數學科

大考風向球

數學科

_{陳清風／桃園高中}

戰地記者龍騰報導

近幾年來，學測儼然成為升上大學的主要管道，今年試題是採用 99 課綱的第五 年，整體而言，今年的試題難度偏高，題目靈活，文字閱讀量適中，計算量適當，出 現好幾題不錯的題目（如第 9、10、11、A、D、G 題），是一份對中上程度的考生，

鑑別度高的試題。可是缺乏基本題、題目敘述「不親切」、題題不易拿分等，恐怕會 讓中等以下程度的考生很受挫。這也意味著數學將是決定今年總級分高低的關鍵科 目。

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前言

甄選入學已成升大學主流，今年「繁星推薦入學」共有 68 所大學、1774 個學系參加，提供 1 萬 7589 個招生名額，另「個人申請入學」則有 69 所大學、2001 個學系參加，招生名額 5 萬 5954 個，兩 個管道總計招生名額超過 7 萬個，寫下歷年新高。臺大等多所頂尖大學甄選比率都超過五成，交大近 七成，清大近八成。使得這份學測試題受到多方的關注。

99 課綱將數學課程的內容簡化，102 年首次採用此課綱命題，一般預測考題會比往年簡單，但卻 是出乎大家意料之外的難。而 103 年第二次採用，則將難易度調回來了，是一份難易適中的試題。104 年第三次採用，又是意外的難。105 年第四次採用，再調回難易適中的試題。今年（106 年）第五次採 用，果然再擺盪回難的一方。

現就個人見解，針對今年的試題提出以下幾點分析與建議。

歷年題型分配

今年試題的題型沒有改變，仍然包含單選題、多選題及選填題三大題，各大題的題數略有更動，

但總題數（20 題）及配分（每題 5 分）則維持不變。

題型

年度 單選題 多選題 選填題 總題數

102 年 6 6 8 20 103 年 6 6 8 20 104 年 4 6 10 20 105 年 6 7 7 20 106 年 7 6 7 20

106 學測命題特色

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106 學測試題分布

今年試題的分布如下表（單元名稱的劃分是依據 99 課綱）：

冊 章 單元名稱 題號 配分 小計

一

1 數與式 1 5

25 2 多項式函數 8，C 10

3 指數、對數函數 2，E 10

二

1 數列與級數 A 5

2 排列、組合 7，12 10 25

3 機率 F 5

4 數據分析 5 5

三

1 三角 6，11 10

25 2 直線與圓 9，G 10

3 平面向量 B 5

四

1 空間向量 4，13 10 2 空間中的平面與直線 10 5 25

3 矩陣 D 5

4 二次曲線 3 5

觀察上表後，有以下看法：

1. 以冊來分類：配分相當平均，每一冊各占四分之一（各 25 分）。 2. 以章來分類：試題涵蓋每一單元，這應是歷年學測的命題原則。

試題評析

底下針對今年數學考題作評析：

1. 第 1 題：往年的第 1 題幾乎都是送分題，但這題放第 1 題難度偏高。

2. 第 2 題：將指數結合情境出題，很新穎。

3. 第 3 題：巧妙的設計雙曲線、漸近線與拋物線的考題，很用心。可是會有考到拋物線參數式（不在 課綱中）的疑慮。

4. 第 4 題：想到定坐標及兩質點速度相等，再利用兩點距離公式就可解出。

5. 第 5 題：直接從散布圖判斷最高溫與溫差為負相關難度不高，但還要比較相關性的強弱就很困難

8. 第 8 題：若選項中直接給定 ,m n 的值，則難度降低許多。像這種有多種情形的題目，舉反例判定 錯誤較容易，但要說它正確還是會擔心漏掉某些情形。

9. 第 9 題：若沒有想到畫出兩點連線段的中垂線，則很難判定 5 個選項的對錯。考驗學生的連結能力 了。

10. 第 10 題：空間直線方程式的對稱比例式、兩面式與參數式都有，兩直線平行、交一點與歪斜全考，

要學的完整才有機會答對此題，有鑑別度。

11. 第 11 題：是多選題中可以很扎實計算的一題，正弦定理、餘弦定理與面積公式全考了，應是考生 熟悉且較有把握的一題。

12. 第 12 題：這種用集合的文氏圖估計個數的問題，不陌生，但結合不等式還是有一定的難度。

13. 第 13 題：利用選項(1)的引導，回答另 4 個選項，難度很高，恐怕是少數的考生才能辦到。若用直 觀的判定 BAC∠ 大於 BDC∠ ，則會是較容易的解題方向。

