a (讀做根號 a )表示正數 a 的正平方根。

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國小學過「正方形的面積＝邊長×邊長」，可以表示成「正方形的面積＝邊長的平方」

或寫成「正方形的面積＝(邊長) ² 」。因此只要知道正方形的邊長就可以算出它的面 積。如果反過來問，只知道正方形的面積，我們能不能算出正方形的邊長呢？

例如：邊長是 4 公分的正方形，面積是 16 平方公分。反過來說，面積是 16 平方公分 的正方形，則邊長是 4 公分。試問正方形面積是 20 平方公分，我們要如何求 出其邊長呢？這就是我們這一節所要學的平方根。

1.認識平方根：

我們知道 6 ² ＝36，11 ² ＝121……，那麼多少的平方等於 49 呢？

倒過來給定一數 a ，如果有一數 x 會使得 x ² ＝ a ，則此 x 稱為 a 的平方根。

例如：我們給一個數為 49，那麼那些 x 滿足 x ² ＝49 呢？

我們知道 x ＝7 或是 x ＝－7 滿足 x ² ＝49， 在此 7 與－7 我們稱為 49 的平方根。

【範例】：求下列各數的平方根：

(1) 100 (2) 81 (3) 10 (4) 15。

解 ：(1) 10 ² ＝10×10＝100，(－10) ² ＝(－10)×(－10)＝100，

故 100 的平方根為 ± 10。

(2) 9 ² ＝9×9＝81，(－9) ² ＝(－9)×(－9)＝81，故 81 的平方根為 ± 9。

(3) 10＝1×10＝2×5，在此我們無法利用學過的，相同的兩個整數相乘為 10。

所以 10 的平方根要利用『根號』來表示。

(4) 15＝1×15＝3×5，在此我們無法利用學過的，相同的兩個整數相乘為 15。

所以 15 的平方根要利用『根號』來表示。

【範例】：列出 1 到 18 的平方根。

解 ：

1 1×1，(-1)×(-1)，故 1 的平方根為 ± 1。

2 3

4 2×2，(-2)×(-2)，故 4 的平方根為 ± 2。

5 6 7

9 3×3，(-3)×(-3)，故 9 的平方根為 ± 3。

10 11 12 13 14 15

16 4×4，(-4)×(-4)，故 16 的平方根為 ± 4。

17 18 2.平方根的意義：

（1）平方根：

設 a 、 x  都是實數,若 x ² ＝ a ，則 x 就叫做 a 的平方根，一般我們有兩個 x 會滿足 

x 

² ＝ a 分別以 x ＝ ±  a 來表示，讀作 x 等於正負根號 a 。

例如： 9 的平方根為 ± 3。 10 的平方根為 ±  10 。 15 的平方根為 ±  15 。 16 的平方根為 ± 4。

（2）平方根的表示法：

a. 

a (讀做根號 a )表示正數 a 的正平方根。

b. －  a  (讀做負根號 a )表示正數 a 的負平方根。

c. 零的平方還是為零，所以零的平方根以  0 (讀做根號零)表示，即  0 ＝0。

d. 

a 為ㄧ個整數，則 a 為完全平方數。也就是 a ＝x 

² ，其中 x 為整數，

則稱 a 為完全平方數。

【範例】：列出 1 到 25 的平方根。

解 ：

1 ± 1。

2 ±  2 ，  2 ×  2 ＝2；(－  2 )×(－  2 )＝2。

3 ±  3 ，  3 ×  3 ＝3；(－  3 )×(－  3 )＝3。

4 ±  4 ＝ ± 2，4 為完全平方數。

5 ±  5 ，  5 ×  5 ＝5；(－  5 )×(－  5 )＝5。

6 ±  6 ，  6 ×  6 ＝6；(－  6 )×(－  6 )＝6。

7 ±  7 ，  7 ×  7 ＝7；(－  7 )×(－  7 )＝7。

8 ±  8 ，  8 ×  8 ＝8；(－  8 )×(－  8 )＝8。

9 ±  9 ＝ ± 3，9 為完全平方數。

10 ±  10 ，  10 ×  10 ＝10；(－  10 )×(－  10 )＝10。

11 ±  11 ，  11 ×  11 ＝11；(－  11 )×(－  11 )＝11。

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12 ±  12 ，  12 ×  12 ＝12；(－  12 )×(－  12 )＝12。

13 ±  13 ，  13 ×  13 ＝13；(－  13 )×(－  13 )＝13。

14 ±  14 ，  14 ×  14 ＝14；(－  14 )×(－  14 )＝14。

15 ±  15 ，  15 ×  15 ＝15；(－  15 )×(－  15 )＝15。

16 ±  16 ＝ ± 4，16 為完全平方數。

17 ±  17 ，  17 ×  17 ＝17；(－  17 )×(－  17 )＝17。

18 ±  18 ，  18 ×  18 ＝18；(－  18 )×(－  18 )＝18。

19 ±  19 ，  19 ×  19 ＝19；(－  19 )×(－  19 )＝19。

20 ±  20 ，  20 ×  20 ＝20；(－  20 )×(－  20 )＝20。

21 ±  21 ，  21 ×  21 ＝21；(－  21 )×(－  21 )＝21。

22 ±  22 ，  22 ×  22 ＝22；(－  22 )×(－  22 )＝22。

23 ±  23 ，  23 ×  23 ＝23；(－  23 )×(－  23 )＝23。

24 ±  24 ，  24 ×  24 ＝24；(－  24 )×(－  24 )＝24。

25 ±  25 ＝ ± 5，25 為完全平方數。

【範例】：常用的完全平方數列表：

( ± 1) ² ＝1，1 的平方根為 ± 1。

( ± 2) ² ＝4，4 的平方根為 ± 2。

( ± 3) ² ＝9，9 的平方根為 ± 3。

( ± 4) ² ＝16，16 的平方根為 ± 4。

( ± 5) ² ＝25，25 的平方根為 ± 5。

( ± 6) ² ＝36，36 的平方根為 ± 6。

( ± 7) ² ＝49，49 的平方根為 ± 7。

( ± 8) ² ＝64，64 的平方根為 ± 8。

( ± 9) ² ＝81，81 的平方根為 ± 9。

( ± 10) ² ＝100，100 的平方根為 ± 10。

( ± 11) ² ＝121，121 的平方根為 ± 11。

( ± 12) ² ＝144，144 的平方根為 ± 12。

( ± 13) ² ＝169，169 的平方根為 ± 13。

( ± 14) ² ＝196，196 的平方根為 ± 14。

( ± 15) ² ＝225，225 的平方根為 ± 15。

( ± 16) ² ＝256，256 的平方根為 ± 16。

( ± 17) ² ＝289，289 的平方根為 ± 17。

( ± 18) ² ＝324，324 的平方根為 ± 18。

( ± 19) ² ＝361，361 的平方根為 ± 19。

( ± 20) ² ＝400，400 的平方根為 ± 20。

【範例】：利用質因數分解求下列各數的平方根：

(1) 169 (2) 324 (3) 0 解 ：(1) 169＝13×13

169 的平方根為 ±  169 ＝ ±  13´ 13 ＝ ± 13。

(2) 324＝2 ² ×3 ⁴ ＝(3 ² ×2)×(3 ² ×2)＝18×18

324 的平方根為 ±  324 ＝ ±  18 ´ 18 ＝ ± 18。

(3) 0 的平方根為 ±  0 ＝0。

【範例】：下列那些是完全平方數：24、25、37、100、121、256、300、400。

解 ：  24 ＝  2 ´ 2 ´ 2 ´ 3 ＝2  2 ´ ＝2  6 3  25 ＝  5 ´ ＝5 5 

37 ，37 為質數不能再分解  100 ＝  10 ´ 10 ＝10 

121 ＝  11´ 11 ＝11  256 ＝  16 ´ 16 ＝16  300 ＝  10 ´ 10 ´ 3 ＝10  3  400 ＝  10 ´ 10 ´ 2 ´ 2 ＝20

所以完全平方數有：25、100、121、256、400。

【範例】：利用質因數分解求下列各數的平方根：

(1) 98 (2) 72 (3) 

9 

4 

(4) 

144  121 

解 ：(1) 98＝7×7×2＝7×7×  2 ×  2 ＝(7  2 )×(7  2 )＝(－7  2 )×(－7  2 )，

所以 98 的平方根為 ± 7  2 。

(2) 72＝2×2×2×3×3＝  2 ×  2 ×2×2×3×3＝(2×3×  2 )×(2×3×  2 )

