整合數位光彈及有限元素分析於孔之結構設計

整合數位光彈及有限元素分析於孔之結構設計

方榆翔 林漢昇 陳元方

國立成功大學機械工程系

摘 要

在機械結構中，孔之位置常設計於主軸應力相等處(等應力點)之所在。本 文利用新近發展之最小-最大掃描(min-max scan)分析法，經由光彈實驗獲得之 全場主應力角分佈，搭配運用電腦自動尋找等應力點之位置；然後使用有限元 素分析比較：(1)在等應力點或其附近不同位置鑽孔時，及(2)於等應力點上，

鑽以不同大小之孔時，孔周圍之von-Mises 應力之分佈情形，以探討於等應力 點處鑽孔之適當性。研究中以一圓盤三點受力為例。由結果歸納出，在等應力 點位置上鑽孔，其孔周圍之最大von-Mises 應力值較附近其他位置者為小；若 鑽孔之孔徑越小，其孔周圍最大von-Mises 應力值亦越小。因此光彈實驗獲得 等應力點之位置，可有效作為孔之最佳化結構設計之用。

關鍵詞：等應力點、最小-最大掃描法、自動化光彈分析、有限元素法。

INTEGRATION OF DIGITAL PHOTOELASTICITY AND FINITE ELEMENT ANALYSIS FOR STRUCTURAL DESIGN OF HOLES

Yu-Hsiang Fang Han-Sheng Lins Terry Yuan-Fang Chen Department of Mechanical Engineering

National Cheng Kung University Tainan, Taiwan 701 R.O.C.

Key Words: isotropic point, min-max scan, automated photoelastic analy- sis, finite element analysis.

ABSTRACT

In mechanical structures, the holes are frequently designed at the iso-

tropic points where the principal stresses are equal. In this paper, a newly

developed min-max scanning method is applied to determine the whole

field principal stress direction of a photoelastic model by experiment, and

the isotropic points on the model are further extracted automatically by a

self-designed program. The von-Mises stress distributions around holes: (1)

drilled at the determined isotropic point and near-by locations, and (2)

having various sizes drilled at the determined isotropic point location are

obtained and compared by finite element analysis. The suitability of drill-

ing a hole at the determined isotropic point is investigated. Test results

from a three-point loaded disk show that the maximum von-Mises stress

around the hole drilled at the determined isotropic point is less than that

around the near-by locations. As the size of the hole drilled at the deter- mined isotropic point is decreased, the maximum von-Mises stress around the hole is also decreased. Therefore the isotropic point location deter- mined by using the digital photoelastic approach can be effectively utilized for optimal design of holes in structures.

一、前 言

機械結構設計上，孔為材料減重及穿過管線之用。在 平面應力的問題上，對於欲穿孔之結構材料，常將孔鑽於 主軸應力相等處（等應力點）作為最佳之結構設計，此等 應力點亦稱之為等向點(isotropic point)；在光彈應力分析 中，此等向點可經由觀察讓各個不同角度之等傾線通過的 點來確定。

早期的光彈分析需利用光彈平面偏光場之設置，以人 工方法將各方向之等傾線畫出，然後找出等向點，此過程 非常耗時乏味；由於等傾線和等色線混在一起，且等傾線 條紋較粗，在描繪條紋中心時容，易造成誤差[1]。近年來 數位光彈之發展，已使得光彈分析變的更有效率[1,2]；

Umezaki 及 Shimamoto[1]提出利用自動化光彈實驗及傅立 葉級數展開法，獲得等傾線圖像，並發展一自動尋找等應 力點之方法[2]，找出等應力點之所在，進而由條紋序數之 分佈來探討於等應力點處挖孔之可適性。由於 Umezaki 及Shimamoto 所提出之自動化光彈實驗較為繁雜，因此本 文提出利用最小-最大掃描法[3]，有效的獲得等傾線圖分 佈圖，然後利用一套自行發展的程式，自動尋找出等應力 點的位置[4]，此程式應用上具備有快速且準確的特性；進 而配合有限元素法分析並比較；(1)鑽孔於等應力點及其鄰 近位置上，孔周圍之von-Mises 應力之分佈情形。(2)於等 應力點上，不同鑽孔孔徑大小下，孔周圍之von-Mises 應 力之分佈情形，以探討於等應力點位挖孔之可適性。

