5.2. Uniqueness of the Determinant Function

Chapter 5

Determinant

這一章我們將介紹 determinant (行列式). 對於一個 n×n matrix, 我們將它的行列式視為其 row vectors 所張成的平行多面體的 “有向體積”. 利用這個看法, 我們探討 determinant 應有 的性質, 再利用這些性質來得到 determinant 的定義. 這一章中, 我們探討的Rⁿ 向量大多以 row vector 來表示, 除非與矩陣乘法有關才會用 column vector 來表示.

5.1. Signed Area in R

and Properties of Determinant Function

[ a b c d

]

∈ M2×2(R), 令 u = (a, b), v = (c, d). 此時 det(A) = ad −bc 的絕 對值會是 u, v 所張成的平行四邊形的面積. 而 det(A) 為正的表示 v 在 u 的逆時針方向 (也 就是說將 u 逆時鐘旋轉某個小於 180^◦的角度後會與 v 平行). 反之, det(A) 為負的表示 v 在 u 的順時針方向. 因此det(A) 不只告訴我們有關於 u, v 所張成的平行四邊形的面積, 且告訴 我們 u, v 之間的方向性. 因此我們稱 det(A) 為 u, v 所張成的平行四邊形的 signed area.

我們希望將此推廣到 n× n matrix. 也就是說當 A ∈ Mn×n(R), 令 v1, . . . , v_n∈ Rⁿ 依序為 A 的 row vectors. 我們希望能定義 det(A) 使其值為 v1, . . . , vn 在Rⁿ 所張成的 “平行多面體”

的 signed volume. 也就是說, 希望 det(A) 的絕對值表示 v₁, . . . , v_n 在 Rⁿ 所張成的 “平行多 面體” 的體積, 而其正負號表示的是 v₁, . . . , v_n 的方向性. 或許大家會疑惑? 當 n≥ 4 時, Rⁿ 中 n 個向量所張的 “平行多面體” 是什麼樣子都不知道, 要如何去說它的體積呢? 沒錯, 我 們就是希望能延伸R² 的平行四邊形面積的概念到R³ 的平行六面體體積. 然後希望能一直 延伸下去定義出一般 Rⁿ 中 n 個向量所張的平行多面體的體積. 簡言之, 我們想利用預期一 個體積應該符合哪些性質的方法, 來定義出體積. 所以接下來的工作就是列出幾個和 signed area 相關的性質, 希望能定義出 determinant (行列式) 這一個從 M_n×n(R) 到 R 的函數 (用 det 表示), 使得它符合這些性質.

首先我們要定義體積, 應該先定義單位體積為何才能確定體積. 在 R² 中我們是因為定 義了 (1, 0), (0, 1) 所張的平行四邊形 (其實是正方形) 的面積為 1, 才得到其他平行四邊形的 面積. 又 (1, 0) 到 (0, 1) 確實是逆時鐘轉π/2, 依前面的方向性應為正向. 所以 det(I2) = 1 確 實符合我們要求 (1, 0), (0, 1) 所張的平行四邊形的面積為 1 且為正向的要求. 因此要決定Rⁿ 115

中的單位體積, 很自然的我們會定其 standard basis e₁, . . . , e_n 所張的平行多面體的體積為 1, 且要求 e₁, . . . , e_n 這樣的方向性就是正向. 也就是說我們希望 e₁, . . . , e_n 所張的平行多面體的 signed volume 為 1, 亦即我們定 det(In) = 1.

至於一般Rⁿ 中 n 個向量 v₁, . . . , vn 的方向性怎麼定呢? 在R² 中, 若 u, v 為正向, 表示 v 在 u 的逆時鐘方向. 此時 v, u 就是負向, 因為 u 在 v 的順時鐘方向. 而 2×2 的 determinant det

[ a b c d

]

= ad− bc = −(bc − ad) = −det [ c d

a b ]

也符合這個性質. 因此我們認為Rⁿ 中 n 個向量 v1, . . . , vn, 若將其中兩個相鄰向量 vi, vi+1 變換順序就會改變方向性. 也就是說當 A∈ Mn×n(R), 若將 A 的相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則我們要求 det(A^′) =−det(A).

另一個改變 v₁, . . . , v_n 的方向性的可能就是將其中一個 v_i 改為 −vi. 例如在 R² 中, 若 u, v 為正向, 則−u,v 就是負向. 反之, 若 u,v 為負向, 則 −u,v 就是正向. 如下圖所示:

v u

−u

u v

−u 而 2× 2 的 determinant

det

[ −a −b c d

]

= det

[ a b

−c −d ]

=−ad + bc = −(ad − bc) = −det [ a b

c d ]

也符合這個性質. 因此我們認為 Rⁿ 中 n 個向量 v₁, . . . , v_n, 若將其中一個 v_i 改為 −vi 就會 改變方向性. 也就是說當 A∈ Mn×n(R), 若將 A 的某個 row 乘上 −1 所得的矩陣為 A^′, 則我 們要求 det(A^′) =−det(A).

至於體積我們希望有怎樣的性質呢? 首先若 r 為一個正實數, 平行多邊形若有一邊為原 來的 r 倍, 我們認為其體積應也會隨之改變為原來的 r 倍. 而 2× 2 的 determinant

det

[ ra rb c d

]

= det

[ a b rc rd

]

= rad− rbc = r(ad − bc) = r det [ a b

c d ]

也符合這個性質. 因此我們認為當 r > 0, Rⁿ 中 n 個向量 v₁, . . . , v_n, 若將其中一個 v_i 改為 rvi 就會改變其體積為原來的 r 倍. 也就是說當 r > 0, 若將 A∈ Mn×n(R) 的某個 row 乘上 r 所得的矩陣為 A^′, 則我們要求 det(A^′) = r det(A). 而若將 A 的某個 row 乘上 −r 所得的矩 陣為 A^′′, 我們可視為將該 row 先乘上 r 得到 A^′ 再在 A^′ 的該 row 乘上 −1, 所以我們要求 det(A^′′) =−det(A^′) =−r det(A). 換言之, 不管 r 是正實數或負實數, 若將 A 的某個 row 乘上 r 所得的矩陣為 A^′, 則我們都要求 det(A^′) = r det(A).

最後如果Rⁿ中 n 個向量 v₁, . . . , v_n將其中一個向量 v_i拆成兩個向量之和, 即 v_i= w_i+ w^′_i, 則我們認為 v₁, . . . , v_i, . . . , v_n 所張成的平行多面體其有向體積應為 v₁, . . . , w_i, . . . , v_n 所形成的 平行多面體和 v₁, . . . , w^′_i, . . . , vn 所形成的平行多面體的有向體積之和. 例如在 R² 中下圖所 示:

5.1. Signed Area inR² and Properties of Determinant Function 117

u v₁ v₂

v₁+ v₂

注意這裡以 u 為底, u, v₁+ v₂ 所張的平行四邊形的高為 u, v₁ 所張的平行四邊形和 u, v₂ 所 張的平行四邊形的高之和. 而 2× 2 的 determinant

det

[ a + a^′ b + b^′

c d

]

=

(a + a^′)d− (b + b^′)c = (ad− bc) + (a^′d− b^′c) = det [ a b

c d ]

+ det

[ a^′ b^′ c d

] ,

det

[ a b

c + c^′ d + d^′ ]

=

a(d + d^′)− b(c + c^′) = (ad− bc) + (ad^′− bc^′) = det [ a b

c d ]

+ det

[ a b c^′ d^′

]

也符合這個性質. 因此我們要求當 A, B,C 三個 n× n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A, B,C 其他各 row 皆相等時, det(A) = det(B) + det(C).

