具輸出約束之高階非線性系統穩定化控制：一種新型橫向齊次技術

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科技部補助專題研究計畫成果報告

期末報告

具輸出約束之高階非線性系統穩定化控制：一種新型橫向齊次

技術

計畫類別：個別型計畫

計畫編號： MOST

107-2221-E-006-231-執行期間： 107年08月01日至108年10月31日

執行單位：國立成功大學系統及船舶機電工程學系（所）

計畫主持人：陳智強

計畫參與人員：碩士班研究生-兼任助理：陳冠勳

碩士班研究生-兼任助理：丁齊萱

碩士班研究生-兼任助理：王聲瑞

大專生-兼任助理：莊榕珊

報告附件：出席國際學術會議心得報告

中　華　民　國　108　年　08　月　22　日

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中文摘要：在控制系統的穩定化控制問題中，基於系統之性能表現要求或安全

性考量，我們經常需要針對系統之輸出或部分狀態進行限制，意即

，我們不僅希望受控系統能夠成功地完成穩定化任務，同時更要求

其輸出（部分系統狀態）能夠滿足某些特定的輸出約束。由於高階

非線性系統涵蓋了許多常見且重要的實際物理系統之模型，針對高

階非線性系統進行具輸出約束之穩定化控制設計與分析將不僅具有

理論重要性，同時也深具應用價值。據申請人所知，目前文獻上尚

未有研究成果或報告提出關於高階非線性系統的具輸出約束之穩定

化控制器設計，且許多適用於嚴格回授系統或三角系統的現存結果

，也因高階非線性系統所具有的高度非線性特性及潛在控制器設計

拓撲阻礙，而無法用來設計其具輸出約束之穩定化控制器。因此

，如何有效地克服上述之難點，並針對高階非線性系統發展一套系

統化的方法來設計其具輸出約束之穩定化控制器，已然成為控制理

論研究者一項無可迴避的挑戰。在本計畫中，我們將考慮一類含有

不確定參數與模型不確性的高階非線性系統，並探討其具輸出約束

之穩定化控制器設計問題。透過提出一種"橫向齊次系統"的新概念

來改造著名的加冪積分技術，我們將發展一套稱之為"加泛冪積分技

術"的新方法，並同時給出用以履行輸出約束之barrier Lyapunov

函數的新設計，藉此有效地處理高階非線性系統的具輸出約束之穩

定化控制設計問題。

中文關鍵詞：非線性系統控制、穩定化問題、輸出約束、局部不可控性

英文摘要： For reasons of system performance specifications and/or

safety, systems to be considered in the stabilization

problem may usually be subjected to an output constraint

and/or partial state constraints. In other words, the

system to be controlled should not only perform the

stabilization task but also prevent violation of the output

constraint (partial states constraints). Because many

real-world systems can be modeled as high-order nonlinear

systems, the design of stabilizing controllers with an

output constraint for high-order nonlinear systems is of

practical and theoretical importance. To the best of the

applicant’s knowledge, there is no research result

available yet concerning the design of stabilizing

controllers with an output constraint for high-order

nonlinear systems; moreover, most of existing results for

strict-feedback systems and/or triangular systems are

inapplicable to dealing with high-order nonlinear systems

due to the high-order nonlinearity and the potential

topological obstruction in controller design. Therefore,

how to design suitable stabilizing controllers with an

output constraint for high-order nonlinear systems is a

critical and challenging problem. In this project, we will

consider the problem of designing stabilizing controllers

with an output constraint for a class of high-order

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and model uncertainties. By introducing a new concept

“transverse homogeneous system” and revamping the

celebrated adding a power integrator technique, we shall

develop a new approach called “adding a unified power

integrator technique” and a new type of barrier Lyapunov

functions for preventing violation of the output constraint

to designing stabilizing controllers with an output

constraint. With the proposed approach, the problem of

designing stabilizing controllers with an output constraint

for high-order nonlinear systems can be resolved

successfully and skillfully.

英文關鍵詞： Nonlinear system control, stabilization problem, output

constraint, local uncontrollability

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具

具輸

輸

輸出

出

出約

約

約束

束

束之

之

之高

高

高階

階

階非

非

非線

線

線性

性

性系

系

系統

統

統穩

穩

穩定

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定化

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化控

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控制

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制：

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一

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橫

橫向

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向齊

齊

齊次

次

次技

技

技術

術

期

期末

末

末報

報

報告

告

一

一、

、

、前

前

前言

言

在過去的數十年內，由於諸多專家先進與前輩們的努力，線性系統理論（linear system theory）的發展已趨於成熟且完整，對應的線性控制技術（linear control technique）也成功地應用在各種工業控制系統中。然而，隨著科學技術的發展與現代工業對控制系統的性能要求不斷地提高，線性控制理論已很難滿足各種實際設計與分析之需求。由於大多數的物理系統都屬於非線性系統，透過線性系統理論來分析非線性系統時，不可避免地需要忽略其所具有的非線性特性（nonlinearity），藉此降低分析複雜度以利完成對應之控制設計任務；然而，這樣的設計與分析結果往往僅適用於某一特定系統操作點（operation point）附近之鄰域（neighborhood），同時亦造成了整體控制性能經常不令人滿意。為了使得控制系統具有更理想的控制性能與更大的有效操作範圍，約莫從 70 年代開始，非線性系統分析與設計便成為許多控制領域的專家學者們相繼投入研究能量的熱門研究議題，這些專家包含有 Petar Kokotovic、Mathukumalli Vidyasagar、Alberto Isidori、Shankar Sastry、Arjan van der Schaft、Eduardo Sontag、Miroslav Krstic、Andrea Bacciotti、Henk Nijmeijer、Jean-Jacques

Slotine、Wassim Haddad 與 Hassan Khalil 等人（詳見文獻[1–12]）。在這些專家學者的投入

與努力之下，許多經典的非線性分析與控制設計方法論相繼地被提出，包含有中心流

型理論（center manifold theory）、步階遞歸設計（recursive backstepping design）、奇異擾動

理論（singular perturbation theory）、回授線性化方法（feedback linearization approach）、順

滑模控制（sliding mode control）_{、非線性H}_∞_{控制（nonlinear H}_∞ control）、模糊控制（fuzzy

control）等（見文獻[13–28]及其參考文獻）。伴隨著這些經典非線性控制技術的發展、運用與延伸，對於過去難以使用線性控制方法來處理的複雜系統與高性能控制問題，大多數都已獲得有效之解決。建立於前人的知識之上，如何進一步改善或拓展非線性系統之控制與分析技術，目前仍是系統理論中的一大研究熱點。

