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國立台中教育大學 95 學年度大學日間部轉學招生考試
微積分 試題
適用學系：數教系
一、 選擇題：
（10 題，每題 4 分，共 40 分。）
1.設 < + ≥ + = 2 4 2 2 2 2 3 x bx ax x ax x x f , , ) ( 對所有x值皆可微分，則(a,b)=？ (A)( 12, ) (B)( ,3) 2 3 (C)( , 8) 3 8 − (D)(3,− 。 5) 2.若二次函數 f(x)=2ax2 −bx+4c滿足 f′(2)= f(2)=0且 f(1)=1，則 f′ )(4 = ？ (A)1 (B) 1− (C) 4− (D) 4 。 3.設 f(x)= x3 +3x2 −9x−10在區間 ( 4, 2)− 的相對極大值為m，相對極小值為n，則 = − n m (A)16 (B)32 (C)40 (D)56 。 4.求定積分∫
− dx= x x x 4 1 2 3 4 ？ (A) 8 39 (B) 8 9 − (C)7 3 (D) 8 15 。 5.由曲線 x e y= 與三直線x=0、x=9、y=0所圍成之區域繞x軸旋轉一周所得之立 體體積為 (A)π e( 9 −1) (B) 27 e π (C) ( 1) 2 18 − π e (D) ( 1) 2 9 − π e 6.級數：(a)∑
∞ =1 ! 1 i i (b)∑
∞ =1 1 i i (c)∑
∞ =1 2 1 i i (d)∑
∞ =1 2 1 i i 請問級數中收斂的有幾個(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 7.計算級數∑
∞ =1 ! 1 i i 的近似值：(A)1.7 (B)2.7 (C)3.1 (D)∞ 。 8.計算級數 dx x x∫
0∞ sin 的近似值：(A)1.6 (B)2.7 (C)3.1 (D) ∞ 。 9.計算級數∑
∞ = + 1 1) (i (-1) i i 的近似值：(A)0.7 (B)1.7 (C)2.1 (D)∞ 。 10.已知(a)∑
∞ =1 i ! i i i (b)∑
∞ =1 i ! 2 i i (c)∑
∞ =1 2 +7 −1 1 i i i (d) dx x x∫
0∞ sin 判斷上列之值，其值有限的有幾個(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。第 頁，共 2 頁 2
二、 計算及證明題：（6 題，每題 10 分，共 60 分。）
1. = + − → ln(1 )) 1 1 ( lim 0 x x x ？ 2.求∫
x2e3x3+1dx=？ 3.請利用微積分的概念證明「在周長為 S 的所有矩形中，邊長為 S/4 的正方形面積最 大」。 4.請利用微積分的概念導出「高為 h 且底是邊長為 a 的正方形之正角錐的體積公式」。5.One set of parametric equations for an ellipse is
( ) sin( )
x= f t =a t , ( )y=g t =bcos( )t
where 0< <a b (so the ellipse is stretched in the y-direction). Find the curvature as a function of t and show that the curvature is largest at the narrow end of the ellipse where the curve crosses the y-axis.
6.Show that any function of the form
( ) ( )
z= f x+at +g x at−
is a solution of the wave equation
2 2 2 2 2 z z a t x ∂ = ∂ ∂ ∂