二、Min-Max 光彈原理

平面偏光場常用於光彈實驗中，用以獲得等傾線圖；

其實驗設置如圖1 所示。當析光鏡(analyzer)之光軸與偏光 鏡(polarizer)之光軸平行時，則通過析光鏡後之亮場光強度 可表示為：

I=I

－ sin

2(θ)sin2(Nπ)] (1)

其中：

I

N (=δ/λ) = 條紋序數

δ = 偏極光通過雙折射試件後的相對遲滯量 λ = 入射光的波長

若吾人持續改變實驗模型的受力大小，則會改變(1)式 中的

N 值，使得其中 sin

( N )之值於 0 跟 1 之間變化；因 π

I

= I

－ sin

2θ] = I

cos

2θ (2)

由影像中每一像素點位置之最大灰階值組成的圖像，Imax， 可表示為：

max m

I

I

將各像素點之最小和最大的灰階值相除，可得：

2 cos4 θ 2θ 1

I cos

R I

max

min ( )

0= = = + (4)

所以

cos4 θ

利用同樣的方法，將析光鏡與偏光鏡同時順時針旋轉

π

2 ] ) 4 1 [ (

)]

8 / ( 2 1

[

θ sin

π θ sin

m m min

= +

−

−

= I I

I

m

max

I

I

(6）式除以（7）式，可得：

2 ) 4 1 (

8 /

θ sin

max min

π = = +

I

R I

1 2 4 =

R

sin θ

圖 1 光彈實驗裝置

(a) (b)

圖 2 等應力點位置附近之：(a)灰階分佈圖及(b)二值化圖

圖 3 尋找等應力點之視窗框

經由(5)及(9)式即可在值域範圍(0,

π

三、尋找等應力點之演繹法及光彈測試[4]

利用最小-最大掃描法光彈實驗可得到等傾線角之灰 階圖（0~255；0 代表黑色，對應 0 度；255 為白色，對應 π/2）。考慮一由數值模擬所得之典型的等應力點周圍的灰

(a) 0 度 (b) 22.5 度

圖 4 正規化後之最小灰階值影像圖

圖 5 圓盤全場主應力角灰階分佈圖

圖 6 含孔圓盤之有限元素分析網格圖

階分佈，如圖2(a)所示；利用二值法將灰階值中的 0 至 127 示成 0；而 128-255 表示成 255，可轉換成只有黑與白呈 現的圖形，如圖2(b)所示。觀察圖 2(b)等應力點周圍一視 窗框上黑變至白的情形，可知其有變換兩次的特性，故可 據此特性來判斷等應力點之所在。然而，研究中發現有某 些等應力點之周圍視窗框上，亦會有由黑變至白兩次的情 況，使得判斷出錯；故在判斷時，修正其條件為必須在等 應力點周圍多視窗框上皆符合由黑變至白變換兩次的特 性；因此設定一(n×n)的視窗做為起始視窗框，並擴大到 (n+2m)×(n+2m)之結尾視窗框，如圖 3 所示，檢驗其是否 符合等應力點附近的之黑白變換情況，以找出正確的等應 力點位置。

camera analyzer

model

polarizer light

掃描之 視窗框

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

P

Window

n×n Window

F

X’

Y’

r α

90˚

0˚

(a) (b) (c)

(d) (e)

