2009 年全國中學生力學競賽決賽考題

2009 年全國中學生力學競賽決賽考題

全部為填充題，答錯不倒扣，總分100分。可以使用小型計算機。

所有數值答案若有單位請一起寫出，但不須寫正負號或方向。

數值答案在合理的誤差範圍內都給題分。

請自行利用本試題卷空白部份或背面作為計算空間。

請將答案填入另外發給的答案卷內。

1. 下表為國際單位系統（SI單位系統）中的七個基本單位，其他單位都可由這些基本單位表示 出來，稱為導出單位；譬如力量的單位為kg
m s²，稱之為牛頓（N）。在美國，ft-lb-s單位系 統是工業界常使用的單位系統；國內工業界也常有「美規」製程或產品使用此種系統。在此系 統中，與力學較有關係的基本量是長度、力量、及時間，其中長度的單位是英呎（ft, 1 ft = 30.48 cm），力量的單位是磅（lb, 2.205 lb = 1 kgw），而時間的單位是秒（s）。

（問題a, 3%）在ft-lb-s單位系統中，質量是導出單位，請問此質量單位如何以基本單位表示？

（問題b, 3%）在ft-lb-s單位系統中，前述質量單位稱為slug，請問一個slug等於多少kg？

（問題c, 3%）以SI單位系統表示時，水的質量密度的數值為1000（kg m³），請問以ft-lb-s系 統表示時，應為多少？

參考解答：

（問題a）lb
s² ft

（問題b）14.6 kg

（問題c）1.94 slug ft³或1.94 lb
s² ft⁴ 

詳細說明：

（問題a）單位系統必須符合物理法則，由牛頓運動定律m= F a，其中力量單位為lb，而加速 度單位為ft s²，則質量的單位為lb
s² ft（此單位稱為slug，亦即1 slug = 1 lb
s² ft）。

（問題b）同理若以m, N, s為基本單位，則所導出的質量單位為N
s² m，亦即1 kg = 1 N
s² m。本問題1 slug = ? kg 相當於1 lb
s² ft = ? N
s² m。單位換算如下

1 lb
s²

ft = 1 lb
s²

ft
9.81 N

2.205 lb
1 ft

0.3048 m= 14.6 N
s² m 亦即

1 slug= 14.6 kg

（問題c）水的質量密度

kg = 1000 kg

1 slug

0.3048 m³= 1.94 slug 基本量 基本單位

長度 m 質量 kg 時間 s 電流 A 溫度 K 物質數量 mol 發光強度 cd

2. 想像一張有四根桌腳的桌子，桌腳是由某種材料作成。這些桌腳承受外力F時，伸縮量
與 外力F之間的關係為

= FL AE

其中A為桌腳斷面積，L為桌腳長度，E稱為彈性模數（elastic modulus）。你可以將上式視為彈 簧的虎克定律的延伸，並將此式寫成。

亦即桌腳承受外力時，其伸縮量可以視為彈簧來計算。已知這些桌腳材料的彈性模數為 E= 13 GPa ；四根桌腳的斷面積都是1 cm
1 cm的正方形；其中三根的長度為1000 mm而第 四根則是多了0.50 mm，以致於桌子有點搖晃。現將一質量為290 kg的重物放在桌面上，並適 當地調整置放的位置，而能使桌面完全保持水平。

（問題a, 6%）請問此時四根桌腳中最大壓縮量為多少？

（問題b, 6%）請問此時四根桌腳中最小壓縮量為多少？

註：在實際測試時，如此細長的桌腳可能在還未達到公式所描述的壓縮量之前就發生了「挫曲」

（buckling）現象。在此我們假設挫曲現象並沒有發生。

參考解答：

（問題a）0.923 mm

（問題b）0.423 mm 詳細說明：

依題意，較短的三根桌腳有相同的壓縮量（假設為
₃)；而第四根有較大的壓縮量
₄，其關係 為

₄ =
₃+ 0.5 mm 或

F₄L₄

AE =F₃L₃

AE + 0.5 mm ^(a)

