結 (3)

結 ₍₃₎

Louis H. Kauffman 著 _· 謝春忠 譯

第六節 : 維氏不變量 (Vassiliev Invariants)

我們已經看到線圖中其他部分不動, 僅 在某一個固定處考慮此處為正跨越 (cross- ing) 及為負跨越時二線圖不變量的差, 這是 討論不變量時一個基本的考慮模式。 最早的 例子是 Conway 多項式 [1] C

K

(z), 其交換 恆等式為

C

_K

₊− C

_K

− = zC

_K

₀.

俄國數學家 V. A. Vassiliev 考量所有自圓 S

¹

到三度空間 R

³

的映射所成空間的結構 而賦與這類恆等式全新的意義。 這個空間包 含了具有奇異點 (singularity) 的映射, 也就 是有二 (線) 相交點的曲線, (即 f : S

¹

→ R

³

, ∃ x 6= y, f (x) = f (y)) 他解釋下述方 程

Z

K+

− Z

K−

= Z

K

#.

為描述經過奇異嵌入 K

_#

的不變量的變化。

見圖三十四, K

_#

為具有橫越奇點 (trans- verse singularity) 的結 (所謂橫越奇點, 是 指曲線沿二個方向在這點相交)。

K

+

K

⁻

K

#

V

K

+ − V

K

+ = V

K

#

圖三十四. 差分方程式

這個式子可用來定義奇異嵌入 (singu- lar embedding) 的不變量, 並且可用來將 已知結的不變量的定義, 推廣及於空間中具 有可控制數量的橫越奇點的嵌入圖 形。 這種 想法在維氏 (Vassiliev) 之前已有人想過, 維 氏利用代數拓樸來分析具奇異點的結 (sin- gular knot) 所成的空間, 稱結空間 (Knot Space), 在此過程中, 他發現一個過去研究 圖不變量時忽略的關鍵概念 — 有限型不變 量 (invariant of finite type)。

定義

:

我們叫 Z

G

是 i-有限型 (圖) 不 變量, 如果對任一具有至少 (i + 1) 個二相交 點的圖 G, 恆有 Z

_G

= 0。

這 個 觀 念 是 J. Birman 和 X. S. Lin[2]自 Vassiliev的工作中導出的。

一個結圖 (knotted graph) 的 (剛性頂點 同倫) 不變量被稱為 i-有限型維氏不變量

54

結

_{(3) 55}

(Vassiliev invariant of finite type i) 如果

它滿足恆等式

Z

K+

− Z

K−

= Z

K

#

而且, 是 i-有限型。

所謂剛性頂點同倫 (rigid vertex iso- topy) 是指此同倫須保留頂點的循環次序 (cyclic order) (即指每一個二相交點 (dou- ble point) 都有一個在平面上的剛性圓盤鄰 域, 此同倫須保存這一鄰域)。 維氏不變量總 體形成一類非常特出的結不變量。 「維氏不變 量是否足以分辨拓樸結構不同的結?」 仍是待 解的問題。

Vassiliev 由分析此不變量的圖計值 (函 數) 的組合條件著手, 他的重要觀察是下面的 引理:

引理

:

如果 Z

G

是 i-有限型的維氏不變 量, 則當 G 有 i 個頂點時, Z

_G

不因圖形 G 的不同空間嵌入而改變其值。

證明

:

^{假設 G}

+

是具有 i 個二相交點 (node) 的空間嵌入圖。 如果我們將 G

+

中 某一正跨越改為負跨越, 則維氏交換關係告 訴我們 Z

G

+ − Z

G

₋ = Z

G

#, G

#

比 G

+

, G

⁻

多一個二相交點, 即 G

_#

有 i + 1 個二 相交點, 因之 Z

G

# = 0, 所以 Z

G

+ = Z

G

₋

這表示我們可以將 G 的任何空間嵌入圖中的 跨越正負顛倒而不改變 Z

_G

的值。 由此可知 Z

G

不因空間嵌入的不同而改變。 它的值只取 決於圖 G。 證畢。

對於 i- 有限型的維氏不變量, 它在恰 好有 i 個二相交點的圖形上的值具有重要的

訊息。 這些值不因圖形的空間嵌入而變, 但是 並不是所有具有這個性質的圖形計值都可衍 伸為結或圖的不變量, 必須有一些必要條件。

Vassiliev 通過對結空間 (Knot space) 的分 析找到這些條件的一種形式, 而 Joan Bir- man 的學生, 數學家 Ted Stanford [3] 研 究這些條件與交換恆等式的關係而發現了很 漂亮的拓樸意義。 他的論述如下: 考慮一個有 一弧通過其底部的相交二線 (即一奇異跨越) 如圖三十五

