Chapter 3 Problems Plus

Chapter 3 Problems Plus

Chih-Kuang Lee September 4, 2013

11. The figure shows a circle with radius 1 inscribed in the parabola y = x². Find the center of the circle.

這一題要怎麼做呢？我們把圓心那一點取名為 C、交點為 P 好了。我們令圓心為 C = (0, s) for some s > 0

因此圓的方程式為

x²+ (y − s)²= 1 所以，下半圓的方程式為

y = s −p 1 − x²

為何挑下半圓呢？因為從圖上很明顯地我們需要的是下半圓的部分。 接著，下半圓的 導數是

y⁰= − −2x 2√

1 − x² = x

√1 − x²

因為在 P 點相切，所以拋物線和下半圓在 P 點的微分是一樣的。故得到 2x = x

√1 − x²

由於 x 不會是 0，等式兩邊同除 x 之後再兩邊平方，得到 4 = 1

1 − x²

解得 x²= 3/4，因此 y = x²= 3/4，也就是說我們知道了 P 點的座標。 最後，把 這個結果帶回下半圓方程，得到

3 4 = s −

r 1 −3

4 算出來 s = 5/4，因此 C 點的座標為 (0, 5/4)！ 

14. Tangent lines T1 and T2 are drawn at two points P1 and P2 on the parabola y = x² and they intersect at a point P . Another tangent line T is drawn at a point between P1 and P2; it intersects T1 at Q1 and T2

at Q2. Show that

|P Q₁|

|P P1| +|P Q₂|

|P P2| = 1 如果看不懂題目在說什麼的話，最好自己畫個圖幫助理解。

我們假設

P₁= (a, a²) P₂= (b, b²)

至於介於 P1 和 P² 中間的切點，我們叫做 Q 點好了！然後假設 Q = (c, c²)

在繼續算下去之前，來看一下較一般的狀況。

我們知道在拋物線上 (t, t²) 這點的斜率是 2t，因此通過這個點的直線為 y = 2t(x − t) + t²

化簡之後，得到

2tx − y = t²

若在拋物線上有另一點 (s, s²)，則通過這兩個點的切線之交點為以下聯立方程式的

解。 

2tx − y = t² 2sx − y = s² 解出來會得到

x = s + t

2 and y = st

根據我們以上的討論，我們馬上就知道 P 、 Q1和 Q²點的座標為 P = a + b

2 , ab



Q1= a + c 2 , ac



Q2= b + c 2 , bc



因此彼此之間的距離為

|P Q1| = |b − c|

2

p1 + 4a² |P Q2| = |a − c|

2

p1 + 4b²

|P P1| = |a − b|

2

p1 + 4a² |P P2| = |a − b|

2

p1 + 4b² 由於 c 介於 a 和 b 之間，因此 |b − c| + |a − c| = |a − b|。故

|P Q1|

|P P1| +|P Q2|

|P P2| = |b − c|

|a − b|+|a − c|

|a − b|

= |a − b|

|a − b| = 1 證明完畢。 

15. Show that

dⁿ

dxⁿ(e^axsin bx) = rⁿe^axsin(bx + nθ)

where a and b are positive numbers, r²= a²+ b², and θ = tan⁻¹(b/a) 遇到這種題目，通常都是使用數學歸納法居多。

首先，來看看微分一次的情形。

d

dx(e^axsin bx) = ae^axsin bx + be^axcos bx

=p

a²+ b²e^ax

 a

√

a²+ b²sin bx + b

√

a²+ b²cos bx



= re^ax(cos θ sin bx + sin θ cos bx)

= re^axsin(bx + θ)

其實同學應該看的出來，這題要熟悉三角函數的疊合才有辦法把式子化簡成我們要的 型。

現在假設微分 k 次，等式也成立。那我們來看看微分 k + 1 次的情形。

d^k+1

dx^k+1(e^axsin bx) = d dx

 d^k

dx^ke^axsin bx



= d

dxr^ke^axsin(bx + kθ)

= r^k[ae^axsin(bx + kθ) + be^axcos(bx + kθ)]

= r^ke^axp a²+ b²

 a

√a²+ b²sin(bx + kθ) + b

√a²+ b²cos(bx + kθ)



= r^k+1e^ax[cos θ sin(bx + kθ) + sin θ cos(bx + kθ)]

= r^k+1e^axsin[bx + (k + 1)θ]

其中中間幾步再次用了三角函數的疊合。

因此根據數學歸納法原理，原敘述成立。 

19. (a) Use the identity for tan(x − y) to show that if two lines L1 and L2 intersect at an angle α, then

tan α = m2− m1

1 + m₁m₂

where m1 and m2 are the slopes of L1 and L2, respectively.

我們令 θ1 、 θ2 分別為 L1 、 L2 和 x 軸的交角。則根據斜率的定義，我們有 m1= tan θ1 and m2= tan θ2

因此 α = θ2− θ1，我們得到

tan α = tan(θ2− θ1) = tan θ₂− tan θ1

1 + tan θ1tan θ2

= m2− m1

1 + m1m2

其實兩條線的交角有兩個，但題目也沒特別說是哪一個交角，因此姑且就令 α = θ2− θ1來滿足我們的證明。 

19. (b) Use part (a) to find, correct to the nearest degree, the angle between each each pair of curves at each point of intersection.

