基礎流體動力學—柏努利方程式 3

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(1)

本章中,我們將以基礎的方法來研究討論一些典型的流體運動項即為流 體動力學項,較詳細地討論及使用牛頓第二定律 F  ma 在流體質項中的 運動。此運動有某些程度的「理想」假設,我們將推導出著名的柏努利方程 式,並在各種流動中運用它。雖然柏努利方程式是流體力學最古典的方程式之 一,且其在推導過程中涉及許多的假設,但柏努利方程式仍然可有效的估項多 種變化形式的流動。

依牛頓第二運動定律,作用在流體質項的淨力必等於其質量乘以質項之加 項度,其方程式為

在本章節中,我們將探討無黏性的流體運動,也就是將流體的黏度假設為項。

我們假設流體在運動過程中僅受到壓力與重力的作用,檢項以牛頓第二定 律應用於流體質項之形式項

基礎流體動力學—柏努利方程式

Elementary Fluid Dynamics—The Bernoulli Equation

肉一肉形物之流場肉任何物肉肉於一流動之流肉內肉物肉前方有一停滯肉肉此肉肉度為肉。此肉有一肉對肉 大壓力且把流場分成二肉份肉一是流肉物肉上方肉另一是從物肉下方流肉肉在水中染肉肉照片由 B.R.

Munson拍攝照片肉

3

CHAPTER

3.1 牛瞚瞚二定律

Newton,

s Second Law

(2)

項質項的淨壓力項項質項的淨重力項項質項質量項項質項加項度項 在壓力、重力與加項度之間的交互作用的結果提供流體力學的許多應用。

我們考慮二維運動侷限在如圖 3.1a 所項的 x  z 平面。圖中以項度向量 V 描述每一流體質項的運動,此項度向量之定義為單位時間之質項位移的改變。

質項的項度向量應具備大小項即項率 V V項與方向。當質項移動,它沿著一 條特定路徑,而此路徑的形狀通常由質項項度支項。

如果流動呈現瘳定狀態項steady;即在流場中任一特定項位置上,任何物 理性質不會項時間而改變項,而各質項均沿著其路徑滑動,項度向量到處項與路 徑相切。在流場中若有曲線,線上任意位置上的切線方向與質項之項度向量相 同,則項此曲線為流瘳項streamlines項。取一流線並在該線定出某一參考原項,

以距原項的距項 s  st 和流線的局部曲率半徑   s 來描述質項的運動。

流線上質項障經的距項與質項的項度有項,即 V dsdt,而曲率半徑與流線的 形狀有項。除了沿著流線的座標 s 之外,還有用到垂項流線的座標 n,如圖 3.1b 所項。

由定義我們知項,質項的加項度是質項項度項時間的變化率,即 a  d Vdt。此加項度向量可分解成兩個分量—一個是沿著流線方向的流線加項度 as,另一個是垂項流線方向的法線加項度 an

在 s 方向的加項度分量利用微分的連鎖法則可寫成 as dVdt   V s

dsdt   V sV。其中 V  dsdt。而法線方向的加項度—項心加項度—可以 用質項的項度大小及流線的曲率半徑項項為 an  V2。因此穩定流動下,在 s 及 n 方向的加項度分量 as與 an,可寫成

圖 3.1 a 在 x 肉 z 平肉的 流動肉b 以流肉和法肉座標 描述流動。

項3.1項

V s

(3)

3.2 沿流肉的 F  ma 69

我們考慮圖 3.2 所項流體小質項的項由體圖。此微小的流體質項在平面上 的尺寸為s  n,而 y 垂項於圖 3.3 之項由體圖圖面。 與 分別項項成沿著 流線與垂項流線的單位向量。對於穩定流動,沿著流線方向 s 的牛頓第二定律 分量為

方程式中,Fs項項在 s 方向作用在質項上所有力量的 s 方向分量和,質項之 質量為m  V,且 s 方向質項的加項度為 V V s。此處 V  sny 項項 質項的體項。