此外，由靜力平衡

3F₃+ F₄ = Mg (b) 將數值代入(a), (b)可以整理如下（其中 M= 290 kg, g= 9.81 m s²）

F₄
F₃= 650 N F₄+ 3F3= 2845 N 解得 F₃
550 N， F₄
1200 N。壓縮量計算如下

₄ =F₄L₄

AE = 0.000923 m = 0.923 mm

₃= F₃L₃

AE = 0.000423 m = 0.423 mm
F= k
, k= AE

L

3. 在某一特技表演節目中，表演者在助理的協助下，在 a = 2.5 m 處保持平衡狀態，如下圖所 示。已知表演者的重量為80 kgw，AC兩點間的直線距離是7.95 m，受力變形後的鋼索ABC的 長度是8.00 m。

（問題a, 4%）請問此時鋼索ABC的張力是多少牛頓？

（問題b, 4%）請問此時助理手持的繩索DE的張力是多少牛頓？

參考解答：

（問題a）3300 N

（問題b）36 N

詳細說明：

由幾何關係可以解出鋼索的傾斜角度 L²
(2.5)²= (8
L)²
(5.45)² L = 2.5342

 = cos
¹ 2.5

2.5342= 9.4237^o  = cos
¹ 5.45

8
2.5342= 4.3576^o

由靜力平衡可以解出鋼索ABC的及繩索DE的張力 (T_ABC+T_DE) cos
T_ABCcos = 0

(T_ABC+T_DE) sin
+T_ABCsin = 80(9.81) 代入
,
後可得到

0.9865T_DE+ 0.0106T_ABC= 0 0.1637T_DE+ 0.2397T_ABC= 784.8 解得張力分別為

T_ABC
3300 N T_DE
36 N

4. 一木板平放在一工作台上，並利用電鑽鑽孔，如下圖所示。電鑽施加在木板上除了垂直力上 還有一扭力（torque），其大小為 12 N
m，如圖所示。假設木板與工作台間的摩擦力很小可以 忽略。為了不讓木板在水平面上移動，現想要以兩根相同的小鐵釘釘在木板上。

（問題a, 4%）若要使小鐵釘承受最小力量，應該釘在下列哪兩個位置，A及B？ B及C？ 或者 是A及C？

（問題b, 6%）此最小力量，其數值為多少牛頓？

參考解答：

（問題a）A及C

（問題b）23.5 N 詳細說明：

將木板視為自由體，考慮水平平移的靜力平衡及水平轉動的靜力平衡。在水平面上，唯一的力 量來自於兩支小鐵釘施加於木板的力量；由靜力平衡可知這兩個力量必定大小相同方向相反。

而且這兩個力所構成的力偶（couple）必定和電鑽施加在木板上的扭力互相平衡（木板才不會 轉動），亦即

F
d = M

其中F為每支小鐵釘施加於木板的力量，d為兩支小鐵釘之間的距離，M為電鑽施加在木板上的 扭力（12 N
m）。故若要使F為最小，d必須最大，亦即釘在A及C。

釘在A及B時，F= M d = 12 0.45 = 26.7 N 釘在B及C時，F= M d = 12 0.24 = 50 N

釘在A及C時， F= M d = 12 (0.45)²+ (0.24)² = 23.5 N

5. 下圖為一滑輪組件的斷面圖，中間部份為中空（外徑16 mm，內徑12 mm）的軸襯

（bushing），其材料為銅，密度為8000
kg m³；其他部份為塑膠，密度為1250 kg m³_。

（問題a, 8%）請計算此滑輪組件質心位置的x坐標值坐標軸如圖所示）。

參考解答：

（問題a）5.35 mm 詳細說明：

將組件分為四個部份，如右圖所示，每個部份質量及質心位置計算如 下：

m₁= 8800  

4(0.016²
0.012²)0.014



 

