a = 2 − 1 a = 1

(42)數學歸納法

我們常常要證明一個數學公式的成立，如果用數學歸納法，做法如下:

第一步:證明此公式在 n 為起始值成立。

第二步:證明如果此公式在 n=m 時可以成立，則可導出此公式在 n=m+1 時 可以成立。

以下是一些例子:

(1) aⁱ=1 a_{i +1}=2 a_i+1 a_n=2ⁿ−1

用數學歸納法:

第一步 n=1 時， 左式=a1，右式=2ⁿ−1=2¹=1

∴左式=右式

因此 ，an=2ⁿ−1在n=1時成立

第二步 假設 ^an=2ⁿ−1 在n=m 時成立，我們考慮 n=m+1 左式=am+1=2 a_m+1=2(2^m−1)+1=2^m+1−2+1=2^m+1−1 右式=2^{m+ 1}−1

∴aⁿ=2ⁿ−1在n=m+1也成立

∴aⁿ=2ⁿ−1成立

(2) Sⁿ=1+2+⋯+n=n(n+1) 2

這個公式可以用等差級數來證明，現在我們用數學歸納法 第一步 n=1

S_n=1(1+1)

2 =1 ×2 2 =1

∴Sn=n(n+1)

2 在 n=1時成立

假設 Sn=n(n+1)

2 在m 時成立

S_m=m(m+1) 2

我們要證明 Sm+ 1=(m+1)(m+2) 2

左式=Sm +1=S_m+(m+1)=m(m+1)

2 +2(m+1)

2 =(m+1)(m+2) 2

右式=(m+1)(m+2)

2 =左式

∴Sn=n(n+1) 2 成立

(3) 1+h+h²+⋯+hⁿ=1−hⁿ⁺¹ 1−h

這個公式在前面討論等比級數時證明過，現在我們用數學歸納法 第一步 n=1

左式=1+h+h²+⋯+hⁿ=1+h

右式=1−h^{1+ 1}

1−h =1−h²

1−h=(1+h)(1−h)

1−h =1+h=左式

∴1+h+h²+⋯+hⁿ=1−hⁿ⁺¹

1−h 在n=1 時成立

現在假設此公式在n=m 時成立，我們要證明 1+h+h²+⋯+h^m+h^m+1=1−h^m+2

1−h

左式=1+h+h²+⋯+h^m+h^{m+ 1}=1−h^{m +1} 1−h +h^{m +1}

¿1−h^{m +1}

1−h +(1−h) h^{m +1}

1−h =1−h^m+1+h^m+1−h^{m+ 2}

1−h =1−h^m+2

1−h =右式

∴ 此公式成立

(4) 1+5+9+⋯+(4 n−3)=n (2n−1)

第一步 n=1， 左式=4 ×1−3=1 右式=1(2×1−1)=1

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設 1+5+9+⋯+(4m−3)=m(2m−1)

我們要證明

1+5+9+⋯+(4m−3)+(4 (m+1)−3)=(m+1)(2(m+1)−1) 1+5+9+⋯+(4m−3)+(4 m+1)=(m+1)(2m+1)

1+5+9+⋯+(4m−3)=m(2m−1)

左式=m(2m−1)+(4 m+1)=2m²+3 m+1=(2 m+1)(m+1)=右式

∴ 此公式成立

(5) Fibonacci 數列 F₀=0

F₁=1

F_i=F_i−2+F_i−1 F₂=F₀+F₁=0+1=1 F₃=F₁+F₂=1+1=2 F₄=F₂+F₃=1+2=3

F₅=F₃+F₄=2+3=5 ⋮

公式是 ^{F0+F1+F2+⋯+Fn=Fn +2−1}

第一步 n=1 F_{n +2}=F₃=2

F₃=F₁+F₂=1+1=2

∴ F1=F₃−1

∴n=1時，F0+F₁+F₂+⋯+Fn=F_n+2−1成立

假設n=m 時， F⁰+F₁+F₂+⋯+Fm=F_{m +2}−1

我們要證明 ^{F0+F1+F2+⋯+Fm+Fm +1=Fm +3−1} 左式=

(

)