＝(6  2 )×(6  2 )＝(－6  2 )×(－6  2 )，

所以 72 的平方根為 ± 6  2 。 (3) 

9 

4 

的平方根為 ±  9  4 ＝ ± 

3  3 

2  2

´

´ ＝ ± 

3  2 

(4) 

144 

121 

的平方根為 ±  144  121 ＝ ± 

12  12 

11  11

´

´ ＝ ± 

12  11 

（3）負數沒有實數的平方根。

【範例】：-4 沒有平方根。若 x 為-4 的平方根，則 x ² ＝-4(不可能)，故-4 沒有平方根。

【註】 ：  - 在國中的課程中我們不考慮，我們只考慮  x ，其中 x ≧0。 4

（4）設 a 是實數，則 

a 

² ＝| a |＝

ï î ï í ì

=

<

-

> 

0  ,  0 

0  , 

0  , 

當 當 當 

a  a 

a  a 

。

也就是在此 x ≧0，則我們有  x ≧0。

【範例】：  (- 9 ) ² ＝|－9|＝－(－9)＝9， 

) 2 

12 

(- ＝|－12|＝－(－12)＝12。 

(25)  ＝|25|＝25。2 

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【範例】： 

( -  x  3  ) 

＋ 

( -  y  4  ) 

＝0, 則 

( -  x  3  ) 

＝0， 

( -  y  4  ) 

＝0

∵ 

( -  x  3  ) 

≧0， 

( -  y  4  ) 

≧0

∴ 

( -  x  3  ) 

＝0， 

( -  y  4  ) 

＝0

∴  x －3＝0，

y

－4＝0。

即 x ＝3，

y

＝4。

（5）特殊的“無理數＂  2 及  3 ： 

2 ＝1.414，  3 ＝1.732，經常使用，請同學熟記。

注意：14＝2×7＝  2 ×  2 ×  7 ×  7 

＝(  2 ×  7 )×(  2 ×  7 )

＝(－  2 ×  7 )×(－  2 ×  7 ) 14 的平方根為 ±  2 ×  7 ，

前面也有提到 14 的平方根為 ±  14 ，所以 ±  14 ＝ ±  2 ´ ＝ ±  2 ×  7 。 7  詳細的平方根號運算規則，我們在下個部份介紹。

3.平方根運算常用公式：

（1）  a ´  b ＝  ab 。（ a ³ 0, b ³ 0 ）

∵ (  a ´  b ) ² ＝(  a ´  b )´ (  a ´  b )＝(  a ´  a )´ (  b ×  b )

∴(  a ´  b ) ² ＝a´ b＝ab  ∴  a ´  b ＝  ab 。

（2） 

b  a ＝ 

b 

a 。（ a ³ 0, b > 0 ）

∵ (  b  a ) ² ＝ 

b  a ´ 

b  a ＝ 

^a 

b 

∴  b  a ＝ 

b  a 。

（3） 

b  a ＝ 

b  b 

b  a

´

´ ＝ 

b 

2 

ab 

＝  b 

ab 。（ a ³ 0, b > 0 ）

【範例】：  6 ´  2 ＝  6 ´ ＝  12 。 2 

【範例】：  4  3 ＝ 

4  3 。

【範例】：  7  2 ＝ 

7  7 

7  2

´

´ ＝ 

7 

2 

7  2 ´

＝ 

7  14 。

4.最簡根式：

一個二次方根，根號內的數，其因數不再含有大於 1 的完全平方數，

且分母不含根號，即無法再進一步化簡，此種方根叫做最簡根式。

例如： 

7 

2 不是最簡根式， 

7 

14 是最簡根式。

【範例】：  18 與 3  2 那個為最簡根式？

解 ：  18 ＝  9 ´ ＝  9 ×  2 ＝3  2 ，3  2 即為  18 的最簡根式。 2 

∴ 答：3  2 為最簡根式。

【範例】：判斷下列何者為最簡根式：

(1)  289 

64  (2)  34  (3)  68  (4)  252 

解 ：(1) 

289  64  ＝ 

17 

8 

(2)  34 ＝  2 ´ 17  (3)  68 ＝2  17  (4)  252 ＝6  7 

∴ 答：  34 為最簡根式。

【範例】：化簡下列各式：

(1)  125  (2)  48  (3)  216  (4)  16 27 。 解 ：(1)  125 ＝ 

5

² 

´ 5

＝ 5 5 。

(2)  48  ＝ 

4

² 

´ 3

＝ 4 3 。 (3)  216 ＝ 

6

² 

´ 6

＝ 6 6 。

(4)  16 27 ＝ 

2 

2 

4 

3 ´ 3 ＝  4 

3 3 ＝  4 3 

3 3 3 ´ ＝ 4 3 9  。

5.平方根四則運算：平方根四則運算的結果務必化為最簡方根

同類根號：兩個或兩個以上的根式，經化簡後它們根號內的數相同，且開方次數 也相同，此種根號叫做同類方根或同類根號，否則為不同類根號。同 類根號一定是同次根號，同類根式可以做加、減、乘、除運算。

例如：2  2 與 5  2 都有  2 ，所以 2  2 與 5  2 是同類根號。

例如：2  3 與  5 其根號內的數都不相同，所以 2  3 與  5 不是同類根號。

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【範例】：判斷下列何者為同類根號：

(1) 2  3 與 3  2  (2)  12 與 3  3  (3)  6 與  24 。

解 ：(1) 2  3 與 3  2 其根號內的數都不相同，所以 2  3 與 3  2 不是同類根號。

(2) ∵  12 ＝2  3  ， ∴  12 與 3  3 是同類根號。

(3) ∵  24 ＝2  6  ， ∴  6 與  24 是同類根號。

【範例】：判斷下列何者為同類根號：  32 ，  42 ，  48 ，  12 ，  75 。

解 ： ∵  32 ＝4  2 ，  42 ＝  2 ´ 3 ´ 7 ，  48 ＝4  3 ，  12 ＝2  3 ，  75 ＝5  3 。

∴  48 ＝4  3 ，  12 ＝2  3 ，  75 ＝5  3 ，為同類根號。

(1) 根號的加減運算：

先將方根化為最簡方根，再將同類根號的最簡方根作加減運算，即對最簡方根的 係數作加減即可。

【範例】：化簡下列各平方根：(1)  2 ＋  8  (2) 4  3 －  12 。 解 ：(1)  2 ＋  8 ＝  2 ＋  4 ´ ＝  2 ＋2  2 ＝3  2 2 

答：  2 ＋  8 ＝3  2 。 (2) 4  3 －  12 ＝4  3 －  4 ´ ＝4  3 －2  3 ＝2  3 3 

答：4  3 －  12 ＝2  3 。

【範例】：化簡下列各平方根：(1)  48 ＋  75  (2) 2  7 －3  63  解 ：(1)  48 ＋  75 ＝  16 ´ ＋ 3  25 ´ ＝4  3 ＋5  3 ＝9  3 3 

答：  48 ＋  75 ＝9  3 。

(2) 2  7 －3  63 ＝2  7 －3  9 ´ ＝2  7 －3×3  7 ＝2  7 －9  7 ＝－7  7 7  答：2  7 －3  63 ＝－7  7 。

【範例】：化簡  8 ＋  50 －  48 ＋  12 ＝？

解 ：  8 ＋  50 －  48 ＋  12 ＝2  2 ＋5  2 －4  3 ＋2  3 

＝(2＋5)  2 －(4－2)  3 

＝7  2 －2  3 。

【範例】：化簡  18 ＋  125 ＋  8 －  20 ＝？

解 ：  18 ＋  125 ＋  8 －  20 ＝3  2 ＋5  5 ＋2  2 －2  5 

＝(3＋2)  2 ＋(5－2)  5 

＝5  2 ＋3  5 。

【範例】：化簡  16 ＋  100 －  25 －  1  9 ＝？

解 ：  16 ＋  100 －  25 －  1 

9 ＝4＋10－5－ 

¹  3 

＝ 

²⁶ 

3 

。

【範例】：化簡 3  2 ＋  8 ＋  1  4 ＝？

解 ：3  2 －  8 ＋  1 

4 ＝3  2 － 2 2 ＋ 

¹ 

2 

＝  2 ＋ 

¹ 

2 

＝ 2 2 1  2

+ 。

(2) 根號的乘除法運算及有理化：

1. 

a  b 

× 

c  d 

＝ a × c 

b ´ ，( d  b

³ 0，

d

³ 0)。

【範例】：化簡下列各平方根：(1) 2  3 ×3  2  (2) 2  6 ×  27  解 ：(1) 2  3 ×3  2 ＝2×3  3 ´ ＝6  6 2 

