根式的疑惑
1許慧貞
引言
初中階段學習根式，必定會涉及一些特別的運算技巧： 將根式簡化，
例如 12 = 4×3 = 2 3 ，或是將分母有理化，例如 5 2 =
5
2 ×
5 5
= 5
5
2 。學生難以單從表面理解這些做法的意義──將 12 「簡化」為 2 3 ，但後者的結構比前者更複雜；所謂分母有理化更是多此一舉，為何
5 5 2 比
5
2 佳，維持原狀不是更簡潔嗎？
根式的真確值與近似值
回應上述問題，要從根式的性質說起。先看看正整數 1 至 10 的平方根：
雖然 1、 2 、 3 、……、 10 這 10 個數字都有根式（radical）之形，
實際上它們分屬兩大類，有 3 個是正整數： 1= 1、 4 = 2 及 9 = 3；其餘 7 個── 2 、 3 、 5 、 6 、 7 、 8 及 10 是無理數，稱為不盡根 式（surd），它們的小數表達是無盡不循環小數，即是說，小數無法百分之 百表達它們的真確值，我們只能因應所需的準確程度取若干個小數位，變 相就是近似值；如果要表達它們的真確值，必須維持使用根式，別無他途。
一般而言，如果我們不需要真確值，使用小數沒有問題，輔以計數機 更是無往而不利。例如，要「計算 3 比 2 大多少」，或「求一個直角邊是
4 和 7 的直角三角形的斜邊有多長」，小數表達便派上用場了；但是在數學
上我們總會遇到一些需要真確值的情境： 要說明 3 = 32 ，我們總不能滿 足於 3 × 3 ≈ 1.73205 × 1.73205 ≈ 2.999997 ≈ 3 吧；等邊三角形（邊 長為 a）的面積公式
4
3a2 和我們熟悉的圓面積公式 πr2 同樣是以真確值 為依歸。
1 筆者將本文的討論局限於平方根，即二次根式，不失其普遍性，亦符合本港初中數
試比較下列兩題同涉及sin 15° 的數：
(1) ∆ABC 的邊長 AB = 6 cm，BC = 10 cm，∠B = 15°，求 ∆ABC 的面 積。
(2) 分別利用 sin(A − B) = sin A cos B – cos A sin B 及 cos 2A =
1 −2 sin 2A，求sin 15° 的真確值；並且証明兩個求得的值相等。
在第 (1) 題 ∆ABC 的面積 = 2 1 ×
6 × 10 × sin 15°，使用近似值 sin 15° = 0.2588 足夠有餘，但是在第 (2) 題要証明兩個值
2 2
1 3−
和
4 3 2
1 − 相等，我們以真確值運算才能精準地証明兩者相等，不能只倚賴
計數機的 0.258819045。
真確值及近似值在數學廣闊的園地各展所長；但如要提升至論證推理 的層面，真確值是當然的選擇，因此運算根式真確值的方法是不可或缺的。
單項根式約至最簡的規格
要建立一套運算根式真確值的系統，首要的任務是訂定單項根式
（single surd）的「最簡單規格」。Gilbert M. Peter（1996，453 頁）指出將 根式化至最簡須符合三項條件，
原文如下：
Simplified Forms for Radicals
A radical expression is in simplest form if:
1. the radicand contains no perfect squares if the radical is a square root, no perfect cubes if the radical is a cube root, and, in general, no perfect nth power if the radical is an nth root;
2. no fraction appears in the radicand; and
3. no radical appears in the denominator of an expression involving fractions.
