6.5一些基本的平面勢流Some Basic, Plane Potential Flows

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(1)

6.5 一些基本的平面勢流

Some Basic, Plane Potential Flows

拉普拉斯方輊式主輊的優輊在於它是一個輊性偏微分方輊式。由於具有輊 性性質輊因此我們可將不同的輊加以輊加以獲得其他的輊輊亦即輊輊輊x, y, z輊1

輊2輊x, y, z輊為拉普拉斯方輊式的兩個不同的輊輊則312也必為方輊 式的另一個輊。輊敘述實輊的含輊在於輊輊我們已輊擁有一些基本的答案時輊 便可以將輊些基本答案加以輊合輊以獲得更為輊輊及令人注輊的輊。在本輊 中輊我們將輊輊一些描述輊單流動的基本輊度勢。輊在下一輊中輊將輊輊輊些 基本輊度勢的輊合以描述更輊輊的流動。

因輊化的緣故輊我們將只會輊慮平輊的輊二輊輊流動。在此輊輊是以輊輊 座標系輊輊輊平輊流動。

或以圓柱座標輊輊

由平輊流動之流輊函數的定輊輊我們可令

其中之流輊函數如 6.37 式輊 6.42 式所定輊輊。同時輊以流輊函數定輊輊度輊也 滿輊了質輊守恆定律。如果我們再加上無旋性條件輊所以 6.59 式成為

將流輊函數的輊係加以輊輊則為

因此輊輊慮平輊、無旋性流動時輊我們可以使用輊度勢或流輊函數加以描

   y

x y

   x V

輊6.72輊

輊6.73輊

輊6.74輊

輊6.75輊

r  r

  r 1 r

r 

V

(2)

6.5 一些基本的平面勢流 225

述輊兩輊必輊滿輊二輊拉普拉斯方輊式。由前輊的敘述可輊出輊輊度勢和流輊 函數有輊輊輊度的輊輊。前輊我們輊輊輊輊 為常數的曲輊即為流輊輊亦即

輊由平輊上輊輊x, y輊輊動到輊輊一輊輊x  dx, y  dy輊時輊我們以下式輊輊 的改輊輊

沿  常數之曲輊輊d  0輊得

將 6.76 輊 6.77 式加以比輊輊可知在流場中輊  常數之曲輊輊輊為等勢項輊 equipotential lines輊輊  常數之曲輊輊流輊輊輊交輊輊輊兩輊呈正交輊亦即輊 兩輊正交時輊其斜率輊乘輊諒於 1輊。對任何勢流場輊輊輊我們可利用一輊流 輊及一輊諒勢輊輊出流項輊flow net輊。流跳可幫助於我們想像流動的形式輊並 蜈由輊出流輊及諒勢輊、將它們在交輊輊微輊使之輊似正交輊輊輊析流場。圖 6.14 所輊輊即為流跳的圖例。由於流輊輊流輊輊輊成反比輊因此我們可由流跳 估輊流輊輊例如我們由圖 6.14 可輊出在內側輊輊輊輊左下方輊的流輊將高於外 側彎曲輊右上方輊的流輊。

6.5.1 均勻流

最輊單的平輊流動就是輊所有流輊均為輊輊且互輊平輊輊輊同時其輊度為 輊6.76輊

輊6.77輊

沿  常數

沿  常數 a

b b

  1 a a

b a b y

x

d2

d V2 V

V2

V1 V

V

d d

d1 d

V1 V

¥¶ ‰u

¡]  –‘…˘¡^

‹y‰u

¡]  –‘…˘¡^





圖 6.14 90 彎管的流網(參考文獻 3 )。

(3)

定值輊輊輊形態的流動輊為均勻流輊uniform flow輊。例如輊輊慮如圖 6.15 a 所 輊沿 x 正方向之均勻流。則輊度 u  U 且  0輊並以輊度勢輊輊為

將輊兩式加以輊分得

方輊式中 C 為輊分常數輊可輊為輊。如此輊沿 x 正方向的均勻流為

同理輊輊應的流輊函數為

因輊

對輊 x 輊夾輊為 之均勻流輊輊輊如圖 6.15 b 所輊輊我們可將上述輊果加 以延伸輊得到輊度勢輊流輊函數之一輊式

以及

6.5.2 源流與沉流

輊慮圖 6.16 中輊輊原輊並垂輊於 x  y 平輊的輊輊流輊以輊輊為中心沿半 徑方向向外輻射流出。令 m 為由輊輊輊散出的輊輊流率輊每單位長度輊輊同時 為輊合質輊守恆輊則有

圖 6.15 均勻流ua

在 x 方向霿b 與 x 軸 夾角的方向。

輊6.79輊

輊6.80輊

輊6.81輊 輊6.78輊

(4)

6.5 一些基本的平面勢流 227

或是

同時輊因為流動輊為徑向輊故  0輊蜈由將下列方輊式

加以輊分得輊輊的輊度勢為

如果 m 為正值輊則流動為向外輻射流出輊此輊流動輊為源流輊source flow輊。如 果 m 為輊值輊則流動輻射向內流向原輊輊此輊流動輊為沉流輊sink flow輊。輊流 率 m 為源流或沉流的強度。

在原輊輊亦即 r  0輊輊度輊為無輊大輊輊然輊輊是不可輊的物理現輊。因 此輊在真實的流場中輊源流輊沉流是不存在的輊輊流場中代輊源流輊沉流的輊 輊輊為數學上的奇輊輊。不輊輊我們可應用源流或沉流輊似地輊輊輊多不在原 輊輊生的真實流動輊同時輊我們也可利用輊輊輊似流場的輊度勢輊其他基本輊 度勢合併輊輊略描述一些真實的流場。輊一輊將在 6.6 輊中輊一步輊輊。

源流的流輊函數可輊由下列輊係式的輊分

輊得

從 6.83 式明輊地輊出流輊輊  常數的輊輊為徑向輻射輊輊輊由 6.82 式則可輊 出諒勢輊輊  常數的輊輊是以原輊為圓心的同心圓。

圖 6.16 源流的流線形式。

輊6.82輊

輊6.83輊

(5)

E

XAMPLE 例盒 6.4

如圖 E 6.4 所輊輊非輊滯性、不可壓輊流輊在楔形壁輊流向位於原輊的小輊口輊 輊流場可以以下的輊度勢輊以 ft2s 為單位輊輊似於

試求流入小輊口輊每單位長度輊的輊輊流率。

盒答

輊度的分輊分別為

並且指出流動為單輊的徑向流輊流輊弧長為 R 6 之每單位厚度之流率 q輊可輊下式 之輊分輊得

其中 R 為任意值輊輊是因為輊輊兩壁輊任何弧長的流率必定輊同。輊輊輊輊流動方向 為朝向小輊口輊亦即輊的半徑方向。

圖 E 6.4

輊Ans輊

6.5.3 渦流

接下來所輊慮的流場輊其流輊為同心圓輊此為輊將源流的輊度勢及流輊函 數輊互交換輊

方輊式中輊K 為常數。在輊輊情況下輊流輊為同心圓輊如圖 6.17 所輊輊 同時 輊6.85輊 輊6.84輊

(6)

6.5 一些基本的平面勢流 229

r 0 輊且

上式指出切輊輊度和輊原輊的輊輊成反比輊在 r  0輊輊度為無輊大輊為奇輊 輊。

不輊輊輊無旋輊性的渦流輊vortex輊輊輊來很輊兀輊此乃因為我們以輊度 勢描述流場輊。但是輊知輊輊所輊的旋輊性乃是指流輊元蔏的方位輊輊不是其流 動的輊徑。輊慮一無旋性渦流輊並將一對輊枝輊成十字形輊輊於流場中的位輊 A 輊如圖 6.18 a 所輊。輊其它們輊動到位輊 B輊此兩支輊枝將會旋輊。其中輊 流輊平輊之輊枝將沿輊流輊、以輊時輊方向、依圓形的輊徑輊輊動。另一支輊 枝輊輊流輊垂輊輊輊則因流場的特性輊以輊時輊方向旋輊輊亦即輊輊輊原輊的 輊一輊比遠輊原輊的另一輊輊動輊快。輊然輊兩支輊枝蟌在旋輊輊但因流輊本 輊不具旋輊性輊故兩支輊枝的平均輊輊度為輊。

如果流輊像剛輊一樣的旋輊輊且  K1r輊輊中 K1為一常數。將前述的一 對輊枝同樣地放輊在於流場中輊如圖 6.18 b 所輊。由於輊輊形態的渦流具有旋 輊性輊因此無法以輊度勢來描述。具旋輊性的渦流輊常輊為強制渦流輊輊不具 旋輊性的渦流輊為輊由渦流。輊我們將浴輊的水塞拔輊時輊流輊排水孔的水將 產生之旋渦即輊似輊由渦流。輊對地輊將水桶中的液輊以  輊輊度對水桶中心 輊旋輊時輊則液輊的輊動輊輊於強制渦流。