(2) 2  6 ×  27 ＝2  6 ×3  3 ＝2×3  6 ´ ＝6  18 ＝6×3  2 ＝18  2 3 

【範例】：化簡  16 ´  8 ´  1  6 ＝？

解 ：  16 ´  8 ´  1 

6 ＝4 ´ 2 2 ´  6 

6  ＝ 4 12 

3  ＝ 8 3 3 

2. 

m  a 

÷ 

n  b 

＝ 

m  a 

× 

b  n 

1  ＝ 

b  n 

a 

m 

，( a ³ 0，

b

＞0，m、n 為實數)。

有理化：使分母不含根號，且分子為最簡根式，此過程即為分母有理化。

通常我們會將 

b 

a 

給有理化： 

b  a 

＝ 

b  b 

b  a

´

´ ＝ 

b 

ab 

，( a ³ 0，

b

＞0)。

【範例】：化簡下列各平方根：(1)  3 ÷  5  (2)  6 ÷ 2  3  (3) 3  5 ÷2  6 。 解 ：(1)  3 ÷  5 ＝ 

5  3 ＝ 

5  5 

5  3

´

´ ＝  5  15 。

(2)  6 ÷ 2  3 ＝  3  2 

6 ＝ 

3  3  2 

3  6

´

´ ＝  3  2 

18

´ ＝  6 

2  3  ＝ 

2  2 。

(3) 3  5 ÷2  6 ＝  6  2 

5  3  ＝ 

6  6  2 

6  5  3

´

´ ＝  6  2 

6  5  3

´

´ ＝  12 

30  3  ＝ 

4  30 。

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【範例】：求解 3  8 x＝2  3  解 ：  x＝  2 3 

3 2 2 ´ ＝  3 2  3 2 2

´

´ ＝  6  6 

【範例】：化簡  125 ´  75 ¸  54 ＝？

解 ：  125 ´  75 ¸  54 ＝ 5 5 ´ 5 3 ¸ 3 6 ＝ 25 15 

3 6 ＝ 25 10  6 

【範例】：化簡 1 1  48 5 

2 - 3 ＝？

解 ：  1 1  48 5 

2 - 3 ＝ 1 3  4 3 5 

2´ - ´ 3 ＝  5 3 3  2 3 - 3 = 3

【範例】：化簡 1 1  72 4 

3 - 6 ＝？

解 ：  1 1  72 4 

3 - 6 ＝ 1 25 

3´6 2 - 6 ＝  6  2 2 5 

- 6 6

´ ＝ 

2 2 ⁵  6 

- 6

＝ 12 2 5 6  6

-

【範例】：化簡  2  20 1 3 

´ 3 ¸ ＝？

解 ：  2  20 1 3 

´ 3 ¸ ＝  5 1  20 ´ ´ ＝ 3 3

¹⁰ 

3 

【範例】：化簡  5 3 5 15  18¸ 2 ´ 16 ＝？

解 ：  5 3 5 15 

18¸ 2 ´ 16 ＝  5 2 15  18 9 5 16 ´ ´

´ ＝  15  36 

【範例】：化簡  1 

36 2 6 1 

¸ ¸ ¸ 2 ＝？

解 ：  1 

36 2 6 1 

¸ ¸ ¸ 2 ＝  1 1 2  36 ´ ´ ´ ＝  2 2 6 3

【範例】：將  1 

2 1 - 化成  2 ＋1。

解 ： 利用乘法公式(a＋b)(a－b)＝a ² －b ² 

∴  1  2 1 - ＝ 

2 2 

1 ( 2 1) 2 1 

( 2 1)( 2 1) ( 2 ) 1

´ + +

=

- + -

＝  2 1 

2 1 +

- ＝  2 1 +

【範例】：將 

2  3 

1

- 有理化。

解 ： 利用乘法公式(a＋b)(a－b)＝a ² －b ² 

∴ 

2  3 

1 - ＝ 

)  2  3  )( 

2  3  ( 

2  3

+ -

+

＝ 

2  2 

(  2  )  ) 

3  ( 

2  3

-

+

＝ 

2  3 

2  3

-

+ ＝  3 ＋  2 。

【範例】：將 

3  5 

1

- 有理化。

解 ： 利用乘法公式(a＋b)(a－b)＝a ² －b ² 

∴ 

3  5 

1 - ＝ 

)  3  5  )( 

3  5  ( 

3  5

+ -

+

＝ 

2  2 

(  3  )  ) 

5  ( 

3  5

-

+

＝ 

3  5 

3  5

- + ＝ 

2  3  5 + 。

6.商高定理：

若有一個直角三角形三邊長為 a 、

b

、 c ，其中 c 為斜邊，則： 

c  ＝ 

² 

a  ＋ 

² 

b 

²  如右圖，△ABC 中，∠C＝90 ^o ，

則：(1) 斜邊 c ＝ 

a +

² 

b 

²  (2) ㄧ股 a ＝ 

c -

² 

b 

²  (3) 另ㄧ股

b

＝ 

c -

² 

a 

²  直角三角形斜邊上的高＝

斜邊長 兩股長的乘積

→

h

＝ 

c 

b  a ´

。

【範例】：如右圖，試利用面積公式推導出商高定理。

解 ：中間的正方形面積＝c ² 

c 

² ＝(a＋b) ² －4×a×b× 

2  1 

＝a ² ＋2 ab＋b ² －2 ab 

＝a ² ＋b ² 

因此可推得商高定理：a ² ＋b ² ＝c ² 。

【範例】：請利用商高定理，判斷下列各組，哪些組為直角三角形？

(1) 3、4、5 (2) 4、5、6 (3) 6、8、10 。

解 ：(1) 5 ² ＝3 ² ＋4 ² ，∴ 3、4、5 為直角三角形的三邊長。

(2) 6 ² ≠4 ² ＋5 ² ，∴ 4、5、6 不是直角三角形的三邊長。

(3) 10 ² ＝6 ² ＋8 ² ，∴ 6、8、10 為直角三角形的三邊長。 

A 

B  C 

a  c  b 

h 

a  b 

c  a 

b 

b 

b  a 

a  c  c 

c

E80102

【範例】：若直角三角形的兩股長分別為 1、1，那斜邊長為多少？

解 ：利用商高定理：斜邊 c ＝ 

a +

² 

b 

² 

∴斜邊＝ 

1 +

² 

1 

² ＝  2  答：斜邊長為  2 。

【範例】：設直角三角形的三邊長為 8、15、 x ，請問 x 為多少？

解 ：(1) 當 x 為斜邊時， x ＝ 

8 +

² 

15 

² ＝  64 + 225 ＝  289 ＝17 (2) 當 x 為ㄧ股時， x ＝ 

15 -

² 

8 

² ＝  225 - 64 ＝  161 

答： x ＝17 或  161 。

【範例】：直立在地面的竹竿，有一條繩子由竿頂垂下，繩子比竿子長 1 公尺，把繩子 往竿底的地面外拉了 7 公尺後，繩子才拉直，求竿子的高度為多少公尺？

解 ：設竿子的高度為 x 公尺，則繩子的長度為( x ＋1)公尺 依題意可列式為： ( x ＋1) ² ＝ x ² ＋7 ² 

x 

² ＋2 x ＋1＝ x ² ＋49 2 x ＝48 

x ＝24

答：竿子的高度為 24 公尺。

7.座標平面上兩點間的距離公式：

在介紹座標平面上兩點間的距離公式之前，讓我們先來介紹利用絕對值來表示數線上 兩點之間的距離。

【範例】：如圖，求出 P(5)和 Q(－2)是數線上的兩點，這兩點之間的距離為多少？

解 ： ∵ 5－(－2)＝7，(－2)－5＝－7。

且 |7|＝|－7|＝7，

∴ 

PQ

＝|5－(－2)|＝|(－2)－5|＝7。

則 P 與 Q 兩點的距離等於它們的座標差的絕對值。 

A 

B  C 

x + 1 

7  x 

-2  0  5 

Q  7 P 

在上面的範例中，P( a )與 Q(

b

)是一數線上的兩點，不論 a 、

b

是何數，P 與 Q 兩點 的距離都是等於它們的座標差的絕對值，即： 

PQ

＝|

b

－ a |。

至於座標平面上任意兩點的距離與兩點的座標之間又有什麼關係呢？

以下就來討論座標平面上任意兩點的距離與兩點的座標之間的關係。

若

A

( 

x  ， 

₁ 

y  )和

₁ 

B

( 

x  ， 

₂ 

y  )是座標平面上的兩點，從

₂ 

A

、

B

分別作

y

軸與 x 軸的 垂直線，設其交點為

C

，如圖所示：

因為△

ABC

是直角三角形， AB 為其斜邊，由商高定理可知：

( AB ) ² ＝( AC ) ² ＋( BC ) ² 

＝| 

x  － 

₂ 

x  | 

₁  ² ＋| 

y  － 

₂ 

y  | 

₁  ² 

＝( 

x  － 

₂ 

x  ) 