− = +

− = −

− = −

− = +

−

− + = 0

圖三十五. 嵌入的四項關係式

經過四次顛倒正、 負跨越 (crossing) 可 將這個弧置於原先的相交二線之上, 而如此 得到的圖形與原先開始的圖形拓樸等價。 每 一次顛倒正負跨越, 就給出一個方程, 共是四 個方程。 把它們加起來就得到四個圖形上不 變量的恆等式, 稱為四項關係式 (Four term

relation)。 這恆等式表示在圖三十五的第二 個方框中。

現在我們回顧前面的引理。 Vassiliev i 有限型不變量, 在有 i 個二相交點的圖形 上, 其值不因空間嵌入而改變。 (我們稱 Vas- siliev i 有限型不變量作用在 i 個二相交點的 圖形為高階 (top level)。) (此引理與四項關 係式二者同樣利用 Vassiliev 恆等式證出。) 這表示四項關係式在高階時可用來做為抽象 圖的關係式, 在高階時四項關係式純粹是與 拓樸有關的組合關係。

我們如何看待相應於空間中有自相交的 結的抽象圖形? 一個抽象的結就是一個圓圈, 而一個抽象有奇異點的結就是一個圓圈上並 加註幾對點, 在嵌入空間時, 每一對點成為一 自相交點 (或稱二相交點)。 我們將每對點以 弧線聯結稱做弦 (chord), 而如此得到的圖形 叫做弦圖 (chord diagram)。 如圖三十六的 上圖所示。

1

2

2

2

1 1

嵌入的圖形 相應的弦圖

−

=

−

抽象四項關係式

圖三十六. 以弦圖表示的抽象四項關係式

在高階時的四項關係式 (圖三十五) 以 弦圖的語言翻譯出來就是圖三十六的下圖表 示的方程。 圖三十六中以外括號 ] 連結的部 份表示這個區間沒有其他的弦, 括號之外則 可有任何形狀的弦, 但方程中四個圖僅只在 圖中所畫出的弦及括號部分有所不同。

如果你能寫下弦圖在高階的計值函數而 且滿足四項關係式, 則這個函數將是形成一 個維氏不變量的素材。 這樣的函數稱為相應 的維氏不變量的權系 (weight system), M.

Kontsevich 與 D. Bar-Natan [4] 的定理 保證每一權系至少可構成一個滿足高階計值 的不變量。 這世界充滿了維氏不變量, Bir- man 和 Lin [2] 直接證明鍾氏多項式 (Jones polynomials) 和它的推廣都是維氏不變量。

下面是對鍾氏多項式的情形的簡易證明。

結

_{(3) 57}

定理

:

令 V

G

(t) 表示推廣到具自相交結 的鍾氏多項式 (其定義是利用 V

K

+− V

K

₋ = V

K

#, K

+

, K

⁻

, K

#

定義如前)。 令 v

i

(G) 表示 V

_G

(e

^x

) 展開後 x

ⁱ

的係數, 則 v

_i

(G) 是 i- 有限型的維氏不變量。

證明

:

^{利用第五節末的公式}

V

K

+ = −t

^1/2

V

K

0 − tV

K

&

V

K

₋= −t

^{− 1/2}

V

K

0 − t

^{− 1}

V

K

&. 以 t = e

^x

代入, 立刻可得 x 整除 V

K

# = V

K

+ − V

K

₋。 所以, 若 G 有 i 個二相交點 則 V

G

可被 x

ⁱ

整除, 也就是說, 若 G 至少 有 i + 1 個二相交點則 v

i

(G) = 0, 故為 i- 有限型。 證畢。

由這個定理可知, 我們可以由探討已知 的結與鏈結的不變量的結構著手來研究維氏 不變量。 尤其可以藉著已知的不變量來導出 許多權系的的結構。 不過本文不擬探討這個 題目。 下節我們將介紹李代數 (Lie algebra) 與建構維氏不變量之間的關係, 這是結與代 數的緊密天地的一個開端。