所輊輊合渦流是指核心內為強制渦流輊核心外具輊由渦流之輊度輊。如 此輊對一輊合渦流輊輊輊

以及

輊6.86輊

圖 6.17 源流的流線形式。

  常數

  常數 y

x r





輊6.87輊

輊6.88輊

(7)

方輊式中輊K 輊 輊為常數輊且 r0為核心的半徑。同時輊我們在例輊 3.31 中也 輊輊輊輊由渦流輊強制渦流的壓力分布。

輊渦流輊動輊輊的一個數學輊念輊即所輊的環流輊circulation輊輊。環流的 定輊為輊在流場中輊於一個封輊曲輊上輊將輊度在輊曲輊的切輊分輊沿輊曲輊 之輊輊分。 的數學式為

其中輊輊分輊輊代輊沿封輊曲輊 C 依輊時輊方向的環輊分輊ds 為圖 6.19 中沿曲 輊 C 的微分長度。輊於對無旋輊流動來輊 V 輊故 V輊ds  輊ds  輊 也因此

輊輊分輊果指出輊對於無旋輊流動其環流值為輊。但是如果在封輊曲輊之內包 含有奇輊輊輊所以環流值可輊不為輊。例如輊輊慮一輊由渦流且其輊度為   Kr 輊則沿輊如圖 6.20 所輊半徑為 r 之圓形輊徑的環流為

輊果輊輊環流不為輊輊且 K  2 。不輊輊沿輊任何不含原輊之奇輊輊的輊 徑輊其環流值仍為輊。輊一輊輊我們可蜈由輊慮如圖 6.20 中的封輊曲輊 ABCD

圖 6.18 流動元素由 A 運動 至 Bua 無旋轉(自由)渦 流霿b 旋轉(強制)渦流。

圖 6.19 用以決定沿著封閉曲線 C 的環流的記號。

輊6.89輊

(8)

6.5 一些基本的平面勢流 231

輊輊環流值得到輊輊。

輊由渦流的輊度勢輊流輊函數一輊輊以環流輊輊

以及

輊我們輊慮一個沉浸於輊動流輊中之物輊並輊輊在輊物輊上產生的作用力時輊 應用環流的輊念是輊輊有幫助的。輊輊環流輊念的應用將在 6.6.2 輊中輊輊。

圖 6.20 在自由渦流中不同路徑的環流。

輊6.90輊

輊6.91輊

E

XAMPLE 例盒 6.5

圖 E 6.5 所輊為一大型輊存槽中的液輊輊由底輊小孔排出的情形。此時槽內將產 生渦流輊同時在輊小孔甚遠輊之輊度分布可以一輊似之輊由渦流來輊輊輊且輊輊由渦 流的輊度勢為

請以環流 來輊輊液輊形狀及渦流強度輊的輊係。

盒答

由於輊由渦流為無旋輊流輊則流場中任兩輊輊的柏努利方輊式可寫為

輊將輊兩輊取輊液輊之輊由輊輊輊亦即 p1 p2 0輊則

輊1輊

(9)

6.5.4 偶流

最後輊我們所輊輊慮的一輊基本勢流為源流及沉流的特殊輊合。輊慮如圖 6.21 所輊之具有輊同強度的一對源流輊沉流輊其合併後的流輊函數為

輊式又可寫成

由圖 6.21 知

以及

其中 zs為以輊1 為基準所輊測之輊由液輊的輊對高度。

輊度的輊輊公式如下

在輊1 輊原輊甚遠輊V1  0輊故 1 式為

輊就是液輊形狀的輊輊式輊其中輊輊輊輊輊輊輊圖 E 6.5 中流場的原輊時輊輊由液輊 便下輊。上輊推導的輊果不輊用於描述輊輊原輊的輊由液輊輊因為輊輊輊原輊時輊其 輊度輊成非常大。

圖 E 6.5

輊Ans輊

輊6.92輊

(10)

6.5 一些基本的平面勢流 233

將其代入 6.92 式得

亦即

輊 a 很小時輊上式又可寫為

輊是因為輊輊度很小時輊其輊度的正切值接輊其輊度值。

所輊的偶流輊doublet輊是令源流輊沉流互輊接輊輊a → 0輊輊並使其強度 m 增加輊m → 輊輊以便使 ma 輊保持定值。在此條件下輊由於 rr2  a2 → 1r輊所以可將 6.94 式寫成

方輊式中輊K 為常數輊並諒於 ma 輊K 又輊為偶流的強度。偶流輊度勢為

將偶流的諒  輊加以輊圖可輊出偶流的流輊為輊輊原輊輊並輊 x 輊輊切的一輊 圓輊如圖 6.22 所輊。就像源流和沉流一樣輊在真實的流場中輊偶流也是不存在 的。然輊輊輊將偶流輊其他基本勢流加以合併輊我們便可輊一步描述一些實輊 且輊輊的流場。輊例來輊輊我們將在 6.6.2 輊中輊輊輊以均勻流和偶流的輊合來 輊輊流輊圓柱的流動。輊 6.1 在於輊對本輊各輊所輊輊之基本平輊勢流輊提供 其輊輊方輊式的輊輊。

圖 6.21 座落在 x 軸上,具有同強度的源流、

沉流的合併。

輊6.93輊

輊6.94輊

輊6.95輊

輊6.96輊

(11)

在前一輊中我們輊輊輊輊勢流的輊御方輊式是拉普拉斯方輊式。由於輊方 輊式是一個輊性偏微分方輊式輊因輊我們可將不同的輊度勢輊流輊函數加以合 併輊輊形成新的輊度勢輊流輊函數輊何以輊敘述成輊輊輊。輊於輊合併輊否導出 有效的輊果仍待輊察。由於沿輊固輊邊界的流動條件諒同於流輊輊我們必輊指

圖 6.22 偶流的流線。

項 6 .1 基本平面勢流總項

a輊度分輊以輊度勢輊流輊函數輊輊如下輊

6.6 基本平面勢流之重疊法

Superposition of Basic, Plane Potential Flows

(12)

6.6 基本平面勢流之重疊法 235

出在無輊性流場中的任何流輊輊均可輊為固輊邊界輊也就是輊輊沒有任何流動 可輊賓輊邊界或是流輊。因此輊假如我們輊夠將一些基本輊度勢或流輊函數加 以合併以獲得新的流輊輊輊輊流輊可以對應於特定物輊的形狀輊輊輊輊合併便 可用來輊輊地描述環輊物輊的流動。輊輊合併的方法輊為重疊法輊method of supperposition輊輊常用來輊析一些有趣的流力問輊。在以下的 3 個小輊中我們將 描述輊方法。

6.6.1 均勻流的源流-半體

在圖 6.23 a 中我們輊慮一個源流輊均勻流的輊輊。輊輊輊的流輊函數為

其所對應的輊度勢為

輊然輊由於源流的輊度輊均勻流的輊度輊互抵消輊在輊 x 輊的某輊輊輊將產生 一個停滯輊。單就源流輊輊

使得停滯輊輊生在 x  b 之輊輊輊在輊輊

蜈由 6.97 式並輊慮 r  b 輊  輊輊 y 值輊我們可以得到在停滯輊的流 輊函數值

圖 6.23 流鷲半體ua 源流與均勻流之重疊霿b以固體邊界代替流線  bU 以形成半體。

輊6.97輊

輊6.98輊

均勻流 源流

輊6.99輊

停滯點

(13)

由於 m2  bU輊從 6.99 式輊輊因輊流輊停滯輊的流輊方輊式為

方輊式中輊 的值 介於 0 輊 2 之輊。圖 6.23 b 所輊即為流輊圖 。假如我們將 圖中的流輊以固輊邊界取代輊輊然輊均勻流及源流之合併輊可用來描述在一個 均勻流場中具流輊輊之周圍流場。輊流輊輊在下游輊之形狀並未形成封輊輊因 輊輊為半項輊half-body輊。我們可蜈由將 6.97 式中的  輊為常數及輊出輊式之 輊果獲得流場中其他流輊輊圖 6.23 b 中也輊輊出輊些流輊。輊然我們也在半輊 內畫了一些流輊輊但是輊些流輊並無輊輊輊輊因為輊我們的輊輊在於半輊外的 流輊。我們必輊指出流場的奇輊輊輊源流輊輊生在半輊內輊輊輊在我們所感輊 趣的流場內輊半輊外輊輊並無奇輊輊。

由 6.100 式可輊出半輊的寬度漸漸地輊輊 2 b輊並且輊式可以寫成

同時輊 → 0 或  → 2 時輊輊半輊之半寬度輊輊於 b 。輊流輊函數輊或輊 度勢輊已知時輊我們便可求得在任意輊輊的輊度分輊輊利用 6.97 式的流輊函 數輊其輊度分輊為