圖 7 圓盤之 von-Mises 應力分佈(a)未鑽孔時；(b)鑽孔於等應力點上，孔半徑 0.4cm；(c)鑽孔於等應力點右方 0.5cm，

孔半徑 0.4cm；(d)鑽孔於等應力點上方 0.5cm 鑽孔，孔半徑 0.4cm；(e)鑽孔於等應力點上，孔半徑 0.6cm

實驗測試一三點受力之圓盤模型，由最小及最大灰階 值組成的圖像顯示於圖4(a)及 4(b)中，圖 5 為經處理分析所 得之等傾線角灰階分佈圖。將圖 5 影像局部放大後，可由 其灰階值判斷等應力點之位置在像素點(116,189)處。經由 本程式以起始視窗框13×13、結尾視窗框 21×21 之搜尋，得 到之等應力點位置在像素點(117,190)處，其誤差為 1.4 像 素。此處即定為挖孔的位置。

四、孔周圍之有限元素應力分析

利用光彈實驗得出之等應力點是否最適於鑽孔，於 此節中，吾人進一步運用有限元素法分析比較：(1)等應 力點及等應力點鄰近鑽孔的 von-Mises 應力分佈；(2)等 應力點上鑽以不同孔徑大小之孔時的 von-Mises 應力分 佈，以確定於等應力點上挖孔之適用性。有限元素應力 分析係使用ANSYS 軟體，採用平面應力之型態，以自由 網格分析，依實驗尺寸，模擬一半徑為5.6 公分，楊氏係 數為 207×10⁵ N/cm^2，，浦松比為 0.3，受外力 F=1000N 之圓盤。圓盤之受力及網格化模擬模型，如圖 6 所示。

分 析 所 考 慮 之 鑽 孔 位 置 分 別在 等 應 力 點 及 其 上 方 、 下 方、左方及右方 0.5 公分之處；考慮之鑽孔半徑分別為 0.3、0.4、0.5、0.6 公分。

五、有限元素分析之結果與討論

圓盤未挖孔時，經由有限元素法分析找到的等應力點 位置與光彈實驗找到的等應力點位置相當接近，兩者間之 誤差為0.16 公分。未挖孔時，圓盤之 von-Mises 應力分佈 情形如圖7(a)所示；圖 7(b)-7(d)則為鑽孔孔徑 0.4 公分，孔 心位置分別在等應力點處、等應力點右方0.5 公分處、及等 應力點上方 0.5 公分處時，圓盤之 von-Mises 應力之分佈 圖。由圖7 可看出，鑽孔後，孔周圍最大 von-Mises 應力值 會變大；當鑽孔位置偏離等應力點處時，其孔周圍之最大 von-Mises 應力會變得更大。圖 8 所示為孔心在各不同位置 時，其周圍之von-Mises 應力值比較。由圖中數據得知在等 應 力 點 上 鑽 孔 時 ， 其 孔 周 圍 最 大 von-Mises 應 力 值 為 214N/cm²，而在等應力點上、下、左、右方0.5cm 處鑽孔 時，其孔周圍最大von-Mises 應力值分別為 253、263、277、

277N/cm²。 故 可 知 在 等 應 力 點 上 鑽 孔 ， 其 孔 周 圍 最 大 von-Mises 應力值為最小。在此例中還可以發現到，鑽孔位 置左右偏移對應力值增加的影響較上下偏移為大。

圖7(e)為鑽孔半徑 0.6cm 時，圓盤 von-Mises 應力之 分佈情形。經與鑽孔半徑0.4cm 之圖 7(b)比較，可看出鑽 孔半徑0.4cm 周圍之最大 von-Mises 應力值較 0.6cm 孔周

1 NODAL SOLUTION STEP=2 SUB=1 TIME=2 SEQV (AVG) DMX=.212764 SMN=.24615 SMX=9583

1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB=1 TIME=1 SEQV (AVG) DMX=.404511 SMN=0115854 SMX=9629 1

NODAL SOLUTION STEP=1 SUB=1 TIME=1 SEQV (AVG) DMX=.1.1384 SMN=.182846 SMX=9631

1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB=1 TIME=1 SEQV (AVG) DMX=.645788 SMN=.023042 SMX=9614

1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB=1 TIME=1 SEQV (AVG) DMX=.505502 SMN=.377603 SMX=6731 NOV 24 2005