我們將上述討論所希望 determinant 應具有的性質總結如下:

(1) det(I_n) = 1.

(2) 若將 n× n matrix A 某相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) =−det(A).

(3) 若將 n×n matrix A 某個 row 乘上非零實數 r 所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) = r det(A).

(4) 若 A, B,C 三個 n× n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A, B,C 其他各 row 皆相等, 則 det(A) = det(B) + det(C).

注意 (2) 這個性質稱為 determinant 的 alternating 性質; 而 (3), (4) 兩個性質, 我們 通稱為 determinant 的 multi-linear 性質. 千萬不要搞錯, 它並不是說若 A = B + rC 則 det(A) = det(B) + r det(C), 而是說僅有一個 row 寫成線性組合而其他 row 固定不動的情況之 下, determinant 可保持該 row 線性組合的關係. 其大致的圖示如下

det











— v1— ...

— vi+ rv^′_i— ...

— vn—











= det











— v1— ...

— vi— ...

— vn—









 + r det











— v1— ...

— v^′_i— ...

— vn—









 .

Question 5.1. 試利用 determinant multi-linear 的性質將 det

[ ra₁+ sa₂ rb₁+ sb₂ tc₁+ uc₂ td₁+ ud₂

] 寫成 det

[ ai bi

c_j d_j ]

的線性組合.

5.2. Uniqueness of the Determinant Function

上一節中我們給了 det 這個函數預期應該擁有的性質, 但是我們不知道這樣的函數存不存 在. 因為或許這些性質要求太多, 會互相抵觸造成符合這些性質的函數根本不存在. 也有可 能這些性質要求太少, 以至於有很多函數可以符合這些性質. 這一節中我們將探討, 若符合 這些性質的函數存在的話, 那它會是唯一的. 也就是說, 不管怎麼去定這個函數, 如果定出的 函數真能符合我們要求的性質, 那它一定就是唯一的那一個.

或許大家會疑惑, 連這個函數存不存在都不知道, 為何要先探討它的唯一性呢? 其實我 們在處理數學問題時經常是這樣做的. 例如在解方程式時, 我們都是先假設其解存在, 然後 再利用等量公理等方法解出其解可能為那些, 再將這些可能的值代回原方程式看看是否符 合, 然後才找到真正的解. 也就是說, 我們不可能將所有的數都代入方程式來找解, 而解方程 式的過程是利用若有解的話其解需要具備的性質幫我們縮小範圍找出真正的解來. 現在我 們也是一樣, 想先由前一節列出的性質去推導出更多的性質, 然後得到符合這些性質的函數 若存在的話僅有一個, 再由此得到這個函數可能的形式, 然後回過來驗證它真的符合我們要 的性質.

要注意在本節中, 由於尚未證明 det 是存在的, 所以我們推導出來的性質都是在 det 存在 的假設情況才會成立. 從邏輯的角度來看, 這裡推導出來的每個敘述之前都要加上 “若 det 存在” 這樣的假設條件. 不過以後我們將會證明 det 確實存在, 所以這些敘述事實上是正確 的. 因此為了方便起見, 我們都略去 “若 det 存在” 這樣的假設條件.

首先我們探討 det 在 elementary row operation 之下其取質如何改變. 在 det 要求的性 質 (2) 中我們要求當 A 的某相鄰兩個 row 交換其行列式值要變號. 其實這對 A 的任兩個 row 交換也會成立. 這是因為我們可以利用相鄰兩個 row 互換的方法將 A 的 i-th row 和 j-th row 交換. 例如 3-th row 和 6-th row 互換的動作, 我們先從上而下的先將 3-rd 和 4-th row 交換, 然後 4-th 和 5-th row 交換, 這樣一直到將原本的 3-rd row 換到 6-th row 的位置.

此時共做了 6− 3 = 3 次的相鄰兩個 row 互換的動作圖示如下:











 ...

— v3—

— v₄—

— v₅—

— v₆— ...













→











 ...

— v4—

— v₃—

— v₅—

— v₆— ...













→











 ...

— v4—

— v₅—

— v₃—

— v₆— ...













→











 ...

— v4—

— v₅—

— v₆—

— v₃— ...













接著我們從下而上的將 5-th 和 4-th row 交換 (即原本 6-rd 已到達 4-th row 的位置), 最後 將 4-th 和 3-rd row 交換將原本的 6-th row 換到 3-rd row 的位置. 此時共做了 5− 3 = 2 次 的相鄰兩個 row 互換的動作圖示如下:

5.2. Uniqueness of the Determinant Function 119











 ...

— v4—

— v5—

— v6—

— v₃— ...













→











 ...

— v4—

— v6—

— v5—

— v₃— ...













→











 ...

— v6—

— v4—

— v5—

— v₃— ...













在一般的情況, 不失一般性假設 i < j, 我們可以先將 A 的 i-th row 和 i + 1-th row 互換, 接 著將 i + 1-th row 和 i + 2-th row 互換, 這樣一直下去直到將原本 i-th row 換到 j-th row. 注 意此時原本 i + 1-th row 到 j-th row 其實都只是往上移一個 row, 而我們共做了 j−i 次的相 鄰兩個 row 互換的動作. 接下來從 j− 1-th row 開始, 先和 j − 2-th row 交換 (此時原本的 j-th row 已換到 j− 2-th row), 然後再依序往上用相鄰兩 row 互換的方法將原本的 j-th row 換到 i-th row. 這次由下往上互換的動作從 j− 1-th row 和 j − 2-th row 交換一直到 i + 1-th row 和 i-th row 交換共做了 ( j−1)−i 次的相鄰兩個 row 互換的動作. 所以從上而下再從下 而上完成將 i-th row 和 j-th row 互換共做了 ( j− 1 − i) + ( j − i) = 2( j − i) + 1 次的相鄰兩個 row 互換的動作. 由於每做一次相鄰兩 row 互換 det 會變一次號, 而 2( j− 1) + 1 為奇數, 故 最後 det 還是要變號. 我們推得了以下的性質.

Lemma 5.2.1. 假設 A 為 n× n matrix. 若將 A 任兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) =−det(A).

回顧一下, 將 A 的 i-th 和 j-th row 交換這樣的 elementary row operation 所得的矩陣其 實是將 A 的左邊乘上一個 elementary matrix E. 而 E 就是將 identity matrix I_n 的 i-th 和 j-th row 交換. 所以依 Lemma 5.2.1, 我們有 det(E) =−det(In). 而 det 的性質 (1) 告訴我 們 det(In) = 1, 因此得 det(E) =−1. 又 Lemma 5.2.1 說將 A 的 i-th 和 j-th row 交換所得的 矩陣 EA 其行列式為−det(A), 因此若 E 為將 i-th 和 j-th row 交換這樣的 elementary row operation 所對應的 elementary matrix, 則 det(EA) =−det(A) = det(E)det(A).

利用 Lemma 5.2.1, 如果 det 這個函數存在的話, 我們可以推得以下簡單的性質.

Lemma 5.2.2. 假設 A 為 n× n matrix 且 A 中有兩個 row 是相等的. 則 det(A) = 0.