₁  ² ＋( 

y  － 

₂ 

y  ) 

₁  ²  因為 AB 是正數，所以： 

AB ＝ 

( 

x

₂ -

x 

₁ ) ² + ( 

y 

₂ -

y 

₁ ) ² 

這就是座標平面上兩點間的距離公式，此公式即使在 

x  ＝ 

₂ 

x  或 

₁ 

y  ＝ 

₂ 

y  時也會成立。

₁ 

【範例】：(1) 已知

A

(－2，－6)和

B

(4，2)兩點，求 AB 的長。

(2) 已知

C

(3，1)和

D

(4，－3)兩點，求 CD 的長。

解 ：(1) 由兩點距離公式可得知： 

AB ＝ 

[ 4 - ( - 2 )] ² + [( 2 - ( - 6 )] ² 

＝ 

6 +

² 

8 

² 

＝  100 

＝10 答： AB ＝10。

(2) 由兩點距離公式可得知： 

CD ＝ 

( 4 - 3 ) ² + [( - 3 ) - 1 ] ² 

＝  1 ² + ( - 4 ) ² 

＝  1 + 16 

＝  17  答： CD ＝  17 。 

x  y 

O  A 

B 

C 

(x  ,y ) _{1 1}

(x  ,y ) _{2 2}

(x  ,y ) _{2 1}

|y ₂

y|

₁

|x 2

x |

1 

1  1 

D  C 

x  y 

(3，1) 

(4，-3)  o 

B 

A 

x  y 

(4，2) 

(-2，-4)  o

E80102

【範例】：座標平面上有一個三角形，其三個頂點的座標為

A

(4，3)、

B

(2，－3)、 

C

(－5，0)，如下圖。請利用座標平面上兩點間的距離公式，分別求出 三角形的三邊長為何？

解 ：∵

A

(4，3)、

B

(2，－3)，

∴由兩點距離公式可得知： 

AB ＝ 

( 2 - 4 ) ² + [( - 3 ) - 3 ] ² 

＝  ( - 2 ) ² + ( - 6 ) ² 

＝  4 + 36 

＝  40 ＝2  10 。

∵

A

(4，3)、

C

(－5，0)，

∴由兩點距離公式可得知： 

AC ＝ 

[( - 5 ) - 4 ] ² + ( 0 - 3 ) ² 

＝  ( - 9 ) ² + ( - 3 ) ² 

＝  81 + 9 

＝  90 ＝3  10 。

∵

B

(2，－3)、

C

(－5，0)，

∴由兩點距離公式可得知： 

BC ＝ 

[( - 5 ) - 2 ] ² + [ 0 - ( - 3 )] ² 

＝  ( - 7 ) ² + 3 ² 

＝  49 + 9 

＝  58 

答：三邊長分別是 AB ＝2  10 ， AC ＝3  10 ， BC ＝  58 。

8.方根的應用：

【範例】： 3x－5 的平方根是 ± 7，則 x 是多少？

解 ： ∵ 3x－5＝( ± 7) ² 

∴ 3x－5＝49

∴ 3x＝54

∴ 

x＝18

【範例】：比較 3 5 、 2 7 、  23 之大小。

解 ： ∵  3 5 ＝ 

3

² 

´ 5 =  45

2 7 ＝ 

2

² 

´ 7 = 28

∴  3 5 ＞ 2 7 ＞  23 

B  C 

x  y 

(-5，0) 

(2，-3) 

o 

A (4，3)

【範例】：(1) 如果  a 為正整數且 a ＜30，則 a ＝？

(2) 如果  a 為兩位數的正整數，則 a 的最小值＝？

(3) 承第(2)題，滿足  a 為兩位正整數的 a 值共有幾個？

解 ：(1) ∵  a 為正整數，∴ a 一定為完全平方數，

又 ∵ a ＜30，∴ a ＝1，4，9，16，25。

(2) 

a ＝10，∴ a ＝100 為最小值。

(3) ∵  a 為兩位數的正整數，

∴  a 可能是 10，11，12，…，99。

則 a 值為 100，121，144，…，9801，

共有 99－10＋1＝90(個)。

答：(1)  a ＝1，4，9，16，25 (2)  a 的最小值為 100 (3) 90(個)。

【範例】：設下列各方根之値為整數，求 x 的最小正整數值：

(1)  30 

x 

(2)  150 

x 

(3)  540 

x 

解 ：(1) ∵  30  ＝ 

x 

2 ´ 3 ´ 5 ´

x

為整數，

∴  x ＝2×3×5＝30

(2) ∵  150  ＝ 

x  2  ´  3  ´ 5 

² 

´ x

為整數，

∴  x ＝2×3＝6

(3) ∵  540  ＝ 

x  2 

² 

´  3 

³ 

´ 5  ´ x

為整數，

∴  x ＝3×5＝15

答：(1)  x ＝30 (2)  x ＝6 (3)  x ＝15。

9.平方根的近似值計算：

十分逼近法：利用“十等分＂的方法在數線上逐步逼近根號內的數，這種逼近的方法 叫做十分逼近法。

【範例】：求  18 的近似值，以四捨五入法取到小數第二位。

解 ：由 4 ² ＝16＜18＜25＝5 ² ，

∵ 18＜20.25＝(4.5) ² ，

∴  18 應在 4.0 到 4.5 之間 4.1 ² ＝16.81＜18，

4.2 ² ＝17.64＜18，

4.3 ² ＝18.49＞18，

17.64＜18＜18.49。

∴ 4.2＜  18 ＜4.3 

4  4.5  5 

4  4.1  4.2  4.3  4.4 4.5 

E80102

∵ 18＜18.0625＝(4.25) ² ，

∴  18 應在 4.20 到 4.25 之間 4.21 ² ＝17.7241＜18，

4.22 ² ＝17.8084＜18，

4.23 ² ＝17.8929＜18，

4.24 ² ＝17.9776＜18，

4.25 ² ＝18.0625＞18，

∴ 4.24＜  18 ＜4.25

又 18＜4.245 ² ＝18.020025。

∴ 4.24  18 ＜4.245

∴  18 ≒4.24 (取四捨五入到小數第二位)。

查表法：利用乘方開方表找出平方根與立方根的值，此種查表的方法就叫做查表法。

將根號內的數化為  N  ，  10  或 

N  a 

² 

N 

＝ 

a  N 

，在查表則可得。

【範例】： 

N  N 

² 

N 

10 

N  N 

^{3  3} 

N 

³ 10N  ³ 100N  28 784 5.291503 16.73320 219.52 3.036589 6.542133 14.09460

則由上表可得知，  28 ＝5.291503，  280 ＝16.73320， 

2800 ＝10  28 ＝52.91503。

【範例】：利用上一個範例中的表格，求出下列平方根的值。

(1)  252 ＝？ (2)  2.8 ＝？

解 ：(1)  252 ＝  9 ´ 28 ＝3  28 ＝3×5.291503＝15.874509。

(2)  2.8 ＝  10  28 ＝ 

100  280 ＝ 

10  280 ＝ 

10  16.7332 

＝1.67332。 

4.2  4.25  4.3 

4.2  4.21  4.22  4.23  4.24  4.25 

4.24  4.245 4.25 

【例題一】

求出下列各式的值，並且化簡之：

(1)  4 

9 ＝____ 

2  3 

____

(2)  0.04 ＝___0.2____

(3)  1  9 ＝___ 

3  1 

____

(4) -

(

^­ 3.2 

) 

² ＝__－3.2___

【練習一】

求出下列各式的值，並且化簡之：

(1)  49

25 ＝___ 

5 

7 

______

(2)  0.64 ＝___0.8____

(3)  100 

289 ＝___ 

17  10 

____

(4) -

( ^­5.6  ) 

² ＝___－5.6____

【例題二】

(1) 求  16 的平方根＝__±2____

(2) 求  81 ＝___3___

(3) 求  0.0081 的平方根＝___±0.3___

(4) 求 

2  ¹ 

4 

的平方根＝___± 

2  3 

___

(5)