第七節 : 維氏不變量與李代數

李代數是以代數方法探討自然科學的學 科, 它和結、 鏈結的拓樸有顯著而密不可分的 關聯。 本節首先簡短的介紹李代數的概念, 再 指出前節所描述的李代數與結、 鏈結的維氏 不變量結構間深奧的關係。

為了解李代數 (Lie algebra) 背後的想 法, 我們先從群 (group) 的概念說起。

定義

:

一個集合G, 我們稱作群 (gro- up), 假如其上有一二元運算∗, 滿足

1. 給定 G 中之元素 a, b 則 a ∗ b 亦在 G 中。

2. 給定 G 中之元素 a, b, 及 c, 我們恆有 a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c。

3. 在 G 中恆有元素 e 使得: 對 G 中任何 元素 a, 我們都有 a ∗ e = e ∗ a = a。

4. 給定 G 中的元素 a, 我們恆有另一元素 a

^{− 1}

使得 a ∗ a

^{− 1}

= a

^{− 1}

∗ a = e。

在諸多群中, 一個具有豐富資訊及性質的群 就是矩陣群 (matrix group)。

我們說 A 是一個 n × n 的矩陣, 指的 是 A = (A

_ij

), 其中 i, j = 1, 2, . . . , n, 且 A

ij

可為實數或複數。 我們可以定義二個矩陣 的乘法如下:

(AB)

ij

=

X n k=1

A

ik

B

kj

如此, 很容易檢驗出: 所有 n × n 的矩陣構 成一個矩陣代數—即有結合律、 分配律、 零 元及么元。 對我們而言, 將矩陣乘法以圖形表 示是很關鍵的。

如圖三十七, 每一矩陣用一帶有一進一 出方向的方格表示, 進的方向表示 (A

_ij

) 的 i 足標, 出的方向表示 (A

_ij

) 的 j 足標, 而矩 陣 A、B 乘法表示連結 A 的出的方向與 B 的進的方向, 如圖三十七所示, 我們採取愛因 斯坦共識 (Einstein’s notation), 若 B 進 的方向與 A 出的方向相同, 表示我們把此二 足標等同後並作和。

58

數學傳播

₂₅

卷

₃

期 民

₉₀

年

₉

月

.

...

A

...^...^{................................................................................................................................................................................} . .. .. ...

. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. .

. ...

i k B j

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

對

k

作和 圖三十七. 矩陣乘積之圖示化

很多矩陣的運算與代數, 用了此種圖 示化後, 變得顯明多了。 例如, 我們算 trace(A) =

^P

A

ii

時, 即連結 (A

ii

) 的進的方向與出的方向, 同理很容易看出 trace(AB) =trace(BA), 如圖三十八所示。

A

.. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .

... .

...

=tr(A) = P

i A ii

...

A

...^{.........................................................................................................................................} . .. .. ...

. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .

B

... .

.. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

...

tr(AB) =

.

..^...^....^...^....^...^...^...^.....^.....^.....^.....^.....^....^.....^.....^....^.....^...^...^....^..^....^...^...^.....^.....

A

....

B

...^....^...^...^....^..^....^...^...^....^...^.......^......^.......^.......^......^......^........^.....^........^....^...^...^...^....^..^....^..^..........

. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .

=

...

B

...^{.........................................................................................................................................} .. .. . ...

. .. .. .. . .. . .. .. . .. .. . ..

A

... ..

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .

...

= =tr(BA)

圖三十八.

我們再回到矩陣代數。

給定一自然數 n, 我們用 M

_n

(

R

) 來表 示全部實係數 n × n 矩陣所成的集合。 我們 用 A ∗ B 來代表 A、B 矩陣的乘積, 用 E 表 示么元矩陣:

E

ii

= 1, E

ij

= 0, ∀i, 若 i 6= j.

如此定義之下, M

_n

(

R

) 滿足上述群的定義的 前三個條件, 不過, 存在矩陣 A, 而 A 沒有 反元素 A

^{− 1}

(即 AA

^{− 1}

= E), 如零矩陣就 沒有反元素, 所以 M

_n

(

R

) 不是一個群。

但是, 我們有一個反元素存在的準則—

即 M

_n

(

R

) 中元素 A 有反元素, 若且唯 若行列式 det(A) 6= 0。 所以在 M

_n

(

R

)

