一元三次方程式的再探

一元三次方程式的再探

廖信傑 · 薛昭雄

1. 前言

給定一個一元三次實係數方程式 x

³

+ ax

²

+ bx + c = 0, 我們可以做一個平移將 x 替換 為 x −

^a 3

使原方程的二次項消失, 得到x

³

+ px + q = 0其中p = −

^a 3

² + b, q =

^2a ₂₇

³ −

^ab 3

+ c, 因此若想要解一般的一元三次方程式, 只需要知道如何解形如 x

³

+ px + q = 0之三次方程即 可。

而實際上化簡後的三次方程其三根分別為

√3

A+√³

B, ω√³

A+ ω

²

√³

B, ω

²

√³

A+ ω√³ B, 其中 ω =

⁻¹⁺ ₂ ^{√ 3 i}

, A =

^−q ₂

+

q

q 2

²

+

^p ₃

³

, B =

^−q ₂

− q

q

2

²

+

^p ₃

³

, 這就是出名的 Cardano 公式 [6]。 此公式是由義大利數學家G. Cardano(1501-76) 提出, 也曾出現在他的著 作 Ars Magna 中, 有關這個公式的歷史可參閱 [3], 推導過程可參閱 [1], [5]。

2. 一個特別的恆等式

陳永川教授 [4] 由於 Sylvester [9] 工作的啟發, 於 2020 年提出若令 p = −3rs, q = rs(r + s), 則多項式 x

³

+ px + q = 0 可用下列恆等式來求解

x

³

− 3rsx + rs(r + s) = s

s− r(x − r)

³

+ r

r− s(x − s)

³

. (1) 他的結果如下:

(i) 若 r = s, 則 x

³

+ px + q 可分解如下

x

³

− 3r

²

x+ 2r

³

= (x − r)

²

(x + 2r)。

(ii) 若 r 6= s (s 6= 0, 因為 p 6= 0), 則x

³

+ px + q = 0之三根x

1

,x

2

,x

3

為 x

i

=

^r−su ₁

ⁱ

−u

ⁱ, i= 1, 2, 3, 其中 u

1

, u

2

, u

3

為

^r _s

之立方根。

本文的目的是沿續陳教授的工作將解 x

³

+ px + q = 0 做進一步的詳細分析及說明。

33

雖然 r = s 之情況已經出現於 [4] 中, 為了保持討論的完整性, 我們仍由此情況開始, 此時方 程式 x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0 可以因式分解如下:

x

³

− 3r

²

x+ 2r

³

= (x

³

− r

³

) − 3r

²

(x − r)

= (x − r)(x

²

+ rx − 2r

²

)

= (x − r)

²

(x + 2r).

所以此時的解為 r, r, −2r 也可以寫成 √ rs,√

rs,−2√

rs。 於是我們有以下定理:

定理 2.1. 令 x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0 為一實係數方程式, 若 r = s 則其三根為

√rs,√

rs,−2√ rs.

例 2.1. 解 x

³

− 12x + 16 = 0.

解. 這裡 rs = 4, rs(r + s) = 16 即 r + s = 4, 因此 r, s 為 t

²

− 4t + 4 = 0 之二根, 故 r = s = 2, 從而由定理 2.1 原多項式之三根為 2, 2, −4。

接下來當 r 6= s 時, 首先由陳教授的恆等式 (1) 可得 s

s− r(x − r)

³

+ r

r− s(x − s)

³

= x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0, 將上式整理一下可得

s(x − r)

³

= r(x − s)

³

⇒  x − r x− s



³

= r

s。 (2)

因為 rs 及 rs(r + s) 皆為實數, 我們只需考慮兩種情況, 即 r 與 s 皆為實數或 r 與 s 為一對 共軛複數。

現在若 r, s 皆為實數, 此時

^r _s

為實數, 所以

^x−r _x−s

=p³

_r

s

,p³

_r

s

ω,p³

_r

s

ω

²

, 其中 ω = e

ⁱ

^2π3 =

−1+

√ 3 i

2

。 當

^x−r

x−s

=p³

_r

s

, 有 √³s(x − r) = √³ r(x − s) ⇒ (√³s−√³ r)x = √³ sr−√³rs, 從而 x=

√3

sr−√³ rs

√3 s−√³r = r¹³s¹³(r²³ − s²³)

s¹³ − r¹³ = −r¹³s¹³(r¹³ + s¹³)。

同理, 當

^x−r _x−s

= p³

_r

s

ω 時, 化簡可得 √³

s(x − r) = √³

rω(x − s) ⇒ (√³

s− ω√³ r)x =

√3 sr− ω√³ rs, 從而 x=

√3sr− ω√³ rs

√3

s− ω√³

r = r¹³s¹³(r²³ − ωs²³)

s¹³ − ωr¹³ = r¹³s¹³(r²³ − ωs²³)ω

²



s¹³ − ωr¹³ ω

²

= −r¹³s¹³(ω

²

r²³ − s²³) ω

²



ωr¹³ − s¹³ = −ωr¹³s¹³(ωr¹³ + s¹³)