( ­16  ) 

² 的平方根＝___±4____

(6)  1 

39 16 的平方根＝___±_ 

2 

5 

_____

【練習二】

(1) 求  16 

625 的平方根＝__± 

5  2 

___

(2) 求  256 ＝____4____

(3) 求 1.21 的平方根＝___±1.1___

(4) 求 

2  ⁷ 

9 

的平方根＝___± 

3  5 

____

(5)

( )  ^­23 

² 的平方根＝__±  23 ___

(6)  13 

3 81 的平方根＝___± 

3 

4 

__

E80102

【例題三】

求  100 ＋  0.09 ＋  1 

25 －  784 －  64 ＝__－25.5____。

解：  100 ＋  0.09 ＋  1 

25 －  784 －  64 

＝10＋0.3＋ 

5 

1 

－28－8

＝－25.5

【練習三】

求  400 ＋  0.09 ＋ 

16 

18 1  －  784 ＋  64 ＝___ 

20 

91 

___。

解：  400 ＋  0.09 ＋ 

16 

18 1  －  784 ＋  64 

＝20＋0.3＋ 

16 

289 －28＋8

＝ 

10  3 

＋ 

4  17 

＝ 

20  6 

＋ 

20  85 

＝ 

20  91 

【例題四】

化簡下列各式：

（1） ( － 3 ) ² ＋ 49 － 10 ² ＝﹖ （2） 16 －  6 ² ＋ ( － 5 ) ² ＝﹖

（3）  5 

2 ＝? （4） 

5  1 ＋ 

5  2  ＝? 2  解：（1）  ( － 3 ) ² ＋ 49 － 10 ² ＝3＋7－10＝0

（2）  16 － 6 ² ＋ ( － 5 ) ² ＝4－6＋5＝3

（3）  5  2 ＝ 

5  5 

5  2

´

´ ＝  5  10 

（4）  5  1 ＋ 

5  2  ＝ 2 

5  5 

5  1

´

´ ＋  5 

2  1  ＝ 

5  5 ＋ 

5  5 

5  3  4

´

´

´ ＝  5 

5 ＋  5 

15  2

【練習四】

化簡下列各式：

（1）  (－5 ＋ )² 64－ 11 ² ＝﹖ （2）  144－ 7²＋ －13 ＝﹖ ( ) ² 

（3）  5 

7 ＝? （4）  1 

6 ＋  1  3 6 ＝?

解：（1）  ( － 5 ) ² ＋ 6 4 － 1 1 ² ＝5＋8－11＝2

（2）  1 44 － 7 ² ＋ ( － 13 ) ² ＝12－7＋13＝18

（3）  5  7 ＝ 

7  7 

7  5

´

´ ＝  7  35 

（4）  6  1 ＋ 

6  3  ＝ 1 

6  6 

6  1

´

´ ＋  6  19 ＝ 

6  6 ＋ 

6  6 

6  19

´

´ ＝  6 

6 ＋  6  114 

【例題五】

化簡 

¹ 

2 

48 －5  1 

3 ＋2  12 －  1 

5 3  為最簡分式。

解： 

¹ 

2 

48 －5  1 

3 ＋2  12 －  1  5 3 

＝ 

4  3  2 

1 ´

－  3 

5 ´ 3 ＋ 2 ´ 2  3 －  3  16 

＝ 2  3 －  3 

3 

5  ＋ 4  3 － 

3  3  4 

＝  3 3 

【練習五】

化簡 

¹ 

3 

72 －4  1 

6 ＋  8 －  1 

4 6  為最簡分式。

解： 

¹ 

3 

72 －4  1 

6 ＋  8 －  1  4 6 

＝ 

6  2  3 

1 ´

－  6 

4 ´ 6 ＋ 2  2 －  6  25 

＝ 2  2 －  6 

6 

4  ＋ 2  2 － 

6  6  5 

＝ 4  2 －  2 

6  3

E80102

【例題六】 【練習六】

先把 27225 作質因數分解，再求 27225 的平 方根。

解： ∵ 27225＝ 3 ² ´ 5 ² ´ 11 ² 

∴ 27225 的平方根

＝ ± 

3 ´ 5  ´ 11 

＝±165

先把 1296 作質因數分解，再求 1296 的平方根。

解： ∵ 1296＝ 2 ´ ⁴  3 ⁴ 

∴ 1296 的平方根

＝ ± 2 ´ ²  3 ² ＝±36

【例題六】 【練習六】

若 2 x －7 的平方根是 ± 5，則

(1) x ＝__16__； （2）  x ＝__4___。

解：(1) ∵ 2 x －7 的平方根是 ± 5

∴ 2 x －7＝25 Þ 2 x ＝32

∴  x ＝16

(2) 

x ＝  16 ＝4

若 2 x－3 的平方根是 ± 3，則 (1)  x＝__6___；

(2)4 x＋1 的平方根是__±5___。

(1) ∵ 2 x －3 的平方根是 ± 3

∴ 2 x －3＝9 Þ 2 x ＝122

∴  x ＝6

(2) 4 x＋1＝25 的平方根是±  25 ＝±5

【例題七】 【練習七】

(1) 若 2 x－1 的平方根為 ± 7，

求 3 x＋6 的平方根。

(2) 若(3 x＋2) ² 的平方根為 ± 13，

求  x＝？

解：(1) ∵ 2 x －1 的平方根是 ± 7 

∴ 2 x －1＝49 Þ 2 x ＝50

∴  x ＝25

∴ 3 x＋6＝81 的平方根＝±9 (2) ∵ (3 x＋2) ² 的平方根為 ± 13

∴ 3 x＋2＝ ± 13

∴ 3 x＝11 或 3 x＝－15

∴  x＝ 

3 

11 

或 x＝－5

(1) 若－5 是 3 x－2 的平方根，

求 3 x－11 的平方根。

(2) 若(2 x＋3) ² 的平方根為 ± 5，求 x＝？

解：(1) ∵ －5 是 3 x －2 的平方根

∴ 3 x －2＝25 Þ 3 x ＝27

∴  x ＝9

∴ 3 x－11＝16 的平方根＝±4 (2) ∵ (2 x＋3) ² 的平方根為 ± 5

∴ 2 x＋3＝ ± 5

∴ 2 x＝2 或 2 x＝－8

∴  x＝1 或 x＝－4

【例題八】

設 a 、

b

為整數，若  (a + b ­ 3) ² ＋  (2a + b ­ 5) ² ＝0，求 4 a ＋

b

之平方根。

解： ∵ a＋b－3＝0 ∴ a＋b＝3……○ ¹

∵ 2a＋b－5＝0 ∴ 2a＋b＝5……○ ² 將 ○ ² －○ ¹ 得到 a＝2 代入○ ¹ ，得到 b＝1

∴ 4a＋b＝9 之平方根為±3

【練習八】

設 a 、

b

、c 為整數，若  (a+ 2) ² ＋  (a+ -

b

1) ² ＋  2a­b+c+5 ＝0，則

a＝____－2____，b＝___3____，c＝____2___，則  a + b + c ＝___  3 ___

解： ∵ a＋2＝0 ∴ a＝－2

∵ a＋b－1＝0 ∴ －2＋b－1＝0 Þ b＝3

∵ 2a－b＋c＋5＝0 ∴ －4－3＋c＋5＝0 Þ c＝2

∴  a + b + c ＝  ­ 2 + 3 + 2 ＝  3 

【例題九】

按照下列各種情形，分別求  (2 ­1) 

x 

² 的值：

(1)  x＜ 

2 

1 

。 (2) x＝ 

2 

1 

。 (3) x＞ 

2  1 

。

解： (1) ∵  x＜ 

2 

1

Þ 2x＜1 Þ 2x－1＜0。

∴  (2 ­1) 

x 

² ＝ 

2 -  x  1 

＝1－2x  (2) ∵  x＝ 

2 

1

Þ 2x＝1 Þ 2x－1＝0。

∴  (2 ­1) 

x 

² ＝ 

2 -  x  1 

＝0 (3) ∵  x＞ 

2 

1

Þ 2x＞1 Þ 2x－1＞0。

∴  (2 ­1) 

x 

² ＝ 

2 -  x  1 

＝2x－1

E80102

【練習九】

按照下列各種情形，分別求  (4 ­1) 

x 

² 的值：

(1)  x＜ 

¹ 

4 

。 (2) x＝ 

¹ 

4 

。 (3) x＞ 

¹  4 

。 解： (1) ∵  x＜ 

¹ 

4

Þ 4x＜1 Þ 4x－1＜0。

∴  (4 ­1) 

