偶數 Q=2

(x − y)

²

=0 or 1 x-y=0 or 1 or -1

(x+y,x-y)=(2,0),(-2,0),(1,1),(-1,1) ,(1,-1) ,(-1,-1) (x,y)= (1,1) ,(-1,-1) ,(1,0) ,(0,-1) ,(0,1) ,(-1,0) 共六種 A:六種

8. 自 1、2、3、4…9 中任取五數(不重複)，試求

(3)

(1) 和為奇數的取法數:

(2) 和為偶數的取法數:

解:

(1)和為奇數

4 偶 1 奇=

C4⁴

×

C₁⁵ =5

，2 偶 3 奇=

C₂⁴

×

C₃⁵ =60

，0 偶 5 奇=

C₀⁴

×

C₅⁵ =1

5+60+1=66 (2)和為偶數

和為偶數方法數=全-和為奇數方法數=126－66=60 A: (1)66 (2)60

9. 設 N 為整數，試證明

N 為偶數，則³

N 為偶數。

解: 假設 N 屬於奇數，N=2K+1

N =3

(2K 1) ＋

³

= 8

K³

+ 3(2 )

K ²

+ 3(2 ) 1

K

+

= 8

K³

+ 12

K²

+ 6

K

+ = 1 2(4

K³

+ 6

K²

+ 3 ) 1

K

+ → 為奇數(假設錯誤所以 N 為偶數) 10. 一副撲克牌有 52 張，先從中取 5 張，試求

(1)5 張恰成順子(如 12345，也包含 10,11,12,13,1)但不含同花順的情況有幾種 (2) 5 張恰成鐵支(如 44441)的情況有幾種

解: _{(1) 4}

⁵

A: (1) 10200 (2) 624

×10－40=10200 (2):(13×1)×12×4＝624

11. 證明不等式 6

ⁿ

＞ 5

ⁿ

＋ 4

ⁿ

對所有大於 2 的自然 n 均成立

解: :

當 n=3 左式 6

³

= 216 ，右式 5

³

+ 4

³

= 125 64 189 + = ，所以 n=3 (成立) 設當 n=k 時成立，即 6

^k

＞ 5

^k

＋ 4

^k

當 n=k+1 時

6

^k+1

= × 6 6

^k

＞6( 5

^k

+ )=6× 5 4

^k ^k

+6× 4

^k

＞5× 5

^k

+4× 4

^k

= 5

^k⁺¹

+ 4

^k⁺¹

由數學歸納法，得證

12.

以0、1、2、3、4不重複作五位數，此五位數之排列如由小增大之順序排

第一個為10234，最後一個為43210時，

(1)第62個數為何？

(4)

(2)其中23410為第幾個？

解:

﹝1﹞ 1 0 2 3 4 :第1個 1 4 3 2 0 :第4！=24個 2 4 3 1 0 :第24+24=48個

3 0 1 2 4 :第48+1=49個 3 0 4 2 1 :第48+6=54個 3 1 4 2 0 :第54+6=60個

3 2 0 1 4 : 第61個 3 2 0 4 1 : 第62個

﹝2﹞

1 0 2 3 4 : 第1個 1 4 3 2 0 : 第4！=24個 2 0 4 3 1 : 第24+6=30個 2 3 4 3 0 : 第30+6=36個 2 3 4 1 0 : 第36+6=42個 A: (1)32041 (2)42

13.

有一樓梯共12階，今有一人要上樓梯，一步則走一階、兩階、三階或四階

，則有幾種上樓梯的方法？

解:

運用累積走法，先將前四層之走法數算出，再將前四層方法數相加，算出第五層之方法，再將第二到第五層之方法數相加，算出第六層方法數，以此類推，算出第十二層之方法數。

層一二三四五六七八九十十一十二

方法 1 2 4 8 15 29 56 108 208 401 773 1490

A: 1490 種 14.

由A(-4,-2)移動至B(2,5)，每次只許「向右」或「向上」移動一單位長，

若規定移動的過程中，「向右」累計次數不大於「向上」累計次數，則

走法為多少？

(5)

解答：

題意即為

只要經過左上半部灰色區域就可滿足「向右」累計次數

不大於「向上」累計次數此時應利用累積走法

就可求出所求=429 A:429

15.