二

二、

、

、研

研

研究

究

究目

目

目的

的

由於實際系統控制與性能分析之需求，近年來一類被稱為“高階非線性系統（high-order nonlinear system）”的動態系統被廣泛地分析與討論[1, 2, 8, 10, 29–53]，該系統的結構（

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structure）可由下列非線性微分方程式（nonlinear differential equation）所描述： ˙x1 = d1(x, t)xp21+ φ1(x, t) ˙x2 = d2(x, t)xp32+ φ2(x, t) ... ˙xn−1 = dn−1(x, t)xpnn−1 + φn−1(x, t) ˙xn= dn(x, t)u + φn(x, t) (1) 其中x = (x1, . . . , xn)T ∈ Rn, u∈ R分別為系統狀態（state）與控制輸入（control input），對所

有i = 1, . . . , n，pi ∈ R+odd:= {r1/r2 | r1與r2皆為奇整數（odd number）}，φi :Rn× R+→ R為

非線性項（nonlinear term），di :Rn× R+ → R為不確定參數（uncertain parameter）。有別於

非線性項φi(x, t)，xpi+1i 又被特別稱之為系統(1)的非線性高階項（nonlinear high-order term）

[8, 10, 29–53]。觀察系統(1)可發現，當次冪pi滿足pi = 1對所有i = 1, . . . , n時，系統(1)將

等同於嚴格回授系統（strict-feedback system）[1–3]或三角系統（triangular system）[54, 55]。

因此，系統(1)可被視為上述兩種常見非線性系統的推廣（generalization）。由於系統結構

之廣泛性，系統(1)可被用來描述許多實際的物理系統，例如質量非線性彈簧系統（mass nonlinear spring system）[8]、鍋爐渦輪系統（boiler turbine system）[30]與欠驅動弱耦合倒立單擺系統（underactuated weakly coupled inverted pendulum system）[37,40,41,50]等。有鑑於系統(1)可用來描述許多實際的物理系統，針對系統(1)進行控制設計與分析不僅具有理論研究之重要性，同時也深具實際應用價值。必須強調的是，對於系統(1)來說，許多經典的控制方法（如回授線性化方法、步階遞歸設計、順滑模控制等）都無法有效地用來設計對應之控制器（controller）並使其成功地完成所需之控制任務，如穩定化問題（stabilization problem）與追蹤問題（tracking problem）等，而造成系統(1)之控制設計問題十分困難的主要理由來自於系統(1)所具有的特殊結構及高度非線性（high-order nonlinearity）特性[53, 56, 57]，其可分為下列四大項：

1 系統(1)不為嚴格回授型式（strict-feedback form）、正規型式（normal form）、控制器型

式（controller form）或觀測器型式（observer form）。

由於系統(1)為單輸入非嚴格回授系統（single-input nonstrict-feedback system），傳統的

回授線性化方法、步階回歸設計、順滑模控制、模糊控制等方法都將因為設計上的限

制性（restriction），而無法有效或順利地完成系統(1)之控制器設計。

2 系統(1)在原點（origin）之線性化系統（linearization system）不存在抑或存在但為不可

控系統（uncontrollable system）。

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系統(1)的非線性項φi(t, x)含有不確定性（uncertainty）時，其連同前項之不確定

參數di(x, t)，將會對控制輸入u產生非匹配不確定性（unmatched uncertainty）。因

此，透過傳統的控制設計方法並不容易對此不確定性或非線性項進行有效地補償（compensation），進而造成控制任務失敗。 3 系統(1)中存在非線性高階項xpi i+1。當pi > 1或pi < 1時，我們可以明確地看到系統(1)在原點之線性化為不可控系統，換句話說，即便是在原點附近的局部區域，要有效地控制系統(1)的系統狀態都是非常不容易的，因此對於系統(1)來說，其控制器或穩定器（stabilizer）設計是極端困難的。 4 系統(1)中含有不確定參數di(x, t)，且其非線性項φi(x, t)亦可能含有參數不確定性

（parametric uncertainty）或模型不確定性（model uncertainty）。

由於系統(1)中存在非線性高階項xpi i1，如果我們試圖想要使用步階回歸設計來對系統(1)進行設計時，於設計過程中將會需要對於一個僅是連續（continuous）但不可微分（non-differentiable）的函數進行求導（derivative），進而使得設計程序被迫中斷且無法獲得最終之控制器，換句話說，非線性高階項xpi i1將對控制器設計產生“拓撲阻礙（topological obstruction）”。明顯地，上述的本質難點造成了系統(1)的控制器設計格外困難，同時也導致了系統(1)的穩定化控制問題極具挑戰。因此，在系統(1)的穩定化控制問題引起多控制理論學者關注之初期，僅有少數關於二階系統（2-order system）或三階系統（3-order system）的穩定化研究成果被提出[29, 31, 33]。直到1999 年，希臘國立雅典理工大學的John Tsinias教授在文獻[38]提出了一種基於齊次系統理論（homogeneous system theory）[10, 32, 34–36]與飽和控制（saturation control）技術的穩定器設計方法，使得系統(1)的穩定化控制問題第一次獲

得了解決。然而文獻[38]所提之設計方法必須在系統(1)的非線性項fi(x, t)為齊次函數之前提

下，才能有效地達成穩定化任務，因此文獻[32]所提之技術具有相當高的應用侷限性。基於文獻[38]之概念，美國德州大學聖安東尼奧分校的Chunjiang Qian教授與美國凱斯西儲大學的Wei Lin教授則於文獻[39, 41]提出了一種可用於系統(1)之穩定化控制器設計的新方法“加冪積分技術（adding a power integrator technique）”。由於加冪積分技術[39, 41]無須要求系

統(1)的非線性項φi(x, t)為齊次函數，因此從2000年起，加冪積分技術開始受到了廣泛地關注，許多基於加冪積分技術之上並成功地解決了系統(1)之穩定化控制問題的研究結果也不斷地被提出[40, 42–50]。另一方面，除了穩定化控制任務外，基於系統之硬體限制（hardware limitation）、性能表現（performance）要求或安全性（safety）之考量，我們經常需要針對受控系統的輸出（output）或部分狀態（partial state）進行限制[58–73]。換句話說，我們不僅希望受控系統 3

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能夠成功地完成穩定化任務，同時更要求其輸出（部分系統狀態）能夠滿足某些特定的