以及

輊在任意輊輊輊輊度 V 的平方為

因 b  m2 U輊所以

輊此我們已輊得到輊度輊便可由柏努利方輊式決定在輊輊的壓力輊由於流 動為無旋輊流輊我們可輊對流場中任意兩輊輊應用柏努利方輊式。輊對流場中 壓力為 p0、輊度為 U 且甚遠於物輊之某一輊輊及流場中壓力為 p、輊度為 V 之 任意輊輊應用柏努利方輊式輊我們得到

輊6.100輊

輊6.101輊

(14)

6.6 基本平面勢流之重疊法 237

方輊式中輊高度的輊化可忽略不輊。如果將 6.101 式代入 6.102 式中輊我們便可 以參輊壓力 p0輊輊度 U 來輊輊任意輊輊的壓力。

此輊輊單輊的勢流輊輊對流輊形輊前半輊流動輊提供了輊輊有輊的資訊輊 輊些流輊形輊輊包括在均勻流中的橋墩或橋柱。有一輊輊輊輊輊的是輊物輊輊 輊的切輊輊度並不諒於輊輊此即流輊在邊界上「滑動」。輊個滑動的輊果輊輊因 於我們將輊滯性忽略不輊輊輊輊滯性乃是促使流輊輊滯在物輊邊界、形成「無 滑動」之流輊性質。輊就是所有勢流輊真實流輊的差別之輊輊也使得勢流無法 輊準地輊輊輊輊邊界輊的輊度。不輊輊在沒有輊生流動分輊現輊時輊在邊界輊 層外的輊度分布輊常輊勢流理輊所輊測輊一輊。同時輊由於邊界層輊輊的輊輊 且在輊邊界層中不輊有壓力輊化輊因輊輊輊之壓力分布亦輊輊接輊勢流理輊所 輊測輊。事實上輊我們可將勢流理輊所得到之壓力分布搭輊輊性流理輊輊輊決 定在邊界層內的流動本質輊輊一輊我們將在輊 9 輊輊加輊輊。

輊6.102輊

E

XAMPLE 例盒 6.6

一山丘由平地輊輊輊形狀輊似於圖 E 6.6 中的半輊之上半輊。山丘的高度輊為 200 ft 。a 輊輊以 40 mihr 的輊輊吹向山丘時輊在原輊正上方之山丘某輊輊即輊 2輊輊輊氣的輊度大小為何輊b 輊 2 輊輊平輊的高度何輊同時平地上遠輊山丘之輊 1

輊輊2 之壓力差為多少輊令輊氣密度為 0.00238 slugsft3

盒答

a 從 6.101 式輊得輊度如下

在輊2 輊輊由於  2 且輊輊位於輊輊輊故由 6.100 式

輊1輊

圖 E 6.6

(15)

所以

輊對 40 mihr 的輊輊輊輊 2 的輊度大小為

b 由 1 式得輊 2 輊平地輊的高度為

由於山丘高度輊 200 ft 輊輊高度諒於 b輊因此得

由柏努利方輊式輊並令 y 輊為垂輊輊輊得

其中

本輊果輊明在山丘上的輊 2 輊的壓力略小於在平地輊的壓力輊由高度差輊成的 壓力差為 0.0533 psi輊輊由於輊度增加所輊成的壓力差為 0.0114 psi。

輊Ans輊

輊Ans輊

輊Ans輊

(16)

6.6 基本平面勢流之重疊法 239

所輊半輊就是有一輊是「輊口」輊輊非封輊輊的物輊。探輊流輊流輊封輊物輊之 流動輊我們可將源流、諒強度的沉流及均勻流加以合併以輊輊之。輊常輊輊樣 的物輊為橢圓形輊輊為朗輊橢圓。

6.6.2 環繞圓柱的流動

我們可將沿輊 x 輊正方向的均勻流輊偶流加以合併以輊輊環輊一圓柱的流 場輊由輊輊合所得之流輊函數為

其輊度勢則為

欲將輊流輊函數輊輊環輊圓柱的流動則必輊令 r  a 輊之  常數輊其中 a 為 圓柱之半徑。由於 6.103 式可寫成

因此在 r  a 輊可得  0 如果

亦即偶流強度 K輊必輊諒於 Ua2。如此輊輊輊圓柱的流輊函數可以輊輊為

輊其輊度勢為

輊流場的流輊如圖 6.24 所輊。

由 6.105 式或 6.106 式可得輊度分輊分別為

沿山丘輊輊之最大輊輊沒有輊生在山丘上之輊 2 輊輊輊是在更上方輊   63 的地方輊在輊輊 V輊輊  1.26U輊見輊輊 6.32輊。輊於最小輊輊輊V  0輊及最 大壓力則輊生在輊3 之停滯輊。

輊6.103輊

輊6.104輊

輊6.105輊

輊6.106輊

輊6.107輊

(17)

以及

在圓柱的輊輊輊r  a輊輊由 6.107 式及 6.108 式分別得到 r 0 以及

由輊輊果可得輊在圓柱輊的輊輊輊底輊輊   2 輊輊輊生最大輊度輊其大小 為輊由流輊的二倍。輊由圓柱輊輊沿輊   2 半徑方向向外的輊度分布輊則 如圖 6.24 之輊度曲輊所輊。

輊於在圓柱輊輊的壓力分布輊則可輊用柏努利方輊式並輊慮遠輊圓柱、壓 力為 p0、輊度為 U 之某一輊輊亦即

其中 ps為在圓柱輊輊的壓力輊同時在輊式中之高度輊化並不予以輊慮。因為 s

 2U sin 輊於是得到圓柱輊輊的壓力為

我們將由上式所得之理輊壓力分布輊實輊輊輊實輊輊測之壓力分布輊輊輊輊加 以比輊並輊於圖 6.25 中輊並以無因次形式輊輊其大小輊輊現理輊之壓力分布具 有對輊性輊輊且輊壓力分布只在圓柱輊上游流輊輊互輊似輊合。由於圓柱輊輊 的輊性邊界層輊使得流動在圓柱輊輊產生分輊輊導輊以無摩擦流輊為假輊前提 之理輊值在圓柱下游輊分輊實輊輊測值有輊輊大的差輊輊見輊 9 輊輊。

我們可將輊輊壓力加以輊分得到在圓柱輊上形成的合力輊每單位長輊。由圖 6.26 可輊出

圖 6.24 流鷲圓柱。

輊6.108輊

輊6.109輊

(18)

6.6 基本平面勢流之重疊法 241

以及

方輊式中輊Fx 為輊力輊drag輊輊均勻流方向平輊之力輊輊Fy 為升力輊lift輊 輊均勻流方向垂輊之力輊。將由 6.109 式所得之 ps 各別代入上式中輊並加以輊 分輊可得 Fx 0 且 Fy 0。

輊個輊果指出輊對在均勻流中固定的圓柱輊輊輊蜈由勢流理輊所輊測的輊 力輊升力均為輊。由於圓柱周圍的壓力分布具對輊性輊因此輊輊果並不令人輊 輊輊不輊輊輊輊告訴輊我們將圓柱輊輊於輊動的流場時輊在柱輊上將產生明輊 的 輊 力 輊 此 輊 理 輊 輊 事 實 的 差 輊 性 輊 為 輊 朗 輊 特 輊 盾 輊 輊 d,

A l e m b e r t, s paradox輊見輊 9 輊輊。

圖 6.25 圓柱表面的理論(無黏性)壓

力分布與實驗壓力分布之比較。

圖 6.26 決定在圓柱上的升力與阻力之符號。

輊6.110輊

輊6.111輊

(19)

E

XAMPLE 例盒 6.7

輊圓柱輊輊輊於均勻流中時輊在柱輊前緣將形成如圖 E 6.7 a 所輊之停滯輊。輊 在輊輊上輊一小孔輊我們便可輊測停滯輊壓力 p停滯點輊輊輊求得流動之接輊輊度 U 。

a 試輊明 p停滯點輊 U 的輊係輊b 輊輊小孔輊均勻流方向形成一偏輊輊 輊如圖 E 6.7 b 所輊 輊並且所測得之壓力仍輊為停滯壓力輊試求實輊之接輊流輊 U 輊因偏輊輊之輊 估輊度 U 之比值輊輊式。輊慮偏輊輊在 20   20 。範圍內輊輊出輊比值之函 數圖形。

盒答

a 由於在停滯輊輊的輊度為輊輊故輊慮停滯輊上游輊之某一輊輊圓柱上的停滯輊輊 應用柏努利方輊式並將之寫為

故得

圖 E 6.7

輊Ans輊

停滯點

停滯點

(20)

6.6 基本平面勢流之重疊法 243

將環輊圓柱的流動的流輊函數或輊度勢加上輊由渦流輊我們可得到一個輊 外且令人感輊趣的勢流。輊勢流的流輊函數及輊度勢各為

將在停滯輊及上游任意輊所測得的壓差值代入上式輊便可得到流輊之接輊流 輊。輊然輊所得之輊果輊輊我們在 3.5 輊中以輊托輊壓輊所得之輊果輊同。

b 如果我們無法輊輊知輊流輊接輊圓柱時的流向輊則可以將圓柱輊微旋輊使之輊流 向產生一偏輊輊 。 如此輊實輊輊測的壓力值 p 輊停滯壓力值 p停滯點 將有所差 輊輊即使我們不知偏輊輊為多少輊我們可蜈由下列輊輊得到輊估的接輊流輊 U

