  3-10 Gauss ’ Law in Differential Form

0 0

0

0 0

0

1

e n c e n c

S V

e n c

E d A q E d A q

E d A E d V

E d V q d V

E

 



  





   

  

   

    

   





 

 

 







 









3-10 Gauss’ Law in Differential Form

Total charge

Charge density

4 電位

What is the danger if your hair suddenly stands up?

Lightning bolt and ground

current

4-1 電位能

• F_e and F_g are

mathematically identical

• F_e is a conservative force

r d F

W U

U

U  _f  _i      _e 





4-2 電位

• U_e depends on q, but V_e does not

q W q

U

q U q

V U V

V

q V U

f i i

f



 















4-3 等位面

• Four Equipotential Surfaces

• E.S. for a uniform field, a point charge, and an electric dipole

等位面 3 例

4-4 由電場算電位

• The differential work done by F

 ^











f

i

E d s

q W

s d E

q dW

s d F

dW

 

 

 

0

,

Ex. 1 均勻電場

(a) Along path (a)

Ex. 1 均勻電場︰路徑 (a)

Ed ds

E ds

E

ds E

s d E

V V

f i f

i

f i f

i i f































 ^{  (cos 0 )}

Ex. 1 均勻電場︰路徑 (b)

Ed E d

E ds

ds E

s d E

V V

f c

f i f

i i f































2 2 2

) 45 (cos

 

4-5 點電荷的電位

cos180

f f

i

E ds E ds E dr

V E ds E dr



   

       

 

 

r V q

r r q

r d V q

r E q

r d E s

d E

V

f f

f f

i

0

0 2

0 2 0

4 1

1 4

1 4

4 1















 

 





 

 









 









點電荷的電位

點 電

荷 的

電 位

圖

4-6 一組點電荷的電位

• The principle of superposition









i i

i n

i

i

r

V q V

0 1

1

4

1



(a) on a circle

(b) on an arc

0

4 , 12 1

0





 E

R V e



Ex.2 V

and E

for 12 electrons

0

4 , 12 1

0





 E

R V e



4-7 電雙極的電位

)

, cos

(

cos 4

1 cos

4 4

) 4 (

1

2

2 0

2 0

0

0 2

1

r r

r d

r r

r p r

d q

r r

r r

q

r q r

V q V

V V

i

i









 



 















































雙極矩 p = qd



p

Induced Dipole Moment

 感應雙極矩

 極化 (polarization)

6-5 Polarization ( 偏 振 )

The Plane of Polarization

Linear, Circular and Elliptical

polarization

偏振片

Polarization of Light

偏 振

與 太

陽 眼

鏡

水分子與微波爐

4-8 連續電荷分佈的電位



 







 r

dV dq r

V q

V ⁿ

i i

n i i

i

1 0

1 0 4

1 4

1





• Line of Charge

2 / 1 2

2 0

0 4 ( )

1 4

1 ,

d x

dx r

dV dq

dx dq

 













 

 



 



  

















 

 





 

d

d L

V L

d d

L L

d x

x

d x

dx

d x

dV dx V

L L

L

] )

ln ( 4

ln ]

) (

4 ln[

) (

4 ln(

) (

4

) (

4 1

2 / 1 2 2

0

2 / 1 2 2

0

0 2 / 1 2 2

0

0 2 2 1/ 2

0

0 2 2 1 / 2

0



















計

算

) 1

2 ₀ ( z ² R ² E z

 







Charged Disk

) 2 (

) (

2

) (

) )(

2 ( 4

1 4

1

) )(

2 (

2 2

0

0 2 2 1/ 2

0

2 / 1 2 2

0 0

z R

z

R z

R d dV R

V

R z

R d R

r dV dq

R d R

dq

R







 



 







 





 

























計算

4-9 由電位算電場

z E V

y E V

x E V

s E V

ds E dV

ds E

q dV

q dW

z y

x

s











 

 































, ,

cos

)

0 (cos

0

• The work done by the electric field

4-10 The gradient operator 梯度運算子

, ,

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ =

ˆˆ ˆ

( )

x y z

x y z

V V V

E E E

x y z

E E i E j E k

V V V

i j k

x y z

i j k V V

x y z

  

  

  

  

  

  

     

  

    

      





The Laplacian operator

0 2

0 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

0

( )

ˆˆˆˆ ˆˆ

( ) ( )

( )

E V E

V V

i j k i j k

x y z x y z

x y z

x y z V









     

     

  

  

   

   

     

       

      

  

   

  



The Laplace Equation

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) 0

( ) 0, If V (x ,y)= X (x )Y (y)

( ) ( ) ( ) ( )

0

( ) ( )

( ) ( ) 0

x y z V

x y V

X x Y y X x Y y

x y

X x Y y

Y y X x

x y

  

  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

For 2 dimensional problems

x sin

e ^ y

Solving Laplace Equation by

separation of variables

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 0

1 ( ) 1 ( )

( ) ( ) 0

1 ( ) 1 ( )

( ) , ( )

X x Y y

Y y X x

x y

Y y X x X x Y y

X x Y y x X x Y y y

X x Y y

X x x Y y y

X x Y y

X x x Y y y

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

  

The Solution

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

1 ( ) 1 ( )

( ) , ( )

( ) ( ) 0 ( )

( ) ( ) 0 ( ) sin

x

X x Y y

X x x Y y y

X x X x X x e

x

Y y Y y X x y

y



   

 

 



  





  

  

  





A boundary value

problem

Ex.3 The charged disk

) 1

2 (

) 2 (

) 2 (

2 0 2

2 2

0 2 2

0

R z

z

z R

dz z d z

E V

z R

z V

z

 





































4-11 一組點電荷的電位能

r q W q

r U

V q ^{1 2}

0 1

0 4

1 4

1



 ^{  }



• For charges q₁ and q₂

Ex.4

Ex.5 An alpha particle and a gold nucleus

fm Mev e K e

U

K 24.6

23 .

9

) 79 )(

2 ( 4

1

0







 

4-12

) 0 (

0 









 ^V  ^{E d s E}

V

i i

f

 

• 導體內部及表面為一等位面

(equipotentail surface)

Discharge

Plots of E (r) and V(r)