輸出約束（output constraint），以便達成對應的硬體限制、性能表現或安全性需求。事實

上，對於受控系統增加輸出約束是非常實際且深具意義的。舉例來說，在機械手臂（robot manipulator）的穩定化控制問題中，我們必須對於各個機械手臂之間的關節角度（joint angle）進行約束，以避免系統在運作過程中因碰撞導致機械結構損壞，甚至造成周圍人員的傷亡[58, 59]。另外，如對於永磁同步馬達（permanent magnet synchronous motor）進行控制時需要對其電流加以約束[60]，而對於靜電微制動器（electrostatic microactuators）系統進行控制時必須對其位置強加約束[61]等，主要都是為了使得系統具有我們想要的性能表現，抑或是為了保護系統並降低其損壞的可能性。針對一非線性系統，如何有效地解決其穩定化問題並同時使得閉迴路系統之輸出（部分狀態）滿足對應的輸出約束，便是“具輸出約束之穩定化控制問題（stabilization control problem with output constraint）”，或簡稱為“具輸出約束之穩定化問題（stabilization problem with output constraint）”，所要探討的主要議題，而能夠成功地解決該問題所對應之控制器，則稱為“具輸出約束之穩定化控制器（stabilizing controller with output constraint）”。對於非線性嚴格回授系統[2, 3, 12]或三角系統（triangular system）[54, 55]來說，其具輸出約束之穩定化控制問題在過去的二十幾年內已被諸多專家學者成功地解決，許多研究成果也相繼地被提出（例如[58–73]）。然而，對於高階非線性系統(1)來說，截至目前為止，文獻上仍未有任何研究成果或報告提出有效或系統化的方法來設計其具輸出約束之穩定化控制器。事實上，由於系統(1)具有高度非線性特性及潛在的模型或參數不確定性，這些現存的設計方法（例如[58–73]）都無法直接應用於系統(1)上，由此亦卓見本計畫的主要研究目的如下：

“考考考慮慮慮如如如系系系統統統(1)所所所描描描述述述之之之高高高階階階非非非線線線性性性系系系統統統（（（high-order nonlinear system））），，，我我我們們們該該該如

如

如何何何有有有效效效地地地克克克服服服其其其所所所具具具有有有的的的高高高度度度非非非線線線性性性（（（high-order nonlinearity）））特特特性性性，，，並並並發發發展展展一一一套套套系系系統

統

統化化化的的的（（（systematical）））方方方法法法來來來設設設計計計其其其具具具輸輸輸出出出約約約束束束之之之穩穩穩定定定化化化控控控制制制器器器（（（stabilizing controller with output constraint）））？？？”

三

三、

、

、文

文

文獻

獻

獻探

探

探討

討

目前文獻上已有許多研究成果專注於解決非線性嚴格回授系統或三角系統的具輸出約束之穩定化控制問題，包含有不變集合（invariant set）方法[62, 63]、模型預測控制（model predictive control）方法[60,64,65]、參考調節（reference governors）方法[66]與barrier Lyapunov函數（barrier Lyapunov function）設計方法[58, 61, 67–73]等。然而，由於系統(1)不為嚴格回授型式，且其具有高度非線性特性及潛在的模型或參數不確定性，這些方法並無法有效地處理系統(1)的具輸出約束之穩定化控制問題。事實上，由於不變集合方法[62, 63]、

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模型預測控制方法[60, 64, 65]及參考調節方法[66]等，主要都是建立在數值方法（numerical method）或需複雜運算的演算法（computationally intensive algorithm）之上，不可避免地將

造成運算設備龐大的計算負擔（computational burden），且因為系統(1)具有潛在的模型或

參數不確定性，直接地影響這些方法[60, 62–66]之計算準確性與可靠性（reliability），進而

造成這些方法並無法有效地設計系統(1)的具輸出約束之穩定化控制器。另外，對於barrier Lyapunov函數設計方法[58, 61, 67–73]而言，其主要精神來自於建構一個barrier Lyapunov函數

，並透過控制器之設計來使得該barrier Lyapunov函數為有界（bounded），藉此保證閉迴路系統得以順利完成穩定化任務，並同時滿足對於系統之輸出約束。為了更清楚地說明barrier Lyapunov函數設計方法[58, 61, 67–73]，我們考慮下列二階系統 ˙x1 = x2+ f1(x1) ˙x2 = u + f2(x1, x2) y = x1 (2) 其中非線性函數f1(x1)與f2(x1, x2)滿足f1(0) = 0與f2(0, 0) = 0。對於此系統而言，我們除了希望達到穩定化控制任務之外，同時我們也要求其輸出y = x1能夠滿足|y(t)| = |x1(t)| < k對

所有時間t ≥ 0之約束，其中k為正實數（positive real number）。根據barrier Lyapunov函數設計方法[58, 61, 67–73]可知，整體設計過程將分成兩個步驟。第一步為定義下列barrier Lyapunov函數： V1(x1) = log k2 k2_{− x} 1 (3) 其在集合{s| s ∈ R, |s| < k} ⊂ R上為連續可微分（continuously differentiable）且正定

（positive definite）。透過直接計算可得V1(x1)沿著上述系統之軌跡（trajectory）對時間之導

函數（derivative）為 ˙ V1(x1) = x1 k2_{− x} 1 x∗₂(x1) + k k2_{− x} 1 (f1(x1) + (x2− x∗2)) (4) 其中x∗

2(x1)為虛擬控制器（virtual controller）。根據barrier Lyapunov函數設計方法[58, 61, 67–

73]可知，虛擬控制器x∗ 2(x1)必須設計成 x∗₂(x1) =− k2− x21 x1− f1(x1) (5) 以便獲得 ˙ V1(x1) =−x21+ x1 ε2_{− x}2 1 (x2− x∗2) (6) 5

(9)

接著，在第二步中則考慮 V2(x1, x2) = V1(x1) + 1 2(x− x ∗ 2) 2 = 1 2log ε2 ε2_{− x}2 1 +1 2(x2− x ∗ 2) 2 (7) 並將系統(??)之控制器u = u(x1, x2)設計成 u =_{− (x}2− x∗2)− x1 ε2_{− x}2 1 − φ2(x1, x2)− ˙x∗2 (8) 透過直接計算最終將可獲得V2(x1, x2)沿著上述系統之軌跡對時間之導數為 ˙ V2(x1, x2) = −x21− (x2− x∗2) 2 (9) 由上式可知， ˙V2(x1, x2)在集合{(x1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R, |x1| < ε} ⊂ R2上為負定（negative definite），故當(x1(0), x2(0)) ∈ {(x1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R, |x1| < ε} ⊂ R2恆有(x1(t), x2(t)) → (0, 0)當t _{→ ∞，即假若系統(??)的初始狀態落在集合{(x}1, x2)|x1 ∈ R, x2 ∈ R, |x1| < ε} ⊂ R2_{，則穩定化任務可被成功地執行。另外，由 ˙}_V 2(x1, x2)之負定性（negative definiteness）可知，對所有t ≥ 0函數V2(x1(t), x2(t))為有界（即V2(x) ≤ L且L > 0為實數），故對所有t ≥