中, 我們可找到最大的群, 就是 M

n

(

R

) 中 行列式不為零所成的集合, 記為 GL

n

(

R

)。

GL

n

(

R

) 有很多有意思的子群 (subgroup)。

例如 SL

_n

(

R

), 它包括所有行列式為一的矩 陣。 又如 O(n), 它包含所有矩陣 A, 使得 A

^{− 1}

= A

^t

, 其中 A

^t

表示 A 的轉置矩陣 (A

^t

)

ij

= A

ji

。 讀者, 可試證 SL

n

(

R

), O(n) 及 SO(n) = SL

_n

(

R

) ∩ O(n) 皆是 GL

n

(

R

) 的子群。

詳言之, 當 n = 2, SO(2) 表示平面中, 繞著原點旋轉矩陣所成的集合。 當 n = 3, SO(3) 表示繞著一固定軸旋轉矩陣所成的集 合。 還有, SO(3) 包括很多有趣的有限子群, 例如 SO(3) 包括五個古典正則多面體的對 稱群。 終極地說, 矩陣群已變成表達對稱的數 學語言。

我們試問何時可將一個矩陣 A 表為 A = exp(B), 其中 exp(B) 定義為 exp(B) = E + B +

¹ ₂

B

²

+

_3! ¹

B

³

+ . . . +

1

m!

B

^m

+ . . . 因為 exp(B) = lim

m→∞

(E + B/m)

^m

, 當 m 很大時我們可將 E + B/m 視為 A 的無限小的表徵而 B 是 A 的無限小 生成元 (infinitesimal generator)。 有趣而 且在數學上也有意義的是對 A、B 的代數性 質做一比較, 這個比較的關鍵是行列式方程:

det(exp(B)) = e

^tr(B)

(證明這恆等式的一個方法是利用 Jordan 式, 並注意到相似矩陣具有相同的 trace 與 行列式)。

例如 det(exp(B)) = 1 若且唯若 trace(B) = 0。 也就是說 SL

n

(

R

) 乃包括 所有矩陣 exp(B), 其中 tr(B) = 0。 我們用

結

_{(3) 59}

sl

n

(

R

) 表示所有 trace 為零的矩陣所成的集

合。

注意到: sl

_n

(

R

) 在上述定義的矩陣乘法 是不封閉的, 但 sl

n

(

R

) 卻是在李氏括號 (Lie bracket) 運算下封閉的, 李氏括號運算即:

[B, C] = BC − CB.

若 tr(B) = tr(C) = 0, 則 tr[B, C] = tr(BC − CB) = tr(BC) − tr(CB) = tr(BC) − tr(BC) = 0. 所以, 若 B、C 是 sl

n

(

R

) 的元素, 則 [B, C] 亦在 sl

n

(

R

), 這 種在李氏括號運算之下的封閉性, 是李代數 的觀念。

定義

:

一個實向量空間 L 稱作一個李代 數 (Lie algebra), 假若 L 具有一二元運算—

稱李氏括號 (Lie bracket), 記作 [A, B] — 且滿足下面的要求:

1. 對所有 L 上的元素 A、B, 恆有 [A, B] =

−[B, A]

2. 對所有 L 上的元素 A、B、C 及實數 a、b, 恆有 [aA + bB, C] = a[A, C] + b[B, C]

3. [A, [B, C]]+[C, [A, B]]+[B, [C, A]] = 0

此第三個要求稱為 Jacobi 恆等式, 讀者可 試證 sl

_n

(

R

) 為一李代數。 到現在為止, 我們 已看到 sl

_n

(

R

) 是一個與矩陣群 SL

n

(

R

) 自 然關聯的李代數。 事實上, sl

n

(

R

) 經由“指數 化” (exponentiation) 而生成 SL

n

(

R

), 我 們稱 SL

_n

(

R

) 是一李群 (Lie group), 而 sl

n

(

R

) 為 SL

n

(

R

) 的李代數。 一般的模式是 每一矩陣群都有相對應的李代數, 矩陣群的 分類可經由李代數的分類而簡化。 更妙的是,

李代數亦自然地出現於各個數學、 物理的領 域, 顯然地, 李代數已脫離李群而獨自存在、

發展。

在我們的探討中, 李代數將與前述的 Vassiliev 不變量的權系的建立相關。 我們試 看下面的一個簡單論述—我們將圖示李氏括 號及封閉性的意義。 李代數條件告訴我們, 若 用李代數 L 的一個基底 {T