質項的重力項重量項可寫成  V,其中   g 項項流體的比重量 項 lbft3或 Nm3項。因此,在流線方向的重力分量為

如果流線在所感興趣的位置上為水平,則  0,而質項重量在沿著流線方向並 沒有分量,不能對在此方向加項度有所貢獻。

3.2 沿流瞚的 F = ma

F = ma Along a Streamline

圖 3.2 在流場中分肉 出的小流肉質肉。

項3.2項

圖 3.3 肉慮在壓力和肉力作用下的 流肉質肉之肉由肉圖。

(4)

假設如圖 3.3之質項中央位置之壓力為 p,則在垂項流線方向的兩個平面上 之平均值,壓力依次為 p ps及 p ps。由於質項「尺寸相當小」,我們把壓 力利用單項泰勒級數展開法可得

令在流線方向質項的淨壓力是Fps,則

從圖 3.3 我們可知,流線方向作用在質項的淨作用力為

結合 3.2 與 3.3 式,則沿流線方向質項的運動方程式可寫成

3.4 式的物理含義即代項沿著流線方向的流體質項項度的變化會受到壓力與 質項重量的影項。

項3.3項

項3.4項

E

XAMPLE 例題 3.1

考慮流體流動是無黏性、不可壓項且穩定的,沿著半徑為 a 的球體前的水平流線 A  B ,如圖 E 3.1 a 所項。從較高深理論對流經一球體的分析結果,流體沿著此流線 的移動項度可寫成

試求從球體前很遠處的 A 項項xA  且 VA  V0項位置,沿著水平流線移動項球體 上 B 項項 xB a 且 VB項 0項過程中的壓力變化。

(5)

3.2 沿流肉的 F  ma 71

解答

已知流動是穩定且沒有黏性,所以可採用 3.4 式。此外,因 AB 是一流線為水平 線,sin  sin 0  0,所以沿著這流線的運動方程式可化項成為

沿著流線的項度變化為已知,加項度項可整理成

其中,沿著 AB 流線 s 與 x 兩軸完全一致,故可以將 s 替換成 x。經代入後得知,沿 一流線 V V s 0。亦即流體從球體遠處以項度 V0,運動項球體「鼻尖處」項x a項 項度遞減到項。

因此,根據 1 式為了產生已知的運動,則沿著流線的壓力梯度為

此變化情形由圖 E 3.1b 可見。項然地由 A 項到 B 項在流動方向的壓力變化呈現增大 的趨勢項 p x 0項。最大的壓力梯度項 0.610V20a項在球體的正前方產生項x 

1.205a項。就是這壓力梯度致使流動由 VA V0一項減項到 VB 0。

沿著流線的壓力分布,可利用 2 式由 x   處的 p  0項gage項,一項項分項任 意 x 處的壓力 p。結果如圖 E 3.1c 所項為

圖 E 3.1

項1項

項2項

(6)

3.4 式可再重新排列與項分如下所項。首先,由圖 3.3 可項出,沿著流線 sin  dzds。我們也可寫出 。最後沿著流線 p s  dpds。將上述觀念結合並代入 3.4 式中,下式結果沿流線是成項

項化成

若密度為常數,則可項障項分而得

此式為著名的柏努利方瘳式項Bernoulli Equation項-是流體力學中非常強而有 力的工具。

因 VB 0 故項 B 項為停滯項,此項壓力代項沿著流線的最大壓力項項pB V022項。

第 9 章中,這過量的壓力作用在球體項如 pB 0項的前面提供對球體產生的淨項力。

注意壓力梯度與壓力跟流體密度項接成正比,事實之項現為流體慣性跟其質量成正比。

項Ans項

項3.5項 項沿著流線項

項3.6項 沿著流線的常數

E

XAMPLE 例題 3.2

考慮在項障車騎士在靜止的空氣中以 V0 的項率移動時,其四周的空氣的流動情 形,如圖 E 3.2 所項。試求在項1 與項 2 間的壓差。

解答

取一座標系統固定在項障車上,如圖 E 3.2 所項,因此空氣是以項率 V0穩定的流向項

圖 E 3.2

(7)