Proof. 假設 A 的 i-th row 和 j-th row 是相等的. 此時若將 A 的 i-th 和 j-th row 交換所得 的矩陣為 A^′, 則由 Lemma 5.2.1 可得 det(A^′) =−det(A). 但又 A^′= A, 所以依 det 是一個函 數 (之假設) 知 det(A) = det(A^′). 故由 det(A) = det(A^′) =−det(A) 得證 det(A) = 0.  第二種 elementary row operation 是將矩陣的某個 row 乘上一個非零實數. 這一個 elementary row operation 對行列式的影響其實就是我們要求 det 的性質 (3). 同樣的, 利 用這一個 elementary row operation 將 A 的 i-th row 乘上一個非零實數 r 所得的矩陣就 是將 A 的左邊乘上一個 elementary matrix E. 而 E 就是將 identity matrix I_n 的 i-th row 乘上 r. 因此依 det 的性質 (1)(3), 我們有此時 det(E) = r det(In) = r. 而性質 (3) 又要求 det(EA) = r det(A), 故此時我們依然有 det(EA) = r det(A) = det(E) det(A). 利用這個性質以及 det 這個函數存在的假設, 我們可以推得以下簡單的性質.

Lemma 5.2.3. 假設 A 為 n× n matrix 且 A 中有一個 row 全為 0. 則 det(A) = 0.

Proof. 假設 A 的 i-th row 全為 0. 此時若將 A 的 i-th 乘上 2 所得的矩陣為 A^′, 則由 det 的性質 (3) 得 det(A^′) = 2 det(A). 但又 A^′ = A, 所以依 det 是一個函數 (之假設) 知 det(A) = det(A^′). 故由 det(A) = det(A^′) = 2 det(A) 得證 det(A) = 0.  第三種 elementary row operation 是將矩陣的某個 row 乘上非零實數 r 加到另一個 row.

現假設 A 為 n×n matrix 且設 A 的 k-th row 為 vk, for k = 1, . . . , n. 令將 A 的 i-th row 乘上 r 加到 j-th row 所得的矩陣為 A^′, 則 A^′ 的 j-th row 為 v_j+ rv_i, 而 A^′ 的 k-th row 仍為 v_k, for k̸= j. 另外令 B 為 n × n matrix 其 j-th row 為 vi, 而 k-th row 為 v_k, for k̸= j. 則依 det multi-linear 的性質 (即性質 (3) (4)), 我們有 det(A^′) = det(A) + r det(B). 但 B 的 i-th row 和 j-th row 皆為 vi, 故由 Lemma 5.2.2 知 det(B) = 0. 得知 det(A^′) = det(A), 因此我們有以下 的性質.

Lemma 5.2.4. 假設 A 為 n× n matrix. 若將 A 的 i-th row 乘上 r 加到 j-th row 所得的矩 陣為 A^′, 則 det(A^′) = det(A).

同樣的, 將 A 的 i-th row 乘上非零實數 r 加到 j-th row 這樣的 elementary row operation 所得的矩陣其實是將 A 的左邊乘上一個 elementary matrix E. 而 E 就是將 identity matrix I_n 的 i-th row 乘上非零實數 r 加到 j-th row. 所以依 Lemma 5.2.4, 我們有 det(E) = det(I_n) = 1 且 det(EA) = det(A). 因 此 若 E 為 將 i-th row 乘 上 非 零 實 數 r 加 到 j-th row 這 樣 的 elementary row operation 所對應的 elementary matrix, 則 det(EA) = det(A) = det(E) det(A).

結合上面三種 elementary row operations 對 det 的影響, 我們得到以下重要的定理.

Theorem 5.2.5. 假設 A 為 n× n matrix. 若 E 為 elementary matrix, 則 det(EA) = det(E) det(A).

Theorem 5.2.5 是 determinant 一個非常重要的性質, 它可以幫我們推導出許多有關於 determinant 的性質. 首先要注意的是三種 elementary row operations 所對應的 elementary matrices 它們的 determinant 皆不為 0, 回顧一下它們的 determinant 分別如下:

(1) 對於兩 row 交換的 elementary matrix E, 我們有 det(E) =−1.

(2) 對於某個 row 乘上非零實數 r 的 elementary matrix E, 我們有 det(E) = r.

(3) 對於某個 row 乘上非零實數 r 加到另一個 row 的 elementary matrix E, 我們有 det(E) = 1.

另外, 若 E₁, E₂ 為 elementary matrices, 由 Theorem 5.2.5 我們有

det(E2E1A) = det(E2(E1A)) = det(E2) det(E1A) = det(E2) det(E1) det(A).

依數學歸納法可得, 若 E₁, . . . , E_k 為 elementary matrices, 則

det(Ek···E1A) = det(Ek)···det(E1) det(A). (5.1) 利用這些 elementary matrices 的 determinant, 我們有以下關於 determinant 的重要性質.

5.2. Uniqueness of the Determinant Function 121

Theorem 5.2.6. 假設 A, B 為 n× n matrices.

(1) A 為 invertible 若且唯若 det(A)̸= 0.

(2) det(AB) = det(A) det(B).

(3) det(A^t) = det(A).

Proof. (1) 假設 A 不是 invertible 表示 A 經過 elementary row operations 所得 echelon form A^′ 其 pivot 的 個 數 會 小 於 n, 即 rank(A) < n (參 見 Theorem 2.5.2). 因 為 A^′ 的 pivot 的個數小於 n, 所以 A^′ 的最後一個 row (即 n-th row) 全為 0. 故由 Lemma 5.2.3 知 det(A^′) = 0. 然 而 我 們 知 存 在 elementary matrices E1, . . . , E_k 使得 A^′= E_k···E1A, 故 由式子 (5.1) 知 det(A^′) = det(E_k)···det(E1) det(A). 又 elementary matrices 的 determinants det(E1), . . . , det(Ek) 皆不為 0, 故由 det(A^′) = 0 得證 det(A) = 0. 而若 A 為 invertible, 則 A 可 以 寫 成 elementary matrices 的 乘 積 (參 見 Proposition 2.5.7). 故 存 在 elementary matrices E1. . . E_k 使得 A = E_k···E1. 因此由式子 (5.1) 知 det(A) = det(Ek)···det(E1). 再由 det(E1), . . . , det(E_k)皆不為 0 得證 det(A)̸= 0.

(2) 若 A 不是 invertible 由 (1) 我們知 det(A) = 0. 又此時因 B 也是 n× n matrix, 我們有 AB 也不是 invertible (參見 Proposition 2.5.5(3)). 故再由 (1) 知 det(AB) = 0, 得 證 det(AB) = 0 = det(A) det(B). 現假設 A 為 invertible. 我們知存在 elementary matrices E₁, . . . , E_k 使得 A = E_k···E1. 因此由式子 (5.1) 以及 det(A) = det(E_k)···det(E1) 知

det(AB) = det(Ek···E1B) = det(Ek)···det(E1) det(B) = det(A) det(B).

(3) 若 A 不是 invertible 由 (1) 我們知 det(A) = 0 且此時 A^t 也不是 invertible (參見 Proposition 2.5.5(2)). 故得證 det(A^t) = 0 = det(A). 現假設 A 為 invertible. 我們知存在 elementary matrices E1, . . . , E_k 使得 A = E_k···E1 且 A^t= E₁^t···E_k^t (參見 Proposition 2.2.4).

由於當 E 為兩 row 交換的 elementary matrix 或是將某個 row 乘上非零實數 r 的 elementary matrix 皆有 E = E^t, 而當 E 為將 i-th row 乘上非零實數 r 加到 j-th row 的 elementary matrix 時, E^t 為將 j-th row 乘上非零實數 r 加到 i-th row 的 elementary matrix, 故對任意 elementary matrix E 我們皆有 det(E) = det(E^t). 因此得

det(A^t) = det(E₁^t···E_k^t) = det(E₁^t)···det(E_k^t) = det(E1)···det(Ek).

