Segment/Interval Tree in class

Segment/Interval Tree in class

by 林品諺

知己知彼，百戰百勝 知己知彼，百戰百勝

• 大家都看過影片了嗎？

• 線段樹能做哪些事情？

• RMQ(Range Maximim/Minimum Query)

• 區間和

• 除此之外，線段樹還有什麼應用呢？

小故事 小故事

• 為什麼我要特別介紹普通線段樹的應用呢？

• 在我懵懂無知的童年時光，誤入歧途，學了線段樹。

• 那時每個人都對我說：線段樹可以做很多事情。

• 可是我只會 RMQ 跟區間和。

• 那時我常常問別人：線段樹除了算區間最大值以外還能做麽呀？

• 好幾個人都跟我說：很多呀，比如說算區間和。

• 除此之外呢？

前情提要 前情提要

• 線段樹不只是區間和與最大值

• 區間和不只是區間和

• 最大值不只是最大值

• 離線大法

前情提要 前情提要

• 線段樹不只是區間和與最大值

• 區間和不只是區間和

• 最大值不只是最大值

• 離線大法

線段樹不只是區間和與最大值 線段樹不只是區間和與最大值

• sprout 2016 第二次認證考 p? 「我就知道會這樣」

• 給你一個長度為 N 的序列 a ，支援以下兩種操作：

• 1. 修改一個點的值 ( 單點修改 )

• 2. 對於一個區間 [l, r] ，詢問找到一組 (i, j) 滿足 l ≤ i ≤ j ≤ r ，最大化 a[j]-a[i]

• 原題的題敘是給你某支股票 N 天內的股價，問你在第 l 天到 第 r 天之間，如果只能買入與賣出一張股票，最多可以賺多少 錢。

• N ≤ 200,000

我不知道標題要打什麼 我不知道標題要打什麼

• 單點修改 & 區間詢問，這一定是線段樹！

• 如果可以把問題切成小問題，就可以用線段樹維護！

• D&C 精神：不管怎樣先切成兩部份，可以 merge 就可以做

• 答案有三種可能：

• 1. (i, j) 都在左半邊的

• 2. (i, j) 都在右半邊的

• 3. i 在左半邊，但 j 在右半邊的

讚嘆分而治之的力量 讚嘆分而治之的力量

• 斯斯有三種，答案也有三種：

• 1. (i, j) 都在左半邊的

• 2. (i, j) 都在右半邊的

• 3. i 在左半邊，但 j 在右半邊的

• 1., 2.: 直接遞迴下去

• 3.: 最好的 (i, j) 是左半邊最小的 a[i] 與右半邊最大的 a[j]

• 所以對於每個區間只要維護三個東西：

• 區間的最大值

• 區間的最小值

• 區間的最佳 (i, j)

• 就解出來了～～

這題給我們的啟示 這題給我們的啟示

• 只要有類似這種「可以切成小問題」的性質就可以用線段樹！

• 更精確地來說，只要 merge 夠快就行。

前情提要 前情提要

• 線段樹不只是區間和與最大值

• 區間和不只是區間和

• 最大值不只是最大值

• 離線大法

區間和不只是區間和 區間和不只是區間和

• 有一個隊列，一開始是空的

• 有 N 個人依序過來排隊，第 i 個人會排在第 a[i] 個人後 面 (a[i] == 0 就表示第 i 個人排在隊伍的最前面 )

• 請你輸出最後的隊伍長相

• N ≤ 200,000

思考 思考

• 要怎麼支援在第 k 跟 k+1 人中間插入一個數字？

• 自己刻一個平衡樹！

• 可以，但是不好，太痛苦了

• 對於第 N 個人而言，他一定是在最後的隊伍的第 a[N] 個人後 面

• 對於第 N-1 個人而言，他一定是在扣掉第 N 個人的隊伍的第 a [N-1] 個人後面

• 時光倒流！！

• 只要能找到挖掉幾個空格後的第 k 個人在哪裡就好了

所以要怎麼做？

所以要怎麼做？

• 時光倒流後，問題可以轉化這樣：

• 問你當前的序列裡的第 k 個人是誰 ( 區間詢問？ )

• 把第 k 個人拔掉 ( 單點修改 )