3.3 垂肉流肉的 F  ma 73

我們再考慮圖 3.3 中流體質項的力平項。然而這次我們考慮的是垂項方向 的力分量,應用牛頓第二定律於此方向得

方程式中,Fn 代項所有 n 方向作用在質項上的力之分量和。若流動是穩定,

將有一法線加項度 an V2/,其中  為流線的局部曲率半徑。

再次假設流體在運動過程中僅受到壓力及重力作用,以 3.2 節決定沿著流 線的作用力所推導的方法,則圖 3.3 中沿法線方向施於在質項的淨力如下項項

方程式中垂項流線的壓力梯度可項項為 p n 項項。將 3.7 與 3.8 式合併,而且 沿著垂項流線方向的路徑 cos  dzdn項見圖 3.3項,則在垂項方向可得下列運 動方程式

障車騎士。如果柏努利方程式的假設是成項的項穩定、不可壓項、沒有黏性流項,則 在流線項1與 項 2 之間可採用 3.6 式

1 位置為項由流,所以 V1 V0;而位於項障車騎士的鼻尖為項2,因此 z1  z2

且 V2 0項兩項項是合理的假設,將在 3.5 節討論項。因而項 2 與項 1 間的壓差的 大小為

在例項 3.1 由於沿著流線的項度分布 Vs 為已知,故對壓力梯度作項分而得到項 似的結果。柏努利方程式是 F  ma 的通用項分形式。若想解出 p2 p1值並不需項知 項詳細項度分布—只需項項 1 與項 2 的「邊界條件」即可。當然,若項決定介於 項1 與項 2 間的壓力值,則需知項沿著流線的項度值。注意測得 p2 p1值就可決 定項率 V0。這就是許多項度量測設備的基本原理,將在 3.5 節作討論。

若項障車前項時有加項度或減項度的情況,則流動會變成不穩定項即 V0  定 值項,上述的分析將不正項,因為 3.6 式是侷限在穩定流動。

項Ans項

3.3 垂瞚流瞚的 F = ma

F = ma Normal to a Streamline

項3.7項

項3.8項

(8)

3.9 式的物理意義,說明質項在流動方向項亦即曲線路徑  項的改變 程度,主項受垂項流線方向的壓力梯度與流體質項重量的影項。在於穩定、無 黏性且不可壓項流動下,將 3.9 式作項分後,可得垂項流線方向之牛頓第二定 律的最項形式為

項3.9項

項3.10項 橫項流線的常數

E

XAMPLE 例題 3.3

圖 E 3.3 a、b 分別代項兩種圓形流線的流場,其項度依次如下

方程式中 C1 與 C2為常數。試決定每個流場的壓力分布 p  pr,其中已知在 r 項 r0

處 p  p0

解答

我們假設流動狀況為穩定、無黏性、不可壓項,而且所有流線在一水平面項dzdn  0項。因流線為圓形,則 n 軸指向與徑向座標方向相反,即  n    r,而曲率半 徑設定為  r。故 3.9 式可寫成

a

b

圖 E 3.3

(9)

3.4 物理肉肉 75

柏努利方程式的另一種形式是以比重量 除 3.6 式每一項

在此方程式每一項的單位為長度,代項某種形式的水頭。

高度項 z 與質項的位能相項而項為高度頭項elevation head項。壓力項 p,

項為壓力頭項pressure head項代項產生 p 所需的流體柱高度。項度項 V22g,項 為瘳度頭項velocity head項代項流體項由落下時,從靜止項到項度 V 的垂項掉落 距項。柏努利方程式敘述在同一流線上,任意項之壓力頭、項度頭與高度頭的 項和為一定值。

對於a 例而項

對於b 例則為

對任一例子而項,因 p r 0,所以壓力項 r 增加而增加。將上列兩方程式對 r 項 分,已知 r  r0處的壓力 p  p0作為項分下限,所以a 例之壓力分布為

b 例之壓力分布

圖 E 3.3c 為a 與 b 例的壓力分布圖。因項度分布的不同,使在 a 與 b 例中需項 平項項心加項度所產生的壓力分布是不相同的。事實上,在 a 例中,當 r → 時,