最後由於 n× n matrix 的 determinant 為實數且實數乘法有交換律, 我們有 det(E₁)···det(Ek) = det(E_k)···det(E1) = det(A),

得證 det(A^t) = det(A). 

由於一個矩陣經由 row operation 後取 transpose 就等同於將原矩陣的 transpose 做 column operation. 因 此 Theorem 5.2.6 (3) 告 訴 我 們 elementary column operation 對 determinant 的影響和 elementary row operation 對 determinant 的影響是一致的. 換言之, Theorem 5.2.5 也可改寫成以下的形式.

Corollary 5.2.7. 假設 A 為 n× n matrix. 若 E 為 elementary matrix, 則 det(AE) = det(E) det(A).

接著, 我們證明若 det 這個函數存在, 則它會是唯一的. 這裡的證明有一個很關鍵的觀念 大家要注意, 就是本節中所有的性質我們都僅用前一節中對 det 所要求的四個性質推導出來 的. 因此不管任何的函數, 只要符合這四個性質就都會符合前面這幾個定理.

Theorem 5.2.8. 最多僅有唯一的函數 det : Mn×n(R) → R 會滿足 (1) det(I_n) = 1.

(2) 若將 n× n matrix A 某相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) =−det(A).

(3) 若將 n×n matrix A 某個 row 乘上非零實數 r 所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) = r det(A).

(4) 若 A, B,C 三個 n× n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A, B,C 其他各 row 皆相等, 則 det(A) = det(B) + det(C).

Proof. 假 設 det : M_n×n(R) → R 和 det^′ : M_n×n(R) → R 皆滿足這四項規則. 考慮 n × n matrix A, 若 A 不是 invertible, 則由 Theorem 5.2.6 (1) 知 det(A) = det^′(A) = 0. 而若 A 為 invertible, 則存在 elementary matrices E₁, . . . , E_k 使得 A = E_k···E1. 因此由 Theorem 5.2.6 (2) 得 det(A) = det(Ek)···det(E1)以及 det^′(A) = det^′(E_k)···det^′(E₁). 最後又由於對任意 elementary matrix E 皆有 det(E) = det^′(E), 我們證得

det(A) = det(E_k)···det(E1) = det^′(E_k)···det^′(E₁) = det^′(A).

因為對任意 A∈ Mn×n(R), 皆有 det(A) = det^′(A), 我們證得 det 和 det^′ 為相同的函數.  或許同學會疑惑, 這裡明明已求出了所有 n× n matrix 的 determinant, 為什麼不是證 出了存在性呢? 主要的原因是, 每一個 invertible matrix 寫成 elementary matrix 的乘積其 寫法並不唯一. 所以我們無法利用這個方法定出 det 這個函數來, 因為有可能會因為寫成 elementary matrix 乘積的方法不同而得到不同的 determinant. 如此一來就違背函數同一 個元素不能有不同取值的要求. 所以也唯有以後我們證明了 det 確實存在後, 才能確保一個 invertible matrix 寫成不同 elementary matrix 的乘積, 仍可求出相同的 determinant.

最後我們介紹如何利用 elementary row operation 求 n×n matrix 的 determinant. 首先 我們先用 elementary row operations 將矩陣變為 echelon form. 而且在化為 echelon form 的 過程中只用 (1) 兩 row 交換 (此時 determinant 變號) 以及 (3) 將某個 row 乘上非零實數 r 加到另一個 row (此時 determinant 不會改變), 這兩種 row operations. 若發現 pivot 的個數 小於 n, 則我們得矩陣的 determinant 為 0. 而若 pivot 的個數為 n, 則我們利用做了幾次兩 row 交換的 row operation, 就可由 echelon form 的 determinant 得到原矩陣的 determinant (即做了奇數次變號, 偶數次不變號). 然而如何求一個 echelon form 的 determinant 呢? 由 於一個 n× n matrix 的 echelon form 一定是一個 upper triangular matrix (上三角矩陣), 也 就是說矩陣 diagonal (對角線) 的位置 (即 (i, i)-th entry) 以下的位置皆為 0 (即 ai j= 0, for i > j), 此時下一個定理告訴我們其 determinant 就是 diagonal entries 的乘積.

5.2. Uniqueness of the Determinant Function 123

Proposition 5.2.9. 假設 A = [a_{i j}] 為 n× n upper triangular matrix 則 det(A) = a1 1···an n, 即 det(A) 為 A 的 diagonal entries 的乘積.

Proof. 假設 A 有一個 diagonal entry ai i 為 0, 因為 A 為 upper triangular, 我們知 A 化為 echelon form 後其 pivot 的個數必小於 n. 因此 A 不是 invertible, 得知 det(A) = 0. 而此時 A 的 diagonal entries 的乘積 a1 1···ai i···an n 亦為 0, 故得證 det(A) = 0 = a1 1···an n.

現若 A 的 diagonal entry 皆不為 0, 此時將 A 的每個 row 做以下的 elementary row operation: 就是對每一個 i∈ {1,...,n}, 將 A 的 i-st row 乘上 1/ai i. 令所得的矩陣為 A^′, 此 時我們有 det(A) = a_{1 1}···an ndet(A^′). 因為 A^′ 的 diagonal entry 皆為 1, 利用 echelon form 化 為 reduced echelon form 的方法 (參見 Section 1.3), 我們從最後一個 row (即 n-th row) 開 始由下往上的利用該 row 乘上非零實數加到另一個 row 的方法將 A^′ 化為 I_n. 因為這裡所 用的 elementary row operations 都不會影響 determinant, 所以我們有 det(A^′) = det(I_n) = 1.

因此得證 det(A) = a1 1···an ndet(A^′) = a1 1···an n 

Question 5.2. 假設 A = [ai j] 為 n× n lower triangular matrix, 即 A 的 diagonal 以上的 位置皆為 0 (即 a_{i j}= 0, for i < j). 試證明 det(A) = a_{1 1}···an n, 即 det(A) 為 A 的 diagonal entries 的乘積.

Example 5.2.10. 我們利用 elementary row operation 求







0 2 −1 1 1 2 0 2 1 4 −2 6 2 6 −1 8





 的 determi-

nant. 首先將 1-st, 2-nd row 交換得







1 2 0 2 0 2 −1 1 1 4 −2 6 2 6 −1 8





 (注意此時 determinant 會變號). 接

著將 1-st row 分別乘上−1,−2 加到 3-rd, 4-th row 得







1 2 0 2 0 2 −1 1 0 2 −2 4 0 2 −1 4





 (注意此時 deter- minant 不會改變). 最後將 2-nd row 分別乘上−1,−1 加到 3-rd, 4-th row 得 echelon form







1 2 0 2 0 2 −1 1 0 0 −1 3 0 0 0 3





 (注意此時 determinant 不會改變). 利用 Proposition 5.2.9 我們知最後所 得的 echelon form 其 determinant 為−6, 又整個化為 echelon form 的過程中僅用了一次兩 row 交換的 row operation, 故 determinant 僅變號一次, 得知

det







0 2 −1 1 1 2 0 2 1 4 −2 6 2 6 −1 8





 = −det







1 2 0 2 0 2 −1 1 0 0 −1 3 0 0 0 3





 = 6.