= −r¹³s¹³(ω

²

r¹³ + ωs¹³)。

最後當

^x−r

x−s

=p³

_r

s

ω

²

時, 類似的做法可以得到 x = −r¹³s¹³(ωr¹³ + ω

²

s¹³)。 總結以上結果, 我 們可以得到下列定理:

定理 2.2. 令 x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0 為一實係數方程式, 其中 r 6= s。 若 r, s 均為實數, 則此方程式的三根為

−r¹³s¹³(r¹³ + s¹³), − r¹³s¹³(ω

²

r¹³ + ωs¹³), − r¹³s¹³(ωr¹³ + ω

²

s¹³).

即此時其有一實根及一對共軛複數根。

例 2.2. 現在我們想要求方程式 x

³

− 6x − 9 = 0 的三個根。

解. 已知r, s為t

²

+

⁹ ₂

t+ 2 = 0之兩根, 則r = −

¹ 2

, s = −4為兩相異實數, 由定理2.2知此方程 式之三根為

− 2¹³



−1 2

¹3

+ (−4)¹³

!

= −((−1)¹³ + (−8)¹³) = 3,

− 2¹³

−1 −√ 3i 2

!

−1 2

¹₃

+ −1 +√ 3i 2

! (−4)¹³

!

= − 1 +√ 3i

2 +2 − 2√ 3i 2

!

= −3 +√ 3i 2 ,

− 2¹³

−1 +√ 3i 2

!

−1 2

¹₃

+ −1 −√ 3i 2

! (−4)¹³

!

= − 1 −√ 3i

2 + 2 + 2√ 3i 2

!

= −3 −√ 3i 2 .

註 1. 如果我們用 Cardano 公式來求 x

³

− 6x − 9 = 0 之解, 可得其實根為

x= ³ s

9 2 +

√49 2 + ³

s 9 2 −

√49 2 .

而用本文介紹的方法可以得到此實根為 x = 3, 因此若使用 Cardano 公式仍需化簡使

3

s 9 2 +

√49 2 + ³

s 9 2 −

√49 2 = 3, 而我們的方法能避免這項化簡工作。

接下來考慮第二種情況, 當 r、 s 為一對共軛複數時, 接下來的討論將涉及對一般複數開三 次方根, 為了避免產生混淆, 我們先固定一些符號的使用。

任意複數 z = x + iy 6= 0 可以表為 z = |z|e

^iθ

= |z|(cos θ + i sin θ), z 的輻角 Arg(z) = θ ∈ (−π, π]; 將 z 的共軛複數 x − iy 記為 z, z 的實部 x 記為 Re(z)。 對任意正整 數 m, z 有 m 個 m 次方根分別為 α, αζ, αζ

²

, . . . , αζ

^m−1

, 其中 α = ^mp|z|e

ⁱ

^mθ, ζ = e

ⁱ

^2πm, 在這篇文章裡我們將 α 記做 z^m1, 特別當 θ = 0 時 z^m1 = ^m√

z。

現在由 (2) 式可得

^x−r _x−s

=

^r _s

¹₃

,

^r _s

¹₃

ω,

^r _s

¹₃

ω

²

, 跟前面情況同樣的計算可以得到當 r, s 為一對共軛複數時此方程的解跟 r, s 為實數時有同樣的表示法:

−r¹³s¹³(r¹³ + s¹³), − r¹³s¹³(ωr¹³ + ω

²

s¹³), − r¹³s¹³(ω

²

r¹³ + ωs¹³). (3) 不過當 r, s 為一對共軛複數時, 這個表法可以再化簡如下:

令 r = |r|e

^iθ

, 則 s = |s|e

^−iθ

, 因為 |r| = |s| 所以 r¹³ = |r|¹³e

ⁱ

^θ3 = (rs)¹⁶e

ⁱ

^θ3, s¹³ = (rs)⁶¹e

⁻ⁱ

^θ3 = r¹³, 於是

−r¹³s¹³(r¹³ + s¹³) = − (rs)¹³

⁺

¹⁶ 

e

ⁱ

^θ3 + e

⁻ⁱ

^θ3

= −2√

rscosθ 3,

−r¹³s¹³(ωr¹³ + ω

²

s¹³) = − (rs)¹³(ωr¹³ + ωr¹³) = −2(rs)¹³Re(ωr¹³)

= − 2√

rscos θ 3+ 2π

3

 ,

−r¹³s¹³(ω

²

r¹³ + ωs¹³) = − (rs)¹³(ω

²

r¹³ + ω

²

r¹³) = −2(rs)¹³Re(ω

²

r¹³)

= − 2√

rscos θ 3+ 4π

3

 . 所以我們得到以下定理:

定理 2.3. 令 x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0 為一實係數方程式, 其中 r 6= s。 若 r, s 為一對共 軛複數, θ = Arg(r), 則此方程式的三根為

−2√

rscosθ

3, − 2√

rscos θ 3 +2π

3



, − 2√

rscos θ 3 +4π

3



等三個實根。

註 2. 注意到, 由定理 2.3 的結果, 從根與係數關係可得到下列三角函數恆等式 cos θ

3 + cos θ 3 +2π

3



+ cos θ 3+ 4π

3



= 0

cos θ

3cos θ 3+ 2π

3



+ cosθ

3cos θ 3 +4π

3



+ cos θ 3+ 2π

3



cos θ 3+ 4π

3



= −3 4 cos θ

3cos θ 3+ 2π

3



cos θ 3+ 4π

3



= −cos θ 4 . 最後一個恆等式可由三根之積為 rs(r + s) 且 r = |r|e

^iθ

, s= |r|e

^−iθ

推得。

註 3. 由註 2, 我們知道cos

^θ ₃

+ cos

^θ ₃

+

^2π ₃

+ cos

^θ ₃

+

^4π ₃

= 0, 因此有另一個漂亮的恆等 式

cos

³

θ

3 + cos

³

 θ 3+ 2π

3



+ cos

³

 θ 3 +4π

3



= 3 cosθ

3cos θ 3+ 2π

3



cos θ 3+ 4π

3

 . 例 2.3. 解 x

³

− 48x − 64√

2 = 0.

解. 這裡 rs = 16, r + s = −4√

2, 所以 r, s 為 t

²

+ 4√

2t + 16 = 0 之兩根, 則 r =

−4

√ 2+ √ 32 −64

2

= −2√

2 + 2√

2i = 4e

ⁱ

^3π4 , s = 4e

⁻ⁱ

^3π4 . 所以 θ =

^3π ₄

, 於是由定理 2.3, 可知 方程式之三根為

−2 · 4 cosπ

4 = − 8 · 1

√2 = −4√ 2,

−2 · 4 cos π 4 + 2π

3



= 8 cos π

12 = 8 · 1 +√ 3 2√

2 = 2√

2 + 2√ 6,

−2 · 4 cos π 4 + 4π

3



= − 8 cos19π

12 = −8 · −1 +√ 3 2√

2 = 2√

2 − 2√ 6.

例 2.4. 解 x

³

−

³ 4

x+

^√ ₈ ³

= 0.

解. 有 rs =

¹ ₄

, r + s =

^√ ₂ ³

, 所以 r, s 為 t

²

−

^√ 2 ³

t+

¹ ₄

= 0 之兩根, 則 r =

^{√ 3+i} ₄

=

¹ ₂

e

ⁱ

^π6, s =

^{√ 3} ₄ ⁻ⁱ

=

¹ ₂

e

⁻ⁱ

^π6 為一對共軛複根, 其中 θ =

^π ₆

。 所以由定理 2.3 可知此方程式之三根為

−2r 1

4cos 1 3 ·π

6



= − cosπ 18

= sin 14π 9

 ,

− cos π 18+ 2π

3



= − cos 13π 18



= sin 2π 9

 ,

− cos π 18+ 4π

3



= − cos 25π 18



= sin 8π 9

 .

例 2.5. 解 x

³

−

³ 4

x+

¹ ₈

= 0.