14. 第 A 題：依所給的數據一一代入遞迴式就可解出。但是，放在選填題的第 1 題，還附帶二次多項 式，讓人覺得給分不夠大方。

15. 第 B 題：這一題算是考古題了，但有點考到向量的共線定理（不在課綱中），應避免。

16. 第 C 題：這題利用係數是正整數、答案為一位數且只有一解的暗示，直接分解為

(

^5x+1

)(

^x+1

)(

^x+1

)

較快，否則會花較多時間分析。

17. 第 D 題：用等差數列1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 代入，會簡單很多。

18. 第 E 題：題目不難，但敘述可能會讓很多考生嚇到。

19. 第 F 題：題意明確且常見，能做好分類，就可解出。

20. 第 G 題：將立體的題意畫成平面，再利用相似三角形就可解出。若能將題目改成必須使用圓方程 式及直線方程式，則會較貼近高中教材。

21. 缺「概念題」：往年都有那種「筆在手中轉轉就可答對的題目」，今年很缺乏。

22. 數據美化：數據的設計可看出命題者的用心。

23. 應用題夠多。

24. 計算量適當，符合學測精神。

25. 跨章節的題目較往年少。

結語

整體而言，題目靈活，文字閱讀量適中，計算量適當，出現好幾題不錯的題目（如第 9、10、11、

A、D、G 題），是一份對中上程度的考生，鑑別度高的試題。可是缺乏基本題、題目敘述「不親切」、

題題不易拿分等，恐怕會讓中等以下程度的考生很受挫。這也意味著數學將是決定今年總級分高低的 關鍵科目。

大考風向球

大考中心所列數學考科的測驗目標，為評量考生是否具備「概念性」、「程序性」及「解題能力」

等三方面的知識與能力。學測應以評量前二項為主，較偏向概念性知識與程序性知識，而且這三方面 知能的試題應以各占三分之一的原則組題。相信大考中心會審慎檢視這份試卷，讓來年的試題都符合 學測評量的目標。

在 99 課綱的框架內，對未來學測的命題趨勢有以下幾點看法：

1. 基本概念：著重基本概念的靈活應用，一直是學測命題的中心想法，加強基本概念的練習是必做的 基本功夫。

2. 情境題：生活化的試題年年都有，也是必然的命題趨勢，由於這類試題往往會比一般題目為長，所 以應培養仔細閱讀題目的耐性，以及加強將問題與教材連結的能力。

3. 熱門單元：有幾個預期會考的單元沒出現，反而可能會成為明年的大熱門，值得注意。例如：虛根 成對定理、迴歸直線、貝氏定理、轉移矩陣等。

4. 三星以下的單元：指考對標示三星以下的單元是不直接命題的，這些單元往往會出在學測，例如：

二次曲線（一星），數列與級數（二星），數與式（二星）等。

5. 跨章節題：學測從 14 個單元中命 20 題，必然會有幾題涵蓋兩個單元以上，也藉此提高試題的鑑別 度。因此，加強單元與單元之間的連結能力，多練習跨章節的題目，才能在眾多考生中勝出。

以上提出個人淺見供大家參考，尚祈前輩先進們不吝賜教。

未來命題趨勢

第壹部分：選擇題（占 65 分）

（此份試卷解題係依據大學考試中心於 106 年 1 月 21 日所公告之答案為主）

說明： 第1題至第 7 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹐請畫記在答案卡 之「選擇（填）題答案區」﹒各題答對者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐

該題以零分計算﹒

1

數據分析

已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為r ﹐而學生玩過的比率為₁ r ﹐其中₂ r₁≠ ﹒由下列選項中的r₂ 資訊﹐請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項﹒

(1)全校老師與學生比率 (2)全校老師人數 (3)全校學生人數 (4)全校師生人數 (5)全校師生玩過「寶可夢」人數﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 1 章 數與式

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 1 單元 數與式 解題觀念：用符號代表數及比率的定義﹒

答 案：(1)

