九十六學年度全國高中數學科能力競賽決賽

九十六學年度全國高中數學科能力競賽決賽

筆試試題（一）【參考解答】

一、【解】

(1)延長DM 跟 BC 交於L。

(2)延長AH分別交DE, BC 於P Q, 。 (3) DC AD , CM MH

 D M/ /A H  D M/ /P Q

(4) DC AD , AEBE  D E/ /B C

 D P/ /L Q

(5) DL//PQ, DP//LQ

 D P Q L為平行四邊形 又LQP90 （ AH BC ）

 D P Q L為矩形  L D E 9 0 (6)在四邊形DEFM中 M D P M F E9 0  D E, , F , M四點共圓。

二、【證】

令

S

^{2 2 2} _{1 2}

1 2

1 2

(1 2 ) ( )( _k)

k

k k x x x

x x x

         

₂ ^{2 2}

1 1 2

4 1 2

( )

( 1)

k k

k k

x x k k x x x

    

  

將k1, , n加總起來得：

₂ ²

1 1

4 1

( 1)

n k

n

k j j

S j

k k x

 







² ₂

1

2 2

( 1 )

n n

j jk j

j

x k k

 



 

² _{2 2}

1

1 2 1

2 ( 1)

n n

j jk j

j k

x k k

 

 

 

² _{2 2}

1

1 1 1

2 ( 1)

n

j j

j x j n



 





1

2 1

n

j_ xj





三、【證】

考慮方程組

2

2 3 1

2

1 3 4 2

2

2 3 1

n

n

n n

a a a k

a a a a k

a a a _ k

    

     



    



將 n 個式子相加再除以n1，可得

^{1 2 1}





n 1 n

a a a k k k

   n   

 …..(＊)

將(＊)依次與○¹○²….○ⁿ等式相減，可得 ₁ ¹ ( ²₁ ² ₂ ) ² ₁²

1 ⁿ

a k k k k

n    



₂ ¹ ( ²₁ ² ₂ ) ² ₂²

1 ⁿ

a k k k k

n    



¹ ( ₁² ₂ ² ) ^{2 2}

n 1 n n

a k k k k

 n    

 .

……….○¹

……….○²

……….○ⁿ

現在必須找到適當的相異正整數k₁, , k₂ , k 使得_n ¹ ( ₁² ₂^{2 2})

1 k k kⁿ

n   

 為正整數，

且使得a a₁, , ₂ , a 為相異正整數。事實上，_n k₁, , k₂ , k 的選取很多，以下舉一_n 例：令

k₁( n1 ) (ⁿ n  1 ) k₂ ( n1 ) (ⁿ n  2 )

k_n ( n1 ) (ⁿ n , n )

則 k₁²k₂² k_n² (n1)²(nⁿ 1)²(nⁿ2)² (nⁿn)² 且 ¹ ( ₁² ₂^{2 2}) ( 1) ( 1)² ( )²

1

n n

k k kn n n n n

n            是正整數，再者可以證明 ¹ ( ₁^{2 2})

1 k kⁿ

n  

 必定大於k_n² (n1)(nⁿn)²。 事實上，可以證明k₁^{2 n 1}k_n²

n

  ，因而有

¹ ( ₁² ₂² ) ^{2 1} ₁ ²

1 k k kⁿ 1 nk

n    n   ^{1 2}

1 1 ⁿ

n k

n n

 

  k_n²

以下證明k₁^{2 n 1}k_n² n

  .

( 1)( ⁿ 1) ² n ¹ ( 1)( ⁿ ) ²

n n n n n

n

         

   

2

2 2

( 1)

( ⁿ 1) ( 1)( ⁿ )

n n n n n n

n

  

      

2

2 1 1 2 1 2 3 2 1 2

( 1 )

2 2 2

n n n n n n

n n n n n n n n n n

n

    

  

          

2

2 1 2 2 3

( 1 )

4 2

n n n

n n n n n n n

n

 

  

       

其中 n²ⁿ 2n^n2 n^n2(n^n2 2) 0 （ n3） 4n^n1n³0（ n3）

因此，上式為正，故 k₁^{2 n 1}k_n² n

  .