也因此

由 6.108 式可得到在圓柱輊輊的輊度 輊輊令 r  a輊

我們輊慮遠輊圓柱上游某一輊輊圓柱上任一輊輊即 r  a輊  輊並寫出柏努利 方輊式得到

亦可寫成

由於         輊故由 1 式輊 2 式得

圖 E 6.7 c 所輊之曲輊即為上式輊度比輊偏輊輊 的函數圖形。

輊些輊果明輊地指出輊輊停滯輊輊壓孔沒有對準停滯輊輊之流輊輊則所得之 輊果必然含有輊輊的的輊差。如果我們在圓柱上輊外輊兩個對輊之偏位小孔輊如 圖 E 6.7 d 所輊輊便可正輊地決定圓柱的方位輊亦即輊將圓柱輊加輊動輊輊兩個 對輊的偏位孔所測得的壓力輊諒時輊即輊輊中輊的小孔便對準了停滯輊流輊。理 輊上輊輊  30 時輊在對輊孔所測得的壓力即輊輊於上游流壓力 p0。以此圓柱 方位輊我們便可利用中心孔輊兩個對輊孔的壓力差決定 U 值。

輊1輊 輊真實值輊

輊輊估值輊

輊2輊

輊Ans輊 輊真實值輊

輊輊估值輊

停滯點

停滯點

(21)

其中  為環流值。我們必輊指出輊由於所增加的輊由渦流的流輊均為圓形輊故 以半徑 r  a 所形成的圓仍為一條流輊輊因此輊圓可輊為一固形圓柱輊。不輊在 圓柱輊輊輊r  a 輊的切輊輊度輊為

輊輊流場輊輊接輊於在均勻流場中輊放輊一個旋輊的圓柱所形成的流場。由於 真正的流輊蟌具有輊滯性輊輊輊旋輊圓柱接輊的流輊輊將會以輊圓柱輊同的輊 度輊動輊故所形成的流場輊輊輊接輊流輊圓柱輊的均勻流輊輊由渦流所輊合形 成的流場。

渦流的強度輊可以決定不同的流輊的形式。例如輊6.114 式可協助我們決 定圓柱輊輊上停滯輊的位輊。輊些停滯輊的位輊即在  停滯點的方向且  0 的輊上輊並且由 6.114 式得到

輊  0 則停滯點 0 或 輊也就是輊停滯輊將分別輊生在圓柱輊前輊輊後輊輊 如圖 6.27 a 所輊。不輊輊輊1  4 Ua  1 時輊停滯輊將輊於圓柱輊之其他 輊上輊如圖 6.27 b、c 所輊輊輊參數  之輊對值大於 1 時輊6.115 式便不輊成 輊輊使得停滯輊將位於圓柱輊輊之外輊如圖 6.27 d。

如 6.110 式輊 6.111 式一樣輊我們可將微小壓力作用力沿圓柱輊輊加以輊分 得到在圓柱上每單位長度所輊生的力。對於具有環流的圓柱輊其輊輊壓力 ps輊 可蜈由柏努利方輊式得到輊輊輊切輊度如 6.114 式所輊輊

將 6.116 式代入 6.110 式且加以輊分輊得到輊力為

輊6.112輊

輊6.113輊

輊6.114輊

輊6.115輊

輊6.116輊

停滯點

(22)

6.6 基本平面勢流之重疊法 245

也就是輊輊即使是旋輊圓柱輊在均勻流的方向並沒有任何作用力。不輊輊將 6.116 式代入 6.111 式得到升力為

其輊果為在具有環流的圓柱上將形成升力輊輊升力的大小為流輊密度、上游流 輊及環流輊的乘輊。輊 U 為正輊沿 x 輊正方向輊、 為正輊輊時旋輊之輊由渦流 為正輊輊6.117 式中的輊輊輊輊 Fy的方向朝下輊輊然輊輊圓柱依輊時輊方向旋輊 輊 0輊輊則 Fy 的方向朝上。升力 Fy的方向輊接輊流輊的方向輊互垂輊輊輊升 力使得在輊氣中推輊並旋輊的棒球或高爾夫球形成曲輊輊徑輊即所輊的曲球。

在旋輊物輊上得以產生升力的現輊輊為輊格輊斯效應輊Magnus effect輊輊輊輊可 參輊 9.4 輊以獲得更多的輊明。輊然 6.117 式為輊對具有環流的圓柱輊加以輊分 輊導出的升力公式輊但是對於在均勻、無輊性流中具有任意截輊形狀之正形柱 輊輊輊輊6.117 式也可用來輊輊柱輊每單位長的升力值。輊於環流的大小則是根 據包含物輊之封輊曲輊輊定。用以輊明升力輊流輊密度、輊度及環流輊輊係之 一輊輊式輊輊為庫塔輊賈冠斯基定律輊Kutta-Joukowski law輊輊主輊用來輊輊機 輊的升力輊見 9.4.2 輊輊參輊文獻 2輊6輊。

輊6.117輊

圖 6.27 在圓柱上停滯點的位置ua

沒有環流霿(b , c , d)具有環流。

(23)

在前一輊內容中輊我們使用將基本勢流輊輊的方法輊輊對沉浸在均勻流中 一些不同柱形得到環輊輊些柱形之無旋輊流場的輊輊描述。蜈由將源流、沉流 或偶流的分布輊均勻流合併的方式輊我們得以將輊輊的概念延伸以描述流輊任 何形狀物輊的流場。對特定物輊形狀輊如何決定源流、沉流或偶流的分布所輊 的技巧是存在的。同時輊對於平輊之勢流問輊輊輊輊理輊輊實數輊輊數的應用輊 是一輊輊輊好用的方法以輊析輊多輊型且輊輊的流輊問輊。輊然現有的一些數 值分析技巧不但可以用來輊平輊二輊的問輊輊更輊用於輊析一輊之三輊問輊。

由於拉普拉斯公式是勢流的輊御方輊式輊因此只輊是分析拉普拉斯公式的步輊 蟌輊合用來輊析無摩擦流輊的無旋輊流動。在流輊力學之各輊輊域中輊勢流理 輊是具歷史性且制定嚴縋的定律輊建輊有輊趣的輊輊可參輊本書末輊 6 輊的參 輊文獻 2輊6。

有一輊輊輊輊輊、必輊縋輊在心的就是輊不輊是使用輊一輊獨特的方式輊 得到勢流的輊輊由於是基於無摩擦流輊的前提假輊輊因此所得到的輊均保有輊 似的特性。在本輊後輊的各小輊中輊我們將輊輊用以描述輊性流輊輊為之微分 方輊及輊微分方輊的輊。

6.7 勢流分析的其他觀點

Other Aspects of Potential Flow Analysis

6.8 黏性流

Viscous Flow

為了將輊性效應輊入流輊輊動的微分輊析輊輊輊我們必輊回到 6.50 式輊有 輊一輊輊動方輊式的推導。由於輊輊動方輊式包含應力輊輊度輊輊且未知數的 數輊多於方輊式的數輊輊因此在輊一步輊析之前輊必輊先輊定應力輊輊度的輊 係。

6.8.1 應力—變形關係

輊慮不可壓輊的牛輊流輊輊已知應力及輊形率成輊性輊係輊如果以輊輊座 標來輊輊輊輊輊性輊係可寫成輊正向應力輊

輊6.118a輊

輊6.118b輊

輊6.118c輊

(24)

6.8 黏性流 247

輊剪切應力輊

方輊式中輊p 為壓力輊為三個垂輊應力的輊平均值輊p  xxyyzz。對 於輊動中的輊性流輊輊輊輊在不同方向的垂輊應力不一定必輊輊同輊輊也就是 何以輊定輊壓力並輊輊為三個垂輊應力的平均值輊輊於輊止流輊或無摩擦流 輊輊在各方向的垂輊應力輊輊諒輊輊一輊輊我們在流輊輊力學中應用輊輊也用 來導出無輊性流的公式輊。輊輊可參輊書末輊 6 輊的參輊文獻之 3、7、8 以輊一 步了輊應力輊輊形梯度之輊輊輊輊。不輊輊注意的是輊對彈性輊輊輊輊應力輊 輊形輊或應輊輊成輊性輊係輊但對牛輊流輊輊應力則輊輊形率輊或應輊率輊成 輊性比例。

輊輊對牛輊、不可壓輊流輊輊以圓柱極座標中輊輊時輊其應力可輊輊為 輊正向應力輊

輊剪切應力輊

每一應力輊的輊下標所代輊的意輊輊以輊輊座標輊輊輊輊似輊輊一個下標代輊 應力作用的平輊輊輊二個下標輊輊應力的方向。例如輊rr 輊輊應力作用於垂輊 徑向的平輊輊輊輊徑向同向輊因此輊為正向應力輊輊同理輊r 輊輊應力作用在 輊6.118d輊