解 析：設全校老師人數n ﹐學生人數₁ n ﹒ ₂

因為玩過「寶可夢」的老師有n r 人﹐學生有_{1 1} n r 人﹐ _{2 2} 所以全校玩過「寶可夢」的比率為

1 1 2 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

n r n r n n

r r

n n n n n n

+ = × + ×

+ + + ﹐

其中 ¹

1 2

n

n +n ﹐ ²

1 2

n

n +n 分別為全校老師與學生的比率﹒

故選(1)﹒

一﹑單選題（占 35 分）

試題大剖析

2

指數律

某個手機程式﹐每次點擊螢幕上的數 a 後﹐螢幕上的數會變成a ﹒當一開始時螢幕上的數 b 為正² 且連續點擊螢幕三次後﹐螢幕上的數接近81 ﹒試問實數 b 最接近下列哪一個選項﹖ ³

(1)1.7 (2) 3 (3) 5.2 (4) 9 (5) 81 ﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 3 章 指數﹑對數函數

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 3 單元 指數﹑對數函數 解題觀念：指數律及指數的運算﹒

答 案：(3)

解 析：依題意﹐得

( ) ( )

^{b2 2 2=813⇒b8=312﹒}

因此﹐

12 3

8 2

3 3 27 5.2 b= = = ≈ ﹒ 故選(3)﹒

3

雙曲線的漸近線 設

2 2

2 2

: y x 1 a b

Γ − = 為坐標平面上一雙曲線﹐且其通過第一象限的漸近線為  ﹒考慮動點

( )

^{t t, 2 ﹐從}

時間t= 時出發﹒當0 t> 時﹐請選出正確的選項﹒ 0 (1)此動點不會碰到Γ ﹐也不會碰到 

(2)此動點會碰到Γ ﹐但不會碰到  (3)此動點會碰到 ﹐但不會碰到Γ (4)此動點會先碰到Γ ﹐再碰到  (5)此動點會先碰到 ﹐再碰到Γ ﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 4 章 二次曲線

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 14 單元 二次曲線 解題觀念：雙曲線的標準式及其漸近線，拋物線y=x²上的點坐標形式﹒

答 案：(5)

解 析：動點

( )

^{x y, =}

( )

^{t t, 2 為拋物線y=x2上的點}

由上圖得知﹕此動點會先碰到  （因為當x> 且 x 接近 0 時﹐0 ² a x x

< b ）﹐再碰到Γ ﹒ 故選(5)﹒

4

空間中兩點的距離

在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點 ,A C 同時出發﹐各自以等速直線運動分別向頂點 ,

B D 前進﹐且在1秒後分別同時到達 ,B D ﹒請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項﹒

(1)兩質點的距離固定不變 (2)兩質點的距離越來越小 (3)兩質點的距離越來越大 (4)在1

2秒時兩質點的距離最小 (5)在1

2秒時兩質點的距離最大﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 1 章 空間向量

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 11 單元 空間向量 解題觀念：定坐標﹑配方法及兩點距離公式﹒

答 案：(4)

解 析：如圖﹐設 t （ 0≤ ≤ ）秒時﹐一質點位於t 1 ^P

(

^{1, ,0t}

)

^﹐

另一質點位於^Q

(

^{0,1,t ﹒}

)

因為

( )

^{2 2}

1 1 PQ= + −t + t

2t2 2t 2

= − + 1 2 3 2t 2 2

=  −  + ﹐

所以當 1

t= 時﹐ PQ 有最小值2 3 6 2 = 2 ﹒ 故選(4)﹒

試題大剖析

5

相關係數

下圖是某城市在 2016 年的各月最低溫（橫軸 x ）與最高溫（縱軸 y ）的散布圖﹒

今以溫差（最高溫減最低溫）為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散布圖﹒試依此選出正確的選項﹒

(1)最高溫與溫差為正相關﹐且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (2)最高溫與溫差為正相關﹐且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (3)最高溫與溫差為負相關﹐且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (4)最高溫與溫差為負相關﹐且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (5)最高溫與溫差為零相關﹒

出 處：龍騰版《數學 2》第 4 章 數據分析

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 7 單元 數據分析 解題觀念：散布圖與相關係數的意義及關係﹒

答 案：(4)

解 析：依散布圖的點由左而右將各月的最低溫﹐最高溫及溫差列表如下（溫度是大約值）﹕

最低溫 − 12 − 9 − 8 − 3 1 3 7 10 15 17 19 20 最高溫 5 4 6 9 9 12 18 21 22 24 27 27 溫差 17 13 14 12 8 9 11 11 7 7 8 7 再以溫差為橫軸﹐最高溫為縱軸繪製散布圖如下﹕

6

餘弦函數值的定義

試問有多少個實數 x 滿足 3 2 x 2

π

_{≤ ≤}

π

且 cosx° ≤cosx﹖ (1) 0 個 (2)1個 (3) 2 個 (4) 4 個 (5)無窮多個﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念：度與弧度的單位換算及餘弦函數值的定義﹒