(i) y = x² and y = (x − 2)²

(ii) x²− y²= 3 and x²− 4x + y²+ 3 = 0

這一題也沒有很難，先求出兩曲線的交點，然後在算出兩曲線在該點的導數，就可以 算出夾角。 我們從第一小題開始吧！假設夾角為 α，令

x²= (x − 2)²

可以解出一個解 x = 1，因此交點為 (1, 1)。然後該點的導數也很容易求得，分別為 2和 −2，故我們可以算出

tan α = (−2) − 2 1 + 2 × (−2) =4

3 α ≈ 53^◦ 

接下來看第二題吧！第一條方程式是雙曲線，第二條則是橢圓，整理一下可以得到 x²

3 −y²

3 = 1 and (x − 2)²+ y²= 1 整理過後可以看出，這兩條曲線的交點是上下對稱的兩個點。於是令

x²− 3 = −x²+ 4x − 3

算出來得到 x = 0 或者是 x = 2，不過顯然地 0 不是解，因此再把 x = 2 代入曲 線，可以得到 y = ±1。因此兩個交點分別是 (2, 1) 和 (2, −1)。

接下來我們來計算交點的導數，不過因為這兩個交點上下對稱（連圖形也上下對 稱），因此我們只算上面的那一個即可。

首先假設交角為 β，接著兩個函數先分別只取上半部 y =p

x²− 3 and y =p

1 − (x − 2)² 然後微分得到

y = x

√x²− 3 and y = −x + 2 p1 − (x − 2)² 因此求得在該點的導數分別為 2 和 0，因此可以知道

tan β = 2 − 0 1 + 2 × 0 = 2 β ≈ 63^◦ 

21. What happens to the point R as P is taken closer and closer to the axis?

學過高三物理中的光學的同學應該都會知道答案是 R 會趨近於 AO 的中點，不過我 們還是要來證明一下。

不失一般性，我們就把這個半圓放到座標上吧！我們假設圓的半徑為 1，且圓心在圓 點上。故上半圓的方程式為

y =p 1 − x² 為何只有上半圓呢？因為下半圓用不到。

我們假設 P 點的高度為 t，將之帶入半圓方程式可得 Q 點為 (−√

1 − t², t)！又 QO 直線的斜率為 −t/√

1 − t²，因此根據前面第19題的經驗，我們知道 QR 的斜率為 2 × −t

√1 − t²

1 −

 −t

√1 − t²

² =

√−2t 1 − t² 1 − t²

1 − t²

= −2t√ 1 − t²

(1 − t²) − t² = −2t√ 1 − t² 1 − 2t²

是故 QR 直線的方程式可以寫成 y − t = −2t√

1 − t² 1 − 2t² (x +p

1 − t²) 令 y = 0，我們就能得到 R 點的座標，因此把 y = 0 帶入後得到

x = 1 − 2t² 2√

1 − t² −p 1 − t²

= − 1 2√

1 − t² 最後，令 t → 0，我們發現

t→0lim− 1 2√

1 − t² = − 1 2√

1 − 0² = −1 2 確實當 P 點靠近 x 軸時，R 點就趨近 −1/2，如同我們所預期！  25. For what value of k does the equation e^2x= k√

x have exactly one solution?

這題要怎麼做呢？只有一解有兩種情況，第一種是兩條線僅交會在一點，另一種情況 是兩條線僅相切在一點。不過 e^2x的斜率是遞增的，而 k√

x 的斜率是遞減的，因此 第一種情況是不會出現的！

如果是第二種情形的話，相切處的導數是相同的。因此我們把該等式兩邊微分，得到 2e^2x= k

2√ x 比較原式和這個式子，我們可以得到

k√ x = k

4√ x

算出來是 x = 1/4，也就是如果兩條函數圖形真的有相交且切於一點的話，該點的 x 值是 1/4。將之代回原式，得到

e^2×14 = k r1

4 解得

k = 2√ e 

28. Given an ellipse x²/a²+ y²/b²= 1, where a 6= b, find the equation of the set of all points from which there are two tangents to the curve whose slopes are (a) reciprocals and (b) negative reciprocals.