0，barrier Lyapunov函數V1(x1(t))亦為有界；因此，|y| = |x1(t)| < ε對所有時間t ≥ 0之約束

可被滿足。透過上述分析內容不難發現，barrier Lyapunov函數設計方法[58, 59, 61, 67–73]僅能用來處理關於如系統(??)所示之嚴格回授系統[1–3]或三角系統[54, 55]，對於如系統(1)所描述之高階非線性系統而言，barrier Lyapunov函數設計方法[58, 59, 61, 67–73]並不適用。事實上，barrier Lyapunov函數設計方法會因為下列兩大項關鍵問題，而無法用來有效地處理關於系統(1)的具輸出約束之穩定化控制問題： 1 系統(1)之不確定參數di(x, t)及非線性項φi(x, t)中所含有的模型或參數不確定性將造成barrier Lyapunov函數設計方法失敗。明顯地，barrier Lyapunov函數設計方法是建立在傳統的步階回歸設計之框架下，因此，不可避免地須要求其所考慮之系統不能具有模型或參數不確定性。明顯地，系統(1)具有不確定參數di(x, t)，且其非線性項φi(x, t)中可含有模型或參數不確定性。當我們透過barrier Lyapunov函數設計方法來針對系統(1)進行設計時，僅在第一步驟中的虛擬控制器時，就會因為遭遇不確定參數di(x, t)或非線性項φi(x, t)中的不確定性，而宣告失敗。因此，barrier Lyapunov函數設計方法事實上並無法有效地用來處理系統(1)的具輸出約束之穩定化控制問題。 2 系統(1)之非線性高階項xpi

i+1將對於barrier Lyapunov函數設計方法產生“拓撲阻礙”。

由於系統(1)具有高階非線性項xpi

i+1，此高階非線性項將會對於barrier Lyapunov函數設

計方法產生控制器設計拓樸障礙。此障礙可用下列例子來解釋。考慮 ˙x1 = x32

(10)

根據步階遞歸設計方法[11, 74]可知，設計控制器u = u(x1, x2)的過程分成兩步驟。在第

一步驟時我們必須選取Lyapunov候選函數（Lyapunov function candidate）為 V1(x1) = 1 2x 2 1 (11) 並得其沿著上述系統之軌跡對時間之導數為 ˙ V1(x1) = x1x32 = x1x∗32 + x1 x32− x∗32 (12) 其中x∗ 2稱為虛擬控制[11, 74]。接著，我們必須將x∗2設計成 x∗₂ =−x13 1 (13) 並將其代入上式來進一步獲得下式 ˙ V1(x1) =−x21 + x1 x32− x∗32 (14)

接著，為進行第二步驟並設計出最終的控制器u = u(x1, x2)，我們必須選取Lyapunov候

選函數V2(x1, x2)為 V2(x1, x2) = V1(x1) + 1 2(x− x ∗ 2) 2 = 1 2x 2 1+ 1 2 x2+ x 1 3 1 2 (15) 明顯地，V2(x1, x2)因為含有x1/31 造成其在集合{(0, x2) ∈ R2 | x2 ∈ R} ⊂ R2為不可微分，進而終止了整體設計過程。特別需要注意的是，當我們為了想要避免產生上述V2(x1, x2)不可微分之情形而將x∗2刻意地（不按照標準步階遞歸設計方法）設計成x∗ 2 = −x1，則仍然會因為改變了步階遞歸設計方法[11, 74]的設計架構，使得步階遞歸設計中最重要的遞歸模式（iteration paradigm）被破壞，進而造成設計終止。上述之設計困境即為前述的控制設計“拓撲阻礙” 。綜合上述分析可知，現存的諸多設計方法不論將其單獨應用或互相結合產生綜合性技術，都無法用來有效地解決/處理系統(1)的具輸出約束之穩定化控制問題。由此再次說明了本計畫欲探討並解決的問題仍是一個未有解答的開放性問題，而此計畫之研究成果將可提供控制工程師一套系統化的設計方法來幫助其解決具輸出約束之穩定化控制問題。

四

四、

、

、主

主

主要

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要研

研

研究

究

究結

結

結果

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（

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發

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首先，針對系統(1)我們提出兩項假設，其中假設1主要涉及系統之顯然不確定性，而假設2則針對系統之非線性項進行增長條件（growth condition）之規範。假假假設設設 1 對所有i = 1, . . . , n，存在常數d_i與di使得di ≤ di(t)≤ di對所有t ∈ R+。 7

(11)

假假假設設設 2 對所有i = 1, . . . , n存在常數τ1 ≥ τ2 ≥ ∙ ∙ ∙ ≥ τn及光滑（smooth）函數φi(xi)≥ 0使得 |φi(t, x, u)| ≤ φi(xi) |x1| ri+τi r1 ₊|x₂|ri+τir2 ₊∙ ∙ ∙ + |x_i|ri+τiri (16) 對所有(t, x, u) ∈ R+_{× R}n_{× R其中r} 1, . . . , rn由下列遞迴式所定義 r1 = 1 且 rj+1= rj+ τj pj 對所有 j = 1, . . . , n。 (17) 此外，我們亦需要下列引理來幫助完成相關的分析，關於這些引理的證明，已清楚地描述於我們所發表的論文[53, 75]中。引引引理理理 1 _{假設p ≥ 1為常數，則函數f(s) = dse}p_{為連續可微分，且f}0_{(s) = p}_|s|p−1_。引引引理理理 2 _{假設p ≥ 1與q > 0為常數，則下列兩不等式成立：}

dxep− dxep ≤ p 2p−2+ 2 _{|x − y|}p+_{|x − y| ∙ |y|}p−1 dxepq − dxe q p ≤ 21−p1 dxeq− dxeq 1 p 對所有x ∈ R與y ∈ R。引引引理理理 3 假設p > 0為常數，則下列不等式成立： (_{|x| + |y|)}p _{≤ 2}p−1+ 1(_|x|p+_|y|p) 對所有x ∈ R與y ∈ R。引引引理理理 4 假設a1 ≥ 1, a2 > 0, b1 > 0, b2 > 0為常數，則下列不等式成立： a1|x|b1|y|b2 ≤ a2|x|b1+b2 + b2 (b1 + b2) b1 (b1+ b2)a2 b1 b2 a (b1+b2) b2 1 |y|b1+b2 對所有x ∈ R與y ∈ R。定定定理理理 _{當假設1與2成立，則存在一連續之狀態回授控制律使得對任一個由初始狀態x(0) ∈} Sε n := {x | x ∈ Rn且|x1| < ε} ⊂ Rn所出發之解x(t)在[0, ∞)有定義並滿足x(t) → 0當t → ∞及|y(t)| < ε對所有t ≥ 0。證證證明明明: 為了證明之簡潔性，我們定義 Sε i :={z | z = (x1, . . . , xi)∈ Ri 且 |x1| < ε} ⊂ Ri (18) 整體證明過程可分成三大步驟：(i)barrier Lyapunov函數設計；(ii)連續控制律設計；(iii)分析輸出約束有效性，我們分述如下。