壓力會無止境地增加,但對 b 例來說,當 r → 時,壓力則趨項於一有限值。但 是,本項中對每個例子的流線模式是相同。

實項上,a 例項項剛體旋項項如同一罐水放在已旋項起來的旋項上項,而 b 例 代項項由旋渦項項似於龍捲項或是水在排放時產生的旋項,「浴項旋渦」項。

項Ans項

項Ans項

3.4 物理瞚瞚

Physical Interpretation

沿著流線的常數 項3.11項

(10)

E

XAMPLE 例題 3.4

考慮水由注射筒噴出如圖 E 3.4 所項。柱塞受力量作用後,造成注射筒內項 1

的壓力大於大氣壓力。水從針孔項 2 處以相當高項項度噴出而靠慣性滑障到項項的 項項項3 處。應用柏努利方程式,討論在項 1、2 和 3 之能量。

解答

假設柏努利方程式的假設項穩定且沒有黏性、不可壓項流動項大抵成項,則流動可以 用劃分水的項能量的各項來解項。根據 3.11 式三種形式能量項動能、位能與壓力能項 的項和,或三種形式水頭項項度頭、高度頭與壓力頭項的項和必定維持一定值。下列 項格說明在圖中所項的三個位置上、三種形式的能量相對大小值,如圖 E 3.4 所項。

每種形式能量強度的改變導致運動,使流體由某位置移動到另一位置。下述以另 一種方法來考量此種流動,水能從針孔加項噴出是因為在 1 與 2 之間的有一壓力 梯度。在 2 與 3 間,質項因受到重力作用而產生減項度,使水到項飛障項項而項 間停止。

如果摩擦項黏性項效應是一重項因項時,則在 1 與 3 之間將造成能量損失,

所以在固定的壓力 p1下,水項對不可能到項圖 E 3.4 所項的最高項位置。這摩擦可能 在注射針內生成項見第 8 章項流項,或發生在水流與周項的空氣之間項見第 9 章外部 流項。

項Ans項

圖 E 3.4

(11)

3.4 物理肉肉 77

當流體質項沿著曲線路徑移動,淨力方向必項指向曲率中心。若 3.10 式的 假設成項,此淨力必定是重力、壓力或是兩項之合力。在許多流動狀況中流線 項似於項線項  項,此時項心力通常可以忽略不項,即使流體在運動中壓力 在橫項不同的流線僅呈現液體靜力項因僅具重力項狀態。

E

XAMPLE 例題 3.5

考慮圖 E 3.5所項無黏性、不可壓項且穩定的流動。流體從 A 到 B 的流線為項 線,而從 C 到 D 的流線為一圓形路徑。描述在項1 與 2 之間的壓力變化,及項 3

與4 之間的壓力變化。

解答

由先前的假設與實項情況 A 到 B 區域  ,則 3.10 式可寫成 pz  常數

常數值可項由兩位置中,對已知變數的估項來決定,使用 p2 0項gage項、z1 0 而且 z2 h21,可得

值得注意的是,流線的曲率半徑為無限大,因此在垂項方向的壓力變化與假設流體處 於靜止狀態是一樣。

然而,如果我們應用 3.10 式於項3 與 4 之間可得項利用 dn  dz項

用 p4 0 而且 z4 z3項 h43可得

想項求出項分值,則必項能項先得知 V 與  項 z 的變化情形。即使沒有這詳細資 項Ans項

圖 E 3.5

項Ans項

(12)

3.6 式柏努利方程式的各項因次項是每單位面項所受作用力- psi、lbft2、 Nm2。第一項 p,是當流體流動時的實項熱力學的壓力。此壓力值的測量可以 項著流體而移動,而相對於正在移動的流體而項其為「靜態」,因此一項項為瘳 壓項static pressure項。另一種用來測量靜壓的方法是,在平項的項面上項一小孔 鎖上一水壓項項,如圖 3.4 所項項3 的位置。

在 3.5 式中的第三項z,項為液態靜壓項hydrostatic pressure項,明項的與第 2 章所討論的液體靜壓變化有項。雖然,液體靜壓不是流體真正的壓力值,但 卻代項著因高度改變而造成位能的變化,項而引起的壓力改變。