看得懂題目要問什麼嗎？(a) 是問說橢圓上兩個點切線斜率互為倒數的話，就把他們 的切線交點蒐集起來，然後問所有這種點所形成的圖形的方程式；而 (b) 則是問負倒 數的情形。

在開始問題之前，我們先來看看整體的情況。考慮橢圓外一點 (α, β)，則通過他的直 線方程式為

y = m(x − α) + β

倘若這一條直線和橢圓相切，那我們可以將之代入橢圓方程式而得到 x²

a² +[m(x − α) + β]² b² = 1 稍加整理後，得到

a²m²+ b²
x²+ 2ma²(β − mα)x + a²(β − mα)²− b² = 0 由於是相切，因此這個一元二次方程式的判別式應為 0，故我們得到

2ma²(β − mα)²

− 4 a²m²+ b²
· a²(β − mα)²− b² = 0 經過稍繁複的化簡後，我們算出

a²− α²
m²+ 2αβm + b²− β²
= 0 (1) 我們現在可以來做 (a) 小題了！現在假設 (α, β) 就是該圖形上的一點，則通過此點的 兩條切線斜率分別為 m 和 m⁻¹，且這兩個斜率會是 (1) 的解！由根與係數的關係，

我們得到

b²− β² a²− α² = 1

移項後得到 α²− β²= a²− b²，也就是說此圖形的軌跡方程式為 Γa: x²− y²= a²− b² 

接著我們來看看 (b) 小題。由於通過 (α, β) 的兩條切線的斜率為 m 和 −m⁻¹，而他 們也是 (1) 的解，再次根據根與係數的關係，我們發現

b²− β² a²− α² = −1

移項後得到 α²+ β²= a²+ b²，也就是此圖形的軌跡方程式為 Γb: x²+ y²= a²+ b² 

29. Find the two points on the curve y = x⁴− 2x²− x that have a common tangent line.

我們知道一個首項係數為正的 4 次的多項式，圖形通常會長成類似麥當勞標誌的倒 過來，因此這條切線的存在性可想而知。為了方便討論，先假設那兩點分別為 A 和 B，並且令 A 的 x 座標為 α、 B 的 x 座標為 β。且 α < β。

首先，這個函數的導數為

y⁰= 4x³− 4x − 1 接著，令這條切線為

L : y = mx + k 其中 m = 4α³− 4α − 1。因此 α 和 β 應該為

(x⁴− 2x²− x) − (mx + k) = 0 (2) 的兩個重根。為何是重根呢？因為如果是單根(simple root)的話是不會相切的。

既然 α 和 β 分別都是重根，上述的等式可以寫成 (x − α)²(x − β)²= 0 展開得到

x⁴− 2(α + β)x³+ (α²+ 4αβ + β²)x²− αβ(α + β)x + α²β²= 0 (3) 和 (2) 式比較三次項的係數，可以發現 β = −α，故 (3) 式可以改寫成

x⁴− 2α²x²+ α⁴= 0

再和 (2) 式比較平方向係數，得到 α²= 1，因此 α = −1、β = 1。

所以 A = (−1, 0)、B = (1, −2) 即為所求。 

30. Suppose that three points on the parabola y = x² have the prop- erty that their normal lines intersect at a common point. Show that the sum of their x-coordinates is 0.

首先，假設這三點分別為 A = (a, a²)、B = (b, b²)、C = (c, c²)。

在繼續往下做之前，我們先來看一下較一般的狀況。通過 (t, t²) 這一點的切線斜率為 2t，那麼法線的斜率就是 −1/2t 了！因此 (t, t²) 的法線直線方程式為

y − t²= −1 2t(x − t) 整理一下，我們得到

x + 2ty = 2t³+ t (4) 因此，通過這三點所形成的三條法線分別為







x + 2ay = 2a³+ a x + 2by = 2b³+ b x + 2cy = 2c³+ c

觀察上面三個式子，我們發現 a、b、c 都是 (4) 的解（以 t 為變數的三次多項式）。

由於平方項的係數是 0，根據根與係數的關係，我們就知道 a + b + c = 0！

同學可能會說這裡的 x、y 不是定數，不過會同時滿足這三條式子的 x、y 就是這三 條法線的交點，因此固定這一個特別的 x、y，我們便得到我們要的結果。 

31. Find the smallest value of r such that any line with slope ²₅ intersects some of these circles.

這題看起來複雜，不過問題其實可以簡化為：在 (0, 0) 和 (0, 1) 上分別作兩個半徑為 r 的圓。則 r 至少要是多少，才有辦法讓通過 (0, 0) 和 (0, 1) 之間所有斜率為 ²5 的 直線都和這兩個圓至少交於一點？

由於上下兩圓的對稱，我們知道最極端的狀況就是下述直線 L : y = 2

5x + 1 2

和上下兩個圓分別相切。因此半徑其實就是圓點到這條直線的距離！

假設同學忘記高中怎麼做點到直線的距離了，那就現學現用微積分的方法吧！由於我 們只需要下面那個圓的上半圓，因此可以把圓方程式寫成

y =p r²− x² 而其導函數為

y⁰= −x

√r²− x²

我們令 y⁰= 2/5，這樣就可以求出切點的 x 座標了！等號兩邊平方，我們得到 4

25= x² r²− x²

算出來得到 x = −^√2₂₉r，因此這一點的 y 值為 ^√5₂₉r。將這兩項代入直線 L，得到

√5

29r = 2 5× −2

√

29r + 1 2 最後解得

r = 5 2√

29

這就是我們要的答案囉！如果同學還記得高中的點到直線距離的算法的話，也是可以 直接算出來：

r = 

²₅ × 0 − 1 × 0 +¹₂  q 2

5

² + 1²

=

1 2 1 5

√29 = 5 2√

29 兩種做法都行。