5.3. Determinant of 3 × 3 Matrix

我們利用上一節有關 determinant 的性質, 寫出 3× 3 matrix 的 determinant 可能的形式, 從而證明 3× 3 matrix 的 determinant 確實存在. 同時我們利用此 determinant 定義出 R³ 中三個向量所張成的平行六面體的 signed volume.

在 Theorem 5.2.6 (3) 中, 我們知道 det(A^t) = det(A). 因此有關 determinant 和 row 有關 的性質, 對於 column 也有相對應的性質. 例如我們對 determinant 要求的 (3)(4) 兩個所謂 multi-linear 的性質, 是和 row 有關的, 因此對於 column 也會有 multi-linear 的性質. 我們 大致圖示如下 (所有向量寫成 column vector):

det



  

v₁ ··· vi+ rv ^′_i ··· vn



 = det



   v₁ ··· vi ··· vn



 + rdet



   v₁ ··· v^′_i ··· vn



.

考慮 3×3 matrix A =



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



. 利用 determinant 對於 column 的 multi-linear

的性質, 由於 A 的 1-st column 可以寫成 a_{1 1}



1 0 0



 + a_{2 1}



0 1 0



 + a_{3 1}



0 0 1



, 我們有

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 =

a_{1 1}det



 1 a1 2 a1 3

0 a_{2 2} a_{2 3} 0 a_{3 2} a_{3 3}



 + a_{2 1}det



 0 a1 2 a1 3

1 a_{2 2} a_{2 3} 0 a_{3 2} a_{3 3}



 + a_{3 1}det



 0 a1 2 a1 3

0 a_{2 2} a_{2 3} 1 a_{3 2} a_{3 3}



.

當我們計算 det



 1 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 0 a_{3 2} a_{3 3}



 時, 我們可以利用上一節最後所介紹的方法, 用 elementary row operation 將矩陣先化為 echelon form. 由於我們不必動到 1-st row, 事實上我們是將 [ a_{2 2} a_{2 3}

a_{3 2} a_{3 3} ]

化為 echelon form. 因此我們有 det



 1 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 0 a3 2 a3 3



 = det[

a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

] . 同理, 利用 det 的性質, 我們有

det



 0 a1 2 a1 3

1 a_{2 2} a_{2 3} 0 a_{3 2} a_{3 3}



 = −det



 1 a2 2 a2 3

0 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{3 2} a_{3 3}



 = −det[

a_{1 2} a_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

] ,

det



 0 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3} 1 a_{3 2} a_{3 3}



 = −det



 0 a_{1 2} a_{1 3} 1 a_{3 2} a_{3 3} 0 a_{2 2} a_{2 3}



 = det



 1 a_{3 2} a_{3 3} 0 a_{1 2} a_{1 3} 0 a_{2 2} a_{2 3}



 = det[

a_{1 2} a_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

] . 因此依照 determinant 的性質 det(A) “應該” 定義為

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = a_{1 1}det

[ a2 2 a2 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

− a2 1det

[ a1 2 a1 3

a_{3 2} a_{3 3} ]

+ a_{3 1}det

[ a1 2 a1 3

a_{2 2} a_{2 3} ]

.

5.3. Determinant of 3× 3 Matrix 125

注意, 這裡我們是根據 det 應有的性質寫下的定義, 它也確實是一個從 M_3×3 到 R 的函數 (不會將同一個矩陣送至不同的值). 不過這並不表示這樣定義出來的函數會符合當初我們要 求的四個性質. 所以接下來我們將驗證這樣的定義確實會符合當初要求的四個性質, 也因此 證明了 3× 3 matrix 的 determinant 確實存在 (且唯一).

首先檢查 det(I₃) = 1. 依定義

det



 1 0 0 0 1 0 0 0 1



 = 1det[ 1 0 0 1

]

− 0det [ 0 0

0 1 ]

+ 0 det [ 0 0

1 0 ]

= 1.

故 det(I₃) = 1 成立.

接著檢查相鄰兩個 row 互換後 determinant 會變號. 依定義 det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = a_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a2 1det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

+ a_{3 1}det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

] ,

det



 a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = a_{2 1}det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a1 1det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

+ a_{3 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{1 2} a_{1 3}

] ,

det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a3 1 a3 2 a3 3

a2 1 a2 2 a2 3



 = a_{1 1}det

[ a3 2 a3 3

a2 2 a2 3

]

− a3 1det

[ a1 2 a1 3

a2 2 a2 3

]

+ a2 1det

[ a1 2 a1 3

a3 2 a3 3

] . 由於 2× 2 matrix 的兩個 row 互換後其 determinant 會變號, 我們有

det

[ a3 2 a3 3

a2 2 a2 3

]

=−det

[ a2 2 a2 3

a3 2 a3 3

] , det

[ a2 2 a2 3

a1 2 a1 3

]

=−det

[ a1 2 a1 3

a2 2 a2 3

] . 因此得證

det



 a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = −det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



,

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a3 1 a3 2 a3 3

a2 1 a2 2 a2 3



 = −det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3



.

至於性質 (3), (4) 我們合併檢查, 即檢查 multi-linear 性質. 依定義

det



 a1 1+ rb_{1 1} a1 2+ rb_{1 2} a1 3+ rb_{1 3} a2 1 a2 2 a2 3

a3 1 a3 2 a3 3



 = (a_{1 1}+ rb1 1) det

[ a2 2 a2 3

a3 2 a3 3

]

−

a2 1det

[ a1 2+ rb_{1 2} a1 3+ rb_{1 3} a3 2 a3 3

]

+ a3 1det

[ a1 2+ rb_{1 2} a1 3+ rb_{1 3} a2 2 a2 3

]

. (5.2) 而 2× 2 matrix 的 determinant 已知有 multi-linear 的性質, 亦即

det

[ a_{1 2}+ rb_{1 2} a_{1 3}+ rb_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

= det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

] + r det

[ b_{1 2} b_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

] ,

det

[ a1 2+ rb1 2 a1 3+ rb1 3

a_{2 2} a_{2 3} ]

= det

[ a1 2 a1 3

a_{2 2} a_{2 3} ]

+ r det

[ b1 2 b1 3

a_{2 2} a_{2 3} ]

.

因此式子 (5.2) 等式右邊可寫成 (

a_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a2 1det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

+ a_{3 1}det

[ a_{1 2} a_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

]) + r

( b_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a2 1det

[ b_{1 2} b_{1 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

+ a_{3 1}det

[ b_{1 2} b_{1 3} a_{2 2} a_{2 3}

]) . 再利用定義還原回 3× 3 matrix determinant 得證

det



 a1 1+ rb1 1 a1 2+ rb1 2 a1 3+ rb1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



+rdet



 b1 1 b1 2 b1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}





同理對於 2-nd row 和 3-rd row 我們有 det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1}+ rb_{2 1} a_{2 2}+ rb_{2 2} a_{2 3}+ rb_{2 3}

a3 1 a3 2 a3 3



 = det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a3 1 a3 2 a3 3



+rdet



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} b_{2 1} b_{2 2} b_{2 3} a3 1 a3 2 a3 3





det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1}+ rb_{3 1} a_{3 2}+ rb_{3 2} a_{3 3}+ rb_{3 3}



 = det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



+rdet



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

b_{3 1} b_{3 2} b_{3 3}





我們利用 2× 2 matrix 的 determinant 存在來證明 3 × 3 matrix 的 determinant 存在, 這樣的方法稱為 “降階” 的方法. 下一節中, 我們要用降階的方法以及數學歸納法證明任 意 n× n matrix 的 determinant 皆存在. 其實我們這裡定義出 determinant 方法稱為對 1-st column 展開的降階, 我們也可以對 2-nd column 以及 3-rd column 展開. 為了方便起見, 我 們有以下的定義.