08：21：17

NOV 26 2005

11：35：42 NOV 26 2005

13：13：39

NOV 26 2005

11：57：40 NOV 26 2005

16：42：22 0 66.667 133.333 200 266.667

33.333 100 166.667 233.333 300 0 66.667 133.333 200 266.667

33.333 100 166.667 233.333 300 0 66.667 133.333 200 266.667 33.333 100 166.667 233.333 300

0 66.667 133.333 200 266.667

33.333 100 166.667 233.333 300 0 66.667 133.333 200 266.667 33.333 100 166.667 233.333 300

圖 8 不同位置上鑽孔時，孔周圍 von-Mises 應力分佈之比較

圖 9 等應力點上鑽以不同孔徑之孔時，孔周圍 von-Mises 應力之比較

圍之最大von-Mises 應力值為低。圖 9 為鑽孔於等應力點 上 ， 半 徑 分 別 為 0.3 、 0.4 、 0.5 、 0.6cm 時 ， 孔 周 圍 von-Misesstress 之比較情形，由圖中可得半徑為 0.3、0.4、

0.5、0.6cm 時，最大 von-Mises 應力值分別為 187、214、

221、236N/cm²。故可知鑽孔之孔徑越小，孔周圍之最大 von-Mises 應力值亦越低。

六、結 論

本研究整合數位光彈實驗及有限元素法應用於二維 含孔結構的最佳化設計。經運用最小-最大掃描法，可以快 速求取出主應力角之全場分佈圖，配合自動尋找等應力點 之程式，可以準確的找出等應力點之位置，經與人工放大 判定比較，其誤差為1.4 像素；光彈實驗與有限元素法分 析所得之應力點位置誤差則為0.16 公分。繼由有限元素法

分 析 可 知 ， 於 等 應 力 點 上 鑽 孔 時 ， 其 孔 周 圍 之 最 大 von-Mises 應力值較其他位置鑽孔為低；且孔徑愈小，其 周圍之最大von-Mises 應力亦愈小，證得於等應力點位置 挖孔確實適用及具有成效。

符號索引

I

m a x

I

m i n

I

N

300 250 200 150 100 50

0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

圓心於等應力點上 圓心於等應力點上方0.5cm 處 圓心於等應力點下方0.5cm 處 圓心於等應力點左方0.5cm 處 圓心於等應力點右方0.5cm 處

Von Mises stress (N/cm2)

250

200

150

100

50 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340

r=0.3cm r=0.4cm r=0.5cm r=0.6cm

Von Mises stress (N/cm2)

角度

角度

N (=δ/λ)

δ 偏極光通過雙折射試件後的相對遲滯量

θ 等傾線角度

λ 單色光的波長 λ 入射光的波長

參考文獻

1. Umezaki E., and Shimamoto, A., “Application of Iso- tropic Points Extracted Using Computerized Photoelastic Experiment to Design Structural Members,” Journal of

Strain Analysis, Vol. 35, pp. 415-421 (2000).

2. Umezaki, E., and Shimamoto, A., “Extraction of Isotropic Points Using Simulated Isoclinics Obtained by Photoelas- ticity-Assisted Finite Element Analysis,” Optics and La-

ser in Engineering, Vol. 38, pp. 71-85 (2002).

3. Chen, T. Y., and Chou, Y., C., “A Novel Approach for

Full-Field Measurement of Principal Stress Directions in Photoelasticity,” Proceeding of ATEM, pp. 10-12 (2003).

4. Chen, T., Y., Fang, Y., H. and Lin., H., S., “Automatic Extraction of Isotropic Points Using Min-Max Scanned Photoelastic Images,” The 3rd International Conference

on Experimental Mechanics, Singapore (2004).

5. 周侑成，「各種自動化光彈分析方法之比較」，碩士論 文，國立成功大學，台南 (2002)。

6. Dally, J., W., and Riley, W., F., Experimental Stress Analysis, McGraw-Hill, New York(1978).

7. Frocht, M., M., Photoelasticity, John Wiley, New York (1941).

2005 年 06 月 29 日 收稿

2005 年 07 月 07 日 初審

2005 年 12 月 05 日 複審

2006 年 02 月 27 日 接受