 = 0.0108372 kg, x1= 7 mm m₂ = 1250  

4(0.036²
0.016²)0.014



 

 = 0.0142942 kg, x2= 7 mm m₃ = 1250  

4(0.060²
0.036²)0.006



 

 = 0.0135717 kg, x3= 3 mm m₁= 1250  

4(0.080²
0.060²)0.010



 

 = 0.0274889 kg, x4= 5 mm
整體組件的質心位置為：

x= m_ix_i

i=1

m_i

i=1

6. 下圖為一用來壓製浮雕的機械，圖中的小圓點表示可以自由轉動的樞紐（hinge），摩擦力可 以忽略。將欲壓製的工件放在E處，在C處施加P的力量後，此機構會將一垂直力施加在工件 上。已知某一浮雕的壓製需要900 N的垂直力施加在工件上。

（問題a, 5%）請問所需要的力量P有多大？

（問題b, 5%）此時支點A施加在機械桿件上的力有多大？

參考解答：

（問題a）301.7 N

（問題b）682.1 N 詳細說明：

取D為自由體（如右圖），由垂直靜力平衡可以計算桿件BD所承受的 力

900 N
F_BDcos 20^o = 0 F_BD = 957.76 N

再取ABC為自由體（如右圖），對A點取力矩平衡可以計算P

957.76 cos 20^o(0.2 sin 30^o) + 957.76sin20^o(0.2 cos 30^o)

= P(0.2sin30^o+ 0.4cos15^o)

P= 301.70 N

A點反力則可以由水平力及垂直力平衡計算 A_x
957.76sin20^o= 0

A_x = 327.57 N

7. 下圖中，套管C（質量為250 g）可以沿著半圓形構件自由滑動，兩者之間的摩擦力很小可以 忽略。此半圓形構件以7.5 rad s對著AB做等角速率旋轉（軸承的摩擦力亦可忽略）。

（問題a, 5%）請問當套管C處於穩定狀態時（無任何滑動時），
角是多少？（ 0 <
< 180^o）

（問題b, 5%）此時套管C作用於半圓形構件的力量多少？

參考解答：

（問題a） 69.6^o

（問題b）7.03 N

詳細說明：

取套管C為自由體，其動力平衡關係如右圖 所示。向心加速度為

a_n=²= (0.5sin
)7.5² 動力平衡方程式為

N sin
= ma_n= 0.25(0.5sin
)7.5² N cos
= mg = 0.25(9.81)

或

N= 7.03125 N cos
= 0.3488

= 69.6^o

注意，當穩定時，N為套管C與半圓形構件之間唯一的作用力。

8. 有一種撞球遊戲稱為「開侖」（carom）打法：球桌上除了母球外只有另外兩個球（沒有球袋

），母球必須連續撞擊到這兩顆球才算得一分。下圖為一「開侖」撞球台，水平桌面上的三顆 球質量都一樣。母球A以 v₀= 4 m s的速度（方向如圖所示）擊出後連續撞擊到B球及C球A, B, C三顆球分別在不同時刻擊中球台邊緣（cushion） A '^, B ', C ' 三個位置，如圖所示，其中

a= 1.65 m , c = 1.06 m 。假設球的體積很小，可以視為質點；而且整個過程中摩擦力可以忽 略，也沒有任何其他能量損失。

（問題a, 4%）請問A球擊中球台邊緣時的速度大小是多少？

（問題b, 4%）請問B球擊中球台邊緣時的速度大小是多少？

（問題c, 4%）請問C球擊中球台邊緣時的速度大小是多少？

參考解答：

（問題a）1.92 m s

（問題b）2.40 m s

（問題c）2.56 m s 詳細說明：

母球擊出後，整個系統在水平面方向無任何外力，所以動量必會守恆（含線動量及角動量）。此 外，依題意，能量也必會守恆。

線動量守恆：

4= v_Bx+ v_C (1)

0= v_By
v_A (2)