在空間中，X、Y、Z坐標皆為整數，且與原點距離為17的點，一共有幾個？

解答：

1.座標為(0,1,4)，正負變號有4個，排列順序有6個所以共有4X6=24個

2.座標為(2,2,3)，正負變號有8個，排列順序有3個所以共有8X3=24個

所求=24+24=48 A:48

16. 附圖中有n個大小不同的空心圓盤，一大小由下而上排列在三根短木棒中的一根，如果每次只能移動一個圓盤，且大圓盤不能放在小圓盤上面。若要

n 10

將n個圓盤由A木棒移動到B木棒上，總共需要a 次(n屬於N)，則a =？

解:

(6)

1

2 1 1 1

3

2 2 2

n n-1 n-1 n-1

n=1 → a =1

n=2 → a =1+1+1=3=a +1+a =2a +1 n=3 → a =(1+1+1)+1+(1+1+1)=7 =a +1+a =2a +1 可得規律性

a =a +1+a =2a +1

n+1 n

n n-1

n+1 n n n-1

n 1 2 3 4 n

2 3 n-2

可由階差數列處理遞迴數列 a =2a +1

a =2a +1(- a -a =2(a -a )

<a >：a a a a ... a 2 2 2 ... 2

﹀﹀﹀﹀

n-1

2 n-2 n

n

2(2 -1) a =1+(1+2+2 +...+2 ) =1+ =2 -1

2-1

，所以

a =2 -1=1023₁₀ ¹⁰

A:1023

17. 若想不重複的走完每條路徑 ,共幾種走法?

解:

由A 點開始 4 種，接 C 點 3 種，接 D 點 3 種，接 F 點 3 種，接 B 點3 種，接 C 點 1 種，接 E 點 3 種，接 D 點 1 種，接 B 點 1 種，

接A 點 2 種，接 E 點 1 種，接 F 點 1 種，最後抵達 A 點。

→4×3×3×3×3×1×3×1×1×2×1×1×1＝1944 種〈可用每走過一條即塗色的方式求得答案〉

18. 里香待會要去參加舞展,決定好好打扮一番,以下是想穿著的衣服:

潮帽 3 種上衣 3 種掛鍊 2 種手環 2 種下半身穿著 :

迷你裙一種、長褲一種、熱褲一種 (此 3 件可與其他服飾任意搭配) 襪子 :

褲襪一種短襪一種鞋子 3 種

里香想從潮帽、上衣、掛鍊、手環、下半身穿著、襪子、鞋子中各選一件搭配，但迷你裙一定得搭配褲襪，長褲一定得搭配短襪，請問她共有幾種穿法 ?

解:

3 種潮帽×3 種上衣×2 種掛鍊×2 種手環×3 種鞋子×1 件迷你裙×1 件褲襪＋3 種潮帽×3 種上衣×2 種掛鍊×

2 種手環×3 種鞋子×1 件長褲×1 件短襪+3 種潮帽×3 種上衣×2 種掛鍊×2 種手環×3 種鞋子×1 雙短襪×1 件熱褲＝432 種

(7)

19. 某次跳棋比賽共有 243 位棋手參加每輪淘汰

²

3

的選手剩下

¹

3

的選手進入下一輪。在第一輪淘汰的人可個別獲得一萬元，第 N 輪淘汰的人可個別獲得

³^N⁻¹

次方萬元，冠軍可得到 243 萬元，試問全部比賽奬金有多少萬元 ?

解:

第一輪淘汰人數

162 54 18 6 2

一人分得的錢 243 1 3 9 27 81

162×5+243＝1053 萬元

20. 若 A= { (

a a a1, 2, 3

)

|a a a1, 2, 3∈ 且N a a a1| 2, 2|a a3, 3| 2

}

0

，則集合 A 共有幾個元素？

解:

1

,

2

,

3

a a a

∈ ，

N a₂

=

a x a₁

,

₃

=

a y₂

, 20 =

a z₃

則

a xyz₁

= 20 ，所以a

1,x,y,z皆整除 20

→ 每一數皆型如 2

^a

5

^b

且a=0,1,2 b=0,1，

a b, ∈N

，將兩個 2 分給a

1,x,y,z四數,方法H₂⁴

=10 種,同理將 5 分

21.

x y, ∈N x y,[ , ]=3600

求數對(x,y)的解共幾組?

解: 3600=

2⁴× ×3² 5²

，則設

x

= 2

^a

× × 3

^b

5 ,

^c y

= 2

^d

× × ，則 a,d 必有一者為 4，b,e 必有一者為 2，c,f 3

^e

5

^f

必有一者為 2，則其分配的方法數為 252*323=360

22. 有一元幣 6 張、五元幣 1 張、10 元幣 3 張、50 元幣 2 張、百元幣 2 張求付款金額有幾種？

解:



50 元×2 可當 100 元用 ∴ 先將 100 元換成 50 元

⇒

50 元×6



1 元×6 可當 5 元用 ∴ 將 5 元換成 1 元

⇒

1 元×11



1 元×11 可當 10 元用 ∴ 再將 10 元換成 1 元

⇒

1 元×41 ∴ 現在有 1 元×41，50 元×6

⇒

款金額有 (41+1) ×(6+1)種但其中包含 1 元沒付，50 元也沒付，所以需扣除 1 種，

⇒

故共有 (41+1) ×(6+1)-1 種。答:293

23. 將『人生如夢、夢如人生』八字全取排成一列，其中的『如』『夢』兩字互不相鄰之排法有幾種？

(8)

解:

以插空法解題，共有 4 種不同的插法

◎「人生人生」四字做直線排列人生

6 2 24 =

⇒ ！！

！

○

¹

「如如」綁住(視為一體)、「夢夢」綁住 (視為一體)，都作插空 ⇒

P₂⁵ = 20

○

² 30

5 2

4

2 =

×

⇒ ！

「如如」綁住 (視為一體)、「夢夢」不綁，皆作插空

P

○

³

30 5 2

4

2

=

×

⇒ ！

P

「如如」不綁、「夢夢」綁住 (視為一體)，並作插空

○

⁴

30 2 2

5

4

=

⇒ ！！

P

「如如」不綁、「夢夢」不綁，進行插空

⇒(20+30+30+30)×6=110×6=660

24. 八人看電影，坐在前後兩排，每排 4 人，其中某 2 人一定坐在後排，求其排法有幾種?