¹

, T

²

, . . . , T

^m

}, 其中 T

^a

都是 n × n 矩陣, 則我們可找到 一組常數 {f

_c ^ab

}, 使得 T

^a

T

^b

− T

^b

T

^a

= [T

^a

, T

^b

] =

^P

c

f

_c ^ab

T

^c

。 在圖三十九我們圖示 上式李氏括號的意義, 其中出現常數 {f

_c ^ab

}, 我們用一個具三線的結點 (vertex) 來表示。

為了討論方便, 我假設常數 f

_c ^ab

只與 abc 的 循環次序 (cyclic order) 有關—意即 f

_c ^ab

= f

_a ^bc

= f

_b ^ca

= −f

_c ^ba

= −f

_b ^ac

= −f

_a ^cb

。 值得 一提的是, 利用此 cyclic 不變性所導得到的 結果可推廣到一般李代數, 詳情省略。

.

...

T

...^{.....................................................................................................................................} . .. ...

. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .

.

T

...^{..........................}

a

_..

b

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..

.

...

T

...^{.....................................................................................................................................} . .. ...

. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

.

T

...^{..........................}

a

_.......

b

.

... . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. . .. .. . .. . .. . .

−

...

T

...

a b

.

c

.. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . . . ... . ...

=

T ^a T ^b − T ^b T ^a = f _c ^ab T ^c

圖三十九

_.

現在看圖四十, 我們首先看到上半部與 圖三十九類似的圖形, 只不過去掉了標記和 足碼, 並將代表矩陣的方塊以圖上的黑點代

... ..

. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .

.. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .

... .

... . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .

−

.

.

...

=

− =

− =

圖四十

_.

替。 想像這個交換運算關係是圖四十下半部 弦圖的一部分。(即圖中以方框表出的部分)。

換句話說, 回想上節中介紹的弦圖的方法, 並 想像除了弦還有具有三線的結點 (vertex), 這些結點與交換運算的關係如圖中所示。

最後, 再看四十一, 這是利用圖示的交換 運算恆等式導出弦圖的四項關係式。

這表示, 我們上節由拓樸考量所導出的 四項關係式與李代數的基本結構有密不可分 的關係。 這就是維氏不變量與李代數之間關 係之精義所在。

具體地說, 我們所描述的關係就是我們 可以藉由矩陣李代數來建構維氏不變量的權 系。 要明瞭這點, 我們看圖四十二, 在圖 上有一個弦圖 D 和對應的李代數基底中 矩陣 T

^a

的圖, 第二圖代表 trace 的和 wt(D) =

^P

a,b,c

tr(T

^a

T

^b

T

^c

T

^a

T

^b

T

^c

), 這個圖 代表“權” (weight)。 wt(D) 亦即分派給第一 圖的權。 如此建構的權系滿足四項關係式, 因 此由 Kontsevich 的定理, 這是對維氏不變 量最高階 (top level) 的計值。

−

= =

= −

圖四十一.

此節只是簡單地介紹李代數與結不變量 深刻且迷人之關聯, 這方面的探討更是出奇 有趣。 首先, 由上面討論, 不難看出我們只 須李代數的一些適當推廣而已。 事實上, 在 Vassiliev 不變量出現之前, 李代數的另一個 方向的推廣—量子群 (Quantum group) 早

結

_{(3) 61}

已因統計力學的研究而出現, 並應用於結理

論上, 量子群並且提供了李代數及其推廣, 與 鏈結、 結不變量間強而有力的關係。 值得注意 的是: 是否可由量子群找出所有 Vassiliev 不 變量的權系?

T c

b T T a

T T

T

圖四十二.

下節, 我們將探討前面有關結不變量背 後的物理背景。

參考文獻

1. J. H. Conway, An enumeration of knots an links and some of their alge- braic properties, Computational Prob- lems in Abstract Algebra, Pergamon Press, New York, 1970, 329-358.

2. J. Birman and X. S. Lin, Knot polyno- mials and Vassiliev’s invariants, Invent.

Math., 111 (1993), pp.225-270.

3. T. Standford, Finite-type invariants of knots, links and graphs, Topology Vol.35, No.4 (1996), pp.1027-1050.

4. D. Bar-Natan, On the Vassiliev Knot invariants, Topology, Vol.34, No.2(1995), pp.423-472.

(

本文原是作者為

Encyclopedia of Natural and Physical Science

所寫

₎

—

本文作者任教於美國伊利諾大學

_,

譯者為 中央研究院數學所研究人員

—

—(

下期待續

_)—