x 

² ＝ 

4 -  x  1 

＝1－4x  (2) ∵  x＝ 

¹ 

4

Þ 4x＝1 Þ 4x－1＝0。

∴  (4 ­1) 

x 

² ＝ 

4 -  x  1 

＝0 (3) ∵  x＞ 

¹ 

4

Þ 4x＞1 Þ 4x－1＞0。

∴  (4 ­1) 

x 

² ＝ 

4 -  x  1 

＝4x－1

【例題十】

已知 －3＜x＜2，則  ( ­2) 

x 

² ＋  (

x +

3) ² ＝？

解： ∵ －3＜x＜2 ∴ －5＜x－2＜0

∵ －3＜x＜2 ∴ 0＜x＋3＜5

∵  ( ­2) 

x 

² ＋  (

x +

3) ² ＝ 

x  -  2

＋ 

x  +  3

＝2－x＋x＋3＝5

【練習十】

已知 －1＜x＜6，則  ( ­6) 

x 

² ＋  (

x +

1) ² ＝？

解： ∵ －1＜x＜6 ∴ －7＜x－6＜0

∵ －1＜x＜6 ∴ 0＜x＋1＜7

∵  ( ­6) 

x 

² ＋  (

x +

1) ² ＝ 

x  -  6

＋ 

x  +  1

＝6－x＋x＋1＝7

【例題十一】

若 a＝ 2 7 ，b＝ 3 5 ，c＝  37 ，比較 a、b、c 的大小為何？

解： ∵ a＝ 2 7 ＝  28 ， b＝ 3 5 ＝  45 ， c＝  37 

∴ b＞c＞a

【練習十一】

若 a＝ 2 5 ，b＝ 3 2 ，c＝  23 ，比較 a、b、c 的大小為何？

解： ∵ a＝ 2 5 ＝  20 ， b＝ 3 2 ＝  18 ， c＝  23 

∴ c＞a＞b

【例題十二】 【練習十二】

計算下列各式：

(1) (  3 ＋  2 )(  3 －  2 )＝？

(2) (  12 ＋  8 )(  3 －  2 )＝？

(3) (  15 ＋  3 ) ² ＝？

解：(1) (  3 ＋  2 )(  3 －  2 )

＝(  3 ) ² －(  2 ) ² 

＝3－2＝1

(2) (  12 ＋  8 )(  3 －  2 )

＝(2  3 ＋2  2 )(  3 －  2 )

＝2(  3 ＋  2 )(  3 －  2 )

＝2[(  3 ) ² －(  2 ) ² ]

＝2×1＝2 (3) (  15 ＋  3 ) ² 

＝15＋2×  15 ×  3 ＋3

＝18＋6  5 

計算下列各式：

(1)

(

^{8- 18+ 50}

) 

^{´ 2 ＝？}

(2) (  18 －  8 ) ² ＝？

(3) 

2 2 

7 5 7 5 

2 2

æ + ö æ - ö

ç ÷ + ç ÷

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

＝？

解：(1)

(

^{8- 18+ 50}

) 

^{´ 2}

＝4－6＋10＝8 (2) (  18 －  8 ) ² 

＝(3  2 －2  2 ) ² 

＝ 

(  2  ) 

² ＝2 (3) 

2 2 

7 5 7 5 

2 2

æ + ö æ - ö

ç ÷ + ç ÷

ç ÷ ç ÷

è ø è ø

＝  4  5  35  2  7 + +

＋  4  5  35  2  7 - +

＝ 

6 

4 

24 =

E80102

【例題十三】

設 a、b、c、d 皆為正整數，若  360 ≒18.9…，欲使  360a 、  360

b 

、  360  c + 、  360  d - 均為正整數，當 a、b、c、d 均為最小正整數時，求 

a b c

+ + +

d

- ＝？ 8  解： ∵ 360＝ 2 ³ ´ 3 ² ´ 5 

∴  360a ＝ 

2 

³ 

´  3 

² 

´ 5  ´ a

∴ 

a 

= 3 ´ 5 ² = 75  360

b 

＝ 

b 

5  3  2 ³ ´ ² ´

∴ 

b 

= 3 ² ´ 5 = 45 

∵ 18 ² = 324  ， 19 ² = 361 

∴  360  c + ＝  361  ∴ c＝1 

360  d - ＝  324  ∴ d＝36

∴ 

a b c

+ + +

d

- ＝ 8  49 = 7 

【練習十三】

設  720 ≒26.8…，欲使  720a 、  720

b 

、  720  c + 、  720  d - 均為正整數，

當 a、b、c、d 均為最小正整數時，求 

a b c

+ + +

d

+ ＝？ 1  解： ∵ 

720  a =  4 

² 

´ 3 

² 

´ 5  ´ a 

為正整數 ∴  a = 5 

b  b 

5  3  4  720  ² ´ ² ´

= 為正整數 ∴  b = 5 

∵  720 = 26.8…Þ  27 ² = 729，  26 ² = 676  當  720 + 

c

為正整數，則 c = 729 – 720 = 9  當  720 - 

d

為正整數，則 d = 720 – 676 = 44 

∴ 

a 

+ 

b 

+

c 

+

d 

+ 1 = 5 + 5 + 9 + 44 + 1 = 64 = 8 

【例題十四】

設 a 為正整數，且 1＜a＜50，則滿足  4  a + 為整數之 a 共有幾個？

解： ∵ 1＜a＜50 Þ 5＜4＋a＜54 Þ  2＜  5 ＜  4 + 

a

＜  54 ＜8 

∴ 滿足  4  a + 為整數有 3、4、5、6、7，

∴ a 可為 5、12、21、32、45，共有 5 個

【練習十四】

設  10  a - 為正整數，且 a 為正整數，則 a 可為多少？

解： ∵  10  a - 為正整數，且 a 為正整數

∴  10  a - ＝  1 、  4 、  9 

∴ a 可為 9、6、1

【例題十五】

下列各方根的值，何者介於 6 與 7 之間？ 

35 、  36 、  37 、  41 、  43 、  45 、  47 、  49 、  50 。 解： ∵  6 ² = 36  ，  7 ² = 49 

∴ 大於  36 而小於  49 的有  37 、  41 、  43 、  45 、  47 

【練習十五】

下列各方根的值，何者介於 12 與 13 之間？ 

110 、  120 、  130 、  140 、  150 、  160 、  170 、  180 、  190 。 解： ∵ 12 ² = 144  ，  13 ² = 169 

∴ 大於  144 而小於  169 的有  150 、  160 

【例題十六】

滿足 10≦  n ≦15 的正整數 n 共有多少個？

解： ∵ 10≦  n ≦15 Þ 100≦n≦225

∴  n 可為 100~225  ∴ 225－100＋1＝126

∴ 共有 126 個

E80102

【練習十六】

滿足 20≦  n ＜25 的自然數共有多少個？

解： ∵ 20≦  n ＜25 Þ 400≦n＜625

∴  n 可為 400~624  ∴ 624－400＋1＝225

∴ 共有 225 個

【例題十七】

【範例】：(1) 已知

A

(0，0)和

B

(－8，－6)兩點，求 AB 的長。

(2) 已知

C

(－2，0)和

D

(－7，－12)兩點，求 CD 的長。

解 ：(1) 已知

A

(0，0)和

B

(－8，－6)兩點，由兩點距離公式可得知： 

AB ＝ 

[( - 8 ) - 0 ] ² + [( - 6 ) - 0 ] ² 

＝  ( - 8 ) ² + ( - 6 ) ² 

＝  64 + 36 

＝  100 ＝10。 答： AB ＝10。

(2) 已知

C

(－2，0)和

D

(－7，－12)兩點，由兩點距離公式可得知： 

CD ＝ 

[( - 7 ) - ( - 2 )] ² + [( - 12 ) - 0 ] ² 

＝  ( - 5 ) ² + ( - 12 ) ² 

＝  25 + 144 

＝  169 ＝13。 答： CD ＝  17 。

【練習十七】

【範例】：(1) 已知

A

(5，－3)和

B

(－2，21)兩點，求 AB 的長。

(2) 已知

C

(1，1)和

D

(2，3)兩點，求 CD 的長。

解 ：(1) 已知

A

(5，－3)和

B

(－2，21)兩點，由兩點距離公式可得知： 

AB ＝ 

[( - 2 ) - 5 ] ² + [( 21 - ( - 3 )] ² 

＝  ( - 7 ) ² + 24 ² 

＝  49 + 576 

＝  625 ＝25。 答： AB ＝25。

(2) 已知

C

(1，1)和

D

(2，3)兩點，由兩點距離公式可得知： 

CD ＝ 

( 2 - 1 ) ² + [ 3 - 1 ] ² 

＝ 

1 +

² 

2 

² 

＝  1 + 4 

＝  5 。 答： CD ＝  5 。

【例題十八】

試利用右表乘方開方表回答問題：

(1)  290 ＝?