解:

○

¹

2 人固定坐後排：有

P₂⁴

種 ○

²

其餘 6 人作直線排列 = 6 ！

8640 720

12 1 2 3 4 5 6 4 3 2 6

6 4 2) - (4 6 4

P₂⁴× = × = × = × × × × × × × = × =

⇒ ！

！

！！

！

！！

25. 若方程式

x² + x12 +24=0

的兩根為

α

跟 β，則以

β α

α

和 β 為兩根且最高次係數為 1 的一元二次方

程式為？

解:

用根與係數：

設以

β α

、

α

β 為根的方程式兩根為

⇒

4 24 48 144 2

)

(

²

2

+ = + − = − =

=

+

αβ

αβ β

α αβ

β α α β β α

0 1

2 − x4 + =

兩根之積為 1，又最高次係數為 1，故其方程式為

x

26. 試問在 1~10000 的連續正整數中，隨便寫一個數字後，滿足數字 1,2 至少各出現 1 次以上，而數字

1,2 須相鄰，(如:12,112, 212,2168,512 等，但 511,281,1102 不算)的機率為多少？

(9)

解:

依題意，1~10000 中的數字可分為

○

¹

1 2 ⇒ ！ 2 × 7 = 14 種

○

²

1 2 ⇒ ！ 2 × 8 = 16 種

○

³

3 2 3 =

⇒ ！ 1 1 2 ！種

○

⁴

3 2 3 =

⇒ ！ 1 2 2 ！種

○

⁵

1 2 ⇒ ！ 2 × 7 × 8 = 112 種

○

⁶

1 2 ⇒ ！ 2 × 7 × 8 = 112 種

○

⁷

1 2 ⇒ ！ 2 × 8 × 8 = 128 種

○

⁸

7 21

2 3 × =

⇒ ！

1 1 2 ！種

○

⁹

8 24 2

3 × =

⇒ ！

112 ！種

○

¹⁰

7 21

2 3 × =

⇒ ！

221 ！種

○

11

8 24

2 3 × =

⇒ ！

221 ！種

○

¹²

12 ⇒ 1 種

○

¹³

21 ⇒ 1 種

○

¹⁴

4 3 4 =

⇒ ！ 1112 ！種

○

¹⁵

4 3 4 =

⇒ ！ 2221 ！種

○

¹⁶

6 2 2 4 =

⇒ ！！ 1122 ！種

∴ ^○

¹

^+○

²

^+○

³

^+○

⁴

^+○

⁵

^+○

⁶

^+○

⁷

^+○

⁸

^+○

⁹

^+○

¹⁰

^+○

¹¹

^+○

¹²

^+○

¹³

^+○

¹⁴

^+○

¹⁵

⁺ ○

¹⁶ =⁴⁹⁴

機率為

⁴⁹⁴ 0.0494

10000 =

27.

a₁

= 2 ,

a₃ =3, (a_n₊₁)² = a_na_n₊₂(n =1,2,...)

求此數列第九項。

解:

(10)

28. 在新的 AMC10(25 題)的測驗中評分辦法如下：

每答對一題得 6 分，未作答得 2.5 分，答錯得 0 分在 0 分與 150 分之間有些分數只有唯一方式獲得有些恰有兩種方式獲得

已知有三個分數恰有三種方式獲得請問這三個分數的總和是？

解:

假設答對x題，不答y題 ⇒ 得分為 ~○

¹

⇒

若有三種答題數分數相同另有 ~○

²

及 ~○

³

○

¹

-○

²

=○

¹

-○

³

=○

²

- ○

³

⇒

且若是遞增的，則是遞減的

即只需求的整數解即可，亦即因為

又因為題數只有 25 題，所以即此三種分數總和為分

29. 甲乙丙丁戊己庚共七人排成一列，規定乙的旁邊不能排有丁戊己庚的機率?

解:

○

¹

把甲乙丙綁在一起，且乙一定要在中間，所以有 2！種排法，那視為一個人，總共就 2！×5！

○

²

乙在最左或最右，旁邊不是甲就是丙，所以有 4 種，其他 5 人共有 5！種排法，所以總共 4×5！加起來就是 6！

∴ ^所求

99 學年度第二學期 高一數學金頭腦競賽試題