(12)

步步步驟驟驟一一一 –《《《barrier Lyapunov函函數函數數設設設計計計》》》我們設計Vb :Sε1 → R+為 Vb(x1) = 2ε2ρ−τ1 (2ρ_{− τ}1)π tan π|x1|2ρ−τ1 2ε2ρ−τ1 (19) 其中 ρ_{≥ max}

1≤i≤n{ri+ τi, σ} 與 σ ≥ max1≤i≤n{ri} (20)

且ri與τi定義在假設2。明顯地，Vb(x1)為正定（positive definite）並滿足Vb(x1)→ ∞當|x1| → ε。此外，我們亦有 ∂Vb(x1) ∂x1 =dx1e2ρ−τ1−1sec2 π_|x1|2ρ−τ1 2ε2ρ−τ1 b =:dx1e2ρ−τ1−1λ(x1) 對所有 x1 ∈ R (21) 由此可見，Vb(x1)為連續可微分函數。步步步驟驟驟二二二 –《《《連連連續續續控控控制制制律律律設設設計計計》》》在此我們透過數學歸納法來證明控制器之型式與存在性，並決定其控制增益。首先，定義ξ1 =dx1eσ/r1，V1 :Sε1 → R為V1(x1) = Vb(x1)並設計 x∗₂(x1) = −g1(x1)dξ1e r2 σ 且 g₁(x₁) = n + φ₁(x1) d₁ 1 p1 (22) 其中g1 :Sε1 → (0, ∞)為光滑函數，則根據假設1與2我們有 ˙ V1(x1)≤ −n|ξ1| 2ρ σ + λ(x 1)d1(t)dξ1e 2ρ_−r1−τ1 σ (xp1 2 − x∗p2 1) (23) 對所有x1 ∈ Sε1。接著，我們定義ξ2 =dx2e σ r2 _{− dx}∗ 2e σ r2並令V₂ _:Sε 2 → R為 V2(x1, x2) = V1(x1) + W2(x1, x2) = V1(x1) + Z x2 x∗ 2(x1) l dser2σ − dx∗₂(x₁)e σ r2 m2ρ_−r2−τ2 σ ds (24) 根據我們的論文[53, 75]可知，V2(x1, x2)為連續可微分函數。根據假設1與2我們有 ˙ V2(x1, x2)≤ −n|ξ1| 2ρ σ + d₂(t)dξ₂e 2ρ−r2−τ2 σ x∗p2 3 + d2(t)dξ2e 2ρ−r2−τ2 σ (xp2 3 − x∗p3 2) + λ(x1)d1(t)dξ1e 2ρ−r1−τ1 σ (xp1 2 − x∗p2 1) +dξ2e 2ρ−r2−τ2 σ φ₂(t, x, u) + ∂W2(x1, x2) ∂x1 ˙x1 (25) 對所有(x1, x2)∈ Sε2。透過引理1–4可得下列不等式： λ(x1)d1(t)dξ1e 2ρ_−r1−τ1 σ (xp1 2 − x∗p2 1)≤ 1 3|ξ1| 2ρ σ + b₂(x₂)|ξ₂| 2ρ σ dξ2e 2ρ_−r2−τ2 σ φ₂(t, x, u)≤ 1 3|ξ1| 2ρ σ + ˜b₂(x₂)|ξ₂| 2ρ σ ∂W2(x2) ∂x1 ˙x1 ≤ 1 3|ξ1| 2ρ σ + ˆb 2(x2)|ξ2| 2ρ σ 9

(13)

由上述不等式我們進一步可獲得 ˙ V2(x1, x2)≤ −(n − 1) |ξ1| 2ρ σ +|ξ₂| 2ρ σ + d2(t)dξ2e 2ρ_−r2−τ2 σ (xp2 3 − x∗p3 2) (26) 對所有(x1, x2)∈ Sε2，其中 x∗₃ =−g2(x1, x2)dξ2e r3 σ 且 g₂(x₁, x₂) = n− 1 + b2(x1, x2) + ˜b2(x1, x2) + ˆb2(x1, x2) d₂ !1 p2 (27) 且g2 : Sε2 → (0, ∞)為光滑函數。延續著相同的方法我們可證明，存在一連續可微分函數Vn :Sεn → R如下 Vn(x) = V1(x1, . . . , xn−1) + n X i=2 Wi(x) Wi(x) = Z xi x∗ i(x1,...,xi−1) l dseriσ − dx∗ i(x1, . . . , xi−1)e σ ri m2ρ_−ri−τi σ ds 及連續控制律 u =_−gn(x)dξne rn+τn σ 且 g n(x) = 1 + bn(x) + ˜bn(x) + ˆbn(x) d_n ! 其中ξj(x1, . . . , xj) =dxje σ rj _{− dx}∗ j(x1, . . . , xj−1)e σ rj對所有j = 2, . . . , n，使得 ˙ Vn(x)≤ − n X j=1 |ξj| 2ρ σ (28) 對所有x ∈ Sε n。因此，對任一個由初始狀態x(0) ∈ Sεn := {x | x ∈ Rn且|x1| < ε} ⊂ Rn所出發之解x(t)在[0, ∞)有定義並滿足x(t) → 0當t → ∞。步步步驟驟驟三三三 –《《《分分分析析析輸輸輸出出出約約約束束束有有有效效效性性性》》》考慮x(0) ∈ Sε n，從上述不等式我們可知0 ≤ Vn(x(t))≤ Vn(x(0))對所有t≥ 0。透過簡單運算我們可馬上獲得 |x1(t)| 2ρ_−τ1 r1 π 2ε2ρr1−τ1 ≤ tan−1 (2ρ− τ1)π 2r1ε 2ρ_−τ1 r1 Vn(x(0)) ! < π 2 (29) 對所有t ≥ 0。換句話說，我的有|y(t)| = |x1(t)| < ε對所有t ≥ 0。

五

五、

、

、模

模

模擬

擬

擬驗

驗

驗證

證

為了驗證定理之有效性，在此我們考慮二皆非線性系統如下： ˙x1 = x2 ˙x2 = u− k 1 + c2x2₁xq₁ y = x1. (30)

(14)

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3 time (sec)