對 B '點的角動量守恆：

0.75(4)= 0.15v_A+ 1.06v_C (3) 能量守恆：

4²= v_Bx² + v_By² + v_A²+ v_C² (4) 以上四個方程式可以解出兩組解答

v_A= 1.92 m s,

v_Bx = 1.44 m s,

v_By = 1.92 m s,

v_C = 2.56 m s 或

9. 下圖為一個半徑300 mm的圓盤繞著圓心A在水平面上做等角速率旋轉。若沒有在圓盤上挖孔 的話，此旋轉應不會對垂直軸有任何水平力的負荷。今天在圓盤上挖了一個半徑60 mm的洞，

如圖所示，挖洞後圓盤總質量為30 kg。則當此圓盤以480 rpm的轉速旋轉時，因為偏心的關 係，圓盤對垂直軸有會有一水平力的負荷。

（問題a, 9%）請問此水平力有多大？

參考解答：

（問題a）505 N 詳細說明：

本問題最簡單的思考方式是先算出圓盤質心位置，將所有質量視為集中在質心上（這是牛頓第 二運動定律推廣至剛體後的結論之一），然後求旋轉時的「離心力」，即為作用力。因為此問題 現在簡化成有如手持一細繩，繩端繫一質點，作旋轉運動。

質心與圓心的距離為

r =(0)(300²)
(160)( 60²)

300²
 60² =
6.67 mm

「離心力」為

F= mr²= (30)(0.00667)(2
 480 60)²= 505 N

10. 下圖為一細長的桿件AB懸掛在可自由轉動的樞紐A。桿件AB的長度L= 0.9 m，質量 m= 1 kg（對質心的轉動慣量為I = mL² 12_{）。今有一水平力} P = 3.5 N作用在B點，如圖所 示。

（問題a, 3%）作用力剛施加上去時，桿件的角加速度大小多少rad s²_？

（問題b, 3%）作用力剛施加上去時，B點的加速度大小多少m s²_？

（問題c, 3%）作用力剛施加上去時，桿件作用在支點A的水平力大小多少N？

（問題d, 3%）作用力剛施加上去時，桿件作用在支點A的垂直力大小多少N？

參考解答：

（問題a）11.67 rad s²

（問題b）10.5 m s²

（問題c）1.75 N

（問題d）9.81 N

詳細說明：

以桿件為自由體，牛頓第二運動定律應用在此剛體上如下圖所示。右圖中，等號左邊為作用在 此桿件上的所有力，而等號右邊為 ma及I
（稱為等效力，其反號稱為慣性力或假想力），其 中a_{為質心的加速度，}
為桿件的角加速度。注意，ma係作用在質心上，這是牛頓第二運動 定律推廣至剛體的結論之一。此外，我們知道a的方向必定是水平的，因為作用力剛施加上去 時，桿件是靜止的，所以加速度沒有向心的分量（向心加速度分量等於至轉動中心的距離乘以 角速度的平方）。最後還有一個重點此切線加速度 a 與角加速度
之間有一運動學關係：

a= (L 2)
。

此外，你必須確實了解上圖中的「等號」所代表的涵義：它代表兩組力體系是「等效」的，亦 即

( )

( )

F_y

( )

( )

( )

( )

PL= ma L 2+ I
或

PL= m L

2









L 2







+ mL² 12









可以解出角加速度

=3P

mL= 3(3.5)

(1)(0.9)= 11.67 rad s²

B點的加速度則是（同理，沒有向心分量，方向是水平的）

a_B= L
= (0.9)(11.67) = 10.5 m s² 反力則可以由力平衡解出

A_x
P =
ma A_y
mg = 0 或

A_x = P
ma = 3.5
(1)(0.45  11.67) =
1.75 N A_y = mg = (1)(9.81) = 9.81 N

註：反力A_x與A_y事實上是支點作用於桿件的力，但此數值等於桿件作用於支點的力，只是方 向相反而已。