Definition 5.3.1. 假設 A = [a_{i j}] 為 3× 3 matrix. 將 A 的 i-th row 和 j-th column 除去所 得的 2× 2 matrix, 稱為 A 的 (i, j) minor matrix, 用 Ai j 表示. 令 a^′_{i j}= (−1)^{i+ j}det(Ai j),稱 為 A 的 (i, j) cofactor.

依此定義, 當初 det(A) 的定義可以寫成

det(A) = a_{1 1}a^′_{1 1}+ a_{2 1}a^′_{2 1}+ a_{3 1}a^′_{3 1}.

如果我們一開始將 det(A) 定義為 det(A) = a1 2a^′_{1 2}+ a2 2a^′_{2 2}+ a3 2a^′_{3 2}, 即對 2-nd column 展開, 得

det



 a_{1 1} a_{1 2} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 2} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = −a1 2det

[ a_{2 1} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 3}

]

+ a_{2 2}det

[ a_{1 1} a_{1 3} a_{3 1} a_{3 3}

]

− a3 2det

[ a_{1 1} a_{1 3} a_{2 1} a_{2 3}

] . 如同前面的證明會發現這個定義仍符合我們對 det 四項要求 (注意 cofactor 的正負號變 化, 確保 det(I₃) = 1). 因此由 det 的唯一性 (參見 Theorem 5.2.8), 我們知道這樣求出的 determinant 和對 1-st column 展開的結果是一樣的. 同樣的我們也可對 3-rd column 展開 得

det



 a1 1 a1 2 a1 3

a2 1 a2 2 a2 3

a_{3 1} a_{3 2} a_{3 3}



 = a_{1 3}det

[ a2 1 a2 2

a_{3 1} a_{3 2} ]

− a2 3det

[ a1 1 a1 2

a_{3 1} a_{3 2} ]

+ a_{3 3}det

[ a1 1 a1 2

a_{2 1} a_{2 2} ]

.

5.3. Determinant of 3× 3 Matrix 127

又因為 det(A) = det(A^t), 我們可以將 A 轉置後對 A^t 的 1-st column 展開得

det



 a1 1 a2 1 a3 1

a_{1 2} a_{2 2} a_{3 2} a_{1 3} a_{2 3} a_{3 3}



 = a_{1 1}det

[ a2 2 a3 2

a_{2 3} a_{3 3} ]

− a1 2det

[ a2 1 a3 1

a_{2 3} a_{3 3} ]

+ a_{1 3}det

[ a2 1 a3 1

a_{2 2} a_{3 2} ]

.

然而 2× 2 matrix 取轉置後其 determinant 也不變, 所以上式等號右邊可改寫為

a_{1 1}det

[ a_{2 2} a_{2 3} a_{3 2} a_{3 3}

]

− a1 2det

[ a_{2 1} a_{2 3} a_{3 1} a_{3 3}

]

+ a_{1 3}det

[ a_{2 1} a_{2 2} a_{3 1} a_{3 2}

] .

因此得知 det(A) = det(A^t) = a1 1a^′_{1 1}+ a1 2a^′_{1 2}+ a1 3a^′_{1 3},也就是說 determinant 也可對 1-st row 展開求得. 同理對 2-nd row 和 3-rd row 展開也可求得 determinant. 我們有以下的定理.

Theorem 5.3.2. 假設 A = [ai j] 為 3× 3 matrix. 令 a^′_{i j} 為 A 的 (i, j) cofactor, 則

det(A) = a_{1 1}a^′_{1 1}+ a_{2 1}a^′_{2 1}+ a_{3 1}a^′_{3 1}= a_{1 2}a^′_{1 2}+ a_{2 2}a^′_{2 2}+ a_{3 2}a^′_{3 2}= a_{1 3}a^′_{1 3}+ a_{2 3}a^′_{2 3}+ a_{3 3}a^′_{3 3}

= a1 1a^′_{1 1}+ a_{1 2}a^′_{1 2}+ a_{1 3}a^′_{1 3}= a_{2 1}a^′_{2 1}+ a_{2 2}a^′_{2 2}+ a_{2 3}a^′_{2 3}= a_{3 1}a^′_{3 1}+ a_{3 2}a^′_{3 2}+ a_{3 3}a^′_{3 3}

我們得到了 3× 3 matrix 的 determinant, 也因此由此可定義出 R³ 中三個向量所張成的 平行六面體的 signed volume. 也就是說若將 R³ 上的三個向量 u, v, w 寫成 row vectors, 令 矩陣 A 為 1-st, 2-nd, 3-rd row 依序為 u, v, w 的 3× 3 matrix, 則 det(A) 就是 u,v,w 三個向 量所張成的平行六面體的 signed volume. 其中 det(A) 的絕對值, 就是這平行六面體的體積.

而 det(A) 的正負號告訴我們 u, v, w 這三個向量的方向性. 這裡 u, v, w 這三個向量正反向我 們是用所謂的 right hand rule (右手定則) 來區分, 意即將右手大拇指指向 u 的方向, 其餘四 個指頭併攏指向 v 的方向, 若 w 位於手掌正面的方向則 u, v, w 為正向, 反之為負向. 例如 i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) 我們定為正向 (因 det(I₃) = 1 > 0). 利用 Section 5.1 我們 定的方向性規則, 可以知道 det(A) > 0 時 u, v, w 這三個向量為正向, 而 det(A) < 0 時為負向.

給定 u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃)∈ R³, 我們定義 u, v 的 cross product (外積) u× v 為

u× v = (

det

[ a₂ a₃ b2 b3

] , det

[ a₃ a₁ b3 b1

] , det

[ a₁ a₂ b1 b2

]) .

要注意, 千萬不要將內積和外積弄混了, 兩個向量之內積是一個實數, 而兩個向量之 外積仍為向量. 另外 u× v 和 v × u 是不相等的, 除非 u × v = 0. 這是因為兩個 row 交 換其 determinant 會變號, 因此依定義 u× v = −v × u. 而 u × v 何時會是 0 呢? 依定義 u× v = 0 若且唯若 det

[ a₂ a₃ b2 b3

]

= det

[ a₃ a₁ b3 b1

]

= det

[ a₁ a₂ b1 b2

]

= 0, 很容易知道這等同 於 u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃) 為 linearly dependent.

現考慮 u = (a₁, a₂, a₃), v = (b₁, b₂, b₃), w = (c₁, c₂, c₃)我們有

w· (u × v) = c1det

[ a2 a3

b₂ b₃ ]

+ c₂det

[ a3 a1

b₃ b₁ ]

+ c₃det

[ a1 a2

b₁ b₂ ]

(5.3)

由於 det

[ a₃ a₁ b3 b1

]

=−det

[ a₁ a₃ b1 b3

]

式子 (5.3) 的右式又等同於將



 a₁ a₂ a₃ b1 b2 b3

c1 c2 c3



 對 3-rd row 展開的 determinant, 故得

w· (u × v) = (u × v) · w = det



 a₁ a₂ a₃ b1 b2 b3

c1 c2 c3



 = det



 — u —

— v —

— w —



. (5.4)

也就是說 (u× v) · w 就是 u,v,w 這三個向量所張成的平行六面體的 signed volume.