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3

圖圖圖 1. 系統(30)–(31)之閉迴路系統狀態x1(t) 其中k = 0.3, c = 1, q = 2/3。我們取r1 = 1, r2 = 1, r3 = 2/3, τ1 = 0, τ2 = −1/3, σ = 1與ρ = 1，很容易可驗證假設1與2被滿足。根據前述之理論結果，我們設計連續控制律如下 u =_−g2(x1, x2) x2+ g1(x1)x1 2 3 ₍₃₁₎ 其中 g1(x1) = 2, g2(x1, x2) = 1 + b2(x2) + ˜b2(x2) + ˆb2(x2) b2(x1, x2) = 3 4sec 4 π_|x1|2 2ε2 b ˜b2(x1, x2) = 2 3 1 + k2(1 + c2x2₁)2 3 4 ˆb2(x1, x2) = 2 3 16 3 (1 + x2₁)16 + 1 1 2 3 2 +8 3 h (1 + x2₂)16 + 213(1 + x2 1) 1 6 + 1 i 在模擬中，我們選擇初始條件為 [x1(0), x2(0)]T = [2, 14]T及εb = 30與εb = 2.3。模擬結果如圖4所示。明顯地，所設計之控制律為一個有效的穩定器，同時使得系統之輸出滿足對應之約束。

六

六、

、

、結

結

結論

論

在本計畫中，我們成功地透過發展一套稱系統化的設計方法，來處理高階非線性系統的具輸出約束之穩定化控制問題。根據我們所知，本計畫所提出之方法為文獻上首次成功地解決該問題的研究成果。有鑑於理論之突破性，我們亦專注於研究後續諸多相關之議題。 11

(15)

0

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1

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3 time (sec)

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5

10

15

圖圖圖 2. 系統(30)–(31)之閉迴路系統狀態x2(t)

例如，隨機非線性系統(stochastic nonlinear systems)的具輸出約束之穩定化控制問題串級非線性系統(cascade nonlinear systems)的具輸出約束之穩定化控制問題出回授穩定化控制問題等，目前相關結果正準備整理投稿至國際控制期刊。在此，我們想再次感謝科技部對我們團隊的補助；同時，我們也希望未來能夠持續地獲得國內控制領域中專家學者與先進前輩們的支持，讓我們可以繼續在控制理論的領域中，持續地傾心研究，增加台灣在國際控制圈的能見度。

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科

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家

家學

學

學者

者

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七

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、

、參

參

參考

考

考文

文

文獻

獻

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[70] ——, “Control of nonlinear systems with full state constraint using a barrier Lyapunov function,” in Proceedings of 48th IEEE Conference on Decision Control, Shanghai, China, 2009, pp. 8618– 8623.

[71] Z.-L. Tang, S. S. Ge, K. P. Tee, and W. He, “Robust adaptive neural tracking control for a class of perturbed uncertain nonlinear systems with state constraints,” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, vol. 46, no. 12, pp. 1618–1629, 2016.

[72] B. Niu and J. Zhao, “Barrier Lyapunov functions for the output tracking control of constrained nonlinear,” Systems & Control Letters, vol. 62, no. 10, pp. 963–971, 2000.

[73] Y. Li, S. Tong, and T. Li, “Adaptive fuzzy output-feedback control for output-constrained nonlin-ear systems in the presence of input saturation,” Fuzzy Sets and Systems, vol. 248, pp. 138–155, 2014.

[74] H. K. Khalil, Nonlinear Control. Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice Hall, 2015.

[75] C.-C. Chen, “A unified approach to finite-time stabilization of high-order,” International Journal of Robust and Nonlinear Control, vol. 29, no. 2, pp. 393–407, 2019.

(21)

科技部補助專題研究計畫出席國際學術會議及出國學術演講

與交流心得報告

日期：107 年 7 月 10 日

一、參加會議與演講及交流經過

此次受中國濟南大學孫元功教授之邀請，前往參與「第四屆非線性控制理論及其

工程應用學術研討會」

，並以

「高階非線性系統之若干控制問題」為題目進行學術演講。

該研討會為於 2016 首次舉辦後，截至目前為止已進入第四屆，並於大陸濟南市舉行。

主要目的在於探討關於非線性控制理論及其相關應用的最新研究成果，同時亦有許多

專家學者在該會議中，提出目前非線性控制領域中的諸多開放性問題（open problems）

。

透過參加者彼此之討論，研擬出可能的解決方案，對該領領域做出實質之貢獻。

計畫編號

MOST 107－2221－E－006－231－

計畫名稱

具輸出約束之高階非線性系統穩定化控制：一種新型橫向齊次技術

出國人員姓名

陳智強

服務機構及職稱

國立成功大學 / 助理

教授

會議時間

107 年 6 月 28 日至

107 年 6 月 30 日

會議地點

中國濟南/濟南大學

演講與交流時間

107 年 7 月 2 日

_{演講與交流地點}

中國濟南/濟南大學-數學科學學院

107 年 7 月 4 日

演講與交流地點

中國北京 /中國礦業

大學（北京）-機電與

訊息工程學院

107 年 7 月 6 日

演講與交流地點

中國上海 /上海電力

大學 -自動化工程學

院

會議名稱

(中文) 第四屆非線性控制理論及其工程應用學術研討會

(英文) The 4th Conference of Nonlinear Control with Application

演講題目

(中文) 高階非線性系統之若干控制問題

(22)

2

另外，分別受孫元功教授、中國礦業大學（北京）機電與訊息工程學院查文婷教

授、與中國上海電力大學自動化工程學院張傳林教授之邀請，本次出國亦前往此三單

位進行學術交流，並以題目為「高階非線性系統之若干控制問題」進行學術演講。非

線性控制理論是上述三個單位的重點研究方向之一，許多文獻上重要的研究成果，更

是由上述三個單位之教授所提提出。透過此次難得之機會，本人與上述三個單位的諸

多教授及研究生，互相交換在非線性控制的許多研究心得，同時亦建立起未來雙方研

究合作之機會。

日期

時間

活動內容

地點

6/27（四）

晚上

桃園→濟南（出發）

飛機上

6/28（五）

上午

下午

第四屆非線性控制理論及其工程應用國際研討會

報到 & 專家交流

濟南

晚上

濟南市區 & 飯店（自費）

濟南

6/29（六）

上午

參與會議

濟南

下午

參與會議

晚上

濟南市區 & 飯店（自費）

6/30（日）

上午

會議小組討論（committee）

濟南

下午

專家交流（未來合作探討）

晚上

濟南市區 & 飯店（自費）

7/1（一）

上午

濟南大學

數學科學學院

孫元功教授個人實驗室交流

（未來合作探討）

濟南

下午

濟南大學

數學科學學院

部分教師實驗室交流

（未來合作探討）

晚上

濟南市區 & 飯店（自費）

7/2（一）

上午

濟南大學

濟南

(23)