簡譯如下：
最簡根式須符合下列條件：
1. 平方根的被開方數不含完全平方數（因子），立方根的被開方數不 含完全立方數（因子）；一般而言，n 次方根的被開方數不含完全 n 次方數（因子）；
2. 被開方數不含分數；
3. 分數式中的分母不含根式。
參考上述說法，再考慮「簡化 整數 」及「將
整數
整數 分母有理化」
共通之處，可以提出：
一個根式（radical）徹底簡化及（或）分母有理化後，它是一個有 理數 k，或是一個不盡根式（surd）a b ，其中 a 為非零有理數，
而被開方數（radicand）b 是一個不含完全平方數因子的正整數。
同類根式
不盡根式化至最簡之後，被開方數（radicand）相同的便是同類根式
（like surds）。
在課堂練習常見的例子：「簡化 48 − 12 + 5 27」── 48、 12 和5 27 雖然已是真確值，但唯有將它們化至最簡的4 3、2 3 和15 3 方可合併至17 3。
徹底簡化根式顯然是要將無理數的部份盡量縮小，使它們易於分類，
方便和同類根式透過加減合併。
單項根式的分母有理化
根據上述的規格a b，要維持被開方數（radicand）b是正整數，將分 母化為有理數便順理成章了。例如：
2 5 =
2 5 ×
2 2 =
2
5 2 和
2 5 =
2 5 ×
2 2 =
2
1 10（由此可知，它倆不是同類根式）。
另一方面，根式在分母有理化的過程中可以同時徹底簡化，例如：
18 3 =
18 3 ×
18
18 = 2 2 1
再舉一例， 1.2 + 1.8 = 5 6 +
5 9 =
5 3 6+
， 5 3 6+
只是將分
子相加併寫，並不是最簡規格，
5 5 3
30+ 或
5 5 30 3 5
1 + 才是。
分母是二項根式的有理化
處理這類根式的目的，是將之寫成二項根式並約至最簡，共軛根式
（conjugate surds）能有效解決問題。例子很多：
2 3
1
− =
2 3
1
− ×
2 3
2 3
+
+ =
1 2 3+
= 3 + 2
3 7 2
6 15
+ =
3 7 2
6 15
+ ×
3 7 2
3 7 2
−
− =
25
18 15 42 30 −
= 42 5
6 − 2
5 9
上述顯示，除了以分母有理化將根式從分母移走之外，應將兩個項都 約至最簡，預備它們可以各自和同類根式加減。
結語
根據香港課程發展議會1999 年編訂的中學數學科課程綱要，有關「根 式」的其中兩個學習重點是：
• 對常見的根式進行運算，包括將含有 a形式的分母有理化。
• 欣賞可以用較簡潔的方式表達根式。
「用較簡潔的方式表達根式」是「對根式進行運算」的關鍵手法。分 母有理化和常規的簡化殊途同歸，都將根式寫成最簡規格a b（其中a為 非零有理數，而被開方數b是一個不含完全平方數因子的正整數）。
筆者希望學生們理解這些做法不只是形式或考測的需要，這樣做其實 有很好的數學理由；例如，當我們對「黃金比例」這個課題進行探究，有 必要對 2
5 1+
等的根式進行運算推演，便更清楚了解這些運算步驟的意
義了。
最後筆者以兩道題目作完結：
1. 8、 18 和 32是一等差數列的首三項，求它的公差及通項。
2. 簡化 3+2 2 − 3−2 2 。
參考資料
Borowski, E.J. & Borwein, J.M.（著）貓頭鷹編譯小組（譯）（1999）。《數學辭典》。
台北：貓頭鷹出版社。
McGivney-Burelle, J. & White J. A. (eds.) (2007). May Calendar. Mathematics Teacher, 100 (9) 616 – 617.
Peter, G.M. & Welch, C. L. (1996). Elementary algebra. Minneapolis/St. Paul: West Pub.Co.
Skemp, Richard R. (2006). Relational Understanding and Instrumental Understanding.
Mathematics Teaching in the Middle School, 12 (2) 88 – 95.
香港課程發展議會（1999）。《中學課程綱要：數學科課程綱要（中一至中五適用）》。香 港：政府印務局。
作者電郵：estella.hui@gmail.com