解. 有 rs =

¹ ₄

, r + s =

¹ ₂

, 所以 r, s 為 t

²

−

¹ 2

t+

¹ ₄

= 0 之兩根, 則 r =

¹⁺ ₄ ^{√ 3 i}

=

¹ ₂

e

ⁱ

^π3, s=

^{1 −} ₄ ^{√ 3 i}

=

¹ ₂

e

⁻ⁱ

^π3 為一對共軛複根, 其中 θ =

^π ₃

。 所以由定理 2.3 可知此方程式之三根為

−2r 1

4cos 1 3 ·π

3



= − cosπ 9

= cos 8π 9

 ,

− cos π 9 + 2π

3



= − cos 7π 9



= cos 2π 9

 ,

− cos π 9 + 4π

3



= − cos 13π 9



= cos 4π 9

 .

註 4. 這個例子也由 V. S. Shevelev [8] 用另一個方法計算出同樣的答案, 同時他也證明了以 下恆等式

3

r cos2π

9 + ³ r

cos 4π 9 + ³

r cos8π

9 = ³ s

3√³ 9 − 6

2 ,

此為著名之 Ramanujan cubic polynomials 的一個例子, 出現在 Ramanujan 的第二本筆 記 [7] 中, 相關細節可參閱 [2].

3. 結論

綜觀上述討論的結果, 注意到雖然我們將實係數方程 x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0 的解分 成 r = s 或 r、 s 為相異實數或 r、 s 為一對共軛複數這三種情況討論, 但實際上這三種情況得 到的解都可以用 (3) 式統一表示, 所以我們可以將至今所有結果統整如下:

定理 2.4. 給定一個實係數三次方程式 x

³

+ px + q = 0 (p, q 6= 0), 將其表成 x

³

− 3rsx + rs(r + s) = 0, 則此方程式的三根為

−r¹³s¹³(r¹³ + s¹³), − r¹³s¹³(ωr¹³ + ω

²

s¹³), − r¹³s¹³(ω

²

r¹³ + ωs¹³).

特別地當 r = s 時可進一步化簡成

−2√ rs,√

rs,√ rs;

當 r 6= s 且 r 與 s 為一對共軛複數時, 令 θ = Arg(r), 則三根可進一步化簡成

−2√

rscosθ

3, − 2√

rscos θ 3 +2π

3



, − 2√

rscos θ 3 +4π

3

 .

此外, 若比較 Cardano 公式及本文所介紹之方法可發現, 當 r, s 為實數時, 由 Cardano 公式所得之實根形如

x= ³ q

a+√ b+ ³

q a−√

b, 而由本文的方法可得實根為

x= −(rs)¹³(r¹³ + s¹³).

所以從計算方面來看本文的結果要比 Cardano 公式的結果簡單得多, 見例2.2 之後的註解。

致謝

作者要感謝陳永川教授在本文撰寫的過程中提供了寶貴的意見及鼓勵, 也謝謝他提供 [4]

的最新原稿。 感謝審稿人仔細地閱讀原稿使本文更完善。

參考文獻

1. 周伯欣。 我的三次方程式公式解之旅。 數學傳播季刊, 44(2), 72-77, 2020。

2. B. Berndt, S. Bhargava, Ramanujan-for lowbrows, American Mathematical Monthly, 100, 644-656, 1993.

3. D. M. Burton, Abstract Algebra, Wm. C. Brown Company Publishers, Dubuque, IA, 1988.

4. W. Y. C. Chen, Cubic Equations Through the Looking Glass of Sylvester, College Math.

J., to appear, Arxiv preprint: 2103.15051, 2021.

5. L. Gilbert and J. Gilbert, Elementary Modern Algebra, 8th Ed, Cengage Learning, 2015.

6. J. W. Harris and H. Stocker, Handbook of Mathematics and Computational Science, Springer-Verlaine New York, Inc., 1998.

7. S. Ramanujan, Notebooks (2 volumes), Tata Institute of Fundamental Research Bom- bay, 1957.

8. V. S. Shevelev, “Three Formulas of Ramanujan”, In: Tabachnikov, S. ed. Kvant Se- lecta: Algebra and Analysis, I, Vol. 14 of Math. World. Providence, RI: (American Mathematical Society), 139-144.

9. J.J. Sylvester, On a remarkable discovery in the theory of canonical forms and of hy- perdeterminants, Math. Mag., 2 (1851), 391-410.

—本文作者廖信傑為美國 University of Miami 博士生, 薛昭雄任教於美國 University of Nevada, Las Vegas—