柏努利方程式的第二項V22 項為動壓項dynamic pressure項。利用圖 3.4 可 來說明,將小項插入流場並使一端開口對準上游。在開始暫時的流動消失後,

液體便能流入項內並項到圖項高度 H。這時小項中的流體,包括端項 2 項處 於靜止狀態。換項之 V2 0,或項項 2 為停滯瘳項stagnation point項。

如果我們在項1 與項 2 之間運用柏努利方程式,用 V2 0 且假設 z1  z2,則

因此在停滯項的壓力項為停滯壓項stagnation pressure項是大於靜壓 p1,其差值 為 V1

22,即為動壓。任一固定不動之物體放置在流動的流體中,將可項實在 料,我們注意到這項分項為一正值。所以項3 的壓力必定小於液體靜壓值h43,其 差值為       。此較低壓力的產生完全是因為曲狀流線,可使流體在經過曲 狀路徑時產生加項項項心加項項。

3.5 瞚壓、停滯壓、動壓瞚瞚壓

Static, Stagnation, Dynamic, and Total Pressure

圖 3.4 肉壓肉停滯壓的測肉。

(13)

3.5 肉壓、停滯壓、動壓肉肉壓 79

固體項面將有一停滯項項見圖 3.5項。

靜壓、液體靜壓與動壓之項和項為瘳壓項total pressure;pT項。柏努利方程 式敘述在同一流線上的項壓值維持一定值。亦即

得知流體內靜壓與停滯壓值的資料意味著流體的項率可項項項出。這正是 瘳托瘳壓瘳項Pitot-static tube項的基本原理所在。利用兩根同心圓項分別接在兩 個壓力項,內項是用來量取開口項端的停滯壓,如圖 3.6 所項,若高度變化可 以忽略,則

圖中項 2 上游處流體的壓力與項度分別以 p 和 V 項項。外項在距項項端項當 位置在項壁四周項數個小孔用來測量靜壓。如果不考慮項1 與 4 之間的高度 差,則可得

上兩式可重新整理得

圖 3.5 在流動流 肉中位於物肉上的 停滯肉。

項3.12項 沿著流線的常數

項3.13項

圖 3.6 肉托肉壓肉。

E

XAMPLE 例題 3.6

圖 E 3.6 所項,在 10,000 ft 高空的標準大氣狀態下,一架飛機以 100 mihr 的項 度飛障。試求在飛機前方遠處項 1 的壓力、在飛機鼻部項 2 的壓力,與項置在機

(14)

身的皮托靜壓項所項項的壓力差。

解答

由項 C.1 可查得,在 10,000 ft 高空的靜壓為

而密度值  0.001756 slugft3

假設流動為穩定、沒有黏性,且不可壓項,而項 1 與 2 之間的高度變化可以 忽略之,則 3.6 式可寫成

用 V1 100 mihr  146.7 fts 與 V2 0項將座標系統固定放在飛機上項,可得

因此,項壓力值為

由皮托靜壓項項項壓差是

注意若是單位不項當,則將會產生不正項的結果。請勿將 lbin.2 與 lbft2 相加。注意

slugft3ft2s2  slug項fts2ft2  1bft2

本項是在流動為不可壓項的假設下─從1 項 2 的密度值會維持一定值。但從

 pRT 的項係式得知,密度會項壓力項或溫度項改變而變化。對種這相當低項率的 情況,兩位置間的項對壓力比值會趨項於 1〔p1p2 10.11 psia10.11  0.1313 psia

 0.987〕,所以密度變化可以不必理會。但是如果在高項流動下,則必項應用可壓項 流的觀念才能獲得較準項的結果。

圖 E 3.6

項Ans項

項Ans項

項Ans項

(15)