答 案：(1)

解 析：因為

π

≈3.14﹐所以 1.57 2

π

_≈

﹐3 2 4.71

π

_≈

﹐ 即 x° 約介於1.57° 與 4.71°之間﹐因此 cosx° > ﹒ 0 又因為2

π

弧度 3

x 2

π

≤ ≤ 弧度﹐

所以 cosx< 或 cos0 x= ﹒ 0 於是 cos x°恆大於 cos x ﹒ 故選(1)﹒

7

^排列

小明想要安排從星期一到星期五共五天的午餐計畫﹒他的餐點共有四種選擇﹕

牛肉麵﹑大滷麵﹑咖哩飯及排骨飯﹒小明想要依據下列兩原則來安排他的午餐﹕

(甲)每天只選一種餐點但這五天中每一種餐點至少各點一次 (乙)連續兩天的餐點不能重複且不連續兩天吃麵食

根據上述原則﹐小明這五天共有幾種不同的午餐計畫﹖

(1) 52 (2) 60 (3) 68 (4) 76 (5) 84 ﹒

出 處：龍騰版《數學 2》第 2 章 排列﹑組合

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 5 單元 排列﹑組合 解題觀念：要會將題目分類討論﹒

答 案：(2)

試題大剖析

解 析：令 R 表飯﹐ N 表麵﹒分類如下﹕

(1) 三 N ﹕ NRNRN → 有 ₁² 3!

2! 12 C × × =2! 種 (2) 二 N ﹕ RNRNR →有 ₁² 3!

2! 12 C × × =2! 種



(

1²

)

4 2! 2! 32 RRNRN

RNRRN NRRNR C NRNRR

 × × × =





有 種

2

2! 1 4 NRRRN→有 ×C = 種



根據加法原理﹐共12 12 32 4 60+ + + = 種﹒

故選(2)﹒

說明： 第 8 題至第13 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐請將正確選項畫記在 答案卡之「選擇（填）題答案區」﹒各題之選項獨立判定﹐所有選項均答對者﹐得 5 分﹔答 錯1個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得1分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答 者﹐該題以零分計算﹒

8

單項函數與多項式方程式

設 ,m n 為小於或等於4 的相異正整數且 ,a b 為非零實數﹒已知函數 ^{f x}

( )

^{=axm與函數g x}

( )

^=bxn的

圖形恰有 3 個相異交點﹐請選出可能的選項﹒

(1) ,m n 皆為偶數且 ,a b 同號 (2) ,m n 皆為偶數且 ,a b 異號 (3) ,m n 皆為奇數且 ,a b 同號 (4) ,m n 皆為奇數且 ,a b 異號 (5) ,m n 為一奇一偶﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 2 單元 多項式函數

二﹑多選題（占 30 分）

解 析：解

m n

y ax y bx

 = =

 ⇒ax^m =bxⁿ⇒ ^m b ⁿ

x x

= a ﹒

不失一般性﹐選滿足方程式有 3 個相異實根的選項﹕

(1) ⁴ b ²

x x

= a ⇒ ^{2 2} b 0 x x

a

 − =

 

  ⇒x= （重根）或0 b

± a﹐有 3 個相異實根﹒

(2) 同(1)﹐因為 b

± a為虛數﹐所以方程式恰1個實根﹒

(3) ³ b x x

=a ⇒ ² b 0 x x a

 − =

 

  ⇒x= 或0 b

± a﹐有 3 個相異實根﹒

(4) 同(3)﹐因為 b

± a為虛數﹐所以方程式恰1個實根﹒

(5) 令m= ﹐4 n= ﹐則3 ⁴ b ³ x x

=a ⇒ ³ b 0 x x

a

 − =

 

  ⇒x= 或0 b a﹐ 有 2 個相異實根﹐得知此選項不正確﹒

故選(1)(3)﹒

9

直線與圓

設Γ 為坐標平面上的圓﹐點

( )

^{0,0 在Γ 的外部且點}

( )

^{2,6 在}Γ 的內部﹒請選出正確的選項﹒

(1)Γ 的圓心不可能在第二象限

(2)Γ 的圓心可能在第三象限且此時 Γ 的半徑必定大於10 (3)Γ 的圓心可能在第一象限且此時 Γ 的半徑必定小於10 (4)Γ 的圓心可能在 x 軸上且此時圓心的 x 坐標必定小於10 (5)Γ 的圓心可能在第四象限且此時 Γ 的半徑必定大於10 ﹒ 出 處：龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念：利用中垂線的性質及圓的定義解出﹒

