Lecture By meowmeowRangerCredit by qazwsxedcrfvtg14, boook 貪心Greedy

(1)

貪心 Greedy

Lecture By meowmeowRanger

Credit by qazwsxedcrfvtg14, boook

(2)

課程影片

• 看了嗎？

• Q & A

• 本日大綱

• Greedy 怎麼證明

• Greedy 怎麼想

• Greedy 練習題

(3)

What is Greedy?

• 做出對於當前情況下最佳的策略

（並希望他最終能導向最佳解）

(4)

Greedy

● Greedy-choice property: 全局最佳解包含當前最佳選擇

● Optimal substructure: 全局最佳解包含子問題的最佳解

● 應用 Greedy choice，將問題劃分成子問題，根據 optimal

substructure，可以持續應用 Greedy choice，以此類推下去，

直到找出全局最佳解。

(5)

Greedy應該要怎麼想 - 枚舉在幹麼？

• 枚舉事實上就是試圖拜訪整棵決策樹，找出樹裡的解節點

• 剪枝事實上就是根據一些推理排除絕對不可能的分支

• 有時候，我們可以根據一些問題的特性，確定解節點所在的分支！

• 總是選擇當前看起來最有利的分支，然後義無反顧 𝑎₁ = 1

𝑎₁ = 2 𝑎₁ = ⋯ 𝑎1 = 9

𝑎₂ = 1 𝑎₂ = 2

𝑎₂ = ⋯ 𝑎₂ = 9

𝑎_𝑖 = 1 𝑎_𝑖 = ⋯

𝑎_𝑖 = 9

𝑎_(𝑛-1)= 1 𝑎_(𝑛-1)= ⋯ 𝑎_(𝑛-1)= 9

𝑎_𝑛 = 1

𝑎_𝑛 = ⋯ 5 8 𝒂_𝟏 2 𝒂_𝟐 7 3 𝒂_𝟑 1

(6)

CSES - Tasks and Deadlines

• 你要執行 n 個任務，每個任務都有需要花費的時間以及死線，

• 你可以任意決定你要執行的順序，執行完一個任務後，你可以獲得獎勵，獎勵是 f – d，f是執行完該任務的時間d是他的死線。

• 請最大化獎勵。

(7)

CSES - Tasks and Deadlines

● 對於一個任務 d_i – f_i

● d_i 是固定的所以可以不用考慮他

● 目標: 找到一個順序使得所有任務的結束時間的總和最小

● Greedy-choice: 選擇花費時間最少的任務先做

(8)

Greedy choice property

● 反證法

● 考慮有一個最佳解使得花費時間最少的任務不是第一個執行的

● 我們可以將花費時間最少的任務跟第一個執行的任務交換順序

● 那這樣對於所有在原本第一個任務和花費時間最少的任務之間的所有任務都會有比較小的結束時間，其他任務則不變

● 因此這樣交換會有更好的解

● 與假設矛盾得證

(9)

Greedy choice property

● 4 個任務且他們的花費時間是 {3, 4, 5, 6}

● 執行順序：5 -> 4 -> 3 -> 6 結束時間： 5, 9, 12, 18

● 將 3 和 5 交換： 3 -> 4 -> 5 -> 6 結束時間： 3, 7, 12, 18 (better!)

(10)

Optimal substructure

● 原問題：計算 n 個任務的結束時間的總和最小是多少

● Greedy choice 一個任務其花費時間是 d

● 原問題變成 d × n + 剩餘 n – 1 個任務的結束時間總和最小是多少

● 原問題包含子問題的最佳解

(11)

CSES - Towers

• 你有 n 個方塊，每個方塊都有大小，要把他們疊成塔且每一座塔的大小由低到高必須是大到小

• 你需要依照給定順序去處理這 n 個方塊

• 對於每個方塊，你可以放到某個方塊的上面，或者是自己另外新增一座塔

• 請問塔的數量最少是多少

(12)

CSES - Towers

• 每次將方塊放到所有可放的塔中，最小的上面，如果不存在可以放的位置就自己另成一座新塔

2

(13)

CSES - Towers

● 假設存在一組最佳解沒有遵守我們的 Greedy 策略

● y < x₁ < x₂

● 最佳解把 y 放在 x₂上

• 我們需要證明把 y 放在 x₁ 上也能是一組最佳解

(14)

CSES - Towers

● 我們要證明，將 y 改放在 x₁上仍然存在一種方法可以堆出最佳解

● 證明，可以將所有在 x₂ 以上的元素跟 x₁ 以上的元素交換

● 因為 y < x₁ 且 x₁ < x₂，這樣交換之後仍然是合法的

● 仍然是一組最佳解

● 對於沒有遵守 Greedy-choice 的最佳解，我們可以把它轉換成有

遵守 Greedy choice 的解且仍然是最佳的

(15)

貪心的天藍怪

• 如果有兩隻天藍怪 (大小為 A 和 B ) 靠在一起，

則會變成一隻大小為原本兩隻大小總和的新天藍怪，

並消耗 A + B 單位的能量。

• 現在給你一堆天藍怪，問最少需要多少能量才能把他們變成一隻超大的天藍怪。

(16)

貪心的天藍怪-最優編碼樹

• 右邊是一棵當文本是「THIS IS THE TEST TEXT XDDD」時的最優編碼樹

• 最優編碼樹的一些性質

1. 一定不會有只有一個兒子的節點

2. 頻率越高的字元對應的葉節點深度越淺

3. 必定存在一棵最優編碼樹，使得頻率最低的兩個字元對應的葉節點形成兄弟

4. 定義 𝑓𝑠(𝑥) 為節點 𝑥 形成的子樹中，所有葉節點的頻率和。則某編碼樹為 𝑇_!，把 𝑇_! 中某節點 𝑥 形成的子樹整棵替換為一個頻率為 𝑓𝑠(𝑥) 的字元形成新樹 𝑇，那麼 𝑇 為新字元集的最優編碼樹當起僅當 𝑇_! 為最優編碼樹。