數學科學學院

演講

下午

晚上

濟南市區 & 飯店（自費）

7/3（三）

上午

濟南→北京（移動）

高鐵

下午

中國礦業大學（北京）

機電與訊息工程學院

查文婷教授個人實驗室交流

（未來合作探討）

北京

晚上

北京市區 & 飯店（自費）

7/4（四）

上午

中國礦業大學（北京）

機電與訊息工程學院

演講

北京

下午

中國礦業大學（北京）

機電與訊息工程學院

部分教師實驗室交流

（未來合作探討）

晚上

北京市區 & 飯店（自費）

7/5（五）

上午

北京→上海（移動）

高鐵

下午

上海電力大學

自動化工程學院

張傳林教授個人實驗室交流

（未來合作探討）

上海

晚上

上海市區 & 飯店（自費）

7/6（六）

上午

上海電力大學

自動化工程學院

演講

上海

下午

上海電力大學

自動化工程學院

部分教師實驗室交流

(24)

4

（未來合作探討）

晚上

上海市區 & 飯店（自費）

7/7（日）

上午與

下午

上海電力大學

自動化工程學院

部分教師實驗室交流

（未來合作探討）

上海

晚上

上海市區 & 飯店（自費）

7/8（一）

上午

上海市區 & 飯店（自費）

上海

下午

上海→桃園（返國）

飛機上

二、心得概述

 參加「第四屆非線性控制理論及其工程應用學術研討會」

本人此次受邀參加「第四屆非線性控制理論及其工程應用學術研討會」。本次會

議的演講者有美國德州大學聖安東尼奧分校電機工程學系系主任錢春江教授、江蘇大

學電氣信息工程學院丁世宏教授、東南大學自動化學院楊俊教授與翟軍勇教授、美國

加州大學聖塔克魯茲分校應用數學系系主任宮琪教授、南京航空航天大學自動化學院

趙振華教授、杭州電子科技大學機械工程學院孟慶華教授、東南大學能源與環境學院

蘇志剛教授、河南城建學院蘭奇遜教授、中國石油大學（華東）信息與控制工程學院

王釗教授、山東大學數學學院馮俊娥教授、山東師範大學數學與統計學院李曉迪教授、

湖南師範大學數學科學學院朱全新。每一位演講者都針對其各自的專長領域做了仔細

的報告，包含有齊次系統理論（錢春江教授）

、干擾觀測器設計理論（丁世宏教授）

、

抗干擾控制理論（楊俊教授）

、計算最佳化與控制（宮琪教授）

、連續終端滑模導引控

制（趙振華教授）

、自適應輸出回授控制（翟軍勇教授）

、採樣及有限時間控制於電動

汽車控制之應用（孟慶華教授）

、齊次系統量測不確定性之穩定化控制（蘇志剛教授）、

採樣輸出回授之控制應用於隨機系統

（蘭奇遜教授）

、自適應滑模容錯控制技術

（王釗）

、

波爾網路控制之解偶問題（馮俊娥教授）

、脈衝系統的有限時間控制（李曉迪）及隨機

微分方程之穩定度探討（朱全新）

。在宮琪教授的報告中，他更提出了計算最佳化與控

制在現今人工智慧（artificial intelligence，AI）領域中，實際上佔有重要的一席之地的

(25)

突破性觀點。透過系統化的計算方法之設計，能夠有效地對於 AI 系統進行解析與探

討，並提高整體穩定性與可應用性。這樣的新穎觀點與思想，對本人有醍醐灌頂之影

響。

 前往「濟南大學-數學科學學院」學術演講與交流

利用此次參加會議之時，本人亦獲孫元功教授之邀請，前往濟南大學數學科學學

院進行學術交流並演講。孫教授過去與本人在國際研討會中相識，後續更經常互動並

探討關於非線性控制中領域中的諸多研究議題。透過本次前往參加學術研討會之難得

機會，本人特別前往孫教授處進行訪問交流。在訪問行程的一開始，孫教授先引領我

前往濟南大學數學科學學院的簡介室，並向熱情地向我說明數學科學學院的每一位老

師之研究方向，包含其本身專長的非線性切換系統控制與分析等。之後，我便隨著孫

教授前往其實驗室與其研究團隊見面。孫教授共有 13 位碩士生及 2 位博士生，團隊非

常的龐大，研究能量也相當充足。在簡單地向孫教授之團隊成員簡介我個人近年來的

研究成果後，我便開始進行學術演講。在演講的過程中，獲得了孫教授及其研究團隊

的熱烈回響，許多提問內容也提供了我進一步研究的議題。同樣地，孫教授也向本人

介紹其團隊的主要研究成果，包含有有限時間控制（fast finite-time control）

、切換系統

（switching systems）及時滯系統（time-delay system）等議題，使本人收穫滿滿。最

後，由於雙方的研究之契合性，我們彼此相互約定在未來的幾年內，將一起合作共同

解決一系列的非線性切換控制問題，同時我也誠意地邀請孫老師及其研究生來我校國

立成功大學進行訪問與交流。

 前往「中國礦業大學（北京）-機電與訊息工程學院」學術演講與交流

藉由此次所參加之會議的地點之便，中國礦業大學（北京）機電與訊息工程學院

查文婷教授亦邀請本人前往她處進行學術演講與交流。查教授過去與本人在美國訪問

研究時間，隸屬於同一實驗室並有共同的指導教授，在本人結束訪問回台灣後，與查

教授一值保有良好的互動與研究合作。值得一提的是，查教授在齊次系統理論與輸出

回授控制等非線性控之議題中，有非常深入的研究。此次受邀學術演講所面對的聽眾，

大多來控制專業方向的學者教授與學生們。在演講的過程可明顯感受到每一位聽眾專

注的眼神，以及渴望學習的態度。在 90 分鐘的演講結束後，本來我只預留了 10 分鐘

(26)