答 案：(5)

解 析：點

( )

^{0,0 與}

( )

2,6 連線段的中垂線為

( )

3 1 1

y− = −3 x− ⇒x+3y=10﹒

依題意﹐利用「中垂線上的點到兩端點等距離」的性質﹐

得知圓心落在半平面x+3y>10的區域內﹐

即點

( )

^{2,6 那一側﹒}

故選(5)﹒

試題大剖析

10

空間中兩直線的關係

坐標空間中有三直線 ₁ 1 1 : 2 2 1

x y z

L − = + = ﹐ ₂ 2 2 4

: 4 5

x y z L x y z

− + = −

 + − =

 ﹐ ₃ : 2

4 4 x t

L y t

z t

 = −

 = − −

 = +



﹐ t 為實數﹒

請選出正確的選項﹒

(1)L 與₁ L 的方向向量互相垂直 ₂ (2)L 與₁ L 的方向向量互相垂直 ₃ (3)有一個平面同時包含L 與₁ L ₂ (4)有一個平面同時包含L 與₁ L ₃ (5)有一個平面同時包含L 與₂ L ﹒ ₃

出 處：龍騰版《數學 4》第 2 章 空間中的平面與直線

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 12 單元 空間中的平面與直線 解題觀念：了解空間中直線方程式的三種形式﹐並能判定它們彼此的相交狀況﹒

答 案：(2)(3)(4)

解 析：將L ﹐₁ L 改寫為參數式﹐得 ₂

1

1 2 : 1 2

x s

L y s

z s

 = +

 = − +

 =



（ s∈ � ）﹐ ₂

2 2 : 3 2

x k

L y k

z k

 = +

 = +

 =



（ k∈ � ）﹒

(1) 因為

 

 1⋅ 2 =

(

2, 2,1

) (

⋅ 2, 2,1

)

= ≠9 0_﹐所以

1



_與

2



不垂直﹒

(2) 因為

 

 1⋅ 3 =

(

2, 2,1

) (

⋅ − −1, 1, 4

)

=0_﹐所以

1 ⊥ 3

 

 

﹒ (3) 將L 上的點₁

(

^{1, 1,0−}

)

^代入L ﹐得 2

1 2 2 1 3 2 0

k k k

 = +

− = +

 =



（不合）

又

 

₁//_{2 ﹐因此}

1// 2

L L ﹐於是此選項正確﹒

(4) 解 1 2

1 2 2 4 4

s t

s t

s t

+ = −

− + = − −

 = +



⇒

2 1

2 1

4 4 s t s t s t

+ = −

 + = −

 − =



⇒t= − ﹐1 s= ﹒ 0

11

^解三角形

最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形 ABCDE ﹐其示意圖如下﹒

關於這五邊形﹐請選出正確的選項﹒

(1)AD=2 2 (2)∠DAB=45° (3)BD=2 6 (4)∠ABD=45°

(5)△BCD的面積為 2 2 ﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 1 章 三角

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 8 單元 三角 解題觀念：正弦定理﹑餘弦定理與三角形面積公式﹒

答 案：(1)(4)

解 析：(1) 利用畢氏定理﹐得AD= 2²+2² =2 2﹒ (2) ∠DAB=105° − ° = ° ﹒ 45 60

(3) 利用餘弦定理﹐得

( ) ( ) (

^{2 2}

)( )

2 6 2 2 2 2 6 2 2 2 cos 60

BD = + + − + °

(

^{8 4 3}

)

⁸

(

^{4 3 4}

)

¹²

= + + − + = ﹐ 即BD=2 3﹒

(4) 利用正弦定理﹐得

2 3 2 2 3

2 3 sin 2 2

sin 60 sin ABD 2

= ABD⇒ ∠ = ×

° ∠ ﹐

解得 2

sin∠ABD= 2 ﹐即∠ABD=45°﹒

(5) 在△BCD中﹐因為

( )

²

2 2

4 =2 + 2 3 ﹐

所以△BCD為直角三角形﹐其面積為2 2 3 2 2 3

× = ﹒

故選(1)(4)﹒

試題大剖析

12

^文氏圖

某班級 50 位學生﹐段考國文﹑英文﹑數學及格的人數分別為 45 ﹑ 39 ﹑ 34 人﹐且英文及格的學生 國文也都及格﹒現假設數學和英文皆及格的有 x 人﹐數學及格但英文不及格的有 y 人﹒請選出正 確的選項﹒