輊6.118e輊

輊6.118f輊

輊6.119a輊

輊6.119b輊

輊6.119c輊

輊6.119d輊

輊6.119e輊

輊6.119f輊

(25)

垂輊徑向的平輊輊但方向輊輊平輊輊切輊 方向輊輊因此輊為剪切應力。

6.8.2 那維爾-史托克斯方程式

將上一輊定輊的應力代入輊動方輊式輊6.50 式輊輊並利用不可壓輊流輊之輊 輊方輊式輊6.31 式輊加以輊化得輊在 x 方向輊

輊在 y 方向輊

輊在 z 方向輊

我們刻意將上列方輊式輊新整理並將加輊度輊輊於諒輊左側輊輊作用力輊寫在 諒輊右側輊輊些方輊式輊輊為那維爾-史托克斯方程式輊Navier-Stokes equa- tions輊以輊念法國的數學家 L. M. H. Navier 及輊國的機械學輊 G.G. Stokes 公 爵輊輊方輊式是由他們兩位所制輊。上列三個方輊式加上質輊守恆方輊式 輊6.31 式輊為不可壓輊、牛輊流輊的流動提供了完整的數學描述輊因為全輊以四 個方輊式輊四個未知數輊u、 、w 和 p輊輊數學上輊為完全輊定輊well-posed輊 問輊。很輊憾的是輊輊輊爾輊史托克斯方輊式的輊輊性輊非輊性之二輊偏微分 方輊輊輊輊少數特例外輊輊常是無法獲得數學的輊切輊。倒是在輊些少數特例 中輊我們得以取得輊切輊輊且輊些輊答也輊實輊數據輊輊輊合。因此輊輊輊爾 輊史托克斯方輊式可輊輊為不可壓輊、牛輊流輊微分輊動的輊御方輊式。

輊以圓柱極座標輊輊時輊見圖 6.6輊輊輊爾輊史托克斯方輊式為輊沿 r 方 向輊輊

輊沿 方向輊

輊6.120a輊

輊6.120b輊

輊6.120c輊

輊6.121a輊

輊6.121b輊

(26)

6.9 黏性、不可壓縮流動的簡單解答 249

輊沿 z 方向輊

我們將在下一輊中推導一些最輊單之輊切輊以輊單介輊輊輊爾輊史托克斯 方輊式的用法。輊然輊些輊切輊輊輊輊單輊但卻不具一輊性輊事實上輊我們也 輊6.121c輊

6.9 黏性、不可壓縮流動的簡單解答

Some Simple Solutions for Viscous, Incompressible Fluids

輊輊爾輊史托克斯方輊式中的對流加輊輊輊亦即 u u x、w  z輊所導輊 之非輊性是我們在輊析輊輊爾輊史托克斯方輊式時的最大輊輊輊輊是由於我們 沒有輊對非輊性偏微分方輊輊用的輊析法則輊例如輊無法使用輊輊法求輊輊輊因 輊每一個問輊輊必輊個別輊理。在大輊分實輊的流動中輊流輊質輊由流場中的 某輊輊輊另一輊時輊一定會有加輊輊動輊因此方輊式中的對流加輊輊就輊得輊 輊輊輊。不輊在一些特例中輊由於流場系輊之幾何本質輊輊對流加輊度輊不復 存在輊如此使我們有機會得到輊答。輊輊爾輊史托克斯輊式可用來輊析層流流 動輊輊流流動輊但是在輊流流動中輊輊度分輊輊時輊輊機地擾動輊輊使求輊輊 輊棘手。因此輊所輊的輊切輊是輊對層流輊輊輊輊定流動之層流其輊度輊時輊 無輊輊或輊輊完全定輊之不輊定層流流動輊輊然其輊度輊時輊輊輊。

6.9.1 介於固定平行板間的穩定層流

在本輊中輊我們輊先輊慮在兩水平且無輊大的平板輊的流動輊如圖 6.28 a 所輊。依據輊輊流場的幾何形狀輊流輊質輊平輊於平板沿 x 方向輊動輊輊在 y、z 方向沒有輊度輊即  0 且 w  0。由輊輊方輊式輊6.31 式輊得知 u x  0。此外輊由於平板為無輊大輊輊度 u 在 z 方向沒有輊化輊同時對輊定流動輊 輊輊 u t  0輊故 u  uy。根據以上的現輊輊輊輊爾輊史托克斯方輊式 6.120 式可輊化為

輊6.122輊

(27)

其中我們令 gx  0、gy  g輊y 輊向上為正輊和 gz  0。依本範例特殊的現 輊輊輊輊爾輊史托克方輊式得以輊輊化輊輊輊輊單的形式。

將 6.123 式及 6.124 式輊分可得

輊果輊輊壓力沿 y 輊呈液輊輊壓方式輊輊。將 6.122 式改寫為

並輊一步加以輊分得

再輊一次輊分得

對本範例之單輊流動輊輊輊壓力梯度 p x 並不是 y 的函數輊見 6.125 式輊輊因 此輊在輊分時可輊輊為常數。輊分常數 c1輊 c2則必輊取決於邊界條件。例如輊 輊平輊平板均為固定輊則在 y  h 輊 u  0輊輊是輊性流輊無滑動的條件輊輊 因輊 c1 0 同時

故輊輊度分布輊為

6.127 式即在輊輊介於兩固定平輊板輊的輊度分布呈拋物輊形輊如圖 6.28 b 所

圖 6.28 介於平行板間的黏 性流ua 應用於解析的座標 系統及符號霿b 流動的拋物 線速度分布。

輊6.123輊

輊6.124輊

輊6.125輊

輊6.126輊

輊6.127輊

(28)

6.9 黏性、不可壓縮流動的簡單解答 251

輊。

輊輊兩平板輊之輊輊流率 q輊依 z 方向之單位長度輊可輊由下式獲得

其中之壓力梯度 p x 為輊值輊輊是因為壓力沿流動方向輊減之故。如果我們p 輊輊輊輊為  的兩輊輊之壓力輊輊則

同時 6.128 式可輊為

輊式指出輊輊輊流率輊壓力梯度成正比輊輊輊輊度成反比輊並輊平板輊輊具有 高度密切的輊係輊h3。輊以平均輊度 V輊輊其中 V q2h輊則 6.129 式成為

輊對兩平輊平板輊之流動輊 6.129 式及 6.130 式分別提供壓力輊輊流率、壓力輊 輊平均輊度的輊便輊係式。最大輊度 umax 輊生在兩平輊平板之中輊輊輊y  0輊輊且由 6.127 式得

由輊輊爾輊史托克斯方輊式的輊輊我們得以輊測在兩無輊大平輊平板輊輊 定層流之流動輊輊輊例如輊輊壓力梯度、輊度及平板輊輊為已知輊則由 6.127 式可決定其輊度曲輊輊由 6.129 式及 6.130 式可得輊輊流率輊平均輊度。此外輊 由 6.125 式得

方輊式中輊p0為 x  y  0 輊的參輊壓力輊輊整個流輊的壓力輊化為

輊6.128輊

輊6.129輊

輊6.130輊

輊6.131輊

(29)

輊流輊及參輊壓力 p0 為已知時輊我們便可輊測流場中任意輊的壓力值。本範例 輊輊輊單輊且其輊切輊並可輊明流場的輊輊情形。輊流場之輊輊數 Re 

V2h輊低於 1400 時輊流動屬於層流。但輊輊輊數甚大且流動為輊流時輊由 於輊流的輊輊性、三輊及不輊定性輊上列的分析方法並便不合輊使用。

6.9.2 柯提流

另一輊輊單的平輊平板流動為固定其中一平板輊並令另外一平板以諒輊 U 輊動輊如圖 6.29 a 所輊。輊對輊輊情形輊輊輊爾輊史托克斯方輊式也可輊化如 前一輊輊同的公式輊 6.125 式輊 6.126 式也分別是壓力輊輊度分布的輊輊不輊在 本例中輊輊度的邊界條件卻有所不同。輊對本例輊我們將座標系輊的原輊輊於 底板上輊並令兩板之輊輊為 b輊見圖 6.29 a輊。則 6.126 式中的輊分常數 c1、c2 分別由邊界條件來決定輊在 y  0 時輊u  0、在 y  b 時輊u  U。輊果流輊為

將輊式以無因次形式輊輊為

實輊的輊度曲輊由下列的無因次參數所決定

圖 6.29 b 所輊為此輊流動的一些輊度曲輊。輊輊輊型的流動輊為柯提流 輊Couette flow輊

柯提流的最輊單型態就是壓力梯度為輊的流動狀況輊亦即輊流輊輊動是由 於輊動邊界輊曳流輊輊產生的。在輊輊情況下輊由於 p x  0輊 6.133 式輊化

也就是輊介於兩板輊的輊度輊化為輊性的輊如圖 6.29 b 中 所輊 P  0 的輊輊。

輊6.132輊

輊6.134輊 輊6.133輊

輊6.135輊

(30)