3.6 柏努利方肉式的使用實例 81

沿著流線在穩定且無黏性、不可壓項流動中,1 與 2 兩項間的柏努利方 程式項3.6 式項可寫成

在本節將討論此方程式的使用。

3.6.1 自由噴束

考慮圖 3.7 所項從大型貯槽排出的液體流動。液體噴束經由項徑為 d 的噴 嘴以項度為 V 流出。在圖項的流線上1 與 2 兩項可應用 3.14 式得

我們使用下述事實 z1 h、z2 0,貯槽尺寸極大項V1 0項、貯槽開口項接與大 氣接項項p1 0 gage項,且流體在噴嘴處以「瘳由噴束」項free jet項形態流出項p2

 0項。因此我們得到

使用 3.15 式時項小心。只有當貯槽足夠大時,此式才成項,因此需忽略初始項 率項V1 0項、開始與項項壓力相同項p1  p2項與不考慮黏度效應。注意如果不 考慮摩擦,一項球從靜止掉落項高度 h 後,項度也將是

一旦流體在噴嘴以項由噴束形態朝下流出,其過程中壓力均為項值項p5 0項

。應用 3.14 式於流線的在項1 與 5 之間,可獲得

方程式中,H 代項流體流出噴嘴後再下項的距項。

3.6 柏努利方瞚式的使用實例

Examples of Use of the Bernoulli Equation

項3.14項

項3.15項

3.7 由 肉 槽 排 放 之 垂 肉

(16)

3.15 式一樣可從3 與 4 兩項間的柏努利方程式項化求得,方程式中 z4 0、z3  。因項 3 項噴嘴較遠,所以可會 V3 0,並應用液體靜壓可求得 p3

h  。

若圖 3.7 中貯槽的出口處不是一平滑、外形佳之噴嘴,噴束的項徑 dj 將比 孔口項徑 dh 小。此現項項為項流效應項vena contracta effect項。此現項是流體不 能做正 90 角項彎的結果。

圖 3.8 中註明由實項而所得的收項係數項contraction coefficient;Cc項Cc AjAh 的典型代項值,方程式中 Aj與 Ah 分別代項在項流處的噴束斷面項孔口斷 面項。

3.6.2 限制流

在多數實項案例中,設備內之流體常受限於特定範圍空間內流動,此狀況 下無法像前面項由噴束例子項可事先得知壓力大小。因此應該以質量守項的觀 念項連項性方程式項並與項合柏努利方程式。

如圖 3.9 中所項,考慮一流體流經具有項口與出口的固定體項項如貯槽項。

假設流體穩定流動,在體項內沒有累項多餘的流體,且流體項入此容項的項率

圖 3.8 孔口之肉幾何形 狀所肉成的噴束流動形式 肉各肉之收肉係數。

圖 3.9 流入流出 肉槽的肉定流。

(17)

3.6 柏努利方肉式的使用實例 83

與流體項出此容項的項率相等項否則質項無法項到守恆項。

出口的質量流率項mass flowrate; ;slugss 或 kgs項,公式為  Q,

方程式中 Q項 ft3s 或 m3s項為瘳瘳流率項volume flowrate項。如果出口面項為 A,流體以平均項度 V 流過此面項項垂項於此面項項,在時間t 內,流體流經此 面項的體項為 VAt,此大小相當於具有為長度 Vt,截面項為 A項見圖 3.9項的 體項大小。所以體項流率項單位時間之體項項為 Q VA。因此 VA。為了 質量守項,入口流率必項等於出口流率。將入口位置項為 1 而出口位置項為

2,因此 1 2。質量守恆式項求

如果密度保持為一常數 1  2,則方程式即為不可壓項流動的瘳瘳性方瘳式 項continuity equation項

項3.16項

E

XAMPLE 例題 3.7

有一項徑 d  0.1 m 的水流,從項徑 D  1.0 m 的水桶中穩定流出,如圖 E 3.7a 所項。如果水位維持定值 h  2.0 m ,則流入水桶內的流率 Q 為何項

圖 E 3.7

,或

(18)

解答

在穩定、無黏性且不可壓項流動的流體中,項1 與 2 間可以柏努利方程式項項為

方程式中 p1 p2 0、z1 h 且 z2 0,代入 1 式得

雖然,桶內的水位維持常數項h  常數項,可是水由水桶流出時會造成截面 (1) 有一平 均項度 V1。從 3.16 式對於穩定的不可壓項流動,質量守恆項求 Q1  Q2,其中 Q  AV。因此 A1V1 A2V2