(2)  1  ＝? . 8  (3)  261 ＝?

解：

(1)  290 ＝17.029 (2)  1  ＝ . 8 

10  18 ＝ 

100  180 ＝ 

10  180 ＝ 

10  416  . 

13 

＝1.3416 (3)  261 ＝ 3  29 ＝ 

3 ´ 5  .  385 

＝64.621

【練習十八】

試利用右表乘方開方表回答問題：

(1)  210 ＝?

(2)  880 ＝?

(3)  1  ＝? . 7  解：

(1)  210 ＝14.491

(2)  880 ＝ 2  220 ＝ 

2 ´ 14  .  832 

＝29.664 (3)  1  ＝ . 7 

10  17 ＝ 

100  170 ＝ 

10  170 ＝ 

10  038  . 

13 

＝1.3038

【例題十九】

設  65 的整數部份為 a，  300 的整數部份為 b，求(1)  a + =？ (2)  b-a 的平方根=？ b  解： ∵ 8＜  65 ＜9 ∴  a＝8 

∵ 17＜  300 ＜18 ∴  b＝17 

∴  a + ＝ b  8 + 17 ＝5 

b-a＝17－8＝9 的平方根＝±  9 ＝±3 

N  N 

² 

N 

10 

N 

18  324  4.242  13.416  23  529  4.795  15.165  29  841  5.385  17.029 

N  N 

² 

N 

10 

N 

17  289  4.123  13.038  21  441  4.582  14.491  22  484  4.690  14.832

E80102

【練習十九】

設 

a  ＝ 

_n + 1 1 + a _n ² ，且 

a  ＝  10 則 

₁ 

a  、 

₁ 

a  、 

₂ 

a  、………、 

₃ 

a 

₁₀₀₀ 當中是整數的有多少個？

解： 當 

a  ＝  10 

₁  ， 

a  ＝ 

₂  1 + a ₁ ² ＝  11 

a  ＝ 

3  1 + a ₂ ² ＝  12  ， 

a  ＝ 

₄  1 + a ₃ ² ＝  13 …… 

a 

₁₀₀₀ ＝  1 + a ₉₉₉ ² ＝  1009 

∴ 

a  ＝ 

₇  1 + a ₆ ² ＝  16 ＝4 ， 

a  ＝ 

₁₆  1 + a ₁₅ ² ＝  25 ＝5， 

a  ＝ 

27  1 + a ₂₆ ² ＝  36 ＝6，……  900 ＝30，  961 ＝31，  1024 ＝32

∴ 整數的有 4~31 31－4＋1＝28 個

【例題二十】 【練習二十】

(1) 已知  2 ＝1.414，求下列各數的值：

a.  0.0072 ＝___0.08484____；

b.  8000000 ＝___2828____ 。 (2) 由表查知  875 ＝29.58， 

8750 ＝93.54，求  8  7 ＝ __0.9354__。

解：(1) a.  0.0072 ＝ 

10000  72 

＝ 100  2 

6  ＝0.08484

b.  8000000 ＝ 2000  2 ＝2828 (2)  8 

7 ＝  0.875 ＝ 

1000  875 

＝  10000  8750 

＝  100  8750 

＝ 

100  54  . 

93 

＝0.9354

(1) 已知  21 ＝4.5826，  210 ＝14.4914 求下列各數的值：

a.  210000 ＝___458.26___；

b.  21000 ＝___144.914___ 。 c.  2.1 ＝___1.4914___ 。 d.  0.0021 ＝__0.045826___ 。 解：

a.  210000 ＝ 100  21 ＝ 

100 ´ 4  .  5826 

＝458.26

b.  21000 ＝ 10  210 ＝ 

10 ´ 14  .  4914 

＝144.914 c.  2.1 ＝ 

10  21 ＝ 

100  210 ＝ 

10  210 

＝ 

10  4914  . 

14 

＝1.44914

d.  0.0021 ＝ 

10000  21  ＝ 

100  21 

＝ 

100  5826  . 

4 

＝0.045826

1.認識立方根：

我們知道 3 ³ ＝27，5 ³ ＝125……，那麼多少的立方等於 343 呢？

倒過來給定一數 a ，如果有一數 x 會使得 x ³ ＝ a ，則此 x 稱為 a 的立方根。

例如：我們可以用 x ³ ＝343 來表示，那些 x 滿足 x ³ ＝343 呢？

我們知道 x ＝7 滿足 x ³ ＝343，在此 7 我們稱為 343 的立方根，

但是，(－7) ³ ＝－343，所以(－7)不是 343 的立方根。

【範例】：求下列各數的立方根：

(1) 512 (2) －216 (3) 36 (4) 242。

解 ：(1) 512＝8×8×8＝8 ³ ，故 512 的立方根為 8。

(2) (－216)＝(－6)×(－6)×(－6)＝(－6) ³ ，故(－216)的立方根為(－6)。

(3) 36＝2×3×3，在此我們無法利用相同的三個整數相乘，找出 36 的立方根。

所以 36 的立方根要利用『立方根號』來表示。

(4) 242＝2×11×11，在此我們無法利用相同的三個整數相乘為 242，找出 242 的立方根。所以 242 的立方根要利用『立方根號』來表示。

2.立方根的意義：

(1) 立方根：

設 a 、 x  都是實數，若 x ³ ＝ a ，則 x 就叫做 a 的立方根，以 x ＝ ³ 

a 來表示，

讀作 x 等於正負根號 a 。

例如：4 ³ ＝64，就稱 「4 是 64 的立方根」 。

(－4) ³ ＝(－64)，就稱 「(－4)是(－64)的立方根」 。

【範例】：試找出 9 的平方根和 27 的立方根。

解 ： 9 的平方根是(－3)和 3，因為(－3) ² ＝3 ² ＝9。

27 的立方根是 3，因為 3 ³ ＝27。

此範例中，27 是正數，所以立方根也是正數。

因為 (－3) ³ ＝(－3)×(－3)×(－3)＝(－27)，

所以 (－27)的立方根是(－3)。

※結論：若 x ³ ＝ a ，則 x 就叫做 a 的立方根。 a 只會有一個立方根，以 x ＝ ³ 

a 來表示。

若 x ² ＝ a ，則 x 就叫做 a 的平方根。 a 會有二個平方根，以 x ＝ ±

a

來表示。

E80102

(2) 立方根的表示法：

a. 一個數 a 的立方根記作  ³ 

a ，讀做『三次根號 a 』

。

b. 設 a 是任意數， a 可以是正數或負數，則  ³ 

a 

³ ＝ a 或 ³ (  a - ) ³ ＝－ a 。 c. 零的立方還是為零，所以零的立方根以 ³ 0  (讀做三次根號零)表示，

即  ³ 0 ＝0。

d. 若 ³ 

a 為ㄧ個整數，則 a 為完全立方數。也就是 a ＝x 

³ ，其中 x 為整數，

則稱 a 為完全立方數。

【範例】： 一個數 8 的立方根記作  ³ 8 ，讀做『 三次根號 8』。

【範例】： (1)  ³

5 

³ ＝5 (2)  ³

10 

³ ＝ 10 (3)  ³ (- 7) ³ ＝－7。

【範例】：2 是否為 8 的立方根？

解 ：∵ 8＝2×2×2＝2 ³ ，∴ 2 是為 8 的立方根。

【範例】：－3 是否為 27 的立方根？

解 ： ∵ (－3) ³ ＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27，

∴ －3 不是 27 的立方根。

【範例】：利用質因數分解求出下列各式的立方根：

(1) 27 (2) －512 (3) 125 (4) －1000 (5) 0 。 解 ：(1) 27＝3×3×3，27 的立方根為 ³ 27 ＝ ³ 3 ´ 3 ´ 3 ＝3。

(2) －512＝(－5)×(－5)×(－5)，

－512＝的立方根為 ³ - 512 ＝ ³ 

( - 8  )  ´ (  - 8  )  ´ (  - 8  ) 