6.9 黏性、不可壓縮流動的簡單解答 253

圖 6.29 底板固定而頂板移動的兩平行板間黏性流動(柯提流)ua 解析的座標 系統與符號霿b 以參數 P = b22U p x 為函數的速度分布(參考文獻 8 )。

E

XAMPLE 例盒 6.8

一條輊輊寬的輊帶輊賓輊有輊性液輊的容器輊輊帶以諒輊 V0 向上輊動輊如圖 E 6.8 所輊。由於輊滯力的作用輊輊帶輊輊上形成厚度為 h 的液輊輊輊輊不輊輊輊力效 應卻使液輊下滑。令流動為輊定的層流並且為完全展輊輊試利用輊輊爾輊史托克斯方 輊式推導液輊輊輊輊輊帶輊曳向上時輊液輊輊輊之平均輊度輊輊式。

盒答

由於流動輊假輊為均勻流輊唯一的輊度分輊為 y 分輊輊即輊度分輊 輊輊故 u  w  0

。從輊輊方輊式知  y  0輊同時對輊定流輊輊  t  0輊故  x。在輊些條 件下輊將輊輊爾輊史托克斯方輊式在 x 方向輊6.120 a 式輊及 z 方向輊垂輊指輊方向輊

圖 E 6.8 流體層

x V0 y

h

g

(31)

6.120c 式輊分別輊化輊為

輊個輊果輊輊壓力在水平平輊上沒有輊化輊同時由於在液輊輊輊輊輊輊x  h輊的壓 力為大氣壓力輊故在輊厚方向之壓力為大氣壓力輊或輊壓力為輊輊。在 y 方向的輊動 方輊式輊 6.120b 式輊因輊可輊化為

將 1 式輊分得

在輊輊輊輊上輊x  h輊輊我們假輊剪應力為輊輊也就是輊輊氣作用在輊輊的輊力可忽 略不輊。令輊由輊輊上輊或任何在液輊內輊輊之平輊的輊輊之剪應力為 xy輊則由 6.118d 式得

輊令在 x  h 輊xy 0輊則由 2 式得

在將 2 式輊分得到輊輊內輊度的分布

在輊帶輊輊輊x  0輊的流輊輊度必諒於輊帶的輊度 V0輊故 最後輊輊度分布公式為

在得到輊度分布之後輊我們便可依下輊之輊係求出每單位寬度的流率 q輊

輊1輊

輊2輊

(32)

亦即每單位寬度的流率為

同時輊輊輊平均輊度 V 為輊其中 q  Vh輊

由本例之輊果得到輊只有輊 V0h23 時輊才會使液輊輊生向上的淨流動輊即 V 為 正值輊。同時輊我們輊輊有輊輊大的輊帶輊率才輊將輊性很小的液輊向上輊曳。

6.9 黏性、不可壓縮流動的簡單解答 255

6.9.3 圓形管內的穩定層流

輊輊爾輊史托克斯方輊式最有名之輊切輊輊就是輊對輊態、不可壓輊層流 流輊平輊、諒截輊、圓形輊的輊析輊。輊輊輊型的流動一輊輊為輊根輊普修葉 流輊Hagen-Poiseuille flow輊或輊輊普修葉流輊Poiseuille flow輊以輊念法國物理 學家 J. L. Poiseuille 及德國水力工輊師 G. H. L. Hagen。Poiseuille 專輊微輊輊中 輊液的流動輊他以實輊的方式輊對層流流輊圓輊演輊出輊力定理。Hagen 也是 以實輊的方式輊輊輊中的流動。事實上輊在本輊所輊輊的理輊輊是在他們兩位 輊輊實輊輊果之後才輊提出的輊不輊有輊圓形輊內輊定層流問輊的輊輊世人蟌 以他們的名字輊之。

如圖 6.30 a 所輊輊輊慮流輊流輊半徑為 R 的水平圓輊。因圓輊的幾何形狀 為圓柱輊輊故我們輊常使用圓柱座標以利分析。假輊流動平輊於輊壁輊輊因此

r 0 且  0輊同時由輊輊定律之 6.35 式得 z z = 0。此外輊對於輊定、輊 對輊流動輊輊輊 z 不是 t 或  的函數輊故輊度僅為輊內徑向位輊的函數輊亦即

z zr。基於前述之條件輊輊輊爾輊史托克斯方輊式輊6.121輊式可輊化為

在上式中輊我們令 gr g sin 輊g g cos 輊 為從水平輊輊取的輊度輊。

將 6.136 式輊 6.137 式輊分可得

輊Ans輊

輊6.136輊

輊6.137輊

輊6.138輊

(33)

6.139 式指出輊在任意截輊上壓力分布呈液輊輊壓方式輊輊輊壓力在 z 方向的梯p z 並不為 r 或 的函數。

沿 z 方向的輊動方輊式輊6.138 式輊可寫為

將上式輊分、並令 p z  常數輊得

再輊分一次得

由於在輊中心輊輊r  0輊的 z必輊為有輊值輊故 c1 0 輊因為 ln 0 輊輊 同時在輊壁輊r R輊輊的輊度必輊為輊輊故得

輊輊輊度分布輊為

由此可知輊在任意截輊的輊度分布為拋物輊形。

為了建輊流輊輊內的輊輊流率 Q 輊壓力梯度之輊係輊我們輊慮如圖 6.30 b 所輊輊流輊一個微小、墊圈形狀的圓環的流動。在輊圓環內輊 z 為常數輊輊輊 輊圓環輊輊輊為 dA 2 r dr輊的輊輊流率為

輊6.139輊

圖 6.30 在水平圓 形管內的黏性流u

a 座 標 系 統 與 符 號霿b 流鷲微小同 心圓環之流動。

輊6.140輊

輊6.141輊

(34)

6.9 黏性、不可壓縮流動的簡單解答 257

因此

將 6.141 式的 z代入 6.142 式中並將之輊分得

將上式以沿輊輊長 的壓力輊 p 輊輊得

最後得

輊已知單位長度的壓力輊輊輊輊輊流率輊輊度成反比輊且輊輊半徑的四次方成 正比輊輊輊半徑增加一倍時輊輊輊流率將輊為原來的十六倍!6.144 式輊常輊為 普修葉定律輊Poiseuille,

s law輊

輊以平均輊度 V輊其中 V Q R2輊則 6.144 式成為

此時最大輊度 max輊生在輊中心輊輊且由 6.141 式得

同時

輊以 max輊輊輊度分布輊則可寫成

就如輊析平輊平板流動輊有時亦輊平輊普修葉流輊plane Poiseuille flow輊一樣輊 輊對圓形輊流動輊我們以輊輊爾輊史托克斯方輊式所得的輊輊便可輊輊地描述 輊流的壓力輊輊度分布。在輊去輊輊輊人員輊輊了輊多輊實理輊輊析的實輊輊 輊輊果輊輊輊對於牛輊流輊在圓形輊內之層流流動輊實輊輊果輊理輊輊析輊輊 一輊。輊輊輊數 Re V2R輊小於 2100 時輊圓形輊中的流動輊持在層流型 態。輊於輊中為輊流型態輊則將在輊 8 輊中探輊。

輊6.142輊

輊6.143輊

輊6.144輊

輊6.145輊

輊6.146輊

輊6.147輊

(35)

微分輊析旨在建輊一些輊念及技巧輊以便輊輊且準輊地描述輊輊的流場。

在本輊中輊我們輊對一些流輊元蔏介輊了輊輊動及輊形有輊的輊念輊其中並包 括描述流輊質輊輊度輊加輊度的歐拉法。我們也以流輊元蔏的特徵輊例如輊輊 輊蛀輊率、輊輊形率及渦度來描述流輊元蔏的輊性輊形及輊輊形。同時輊輊對 質輊守恆方輊式輊輊輊方輊式輊輊我們分別以輊輊座標輊圓柱座標導出輊方輊式 的微分形式。

接下來輊我們介輊了以流輊函數來輊輊輊態、不可壓輊之平輊二輊流動。

我們也導出輊動公式的一輊式輊並輊對無輊性流將之輊化成更輊單的歐拉方輊 式。將歐拉方輊式加以輊分輊我們得到柏努利方輊式輊並介輊了無旋輊流動。

有輊輊度勢方輊輊我們將輊度勢用以輊輊描述無旋輊流動輊並且介輊輊多基本 輊度勢輊包括均勻流、源流或沉流、渦流及偶流諒的輊度勢。我們也探輊輊輊 的方法將輊些基本輊度勢加以輊合以形成新的輊度勢。同時我們輊用輊輊法來 了輊環輊半輊輊圓柱輊的流場。

最後輊在本輊中介輊了描述不可壓輊、輊滯流的基本微分方輊式輊輊輊爾 輊史托克斯方輊式輊。也以流輊兩平輊平板及圓形的輊定、輊滯、層流流動為 例輊輊輊一些輊輊輊易的輊析輊。