¿F_{m +1}+F_m+2−1=F_{m +3}−1=右式

∴ 此公式成立

(6)

∑

h=1 n

(−1)^hh²=(−1)ⁿn(n+1) 2

我們先看這個公式 n=5

左式=−1+4−9+16−25=−15 右式=(−1)⁵5(5+1)

2 =−15

n=6

左式=−1+4−9+16−25+36=21 右式=(−1)⁶6 (6+1)

2 =21

第一步 n=1

左式=(−1)¹1¹=−1

右式=(−1)¹1(1+1) 2 =−1

∴ 此公式在 n=1 時成立

假設

∑

h=1 m

(−1)^hh²=(−1)^mm(m+1) 2

我們要推導

∑

h=1 m+1

(−1)^hh²=(−1)^{m +1}(m+1)(m+2) 2

m 為奇數時， (−1)^m=−1，(−1)^m+1=1 m 為偶數時， (−1)^m=1，(−1)^{m +1}=−1 先考慮m 為奇數時

(−1)^hh²=¿

∑

h=1 m

(−1)^hh²+(−1)^{m+ 1}(m+1)²=−m( m+1)

2 +(m+1)²=−m(m+1)+2 (m+1)²

2 =(m+ 1)(^{2 (m+1)−m})

2 =(m+1)(m+2)

2 =(−1)^{m +1}(m+1)( m+2)

2 (因為此時 (−1)^m+1=1)=右式

∑

¿

同理可證 當m 為偶數時

∑

h=1 m+1

(−1)^hh²=(−1)^{m +1}(m+1)(m+2) 2

∴ 此公式成立

(7) 1× 4 +2× 7+3 ×10+⋯+n(3n+1)=n(n+1)²

第一步 n=1 左式=1 ×4=4

右式=1(2)²=1× 4=4=左式

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設 1× 4 +2× 7+3 ×10+⋯+m(3m+1)=m(m+1)²

我 們 要 推 導

1× 4 +2× 7+3 ×10+⋯+m(3 m+1)+(m+1)(3(m+1)+1)=(m+1)(m+2)² 左式=m (m+1)²+(m +1) (3 m+ 4)=(m+ 1)(m(m+1)+3 m+4)

¿(m+1)(m²+4 m+4)=(m+1)(m+2)²=右式

∴ 此公式成立

(8)

∑

h=1 n

h²=1²+2²+3²+⋯+n²=n(n+1)(2 n+1) 6

第一步 n=1 左式=1²=1

右式=1 (2)(3) 6 =1

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設

∑

h=1 m

h²=m(m+1)(2 m+1) 6

我們要推導

∑

h=1 m+1

h²=(m+1)(m+2)(2 m+3) 6

左式=

∑

h=1 m

h²+(m +1)²=m (m+1) (2 m+1)

6 +6 (m+1)² 6

¿(m+1)

(

)

6 =(m+1)

(

)

6

¿(m+1)(m+2)(2 m+3)

6 =右式

∴ 此公式成立

(9)

∑

h=1 n

h³=1³+2³+3³+⋯+n³=n²(n+1)² 4

第一步 n=1 左式=1³=1

右式=1²(2)² 4 =1

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設

∑

h=1 m

h³=m²(m+1)² 4

我們要證明

∑

h=1 m+1

h³=(m+1)²(m+2)² 4

左式=

∑

h=1 m

h³+( m+1)³=m²(m+1)²

4 +4 (m+1)³ 4

¿( m+1)²(m²+4 m+4)

4 =(m+1)²(m+2)²

4 =右式

∴ 此公式成立

(10) 1 1+ 1

1+2+⋯+ 1

1+2+⋯+n= 2n n+1

第一步 n=1 左式=1

右式=2×1 1+1=2

2=1

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設 1 1+ 1

1+2+⋯+ 1

1+2+⋯+m= 2 m m+1

我們要證明 1 1+ 1

1+2+⋯+ 1

1+2+⋯+(m+1)=2(m+1) m+2

左式=1 1+ 1

1+2+⋯+ 1

1+2+⋯+m+ 1

1+2+⋯+(m+1)