• 要怎麼找到做到這件事呢？

• 把一個序列的每個位子都初始化為 1 ，然後開一棵維護總和的 線段樹

• 對於一個區間，如果他左半邊的 1 的數量不小於 k ，就表示第 k 個人在左半邊，反之就在右半邊

• 遞迴下去就好了！

• 修改就只是普通的維護總和的線段樹的單點修改

前情提要 前情提要

• 線段樹不只是區間和與最大值

• 區間和不只是區間和

• 最大值不只是最大值

• 離線大法

最大值不只是最大值 最大值不只是最大值

• 給你一個多重集合 S ，一開始是空的

• 有三種操作：

• 1. 把 x 加入到集合中

• 2. 把 x 從集合裡拔掉

• 3. 回答 S 裡面出現最多次的數字 ( 眾數 ) ，如果有多個就輸出最小的

• 操作數 ≤ 200,000, x ≤ 200,000

思考 思考

• 一個想法：開一個陣列， a[i] 表示 i 在集合 S 裡面出現了幾次

• 目標，找到最大的 a[i] ，有多個 a[i] 時選最小的 i

• 其實有個用 STL map 就可以爽爽寫掉的作法，不過用到了一個神 奇的技巧

• 可以用線段樹找到最左邊的最大值嗎… ?

數值線段樹 數值線段樹

• 我們把「把數值當作索引值」的線段樹稱為數值線段樹

• 對 a[i] 建一棵維護最大值的線段樹

• 問題就變成在線段樹上找最左邊的最大值

• 用類似「區間和不只是區間和」的方法在線段樹上走，就可以找 到答案

前情提要 前情提要

• 線段樹不只是區間和與最大值

• 區間和不只是區間和

• 最大值不只是最大值

• 離線大法

離線大法 離線大法

• 給你一個長度為 N 的序列 a 以及 Q 個詢問

• 每個詢問包含一組 (l, r, x)

• 詢問一個區間 [l, r] 裡有幾個比 x 大的數字

思考 思考

• 這東西其實可以被持久化線段樹揍掉，但我不是要講這個

• 如果只是要問區間有幾個數字比某個常數 k 大呢？

• 開一個陣列 b ， b[i]=(a[i]>=k ? 1 : 0)

• 對 b 建一棵維護總和的線段樹

• 如果 x 照順序給的話有好事：直接維護 b 陣列 & 對應的線段 樹，每個 i 只會被改到一次，複雜度會是好的

• 如果詢問的 x 一直亂跳呢？

• 離線！

偷看後面的詢問 偷看後面的詢問

• 我們可以一口氣把所有的詢問讀進來，然後照 x 的大小排序

• 我們稱這種把所有詢問都讀進來之後再一起處理的技巧稱為「離 線」，反之如果是看到一個詢問就回答就是「在線」

• 不過有些題目會強制在線，比如說要你回答一個詢問之後才給你 下一個詢問

區間 MEX 區間 MEX

• 2016 IOICAMP 某場練習賽的題目

• 給你一個長度為 N 的非負整數序列與 Q 個區間詢問

• 每次問你一個區間中，沒有出現的非負整數中最小的是多少？

• Ex: 2 0 1 3 1

• (0, 1) -> 1

• (1, 3) -> 2

• (0, 4) -> 5

• N, Q <= 100,000

思考 思考

• 這題其實很技巧，正常人應該都想不出來

• 這題會有種「要包到所有數字」的感覺

• 把問題想成對於每個 r ，往左走到 l 會有哪個數字沒包到

• 對於某個 r ，假設 a[i]=a[j]=0 且 i<j<=r ，那麼 a[i]

一定不影響所有右界為 r 的詢問的答案

• 對於每個 r 開一個陣列 b[r][] ， b[r][x] 表示要包到 x 的話， l 至少要是 b[r][x] （ l 要比 b[l][x] 小才能包 到 x ）

• 對於每個 b[r][] 開一棵線段樹，對於每個 (l, r) 詢問，搜 尋 b[r][] 序列中，小於 l 的最左邊的 entry

要開好多線段樹 QQ 要開好多線段樹 QQ

• 剛剛的做法需要開 N 個線段樹

• 不過 b[r-1][] 跟 b[r][] 只會差一個數字

• 持久化！

• 持你媽！ 可以離線！

• 把所有詢問對 r 排序，維護 b[r][] 序列的線段樹

• 總複雜度只有 O(NlgN)