(1)x+ =y 39 (2)y≤ 11

(3)三科中至少有一科不及格的學生有 39− + 人 x y (4)三科中至少有一科不及格的學生最少有11人 (5)三科中至少有一科不及格的學生最多有 27 人﹒

出 處：龍騰版《數學 2》第 2 章 排列﹑組合

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 5 單元 排列﹑組合 解題觀念：依題意畫出文氏圖討論﹒

答 案：(2)(5)

解 析：設 ,C E M 分別表國文﹐英文﹐數學及格的人所成的集合﹐ , 依題意畫文氏圖如下（U 表全班所成的集合）﹕

(1) ^{x+ =y n M}

( )

^=34﹒

(2) ^{y≤n E′}

( )

^{=50 39 11− = ﹒}

(3) 至少一科不及格人數^{=n U}

( ) (

^{−n M∩ ∩E C}

)

^{=50− ﹒ x}

(4) 因為 x 最大為^{n M}

( )

^{=34﹐所以 50 x}− 最小為 50 34 16− = ﹒ (5) 因為 y 最大為11且x+ =y 34﹐所以 x 最小為 34 11 23− = ﹐

因此 50 x− 最大為 50 23 27− = ﹒ 故選(2)(5)﹒

13

空間向量的運算

空間中有一四面體 ABCD ﹒假設 AD



分別與 AB



和 AC



垂直﹐請選出正確的選項﹒

(1)DB DC

 

⋅ =DA²−AB AC

 

⋅

(2)若∠BAC是直角﹐則 BDC∠ 是直角 (3)若∠BAC是銳角﹐則 BDC∠ 是銳角 (4)若∠BAC是鈍角﹐則 BDC∠ 是鈍角

(5)若 AB<DA且 AC<DA﹐則 BDC∠ 是銳角﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 1 章 空間向量

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 11 單元 空間向量 解題觀念：拆解向量、向量運算性質及簡單邏輯﹒

答 案：(3)(5)

解 析：依題意﹐圖示如下﹕

(1) 利用向量的拆解﹐得

DB DC⋅ =DA+ AB   ⋅ DA+AC

     

²

DA DA AC AB DA AB AC

=

      

+ ⋅ + ⋅ + ⋅

2 0 0

DA AB AC

= + + +

 

⋅ ² +

DA AB AC

=

 

⋅ _﹒ (2) 直觀來看﹕∠BAC大於 BDC∠ ﹒

因此﹐若∠BAC= ° ﹐則90 ∠BDC< ° ﹒ 90 (3) 與(2)同理﹐若∠BAC< ° ﹐則90 ∠BDC< ° ﹒ 90 (4) 與(2)同理﹐

當∠BAC> ° 時﹐並不保證90 ∠BDC> ° ﹒ 90

(5) 先用極端值來看﹕當∠BAC張到最大﹐即成一直線時﹐

如圖所示﹐此時 A ﹑ B ﹑ C ﹑ D 四點共平面﹒

因為 AB<DA且 AC<DA﹐所以 0° < ∠ <1 45° ﹐ 0° < ∠ <2 45° ﹐ 得 0° < ∠ + ∠ < ° ﹐ 1 2 90

即 BDC∠ 是銳角﹐推得此選項正確﹒

故選(3)(5)﹒

試題大剖析

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明： 1.第 A 至 G 題﹐將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14 － 34 ）﹒

2.每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A

遞迴數列與二次函數

遞迴數列 a 滿足_n a_n =a_n−1+ f n

(

− ﹐其中2

)

n≥ 且2 f x 為二次多項式﹒若

( )

a₁= ﹐1 a₂ = ﹐2 a₃= ﹐5

4 12

a = ﹐則a₅ = ﹒

出 處：龍騰版 《數學 2》第 1 章 數列與級數

《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》 第 4 單元 數列與級數 第 2 單元 多項式函數 解題觀念：遞迴數列的意涵及二次函數的求值﹒

答 案： 25

解 析：將n=2, 3, 4代入a_n=a_n−1+ f n

(

− ﹐得 2

) ( ) ( )

( )

2 1

3 2

4 3

0 1 2 a a f a a f a a f

= +

 = +

 = +



⇒

( ) ( ) ( )