＝－8。

(3) 125＝5×5×5，125 的立方根為 ³ 125 ＝ ³ 5 ´ 5 ´ 5 ＝5。

(4) －1000＝(－10)×(－10)×(－10)，

－1000＝的立方根為 ³ - 1000 ＝ ³ 

( - 10  )  ´ (  - 10  )  ´ (  - 10  ) 

＝－10。

(5) 0 的立方根為 ³ 0 ＝0。

【範例】：下列為 1 到 27 的立方根列表：

1  ³ 1 ＝1，1 為完全立方數。

2  ³ 2 ； ³ 2 × ³ 2 × ³ 2 ＝2。

3  ³ 3 ； ³ 3 × ³ 3 × ³ 3 ＝3。

4  ³ 4 ； ³ 4 × ³ 4 × ³ 4 ＝4。

5  ³ 5 ； ³ 5 × ³ 5 × ³ 5 ＝5。

6  ³ 6 ； ³ 6 × ³ 6 × ³ 6 ＝6。

7  ³ 7 ； ³ 7 × ³ 7 × ³ 7 ＝7。

8 2；∵ ³ 8 ＝ ³ 2 ´ 2 ´ 2 ＝2，∴8 為完全立方數。

9  ³ 9 ； ³ 9 × ³ 9 × ³ 9 ＝9。

10  ³ 10 ； ³ 10 × ³ 10 × ³ 10 ＝10。

11  ³ 11 ； ³ 11 × ³ 11 × ³ 11 ＝11。

12  ³ 12 ； ³ 12 × ³ 12 × ³ 12 ＝12。

13  ³ 13 ； ³ 13 × ³ 13 × ³ 13 ＝13。

14  ³ 14 ； ³ 14 × ³ 14 × ³ 14 ＝14。

15  ³ 15 ； ³ 15 × ³ 15 × ³ 15 ＝15。

16  ³ 16 ； ³ 16 × ³ 16 × ³ 16 ＝16。

17  ³ 17 ； ³ 17 × ³ 17 × ³ 17 ＝17。

18  ³ 18 ； ³ 18 × ³ 18 × ³ 18 ＝18。

19  ³ 19 ； ³ 19 × ³ 19 × ³ 19 ＝19。

20  ³ 20 ； ³ 20 × ³ 20 × ³ 20 ＝20。

21  ³ 21 ； ³ 21 × ³ 21 × ³ 21 ＝21。

22  ³ 22 ； ³ 22 × ³ 22 × ³ 22 ＝22。

23  ³ 23 ； ³ 23 × ³ 23 × ³ 23 ＝23。

24  ³ 24 ； ³ 24 × ³ 24 × ³ 24 ＝24。

25  ³ 25 ； ³ 25 × ³ 25 × ³ 25 ＝25。

26  ³ 26 ； ³ 26 × ³ 26 × ³ 26 ＝26。

27 3；∵ ³ 2  ＝ 7  ³ 3 ´ 3 ´ 3 ＝3，∴27 為完全立方數。

【範例】：125＝5 ³ ，5 是 125 的立方根，則 125 即為完全立方數。

【範例】：常用的完全立方數列表。

解 ：

1 ³  ＝ 1 ， 1 是 1 的立方根，則 1 為完全立方數。

2 ³  ＝ 8 ， 2 是 8 的立方根，則 8 為完全立方數。

3 ³  ＝ 27 ， 3 是 27 的立方根，則 27 為完全立方數。

4 ³  ＝ 64 ， 4 是 64 的立方根，則 64 為完全立方數。

5 ³  ＝ 125 ， 5 是 125 的立方根，則 125 為完全立方數。

6 ³  ＝ 216 ， 6 是 216 的立方根，則 216 為完全立方數。

7 ³  ＝ 343 ， 7 是 343 的立方根，則 343 為完全立方數。

8 ³  ＝ 512 ， 8 是 512 的立方根，則 512 為完全立方數。

9 ³  ＝ 729 ， 9 是 729 的立方根，則 729 為完全立方數。

10 ³  ＝ 1000 ， 10 是 1000 的立方根，則 8 為完全立方數。

E80102

【範例】：下列哪些是完全立方數：(－64)、121、192、500、1331、1728。

解 ：  ³ 

(- 64  ) 

＝ ³ 

( - 4  )  ´ (  - 4  )  ´ (  - 4  ) 

＝(－4)。 

3 121 ＝ ³ 11´ 11 ，121 的立方根不是整數。 

3 192 ＝ ³ 

2 ´

⁶ 

3 

，192 的立方根不是整數。 

3 500 ＝ ³ 

5 ´

³ 

2 

² ，500 的立方根不是整數。 

3 1331 ＝ ³ 11 ´ 11 ´ 11 ＝11。 

3 1728 ＝ ³ 

2 ´

⁶ 

3 

³ ＝ ³ (2 ´ 2 ´ 3) ³ ＝12。

所以完全立方數有：(－64)、1331、1728。

(3)負數有一個實數的立方根：

不同於平方根的被開方數必須是非負的整數，立方根的被開方數可以是任意實數。

例如：27＝3 ³ 及 

- 8

＝ (- 2 ) ³ ，所以 ³ 27 ＝3 及 ³ - ＝－2。 8 顯然的，被開方數與它的立方根同號。

【範例】：求出－125 以及－64 的立方根。

解 ：(－125)＝(－5)×(－5)×(－5)，∴(－125)的立方根為(－5)。

(－64)＝(－4)×(－4)×(－4)，∴(－64)的立方根為(－4)。

(4) 設 a 是實數，則 ³ 

a 

³ ＝

ï î ï í ì

=

<

-

> 

0  , 

0 

0  , 

0  , 

a  a  a 

a  a 

當 當 當

。

【範例】： ³ (- 27) ³ ＝(－3)。 

3  3 

12) 

(- ＝(－12)。 

3  3 

(25)  ＝25。

3.立方根運算常用公式：

（1） ³ a ´ ³ b ＝ ³ ab 。

∵ 

( 

³ 

a ´

³ 

b  ) 

³ ＝ 

( 

³ 

a ´

³ 

b  ) 

× 

( 

³ 

a ´

³ 

b  ) 

× 

( 

³ 

a ´

³ 

b  ) 

＝ 

( 

³ 

a ´

³ 

a  ´

³ 

a  ) 

× 

( 

³ 

b ´

³ 

b  ´

³ 

b  ) 

＝

ab 

∴  ³ 

a ´

³ 

b 

＝ ³ 

ab 。

（2） 

3 

3 

a  b 

＝ ³ 

a 

b 

。（ 

b ¹ 0

）

∵  ³ 

3  3 

)  ( 

b  a 

＝ 

3  3 

b  a 

× 

3  3 

b  a 

× 

3  3 

b  a 

＝ 

b  a 

。

∴  3  3 

b  a 

＝ ³ 

b  a 

。

（3） 

3 

3 

a  b 

＝ 

3 2  3 

3 2  3 

a b  b b

´

´

＝ 

3 2 

3 3 

ab  b 

＝ 

3 2 

ab 

b 

。（ 

b ¹ 0

）

【範例】：  ³ 3 ´ ³ 2 ＝ ³ 3 2 ´ 。

【範例】： 

3 

3 

6 

10 ＝ ³  6 

10 ＝ ³ 3  5 。

【範例】： 

3 

3 

3  2 ＝ 

3  2  3 

3  2  3 

3 2 

2 2

´

´

＝ 

3 2 

3  3 

3 2  2

´

＝ 

3 12 2  。

4. 最簡立方根式：

一個三次方根，根號內的數，其因數不再含有大於 1 的完全立方數，

且分母不含立方根號，即無法再進一步化簡，此種立方根叫做最簡立方根式。

例如： 3  3 

3 

7 不是最簡根式， 

3 

3 63 

是最簡根式。

【範例】： ³ 135 與 ³ 225 哪個為最簡立方根？

解 ：∵  ³ 135 ＝ ³ 

3 ´

³ 

5 

＝3 ³ 5 。 

3 225 ＝ ³ 

3 ´

² 

5 

² 。

∴  ³ 225 為最簡立方根。

【範例】：判斷下列何者為最簡立方根：

(1)  ³  27 

4  (2)  ³ 81  (3)  ³ 68  (4)  ³ 56 。

解 ：(1)  ³  27 

4  ＝ 

3  3 

27  4  ＝ 

3 

3 4 

。 (2)  ³ 81 ＝3 ³ 3 。

(3)  ³ 68 ＝ ³ 4 ´ 17 。 (4)  ³ 56 ＝2 ³ 7 。 所以 ³ 68 為最簡立方根。