特別的, 當 w = u 或 w = v 時, 由於 u, v, w 為 row vector 所形成的矩陣有兩個 row 相同, 所以其 determinant 為 0 (Lemma 5.2.2). 因此由式子 (5.4) 知 u·(u×v) = v·(u×v) = 0. 也 就是說當 u, v 為 linearly independent 時, u× v 同時會和 u 以及和 v 垂直. 而當 w = u × v, 我們有 (u× v) · (u × v) = ∥u × v∥². 也就是 u, v, u× v 所張成的平行六面體的 signed volume 為 ∥u × v∥². 考慮 u, v, u× v 所張成的平行六面體以 u,v 所張的平行四邊形為底, 此時由於 u× v 和 u 以及和 v 垂直, 我們得 ∥u × v∥ 就是此平行六面體的高. 因此由 u,v,u × v 所張成 的平行六面體的體積∥u × v∥² 為 u, v 所張的平行四邊形面積乘上高∥u × v∥, 得 u,v 所張的 平行四邊形面積為 ∥u × v∥. 另外由於 u,v,u × v 所張成的平行六面體的 signed volume 為

∥u × v∥²> 0, 我們知 u, v, u× v 利用右手定則為正向. 最後我們將外積的性質歸納如下.

Theorem 5.3.3. 給定 u, v∈ R³. 則 u× w ̸= 0 若且唯若 u,v 為 linearly independent. 此時 u× v 的長度為 u,v 所張的平行四邊形面積, 且 u,v 同時與 u × v 垂直, 又 u,v,u × v 利用右 手定則為正向.

又假設 w∈ R, 則 (u×v)·w ̸= 0 若且唯若 u,v,w 為 linearly independent. 此時 (u×v)·w 就是 u, v, w 這三個向量所張成的平行六面體的 signed volume.

5.4. Existence of the Determinant Function

在上一節中, 我們利用降階的方法以及 2× 2 matrix 的 determinant 的存在性建構了 3 × 3 matrix 的 determinant, 因而得到其存在性. 接著我們可利用 3× 3 matrix 的 determinant 存在性得到 4× 4 matrix 的 determinant 的存在性, 然後一直下去. 在本節中, 我們就是要 用數學歸納法證明一般 n× n matrix 的 determinant 皆存在.

首先我們將 Definition 5.3.1 的定義推廣到一般的情形.

Definition 5.4.1. 假設 A = [ai j] 為 n× n matrix. 將 A 的 i-th row 和 j-th column 除去所 得的 (n−1)×(n −1) matrix, 稱為 A 的 (i, j) minor matrix, 用 Ai j 表示. 當 (n−1)×(n −1) matrix 的 determinant 存在時, 令 a^′_{i j}= (−1)^{i+ j}det(Ai j), 稱為 A 的 (i, j) cofactor.

現利用數學歸納法假設 (n− 1) × (n − 1) matrix 的 determinant 存在, 對於 n × n matrix A = [ai j], 固定 k∈ {1,...,n}, 我們考慮 A 對 k-th column 展開, 定義

det(A) = a_{1 k}a^′_{1 k}+ a_{2 k}a^′_{2 k}+··· + an ka^′_{n k}.

我們要利用 (n− 1) × (n − 1) matrix 的 determinant 符合 determinant 所要求的四個性質來 證明這樣定出 n× n matrix 的 determinant 也會符合這四個性質.

5.4. Existence of the Determinant Function 129

首先證明 det(I_n) = 1. 由於 I_n 的 k-th column 為 e_k, 僅有在 k-th entry 為 1, 其餘位 置為 0. 也就是說若令 A = [ai j] = I_n, 則 ai k= 0 for i̸= k 且 ak k= 1. 因此依定義我們有 det(In) = a_{k k}a^′_{k k}= a^′_{k k}. 然而 A = In 在 (k, k) 的 minor matrix 為 I_n−1, 因此得 A = In 的 (k, k) cofactor 為 a^′_{k k}= (−1)^k+kdet(I_n−1) = det(I_n−1). 但依 induction 的假設, det(I_n−1) = 1, 故知 a^′_{k k}= 1, 得證 det(In) = 1.

接著檢查相鄰兩個 row 互換後 determinant 會變號. 假設 A = [a_{i j}],固定 l∈ {1,...,n−1}, 假設將 A 的 l-th row 和 l + 1-th row 交換所得的矩陣為 B = [b_{i j}]. 也就是說當 i̸= l,l + 1 時, b_{i j}= a_{i j} 而 b_{l j} = a_{l+1 j}, bl+1 j= a_{l j}. 因而我們有當 i < l 時, B 的 (i, k) minor matrix Bi k

就是將 A 的 (i, k) minor matrix A_{i k} 相鄰的 l− 1-th, l-th 兩個 row 交換 (此時依歸納假設 det(B_{i k}) =−det(Ai k)). 而當 i > l + 1 時, B_{i k} 就是將 A_{i k} 相鄰的 l-th, l + 1-th 兩個 row 交換 (此時依歸納假設 det(Bi k) =−det(Ai k)). 又 B_{l k} 就是 A_{l+1 k} 且 B_{l+1 k} 就是 A_{l k}. 因此我們有 B 的 (i, k) cofactor b^′_{i k} 為

(−1)^i+kdet(Bi k) =





(−1)^i+k(−det(Ai k)) =−a^′_{i k}, if i̸= l and i ̸= l + 1;

(−1)^l+kdet(Al+1 k) =−a^′_{l+1 k}, if i = l;

(−1)^i+1+kdet(Al k) =−a^′_{l k}, if i = l + 1;

由此得證

det(B) = b1 kb^′_{1 k} +··· + bl kb^′_{l k} + bl+1 kb^′_{l+1 k} + ··· + bn kb^′_{n k}

= a1 k(−a^′_{1 k}) +··· + al+1 k(−a^′_{l+1 k}) + al k(−a^′_{l k}) + ··· + an k(−a^′_{n k})

= −det(A)

至於性質 (3), (4) 我們合併檢查, 即檢查 multi-linear 性質. 固定 l∈ {1,...,n − 1} 以及 r∈ R. 假設 A = [ai j], B = [b_{i j}], C = [c_{i j}] 為 n× n matrices 滿足當 i ̸= l 時 ai j= b_{i j}= c_{i j} 而 al j= b_{l j}+ rc_{l j}. 當 i < l 時, A 的 (i, k) minor matrix Ai k 的 l− 1-th row 就是 Bi k 的 l− 1-th row 加上 r 倍的 C_{i k} 的 l− 1-th row (此時依歸納假設 det(Ai k) = det(B_{i k}) + r det(C_{i k})). 而當 i > l + 1 時, A_{i k} 的 l-th row 就是 B_{i k} 的 l-th row 加上 r 倍的 C_{i k} 的 l-th row (此時依歸 納假設 det(Ai k) = det(Bi k) + r det(Ci k)). 又 A_{l k} 等於 B_{l k} 且等於 C_{l k}. 因此我們有 A 的 (i, k) cofactor a^′_{i k} 為

(−1)^i+kdet(Ai k) =

{ (−1)^i+k(det(B_{i k}) + r det(B_{i k}) = b^′_{i k}+ rc^′_{i k}, if i̸= l;

(−1)^l+kdet(Bl k) = (−1)^l+kdet(Cl k) = b^′_{l k}= c^′_{l k}, if i = l;

由此得證

det(A) = a_{1 k}a^′_{1 k} +··· + a_{l k}a^′_{l k} + ··· + a_{n k}a^′_{n k}

= b_{1 k}(b^′_{1 k}+ rc^′_{1 k}) +··· + (bl k+ rc_{l k})b^′_{l k} + ··· + bn k(b^′_{n k}+ rc^′_{n k})

= b1 kb^′_{1 k}+ rc_{1 k}c^′_{1 k} +··· + bl kb^′_{l k}+ rc_{l k}c^′_{l k} + ··· + bn kb^′_{n k}+ rc_{n k}c^′_{n k}

= det(B) + r det(C).