2 1 0 5 2 1 12 5 2

f f

f

= +

 = +

 = +



⇒

( ) ( ) ( )

0 1 1 3 2 7 f

f f

=

 =

 =

 設 ^{f x}

( )

^{=ax2+bx+ ﹐得 c}

1 3 4 2 7 c

a b c a b c

 =

 + + =

 + + =



⇒ 1 1 1 a b c

 =

 =

 =

即 ^{f x}

( )

^{=x2+ + ﹐得x 1 f}

( )

^{3 =32+ + =3 1 13﹒}

故a5 =a4+ f

( )

3 =12 13+ =25﹒

○

¹⁴

○

¹⁵

B

平面向量的線性組合

在坐標平面上﹐ ABC△ 內有一點 P 滿足 4 5 3 6, AP  

=  



_及 1 1 2 5 AP= AB+ AC

  

_{﹒若 ,}

A P 連線交 BC 於 M ﹐

則AM  , 

=  

 



_{﹒（化成最簡分數）}

出 處：龍騰版《數學 3》第 3 章 平面向量

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 10 單元 平面向量 解題觀念：向量的共線性質﹒

答 案： 40 25 21 21,

 

 

 

解 析：設 AM

 

=t AP_﹐則 1 1

2 5 2 5

t t

AM =t AB+ AC= AB+ AC

    

_﹒

因為 M 在 BC 上﹐所以 1 10

2 5 7

t t

+ = ⇒ =t ﹒

故 10 10 4 5 40 25

, ,

7 7 3 6 21 21 AM = AP=     = 

 

_﹒

C

牛頓定理

若 a 為正整數且方程式^5x3+

(

^a+4

)

^x2+ax+ = 的根都是有理根﹐則 a = ﹒ ^{1 0} 出 處：龍騰版《數學 1》第 2 章 多項式函數

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 2 單元 多項式函數 解題觀念：有三個有理根就是可分解成三個一次整係數因式﹒

答 案：7

解 析：因為有三個有理根﹐所以有三個整係數一次因式﹐

又由牛頓定理知﹕整係數一次因式只可能是 1, 1, 5 1, 5 1

x+ x− x+ x− ﹒

由 a 是正整數及比較首項係數﹑常數項﹐得

( ) ( )( )( )

3 2

5x + a+4 x +ax+ =1 5x+1 x+1 x+ 1

3 2

5x 11x 7x 1

= + + + ﹒ 故a= ﹒ 7

○

²⁴

○

¹⁶

○

¹⁷

○

¹⁸

○

¹⁹

○

²⁰

○

²¹

○

²²

○

²³

試題大剖析

D

解三元一次方程組

設a a₁, ₂,, a₉為等差數列且 k 為實數﹒若方程組

1 2 3

4 5 6

7 8 9

2 1

2 5

2 9

a x a y a z k a x a y a z k a x a y a z k

− + = +

 − + = − −

 − + = +



有解﹐則

k= ﹒

出 處：龍騰版《數學 4》第 3 章 矩陣

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 13 單元 矩陣 解題觀念：有解包括無限多組解﹒

答 案： 5−

解 析：設公差為 d ﹒

由第二式減第一式﹐得

3dx−3dy+6dz= − −  2k 6 由第三式減第二式﹐得

3dx−3dy+6dz=2k+  14

因為方程組有解﹐所以由 ﹐ 得知 2k 6 2k 14 4k 20

− − = + ⇒ − = ﹐ 解得k= − ﹒ 5

E

^內插法

設 , ,a b x 皆為正整數且滿足 a≤ ≤ 及x b b− = ﹒若用內插法從 log a ﹐ logb 求得 log x 的近似值為 a 3

( ) ( )

1 2 1 2

log log log 1 2log 3 log 2 4log 2 log 3

3 3 3 3

x≈ a+ b= + − + + ﹐

則 x 的值為 ﹒

出 處：龍騰版《數學 1》第 3 章 指數﹑對數函數

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 3 單元 指數﹑對數函數 解題觀念：內插法就是分點公式﹒

答 案：47

○

²⁵

○

²⁶

○

²⁷

○

²⁸

解 析：因為

( ) (

²

)

1 1 1

1 2log 3 log 2 log 10 3 2 log 45 3 + − =3 × ÷ =3 ﹐

( ) (

⁴

)

