Chapter 7 Problem Plus(p.533)

Chapter 7 Problem Plus(p.533)

1 p.534 No.3

這題可以先對 ∫1 0

√7

1− x³dx 作一個小觀察: 令 y =√⁷

1− x³，移項可以得到 x =√³

1− y⁷。因此作變數 代換之後就會得到

∫ 1 0

√7

1− x³dx =

∫ 0 1

y(d dy

√3

1− y⁷)dy =−

∫ 1 0

y(d dy

√3

1− y⁷)dy 所以原式∫1

0(√³

1− x⁷−√⁷

1− x³)dx就可以改寫成

∫ 1 0

√3

1− x⁷dx−

∫ 1 0

√7

1− x³dx =

∫ 1 0

√3

1− x⁷dx+

∫ 1 0

y(d dy

√3

1− y⁷)dy =

∫ 1 0

(√³

1− x⁷+x( d dx

√3

1− x⁷))dx (注意在這裡 y 對積分而言只是一個亞變數，可以把 y 用 x 代回去) 觀察上式裡最後積分的函數就可以發現

√3

1− x⁷+ x( d dx

√3

1− x⁷) = d dx(x√³

1− x⁷) 所以原式又可以寫成∫1

0 d dx(x√³

1− x⁷)dx。又因為 x√³

1− x⁷ 在 [0,1] 上連續，所以我們可以使用微積分基本 定理 (P.393) 得到

∫ 1 0

d dx(x√³

1− x⁷)dx = (x√³

1− x⁷)|¹0= 1√³

1− 1⁷− 0√³

1− 0⁷= 0 因此∫1

0(√³

1− x⁷−√⁷

1− x³)dx = 0

2 p.534 No.5

圓面積 =πa²，橢圓面積 =πab (π× 半長軸 × 半短軸)(p.480)，所以剩餘面積 = πa²− πab = πa(a − b)，

剛好就是半長軸為 a、半短軸為 a-b 的橢圓面積

3 p.534 No.7

利用合角公式可以得到 cos(x− t) = cos(x) cos(t) + sin(x) sin(t)。因此 f (x) =

∫ π 0

cos(t) cos(x−t)dt =

∫ π 0

cos(t)(cos(x) cos(t)+sin(x) sin(t))dt = cos(x)(

∫ π 0

cos²(t)dt)+sin(x)(

∫ π 0

sin(t) cos(t)dt)

= π cos(x) 2 所以 f (x) 在 [0,2π] 之間的最小值就是−π/2。

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