我們證得了 det 的存在性, 再加上 Theorem 5.2.8 的唯一性, 我們有以下的結論.

Theorem 5.4.2. 存在唯一的函數 det : Mn×n(R) → R 滿足 (1) det(In) = 1.

(2) 若將 n× n matrix A 某相鄰兩個 row 交換所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) =−det(A).

(3) 若將 n×n matrix A 某個 row 乘上非零實數 r 所得的矩陣為 A^′, 則 det(A^′) = r det(A).

(4) 若 A, B,C 三個 n× n matrix, 其中 A 的 i-th row 是 B 和 C 的 i-th row 之和, 而 A, B,C 其他各 row 皆相等, 則 det(A) = det(B) + det(C).

由於我們證得了對任意的 column 展開所得的 determinant 皆符合上述四項性質, 因此 由唯一性得到對任意 column 展開所得的 determinant 之值皆會相同. 另外和 3× 3 的情形 相同, 由於 det(A^t) = det(A), 我們也得到對任意 row 展開所得的 determinant 之值皆會相同.

因此我們有以下的結果.

Theorem 5.4.3. 假設 A = [a_{i j}] 為 n× n matrix. 令 a^′_{i j} 為 A 的 (i, j) cofactor, 則對任意 k∈ {1,...,n} 皆有 det(A) = a1 ka^′_{1 k}+ a2 ka^′_{2 k}+··· + an ka^′_{n k}= ak 1a^′_{k 1}+ ak 2a^′_{k 2}+··· + ak na^′_{k n}. Question 5.3. 對於 n× n matrix A = [ai j]考慮 A 的 diagonal entry 展開, 即考慮

a_{1 1}a^′_{1 1}+ a_{2 2}a^′_{2 2}+··· + an na^′_{n n}.

試問這樣的展開方法會符合我們要求 determinant 的四項規則的哪幾項?

雖然我們利用 elementary row operations 的方法證明了 determinant 的唯一性, 又用降 階的方法證明了 determinant 的存在性, 不過在計算 determinant 時, 這兩種方法都可混用.

一般來說用 row operation 或 column operation 來求 determinant 較快, 不過若發現有的 row 或 column 僅有一個不是 0 的 entry, 則對該 row 或 column 降階, 也可幫助我們較快算 出 determinant. 我們看以下的例子.

Example 5.4.4. 我們求 A =







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 4 −2 7 8





 的 determinant. 首先觀察 A 的 1-st column

僅有兩個 entry 不為 0, 所以利用 1-st row 乘上−2 加到 4-th row 得 B =







2 −1 3 5 0 2 1 2 0 5 3 3 0 0 1 −2







(此時 det(A) = det(B)). 現因 B 的 1-st column 僅有一個非 0 entry, 我們對 1-st column 降 階展開得 det(B) = 2 det(C) 其中 C 為 B 的 (1, 1) minor matrix, 即 C =



 2 1 2 5 3 3 0 1 −2



. 接著

將 C 的 2-nd column 乘上 2 加到 3-rd column 得 D =



 2 1 4 5 3 9 0 1 0



 (此時 det(C) = det(D)).

最後對 D 的 3-rd row 展開得 det(D) = (−1)³⁺²det [ 2 4

5 9 ]

= 2. 故知 det(A) = det(B) = 2 det(C) = 2 det(D) = 4.

5.5. Cramer’s Rule and Adjoint Matrix

Determinant 不只可以幫助我們計算平行多面體的有向體積, 其實它也可以幫助我們解聯立 方程組以及找到 invertible matrix 的反矩陣. 在這一節中, 由於和矩陣乘法有關, 所以所有 向量皆用 column vector 表示.

5.5. Cramer’s Rule and Adjoint Matrix 131

首先考慮 n× n matrix A = [ai j]對於 j∈ {1,...,n} 令 aj 表示 A 的 j-th column. 現對於 Rⁿ 的一個 vector c =



 c1

... cn



, 對於任意 k ∈ {1,...,n}, 考慮 Ck 為將 identity matrix I_n 的 k-th

column 用 c 取代的 n× n matrix. 亦即當 j ̸= k 時, Ck 的 j-th column 為 e_j, 而 C_k 的 k-th column 為 c. 現考慮 ACk, 依矩陣乘法的定義, 我們有

AC_k=



  a₁ ··· an









 c1  e₁ ··· c...n ··· en



 =



  

a₁ ··· c1a₁+··· + c na_n ··· an



. (5.5)

也就是說當 j̸= k 時, ACk 的 j-th column 為 a_j, 而 AC_k 的 k-th column 為 c₁a₁+··· + cna_n. 現對於 b =



 b1

... bn



 若 x1= c₁, . . . , x_n= c_n 為聯立方程組 Ax = b 的一組解, 亦即

c1a₁+··· + cna_n=



  a₁ ··· an







 c1

... c_n



 =



 b1

... b_n



 = b. (5.6)

因此若令 B_k 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix, 即 B_k=



   a₁ ··· b ··· an



,

則 結 合 式 子 (5.5) (5.6), 我 們 有 AC_k = B_k. 因 此 由 determinant 的 乘 法 性 質 (Theorem 5.2.6 (2)), 得 det(A) det(C_k) = det(B_k). 然 而 對 C_k 的 k-th row 展 開, 我 們 有 det(Ck) = (−1)^k+kckdet(In−1) = ck. 因此得證以下之定理.

Theorem 5.5.1. 假設 A 為 n× n matrix 且 b ∈ Rⁿ 為 column vector. 對於 k∈ {1,...,n}

令 B_k 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix. 若 x1= c1, . . . , xn= cn 為聯立方 程組 Ax = b 的一組解, 則 c_kdet(A) = det(B_k).

我們可以利用 Theorem 5.5.1 得到許多和解聯立方程組有關的性質. 首先若 det(A)̸= 0, 表示 A 為 invertible, 我們知聯立方程組 Ax = b 一定有解且解唯一. 事實上此時由 Theorem 5.5.1 我們可以將此組解具體寫出. 這就是所謂的 Cramer’s Rule.

Corollary 5.5.2 (Cramer’s Rule). 假設 A 為 n×n invertible matrix 且 b =∈ Rⁿ 為 column vector. 對於所有 k∈ {1,...,n} 令 Bk 表示將 A 的 k-th column 用 b 取代的 n× n matrix.

則聯立方程組 Ax = b 有唯一的一組解, 且其解為 xk= det(B_k)

det(A),∀k = 1,...,n.

Proof. 由假設 A 為 invertible, 知 det(A)̸= 0 且 Ax = b 必有解 (且解唯一). 然而 Theorem 5.5.1 告訴我們如果聯立方程組 Ax = b 有解, 則其解 x₁= c₁, . . . , x_n= c_n 需滿足 c_kdet(A) = det(Bk),∀k = 1,...,n. 然而因 det(A) ̸= 0, 故由解的存在性知 xk= det(Bk)/ det(A),∀k = 1,...,n

是唯一可能的一組解.