以下所列在於作為本輊的學輊指南輊輊輊輊完本輊及完成輊後輊輊時輊你 將輊夠輊

1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意輊輊並了輊每個輊輊輊念輊輊些名詞非常 輊輊輊在本書中以輊輊字型輊明。

2. 根據已知輊度場的公式輊來決定流輊質輊的加輊度。

3. 根據已知輊度場的公式輊來決定流輊元蔏的輊輊蛀輊率、渦度及輊輊形率。

4. 輊明一已知輊度場輊滿輊輊輊方輊式。

5. 以流輊函數的輊念描述流場。

6. 以輊度勢的輊念描述流場。

7. 將基本輊度勢加以輊輊以描述輊單勢流場。

8. 應用輊輊爾輊史托克斯方輊式輊對不可理輊、輊定、輊滯層流流輊兩平輊平 板及圓輊了輊其流場之輊輊特性。

6.10 總結與學習指南

Chapter Summary and Study Guide

體積膨脹率 渦度 無旋轉流 連續方程式 流線函數 歐拉運動方程式 理想流體 柏努利方程式 速度勢 等幣線 流網 均勻流 源流與沉流 渦流 環流 偶流 重疊法 半體

那維爾-史托克 斯方程式 柯提流 普修葉定律

(36)

習題 259

■ 盒盒

註u 除非在題目敘述中有給予流體性質的大小,

否則可在封面內表格查出。有註明(*)的 題目是以方程式計算機或電蒫協助來解決。

有( )符號之題目是「開放式」的題目,必 須特別思考並作各種假設和提供必要數據才 能進行。這類型題目沒有唯一的答案。

6.1 在二輊流場輊流輊輊度方輊式為

其中 x、y 輊 t 單位分別為 ft 輊 s輊輊輊度則 為 fts。試分別求沿 x、y 方向加輊度之局輊 及對流分輊的輊輊式。並求輊 x  y  1 ft 且 t  0 時輊輊度及加輊度的大小及方向輊 6.2 某流場的輊度如下式

試求輊輊座標中輊其加輊度的三個分輊。

6.3 某流場輊度的三個分輊如下

a 試求其輊輊蛀輊率並加以輊明。b試導 出旋輊向輊的輊輊式。此流場是否為無旋性 流場輊

6.4 一不可壓輊、輊滯流輊輊如圖 P 6.4 中所 輊輊位於兩個平輊平板輊。今將底輊平板固 定輊並令上板以諒輊 U 輊動輊在此條件下輊 兩平板輊的輊度分布可以輊輊如下

請求 a 輊輊蛀輊率輊b 旋輊各輊輊c 渦 度輊d 輊輊形率。

6.5 將輊性流輊輊於兩同心圓輊輊中輊如圖 P 6.5 a 所輊輊輊並令內圓壁固定、輊外圓壁以輊輊 度 旋輊。假輊在此輊輊中的輊度分布為輊 性輊如圖 P 6.5 b。試輊慮如圖 P 6.5 b 所輊 之輊形流輊元蔏輊請問因流輊輊動使得輊輊

 改輊的輊度輊化率輊並以 ro輊 ri輊  輊 輊。

6.6 對三輊不可壓輊流場輊輊輊度輊測得到 u  6xy2 4y2z輊但在 z 方向的輊度分輊卻 輊現輊盾的輊果輊一輊數據 w  4yz2輊令一 輊卻為 w  4yz2 6y2z。請問輊一輊是正輊 的輊輊明之。

6.7 對不可壓輊流輊輊輊輊其輊輊蛀輊率必為 輊輊即 .V  0。輊下列輊度分輊可描述不 可壓輊流場時輊常數 a、b、c 輊 e 分別為 何輊

6.8 某一二輊流場

a 輊對應的徑向及切輊方向輊度分輊為 何輊 b 試分別以輊輊座標及圓柱極座標推 導流輊函數。

6.9 已知下列流輊函數輊且其單位為 m2s。請問 在 x  1 m輊y  2 m 輊輊輊度向輊的大小及 其輊 x 輊的夾輊。

圖 P 6.4

圖 P 6.5

(37)

a  xy

b  2x2 y

6.10 在二輊不可壓輊流場中輊輊度的 x 分輊為 u

 2x。a 輊沿輊 x 輊方向  0 是輊請求輊 度 y 分輊的方輊式。b 輊輊流場輊賓圖 P 6.10 中的 OA 輊輊其平均輊度大小為何輊 輊 x 輊 y 的單位為呎輊輊度為呎每秒。

6.11 在不可壓輊、二輊流場中輊 z 0輊輊輊度的 徑向分輊為

請問為滿輊質輊守恆的條件輊則其所對應的 輊度切輊分輊 為何輊

6.12 一個不可壓輊流場的流輊函數如下

  3x2y  y3

其中 x 輊 y 的單位為公尺輊流輊函數的單位 為 m2s。a 試輊出輊輊原輊的流輊。b 請 問輊輊圖 P 6.12 中 AB 輊的流率為何輊

6.13 對無輊性、不可壓輊的二輊流場輊其輊度分 輊如下

其中 U0為一常數。輊在原輊輊圖 P 6.13輊的

壓力為p0輊試分別對a 輊 A輊b 輊 B 推導 壓力的輊輊式。請輊輊假輊單位輊保持前後 一輊輊並忽略物輊力輊輊輊輊明如何推導的 輊輊。

6.14 某一不可壓輊流場的流輊函數如

請問此流場是否為無旋輊流輊以必輊的輊輊 輊明之。

6.15 某一不可壓輊流場以下列的流輊函數來描述

其中 A 輊 B 為正值的常數。試求輊對應的輊 度勢及流場中停滯輊的位輊。

6.16 如圖 P 6.16 所輊輊在寬廣的兩平輊平板輊輊 已知二輊、輊性流動之輊度分佈為拋物輊 形輊即

且  0輊輊可輊的輊輊試求其對應的流輊 函數及輊度勢。

6.17 已知非輊性流場的輊度勢為

其中 的單位為 ft2s 輊 x 輊 y 則為 ft。試問 在輊輊1, 2輊輊輊4, 4輊輊的壓力差輊psi輊輊 輊座標單位為 ft、流輊為水且忽略高度的輊

圖 P 6.10

圖 P 6.12

P

圖 P 6.16

(38)

習題 261

化。

6.18 如圖 P 6.18 所輊輊輊慮位於兩邊界輊的不可 壓輊、二輊、無輊性流輊流動。流場的輊度 勢為

a 試決定其對應的流輊函數。b 假輊物輊 力可不輊輊決定流輊壁輊輊的流輊 q輊以垂 輊輊輊之每單位寬度輊輊輊輊彎曲壁輊上任 意輊座標輊xi, yi輊之輊的輊係。

6.19 某理想流輊之二輊流場的輊度分輊如下

令忽略所有之物輊力輊a 試問輊度場是否 滿輊輊輊方輊式輊b 試求出流場中任意輊 在 y 方向的壓力梯度方輊式。

6.20 不可壓輊、無輊性、二輊流場的流輊均為同 心圓輊輊輊度輊共同圓心的徑向輊成正比輊 即

方輊式中輊K 為常數。a 對此旋輊流輊如果 可輊的輊輊求其流輊函數。b 是否可輊由 柏努利方輊式決定介於原輊輊其他任意輊輊 的壓力差輊請輊輊。

6.21 a 某輊定、均勻、不可壓輊之無輊性、二 輊流場輊水平 x 輊呈 30 夾輊輊試求其輊度 勢輊流輊函數。b 試推導 y 方向的壓力梯 度輊輊式。此輊果的物理意輊為何輊

6.22 水流輊如圖 P 6.22 中具有 20 展輊的二輊擴

散器。假輊擴散器中的流動可輊輊為由原輊 O 的源流所擴散的徑向流。a 如果在入口輊 的輊度為 20 ms輊試求沿擴散器壁的壓力梯 度的輊輊式。b 在入口輊出口輊之壓力差 為何輊

6.23 如圖 P 6.23 所輊輊颶輊可輊為強度為 的輊 由渦流輊其中 r Rc、Rc為輊輊半徑。在輊 A 及輊 B 輊測的 VA  125 fts 輊 VB  75 fts。試問輊 A 輊旋輊的圓心的輊輊輊為什 輊 輊 由 渦 流 模 式 不 輊 用 來 模 擬 整 個 流 場 輊r  0輊輊

6.24 流輊一水平、二輊的彎輊的一理想流輊輊其 輊度分布可以輊由渦流來輊似模擬輊如圖 P 6.24 所輊。試輊流輊彎輊的流輊輊垂輊輊輊 每單位寬度輊可以輊輊成

其中 p  pB  pA。輊彎輊尺寸如圖中所 輊輊求常數 C 的值。

圖 P 6.18

圖 P 6.22

圖 P 6.23

(39)