2 2 2

4log 2 log 3 log 2 3 log 48 3 + = 3 × =3 ﹐ 所以a=45﹐b=48﹒

又因為 1 2

log log log

3 3

x≈ a+ b﹐ 所以 x 位於 45 ﹐ 48 的 2 : 1位置﹒

故 1 45 2 48 2 1 47 x= × + × =

+ ﹒

F

^機率

一隻青蛙位於坐標平面的原點﹐每步隨機朝上﹑下﹑左﹑右跳一單位長﹐總共跳了四步﹒

青蛙跳了四步後恰回到原點的機率為 ﹒（化成最簡分數）

出 處：龍騰版《數學 2》第 3 章 機率

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 6 單元 機率 解題觀念：分類討論及機率的定義﹒

答 案： 9 64

解 析：樣本空間個數為4⁴ =256﹒

跳回原點的情形﹐可分以下 3 類﹕

(1) 上﹐下﹐左﹐右﹕有 4! =24 種﹒

(2) 上﹐上﹐下﹐下﹕有 4!

2! 2!= 種﹒ 6

(3) 左﹐左﹐右﹐右﹕有 4!

2! 2!= 種﹒ 6 共 24 6 6 36+ + = 種﹒

故所求機率為 36 9 256= 64﹒

○

²⁹

○

³⁰

○

³¹

試題大剖析

G

^直線與圓

地面上甲﹑乙兩人從同一地點同時開始移動﹒甲以每秒 4 公尺向東等速移動﹐乙以每秒 3 公尺向 北等速移動﹒在移動不久之後﹐他們互望的視線被一圓柱體建築物阻擋了 6 秒後才又相見﹒此圓 柱體建築物底圓的直徑為 . 公尺﹒

出 處：龍騰版《數學 3》第 2 章 直線與圓

《稱霸數學（1～4 冊）學測總複習講義》第 9 單元 直線與圓 解題觀念：能依題意畫出圖形，再利用相似形解出﹒

答 案：14.4

解 析：依題意﹐圖示如下﹕

經 6 秒甲走AB= × =6 4 24公尺﹒

因為圖中二個直角三角形相似﹐所以 3 72

24 5 5 14.4

x = ⇒ =x = ﹐ 故底圓的直徑為14.4 公尺﹒

○

³²

○

³³

○

³⁴

參考公式及可能用到的數值

1. 首項為 a ﹐公差為 d 的等差數列前 n 項之和為

(

²

(

¹

) )

2 n a n d

S + −

= ﹔

首項為 a ﹐公比為 r （r≠ ）的等比數列前 n 項之和為1

(

¹

)

1 a rn

S r

= −

− ﹒ 2. 三角函數的和角公式﹕^sin

(

^A+B

)

^{=sinAcosB+cos sinA B﹐}

^cos

(

^A+B

)

^{=cos cosA B−sin sinA B﹐}

^tan

( )

^{tan tan}

1 tan tan

A B

A B

A B + = +

− ﹒

3. ABC的正弦定理﹕ 2 sin sin sin

a b c

A= B= C = R（ R 為ABC外接圓半徑）﹔

ABC的餘弦定理﹕c²=a²+b²−2abcosC﹒ 4. 一維數據 X ﹕x ﹐₁ x ﹐…﹐₂ x ﹐ _n

算術平均數

(

1 2

)

1

1 1 ⁿ

X n i

i

x x x x

n n

µ

=

= + + +^ =

∑

^﹐

標準差

( )

²

1

1 ⁿ

X i X

i

n x

σ µ

=

=

∑

− ^{2 2}

1

1 ⁿ

i X

i

x n

n

µ

=

  

=  − 

 



∑

^﹒ 5. 二維數據

(

^{X Y ﹕,}

) (

x y ﹐1, 1

) (

x y2, 2

)

﹐…﹐

(

x yn^, n

)

﹐

相關係數

( )( )

1 ,

n

i X i Y

i X Y

X Y

x y

r n

µ µ

=

σ σ

− −

=

∑

﹐

迴歸直線（最適合直線）方程式 ,

( )

Y

Y X Y X

X

y

µ

r

σ

x

µ

− =

σ

− ﹒

6. 參考數值﹕ 2 1.414≈ ﹐ 3 1.732≈ ﹐ 5≈2.236﹐ 6 ≈2.449﹐

π

≈3.142﹒ 7. 對數值﹕log 2₁₀ ≈0.3010﹐log 3₁₀ ≈0.4771﹐log 5₁₀ ≈0.6990﹐log 7₁₀ ≈0.8451﹒ 8. 角錐體積 1

= 底面積× 高﹒ 3