圖片來源: http://huffman.ooz.ie/

(17)

亞可的問題

• 路上總共有 N + M 張卡片，每張卡片可能都有不同的價值。

• 現在想要選擇 N 張卡片帶回家

• 因為特殊的因素，你希望在留在地上的卡片的價值平均加上帶回家的卡片的價值平均最小。

• 請問這個平值最小可以多小？

(18)

亞可的問題

• 路上總共有 N + M 張卡片，每張卡片可能都有不同的價值。

• 現在想要選擇 N 張卡片帶回家

• 因為特殊的因素，你希望在留在地上的卡片的價值平均加上帶回家的卡片的價值平均最小。

• 請問這個平值最小可以多小？

• 題目可以等價轉換為：

• 選擇 N 張卡片把價值 * (1 / N)

• 選擇 M 張卡片把價值 * (1 / M)

(19)

線段三部曲V2 -51nod 1091

• 題意：不重疊的線段

• X 軸上有 N 條線段，每條線段包括起點和終點。

• 現在起點或終點重疊，不算重疊

• 線段的重疊計算方式：

• [2, 3] 和 [3, 6] 不算重疊。

• 請從 N 條線段中選出最多條彼此不相交的線段

• 2 <= N <= 10000

(20)

選擇最多不重疊的線段

(21)

可能的 Greedy 方法

• 想出一些 Greedy 的方案：

• 優先選擇最短的線段

• 優先選擇和線段最少重疊的線段

• 優先選擇比較早開始的線段

• 優先選擇比較早結束的線段

(22)

1.優先選擇最短的線段-WA

(23)

2.優先選擇和線段最少重疊的線段-WA

(24)

3.優先選擇比較早開始的線段-WA

(25)

4.優先選擇比較早結束的線段-AC

• 感性的想法：在「最短」的時間內得到一條線段

(26)

Jeff and Permutation-CF 351E

• 題意：

• 給一個長度為 N 的序列

• 序列中的每一個數字你可以選擇要不要加上負號

• 請做出選擇最小化序列的逆序數對數量

• N <= 2000 (or N <= 200000)

(27)

• 每個數字獨立考慮

• 對於絕對值最大的數字

• 正負號只會影響左右兩側「絕對值」比自己小的數字

• 因此只需要關注那些「絕對值」比自己小的數字

• 以此類推

Jeff and Permutation-CF 351E

(28)

排隊

• 大家決定在校慶時排個整齊的隊形：依照身高排成像山的樣子。

• 因為一直換位置很累，所以大家想要最小化換位置的次數，但是大家發現這個問題太難了，因此跑來問聰明的你有沒有什麼好方法可以解決這個問題呢？

• 山的定義為 A₁<A₂<...<A_m>A_m+1>...>A_N 。

• 每次只能把相鄰的兩人交換位置。

(29)

排隊

• 與上一題目相同：

• 由絕對值最小的開始考慮：

• 要移動到最左邊或是移動到最右邊

• O(N log N)

(30)

Dispute-CF 242D

• 題意：

• 給一個 N 點的無向圖，每一個點都有一個權值 V_i = 0

• 你可以選擇一個圖上的點「按一下」，那麼：

• 這個點的權值會加一

• 這個點的周圍的點的權值會加一

• 可以按很多個點，但每個點只能最多按一下

• 現在給出 B 序列，請選擇一些按鈕「按一下」

• 使得對所有點 V_i != B_i

• N <= 100000

(31)

• 一句話題解：

• 不斷地找到一個點 V_i == B_i，然後按一下這個點

• Why：

• 每個點最多 V_i == B_i 一次

• 這個算法一定會停下來

• 算法停下來的時候一定滿足條件

Dispute-CF 242D

(32)

Jzzhu and Apples-CF 449C

• 題意：

• 請把 1, 2, 3, …, N 這些數字分成很多 pair

• 滿足每個 pair 的最大公因數 != 1

• 最大化 pair 數量

• N <= 100000

• Hint: 偶數好多

(33)

• 偶數非常多：有一半是偶數

• 大方向：

• 不考慮偶數，盡量把數字 pair 都湊完

• 剩下的用偶數來填補

• 步驟：依序考慮每個 > 3 && <= N 的質數 p

• 把 p, 2p, 3p, …, N – N%p 裡面還沒配對的抓出來配

• 如果沒剩下，那很棒 xD

• 如果會剩一個那挑一個偶數留下

• 把最後剩下的偶數們對湊，最後只會剩下：

• 1、2p > N 的質數們 (這些數字不可能跟任何數字組成 pair)

• 一個偶數，因此這一定是最佳解

Jzzhu and Apples-CF 449C

(34)

Greedy應該要怎麼想 – 小技巧？

• 幾個思考的小方向：

• 沒有理由不這樣做：直接選一個選項，並確保不這樣選不會比較好

• 可能這是最佳的選擇

• 可能這個選擇不會影響到選擇最好的答案

• 將問題換個角度去看

• 可能會有一些直估的想法，或是會想到一些以前看過的題目

• 比賽中，乍看不是錯的可能就會是對的

• 想想看有沒有反例

• 容易實作的話也可以直接寫寫看

• 自己在練習時最好要去做正確性證明