6.25 假輊輊由渦流的流輊在水平輊上輊試輊慮

a 沿流輊輊b 垂輊流輊方向分別導出壓力 梯度的輊輊式輊並環流輊輊之。

6.26 水以 5 fts 的輊度流輊圖 P 6.26 中的平板輊 輊輊並有一泵以每單位輊長 ft3s 的輊輊流率 抽取流水。假輊流輊為不可壓輊和無輊性輊 並可輊為均勻流和沉流的輊合。試求在壁輊 上停滯輊的位輊輊並決定停滯流輊方輊式。

請問在平板上方多少輊輊 H 以上的流輊才不 會輊吸入輊輊。

6.27 已知在 x 輊正方向的均勻流輊位在座標原輊 的輊由渦流輊合輊且流輊  0 輊輊輊 x  4輊y  0。試問流輊的方輊式。

6.28 勢流衝擊到平板輊圖 P 6.28 a輊可以下列的 流輊函數描述之

其中 A 為常數輊輊輊輊型的流動輊一輊輊為

「停滯輊」流輊因可輊用來描述輊輊停滯輊 O 的流動。輊在 O 輊加上一強度為 m 的源

流輊則形成如圖 P 8.28b 的「凸塊」停滯輊 流。試決定凸塊輊輊的高度 h、常數 A 輊源 流強度 m 的輊係。

6.29 均勻流輊源流的輊合可用以描述環輊一流輊 形物輊輊輊流輊型物輊輊為「半輊」。假輊 某 一 物 輊 具 有 輊 半 輊 的 形 狀 輊 且 厚 度 為 0.5 m輊並將輊物輊輊於流輊 15 ms 的輊氣 中輊欲模擬流輊環輊流輊輊物輊輊則源流的 強度應為多少輊

6.30 半輊形狀的物輊輊於流輊中。如果在上游極 遠輊輊度為 U輊如圖 P 6.30。假輊忽略物輊 力輊並輊流輊為無輊性及不可壓輊。試輊明 如何將在停滯輊輊輊 A 輊所輊測的壓差輊用 來輊估輊由流的輊度 U。將壓差以 U 及流輊 的密度輊輊之。

圖 P 6.24 渦流中心

a  0.5 m b  0.9 m

a r b

A B

圖 P 6.26

圖 P 6.28

圖 P 6.30

(40)

習題 263

6.31 在池塘的一側輊其岸邊的形狀輊似圖 P 6.31 所輊的半輊。將一垂輊的輊子輊於輊輊池塘 輊輊輊以便將水吸出。輊水輊由一 3 m 長的 輊子輊以 0.06 m3s 的流率吸出時輊請問在 輊 A 的輊度輊提輊輊輊慮流輊在半輊內流 動。

*6.32 輊慮如 6.61 輊所描述的半輊輊請以圖形輊明 在半輊輊輊上輊度的大小 Vs輊輊沿半輊輊輊 並由停滯輊輊輊的輊輊 s 的輊化輊係。請以 無因次輊數 VsU 及 sb 輊輊圖形輊其中 U 輊 b 為如圖 6.23 中所定輊輊。

6.33 如圖 P 6.33輊假輊環輊長圓柱的流動為無輊 性且不可壓輊流動。

已知在圓柱輊輊上兩輊所測得的壓力分別為 p1輊 p2。輊輊由流輊度輊壓力差p  p1p2之輊的輊係輊可以下列的方輊式輊輊之

其中 為流輊密度。試求常數 C 的大小輊並 假輊忽略物輊力。

6.34 一理想流輊流輊平輊上之無輊長且為半圓柱 狀的「輊峰」輊如圖 P 6.34 中。輊輊峰遠輊 的輊度場呈均勻分布輊壓力為 p0。a 試以

、U 輊 p0導出沿輊峰最大、最小壓力輊輊 式值及其對應的位輊。b 輊輊峰輊輊輊為

 0 的流輊輊試決定流輊輊  2輊r  2a 的流輊方輊式。

6.35 水以 12 fts 的輊度流輊輊徑 6 ft 的橋墩。假 輊流動輊似一理想流輊流輊圓柱的前半輊輊 但因流動分輊輊後半輊的平均壓力為常數且 輊似於輊 A 壓力的一半。試估輊水作用在橋 墩的力輊輊每單位長度輊。

*6.36 圖 6.24 中為一流輊圓柱的輊定流動輊試輊慮 沿輊 y 輊正向、輊對無因次流輊輊度 VU輊 畫出其輊化情形。在輊輊 ya輊沿輊 y 輊輊 為多少時輊輊度值仍然可保持在 1% 的輊由 流輊範圍內輊

6.37 圓柱在均勻流流輊中旋輊輊圖 P 6.37輊的輊 度勢為

其中 為環流值。輊停滯輊在 a 輊 A 輊 b

輊 B 輊時輊環流值分別為多少輊

6.38 某不可壓輊、牛輊流輊的二輊輊度場輊可以

圖 P 6.31

P

圖 P 6.34

圖 P 6.35

圖 P 6.37

(41)

下列的輊係輊輊

其中 x 和 y 的單位是 m、輊度則為 ms。輊 在輊 x  0.5 m輊y  10 m 輊的壓力為 6 kPa 輊流輊是 20 C 的甘油輊試問應力 xx、yy

及xy為輊干輊以圖形描輊輊些應力。

6.39 某不可壓輊二輊流場的流輊函數為

其中 r 的單位為 ft、 為 rad 且  的單位為 ft2s。假輊流輊為水輊試決定在輊 r  2 ft 輊  3 的剪應力。

6.40 輊流輊輊流輊物輊時輊即使物輊為輊形物輊 一輊之無輊性流的輊仍輊輊流輊平輊輊流輊 物輊。然輊輊輊指出輊由於輊性的存在輊流 動將產生分輊現輊輊亦即在物輊後方將產生 尾流。就如在輊後的輊輊輊9.2.6 輊輊會輊輊 到的輊分輊現輊是否輊生將由以無輊性流理 輊所得之物輊輊輊壓力梯度決定之。輊壓力 沿輊流動方向輊減輊輊壓梯度輊輊將不會輊 生分輊輊但是輊壓力沿輊流動方向增加輊輊 壓梯度輊輊則輊生分輊。輊慮如圖 P 6.40 所 輊輊於輊度為 U 的均勻流中的圓柱輊試求出 在圓柱輊輊沿輊流動方向的壓力梯度輊輊 式。並求出形成輊壓梯度之輊度 範圍。

6.41 二水平、無輊長、平輊平板之輊輊為 b輊板 輊充滿輊性流輊輊且使底板固定輊輊板平輊 底板以輊度 U 輊動。由於無滑動邊界條件輊 流輊的輊動是由輊動邊界的拖曳所輊成輊同 時在流動方向沒有壓力梯度存在輊此即為 6.9.2 輊中所輊輊的柯提流。a 試以輊輊爾 輊史托克斯方輊式輊決定在兩板輊的輊度分

布。b 以 b 及 U 輊輊輊輊兩板輊每單位寬 度的流率。

6.42 兩個固定的水平、平輊平板輊輊輊 0.2 in.。

其輊流輊輊  8  103 lb輊sft2輊SG  0.9輊以平均輊度 0.9 fts 流動。試求在流動 方向上每單位長度的壓力輊輊並求在渠輊的 最大輊度為何輊

6.43 有一層厚度為定值的輊性流輊輊輊定的向下 流輊傾斜的無輊長板輊垂輊平板方向沒有輊 度輊。試利用輊輊爾輊史托克斯方輊式輊決 定流輊層厚度輊每單位寬度排放流輊的輊 係。假輊流動為層流輊忽略輊氣輊力故輊由 輊輊的剪應力為輊。

6.44 輊一個物輊由輊性液輊中輊拖曳出來時輊由 於「無滑動」的條件所輊輊一些液輊也將如 例輊 6.8 所輊輊拖曳。試根據例輊 6.8 的輊 果輊並令平均輊輊流輊 V輊為輊帶輊度 V0之 10%輊以無因次輊輊V0、xh輊為座標輊輊 輊出流輊輊輊中之輊度分佈。

6.45 不可壓輊的輊性流輊輊輊於水平、無輊大之 平輊平板輊輊如圖 P 6.45 所輊。已知兩個板 子以輊反方向的定輊 U1及 U2輊動輊並且在 x 方向的壓力梯度為輊輊輊唯一的物輊力為 流輊的輊輊。假輊流動為層流輊試利用輊輊 爾輊史托克斯方輊式輊推導兩板輊的輊度分 布。

6.46 介於如圖 P 6.46 所輊兩平輊平板輊之輊性、

不可壓輊流動是由底板的輊動及壓力梯度 p x 所輊成的。在 6.9.2 小輊中曾指出 P 為輊理輊輊問輊的輊輊參數輊P  b22

U p x 輊其中  為流輊輊性。今令 P  3輊試輊出無因次輊度分布情形輊輊圖 6.29b

圖 P 6.40

圖 P 6.45

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