Segment/Interval Tree
for Sprout 2014 by Chin Huang Lin
本節概要
• 回顧分治法──分治為什麼有用？
• Segment/Interval Tree 概要與特性
• Segment/Interval Tree 定義與操作
• 複雜度分析
分治的力量
• 大事化小，小事化無
• ex. 分地問題，複雜變簡單
• ex. 排序問題，大量變小量
• 分工合作，權責分明
• ex. 合併排序，兩邊已排更容易
• ex. 快速取冪，切半不用重複算
分工合作，權責分明
• 一個有效率的組織應該長這樣
鐵木枝軍團
裝甲部隊 特種部隊 常規陸軍
防空車 自走砲
坦克 特戰隊 情報隊 514 團 633 團 712 團
α β γ δ ε ζ η θ 14 旅 37 旅 68 旅 92 旅 97 旅
分工合作，權責分明
• 下令調度防空車、特種部隊和 712 團
鐵木枝軍團
裝甲部隊 特種部隊 常規陸軍
防空車 自走砲
坦克 特戰隊 情報隊 514 團 633 團 712 團
α β γ δ ε ζ η θ 14 旅 37 旅 68 旅 92 旅 97 旅
越俎代庖，大權在握
• 下令調度防空車、特種部隊和 712 團
鐵木枝軍團
裝甲部隊 特種部隊 常規陸軍
防空車 自走砲
坦克 特戰隊 情報隊 514 團 633 團 712 團
α β γ δ ε ζ η θ 14 旅 37 旅 68 旅 92 旅 97 旅
分工合作 vs 越俎代庖
• 組織複雜 vs 組織簡單
• 依法行政 vs 隨心所欲
• 資料量大 vs 資料量小
• 管理方便 vs 管理困難
Segment/Interval/Range Tree?
• 概念型的資料結構！
• 沒有特定的形式與功能
• 支援連續區間型的可分治操作
• 可隨需求有多種變形
• 完全類似的核心概念
• 底下以 segment tree 作為統一代稱
• 最早出現於計算幾何
• 給你很多平面上的線段，每次動態詢問某條垂直線與多少條線段相交
• 平面上有許多矩形，問所有矩形的聯集面積
• 平面上有許多矩形，問某條垂直線上有多少個矩形
• ……
基本框架
• 一棵「平衡」的二元樹
• 不一定是滿二元樹！
• 每個節點都對應到一個連續區間
• 根節點為總區間
• 左兒子為左半區間，右兒子為右半區間
• 葉節點區間長度為 1
[0,1)
[0,3)
[0,7)
[1,3)
[1,2)
[2,3)
[3,5)
[3,7)
[3,4)
[4,5)
[5,7)
[5,6)
[6,7)
基本框架
• l, r 記錄節點對應到的區間
• lson, rson 為左兒子與右兒子的 index
• data 為該節點對應到的區間的資料
• 底下先以 RMQ 問題為例：求區間最大值
[0,1)
[0,3)
[0,7)
[1,3)
[1,2)
[2,3)
[3,5)
[3,7)
[3,4)
[4,5)
[5,7)
[5,6)
[6,7)
初始建構
[0,1) 13
[0,3) 17
[0,7) 17
[1,3) 17
[1,2) 17
[2,3) 11
[3,5) 7
[3,7) 7
[3,4) 7
[4,5) 3
[5,7) 5
[5,6) 5
[6,7) 2
13 17 11 7 3 5 2
build(0, 7, 0)
單點修改
[0,1) 13
[0,3) 17
[0,7) 17
[1,3) 17
[1,2) 17
[2,3) 11
[3,5) 8
[3,7) 8
[3,4) 7
[4,5) 8
[5,7) 5
[5,6) 5
[6,7) 2
13 17 11 7 8 5 2