6

給聽眾問問題，然而，由於問題熱烈且眾多，最終花費了 25 分鐘才順利結束了 Q&A

時間。值得一提的是，在會後討論時，可發現來聽講的學生對於理論基礎之重視，這

與台灣學生大多喜歡應用而輕忽理論有很大的不同。演講的最後，我與查教授及數位

機電與訊息工程學院的教授們一同討論了未來的研究合作方向，並愉快地結束了演講

行程。

 前往「上海電力大學-自動化工程學院」學術演講與交流

此行同時也收到上海電力大學自動化工程學院，張傳林教授之邀請，並前往他處

進行學術演講與交流。張教授與我相識於 2017 年的第二屆非線性控制理論及其工程應

用學術研討會，當時我們雙方一碰面就激起的研究討論的火花。事實上，在尚未認識

張教授之前，本人早已讀過其發表於 IEEE 上的多篇論文。張教授在電力系統與智慧

電網的研究領域中，不僅佔有非常重要的學術地位，同時更是同行認可的分散式電網

與微電網設計與分析之專家。由於我的研究主題，高階非線性系統之控制與設計，有

一部分可以用來分析分散式電網的控制問題，張教授特別邀請我向其團隊分享近年來

的研究心得。值得一提的是，雖然張教授的團隊大多以電力系統為專長之學生，在本

人演講完結束後的討論時間，有好幾位同學向我提問了幾個相當關鍵的問題，由此卓

見其團隊渴望學習知識的心。在台灣，做理論研究經常比較不受到重視，此行卻能夠

從一個理論研究者的角度出發，跟諸多學者與學生相互交換意見，收穫甚多。

三、發表演講之摘要

Over the past two decades, the stabilization/tracking control by state feedback for

high-order nonlinear systems (i.e., the systems in p-normal form) has witnessed a great

deal of progress, mainly owing to the development of the technique of adding a power

integrator. Based on the underlying philosophy of adding a power integrator technique,

consisting of the derivation of the feedback domination, the problem of output feedback

stabilization/tracking for high-order nonlinear systems was also solved successfully

during the past decade. Going beyond the problems having been solved in the literature,

this talk will sketch the recent efforts in addressing the stabilizing controller design for

(27)

(high-order) nonlinear systems subject to uncertainties and/or response constraints. The

specific topics will cover: stabilization issue for systems with time-varying powers;

output feedback design with measurement (sensor) sensitivity; stabilization by

state-feedback for systems subject output constraints.

四、建議

本次會議後，本人深感學術交流與國際視野開拓的重要性。由於中國大陸近

年來對於學界的資金挹注充裕，研究資源豐富，在各專業領域中不乏有知名專家

學者。在與大陸的學者及學生交流的過程中，不僅能夠享受到高手交流之樂，更

能了解每位專家所關注的焦點，使本人對整體研究趨勢有更深入的了解，有助於

本人掌握新的研究方向。有鑑於此，本人誠心地建議科技部或相關單位，往後能

鼓勵並盡可能地補助國內年輕學者、老師或博士生，使其能夠多與國外學者進行

交流訪問或參與國際學術會議，以開拓其國際視野並邁向國際，提高臺灣之國際

學術能見度。

五、發表演講之投影片全文

詳見最末頁。

(28)

8

(29)

附件二：

（參與會議照片，及各單位學術演講與交流照片）

（

第四屆非線性控制理論及其工程應用學術研討會大合照

）

(30)

10

（本人於「中國礦業大學（北京）-機電與訊息工程學院」學術演講與交流）

(31)

(32)

Some Problems in Control of High-order

Nonlinear Systems

Chih-Chiang Chen

Department of Systems and Naval Mechatronic Engineering National Cheng Kung University, Taiwan

(33)

Outline

High-Order Nonlinear Systems: Part I: Time-varying powers, i.e., p(t)

Part II: Measurement (sensor) sensitivity, i.e., y = θ(t)x1

(34)

Part I:

High-Order Nonlinear Systems with

Time-varying Powers

(35)

Variations in powers

A reduced-order boiler system in thermal power plants [Liu, et al, Energy’15]:

˙x1= c1sign(x1)|x1|p+ φ1(x1, u)

˙x2= c2x2+ φ2(u)

• ci’s are constants and φi(∙)’s are continuous.

• p is identified from the running data obtained from the power plant.

• p is not fixed and might be varying.

(36)

Variations in powers

A reduced-order boiler system in thermal power plants [Liu, et al, Energy’15]:

˙x1= c1sign(x1)|x1|p+ φ1(x1, u)

˙x2= c2x2+ φ2(u)

• ci’s are constants and φi(∙)’s are continuous.

• p is identified from the running data obtained from the power plant.

• p is not fixed and might be varying.

• Two typical values, p = 1.072 and p = 1.031. The first solution was provided by [Su et al, TAC’17].

(37)

Existing method

In[Su et al, TAC’17], a system is considered as follows ˙xi= sign(xi+1)|xi+1|1+δi+ φi(∙), i = 1, . . . , n − 1

˙xn= u + φn(∙) (1)

• φi(∙)’s are continuous

(38)

Existing method

In[Su et al, TAC’17], a system is considered as follows ˙xi= sign(xi+1)|xi+1|1+δi+ φi(∙), i = 1, . . . , n − 1

˙xn= u + φn(∙) (1)

• φi(∙)’s are continuous

• (1 + δi)’s are constants with δi> 0 being unknown.

• Allowable upper bound of δ (i.e., δ < δ∗_{(n)) ensuring the}

exis-tence of nonsmooth state feedback stabilizer is given

n 3 4 5 6 ∙ ∙ ∙

δ∗ 0.6927 0.3542 0.2159 0.1459 ∙ ∙ ∙ where n is the order of system (1).

(39)

Our approach – Time-varying powers

(40)

Our approach – Time-varying powers

If the power is time-varying,[Su et al, TAC’17] is inapplicable. Theoretically, in [Chen et al, RNC’17] we consider

˙xi = sign(xi+1)|xi+1|p(t)+ φi(∙), i = 1, . . . , n − 1

˙xn= sign(u)|u|p(t)+ φn(∙) (2)

• φi(∙)’s are continuous.

• p(t)_{≥ 1 is time-varying and continuous.}

(41)

Our approach – Time-varying powers

Assumption: (preventing the presence of high-order terms w.r.t r1 =

r2 = ∙ ∙ ∙ = rn= 1) A triangular-like condition is needed:

∃ βi(∙) ∈ C∞ s.t. φi(∙) ≤ βi(xi) |x1|p+ ∙ ∙ ∙ + |xi|p.

(42)

Our approach – Time-varying powers

That is, we need a high-order condition on nonlinear terms. Only requiring this Assumption, we obtain

Theorem: [Chen et al, RNC’17]

Under Assumption, there exists a smooth state feedback controller to globally asymptotically stabilize system (2).

(43)

Our approach – Time-varying powers

(44)

Our approach – Time-varying powers

Features:

• It requires only p(t)∈ [p, p] with 1 ≤ p and p being known.

(45)

Our approach – Time-varying powers

(46)

Our approach – Time-varying powers

An example is as follows ˙x1 = sign(x2)|x2|2+cos(t) ˙x2 = sign(u)|u|2+cos(t)+ x 1 3 1|x2| 5 3+cos(t).

A smooth state feedback stabilizer can be constructed to stabilize this system. 0 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 0 1 time (sec) x1 by state feedback x2 by state feedback −4 −2 0 2 x1by output feedback x2by output feedback ˆ

z2from the observer

(47)