¿ 2 m

m+1+ 1

1+2+⋯+(m+1)

¿ 2 m

m+1+ 1

(1+m+1)(m+1) 2

(按照等差級數公式)

¿ 2 m

m+1+ 2

(m+1) (m+2)=2 m (m+2)+2

(m+1) (m+2 )=2

(

)

(m+1) (m+2)

¿ 2 (m+1)²

( m+1) (m+ 2)=2 (m+1)

m+2 =右式

∴ 此公式成立

(11) 1+1 2+1

3+⋯+1 n> 2 n

n+1 第一步 n=2

左式=1+1 2=3

2=1.5

右式=2× 2 2+1=4

3=1.3

∴ 公式成立

第二步 假設 1+1 2+1

3+⋯+ 1 m> 2 m

m+1 我們要證明

1+1 2+1

3+⋯+ 1

m+1>2m+2 m+2

左式=1+1 2+1

3+⋯+ 1 m+ 1

m+1> 2m m+1+ 1

m+1=2 m+1 m+1

右式=2m+2 m+2

我們要證明左式>右式

也就是 2 m+1

m+1 >2 m+2 m+2

a b和c

d中，如ad>bc，則a b>c

d

現在a=2m+1 b=m+1 c=2(m+1) d=m+2

ad=(2 m+1)(m+2)=2 m²+5 m+2

bc=(m+1)×2 ×(m+1)=2(m+1)²=2 m²+4 m+2

可以看出 ad=2 m²+5 m+2>bc=2 m²+4 m+2

左式= 2 m+1

m+1 >2 m+2

m+2 =右式

∴ 此公式成立

(12) 1× 3+2 ×4 +3 ×5+⋯+n(n+2)=n(n+1)(2 n+7) 6

第一步 n=1 左式=1 ×3=3 右式=1 (2)(2+7)

6 =2× 9 6 =3

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設 1× 3+2 ×4 +3 ×5+⋯+m(m+2)=m(m+1)(2 m+7) 6

我們要證明

1× 3+2 ×4 +3 ×5+⋯+(m+1)(m+3)=(m+1)(m+2)(2m+9) 6

左式=m(m+1) (2m+7)

6 +(m +1)( m+3 )

¿m(m+1)(2 m+7)+6 (m+1) (m+3 )

6 =(m+1)

(

)

6

¿(m+1)

(

)

6 =(m+1)(m+2) (2 m+9)

6 =右式

∴ 此公式成立

(13) 1 2 ×3+ 1

3 ×4+⋯+ 1

(n+1)(n+2)= n 2(n+2)

第一步 n=1

左式= 1 2× 3=1

6

右式= 1 2(3)=1

6

∴ 此公式在 n=1 時成立

第二步 假設 1 2 ×3+ 1

3 ×4+⋯+ 1

(m+1)(m+2)= m 2(m+2)

我們要證明 1

2 ×3+ 1

3 ×4+⋯+ 1

(m+2)(m+3)= (m+1) 2(m+3)

左式= 1 2× 3+ 1

3 × 4+⋯+ 1

(m +1) (m+2 )+ 1 (m+ 2)(m+3)

¿ m

2 (m+2)+ 1

(m+2) (m+3 )= m (m+3 )+2

2 (m+2) (m+3 )= m²+3 m+2 2 (m+2)(m+3)

¿ ( m+1) (m+ 2)

2 (m+2) (m+3 )= m+1

2 (m+3)=右式

∴ 此公式成立

(14) 求證 5ⁿ+3是 4 的倍數 第一步 n=1

5¹+3=8是4的倍數

∴ 此命題在 n=1 時成立 第二步 假設 5^m+3=4 h 我們要證明 5^{m +1}+3=4 h^'