modify(4, 8, 0)
區間查詢
[0,1) 13
[0,3) 17
[0,7) 17
[1,3) 17
[1,2) 17
[2,3) 11
[3,5) 8
[3,7) 8
[3,4) 7
[4,5) 8
[5,7) 5
[5,6) 5
[6,7) 2
13 17 11 7 8 5 2
query(2, 5, 0)
簡單嗎？
• 好簡單！只要把握每個節點 data 的定義，就能輕鬆掌握
• 複雜度分析：
• 空間複雜度：可以證明節點數為 2𝑛，𝑂(𝑛)
• 時間複雜度：
• 初始建構：所有節點恰會建構一次，每個節點 𝑂(1)，配合節點樹可得為 𝑂(𝑛)
• 單點修改：該點的所有祖先節點都會被修改到，其他都不會被修改到，𝑂 log 𝑛
• 區間查詢：每筆詢問最多詢問到深度為 𝑂 log 𝑛 的節點；在一次詢問中，每一層不 會有超過 2 個節點被詢問 (想一想，為什麼？)，總複雜度為 𝑂 log 𝑛
• 有沒有辦法區間修改、單點查詢之類的呢……？
區間覆蓋數問題
• 你有一個一維的數線，座標是 [0,2𝑛) 內的整數
• 每次操作可能會：
• 新增一條線段，覆蓋 [𝑙, 𝑟) 區間
• 詢問某個單位區間 [𝑙, 𝑙 + 1) 上覆蓋的線段數
• 移除某條先前覆蓋的區間
• 操作次數 ≦ 105，𝑛 ≦ 5 ∗ 105
• 想一想：如果座標不是 [0,2𝑛)，而可能是 [0,2147483647) 怎 麼辦呢？
• data 的定義改成「完整覆蓋當前區間 的線段數量」
• 和 RMQ 問題的建構沒本質的不同，
只是 data 全部初始化為 0
初始建構
[0,1) 0
[0,3) 0
[0,7) 0
[1,3) 0
[1,2) 0
[2,3) 0
[3,5) 0
[3,7) 0
[3,4) 0
[4,5) 0
[5,7) 0
[5,6) 0
[6,7) 0
0 0 0 0 0 0 0
build(0, 7, 0)
區間修改
[0,1) 0
[0,3) 0
[0,7) 0
[1,3) 1
[1,2) 0
[2,3) 0
[3,5) 1
[3,7) 0
[3,4) 0
[4,5) 0
[5,7) 0
[5,6) 0
[6,7) 0
0 1 1 1 1 0 0
modify(1, 5, 1, 0)
單點查詢
[0,1) 0
[0,3) 0
[0,7) 0
[1,3) 1
[1,2) 0
[2,3) 1
[3,5) 1
[3,7) 1
[3,4) 0
[4,5) 0
[5,7) 0
[5,6) 0
[6,7) 0
0 1 2 2 2 1 1
query(3, 0)
簡單嗎？
• 還是很簡單！乍看之下只是把 modify 和 query 交換而已
• 不過，有些點的 data 似乎不完全滿足定義？
• 假設某個節點對應到 [𝑙, 𝑟]，且有 𝑘 條線段覆蓋它，那麼它的兒子們一 定也被這 𝑘 條線段覆蓋
• 在上面的作法中，兒子的 data 可能不是「新鮮的」──它會在查詢的時 候才順便看看哪些被長輩們「暗蓋」起來了！
• 想一想：這意味著線段樹在什麼情況下可能會有潛在的問題呢……？
• 複雜度分析：
• 空間複雜度：毫無改變
• 時間複雜度：
• 初始建構：毫無改變
• 區間修改：跟區間查詢一樣，𝑂 log 𝑛
• 單點查詢：跟單點修改一樣，𝑂 log 𝑛
線段樹怎麼可能這麼給力？
• 關鍵前提：面對的問題須具有可分治性
• 區間的最大值
• 區間的總和
• 區間的標準差
• 區間同加某個值 (單點查詢)
• 區間開根號 (單點查詢)
• 區間同加某個值 (區間查詢)
• 區間開根號 (區間查詢)
• 區間的逆序數對數
• 區間的最大公因數
• 區間的最小公倍數
• ……