∵5^m+3=4 h

∴5^m=4 h−3

5^{m +1}+3=5 ∙5^m+3=5 ( 4 h−3 )+3=20 h−15+3=20 h−12

¿4 (5 h−3)

∴ 此公式成立

(15) 試證 3 ∙5^{2 n +1}+2^{3n +1}是17 的倍數 第一步 n=1

3 ∙5^{2 +1}+2³⁺¹=3 ∙ 5³+2⁴=3× 125+16=375+16=391=17 ×23

∴ 此命題在 n=1 時成立

第二步 假設 3 ∙5^{2 m +1}+2^{3 m+1}=17 K

我們要證明 3 ∙5^{2 (m+1)+1}+2^3(m+1)+1=17 K^' 左式=3∙5^{(2 m+3)}+2^{3 m+4}=3 ∙5²

(

)

(

)

¿3 ∙25

(

)

(

)

¿25

(

)

¿25

(

)

¿25(17 K )−17 (2^{3 m+1})=17(25 K −2^{3 m+1})=17(K^')=右式

∴ 此命題成立

(16) 3^{4 n +2}+5^{2 n+1}是 1 4 的倍數 第一步 n=1

3^{4 n +2}+5^{2 n+1}=3⁶+5³=729+125=854=14(61)

∴ 此命題在 n=1 時成立

第二步 假設 3^{4 m +2}+5^{2 m+1}=14 K

我們要證明 3^{4 (m+1)+2}+5^{2(m +1)+1}=3^{4 m +6}+5^{2 m+3}=14 K^'

左式=3^{4 m+6}+5^{2 m +3}=3⁴

(

)

(

)

(

)

(

)

¿81

(

)

(

)

(

)

¿81 (14 K )−(81−25)

(

)

(

)

¿14(81 K −4 (5^{2 m+ 1}))=14 K^'=右式

∴ 此公式成立

(17) 9^{n +1}−8 n−9為 4 的倍數 第一步 n=1

9²−8−9=81−8−9=64=4 ×16

∴ 此命題在 n=1 時成立

第二步 假設 9^{n +1}−8 n−9=4 h

我們要證明 9^{n +2}−8(n+1)−9=9^{n+ 2}−8 n−17=4 h^' 左式=9ⁿ⁺²−8 n−8−9=9

(

)

¿9 (4 h)+64 n+64=9 (4 h )+64 (n+1)=4 (9 h+16 (n+1))=4 h^'

∴ 此命題成立

(18) 試證 n³+(n+1)³+(n+2)³是9 的倍數 第一步 n=1

1³+2³+3³=1+8+9=18=9 ×2

∴ 此命題在 n=1 時成立

第二步 假設 m³+(m+1)³+(m+2)³=9 K

我們要證明 m+1

¿

¿¿

∵ m ³+(m+1)³+(m+2)³=9 K

∴ m+1

¿

¿¿

∴左式=9 K−m³+(m+3)³=9 K−m³+

(

)

¿9 K +9 m²+27 m+27=9 (K +m²+3 m+3)=9 K^'

∴ 此命題成立

(19) 試證 n>2， 5ⁿ>3ⁿ+4ⁿ 第一步 n=3

5ⁿ=5³=125

3ⁿ+4ⁿ=3³+4³=27+64=91 125>91

∴ 此命題在 n=3 時成立 第二步 假設 5^m>3^m+4^m

我們要證明 5^{m +1}>3^m+1+4^{m +1} 左式=5^{m +1}=5(5^m)>5(3^m+4^m)

右式=3^{m +1}+4^m+1=3 (3^m)+4 ∙ 4^m=3(3^m+4^m)+4^m

我們現在要比較 5(3^m+4^m)_{和3 (3}^m+4^m)+4^m

5(3^m+4^m)−3(3^m+4^m)−4^m=2(3^m+4^m)−4^m=2 ∙ 3^m+4^m>0

∴5(3^m+4^m)>3 (3^m+4^m)+4^m

∴5^{m+ 1}>3^m+1+4^{m +1}

∴ 此命題成立