因此

結合 1 與 3 式可得

因此,代入已知數據

此例項中,我們沒有忽略桶內水的動能項V1 0項。如果水桶項徑比噴束項徑長項D d項,所以在 3 式中 V1 V2,則假設 V1 0 仍是合理。而此假設所造成的項差,可從 V1 0 項項出的流率 Q 和 V1 0 項項出的流率 Q0比值中求得。此比值可寫成

為其圖 E 3.7b 把結果。在 0 dD 0.4 的範圍中,其流率的比值為 1 QQ0  1.01,而在假設 V1 0 下,造成的項差小於 1%。所以,假設 V1 0 是非常合理。

項1項

項2項

項3項

項Ans項

動能若改變時,通常會引起壓力的變化,此事實將於例項3.8 中項實。

 

(19)

3.6 柏努利方肉式的使用實例 85

E

XAMPLE 例題 3.8

如圖 E 3.8 所項,空氣由貯氣筒穩定地流經一項徑 D  0.03 m 的項項,而由一項 徑 d  0.01 m 的噴嘴排放項大氣中。筒內的壓力維持在 3.0 kPa項gage項且大氣為標準 溫度與壓力的狀態。請問項項中的流率及壓力為何項

解答

令流動為穩定、無黏性且不可壓項,則沿流線的柏努利方程式可寫為

在假設 z1 z2 z3項水平項項中項,V1  0項貯氣筒極大項且 p3 0項項由噴束項,則 得

假設筒內空氣依循理想氣體定律,則運用標準項對壓力與溫度,可求出空氣的密度值

由此,我們找出

留意 V3 是依據 p1 數值項與柏努利方程式有項的假設項來決定的,其與噴嘴的形式並 項1項

項Ans項

圖 E 3.8

(20)

在多數的流動狀況中,動能、壓力及重力各佔相當的重項效應。例項 3.9 將項明此合成效應。

沒有項係。在貯氣筒中的壓力頭 p1  3.0 kPa9.81 ms21.26 kgm3  243 m 項 換成在出口處的項度頭 V222g  69.0 ms22  9.81 ms2  243 m。雖然,在柏努利 方程式中,我們使用項壓力項p3  0項,但當項項密度時,若應用理想氣體定律則必項 使用項對壓力。

在項項中的壓力值,可從 1 式與連項性方程式項3.16 式項求得

因此

代入 1 式可得

在不考慮黏性效應之下,項項中的壓力會維持常數而且為 p2。實項上,壓力從 p1 項 p2 到 p3 遞減,而使空氣產生加項作用,使在貯氣筒內空氣的動能由原本為項,流 經項項時逐漸增加項中等程度值,而最後在噴嘴出口處項到最大值。因空氣在噴嘴出 口處的項度是項項中空氣項度的九倍,所以項大部份的壓力項在流經噴嘴時項p1  3000 Nm2,p2 2963 Nm2和 p3 0項產生。

因壓力從 1 到 3 的變化並不大〔即項對壓力項項 p1  p3p1  3.0101  0.03〕,所以從理想氣體定律得知密度變化亦不重項。故本例項的假設不可壓項是合理 的。但如果貯氣桶內的壓力非常大,或是黏性效應非常重項,前述結果則產生項項。

項Ans項

E

XAMPLE 例題 3.9

水流經一漸項項,如圖 E 3.9 所項。以液體倒置 U 形壓力項測量在項1 和 2 的 靜壓差,壓力項內部充填比重為 SG 1 的。請問壓力項的項數值 h 為何項

解答

假設在穩定且無黏性、不可壓項等條件下,則柏努利方程式可寫成為

V1與 V2 可從連項性方程式 3.16 式中,提供第二個項係式。令在兩截面的流項是均勻

(21)

3.6 柏努利方肉式的使用實例 87

分布,且流體不可壓項,所以

結合以上二式可得

利用第 2 章所發展的壓力-深度觀念來項項壓力項所量測之壓力差,因此

壓差正如第 2 章的說明,既不是h,也不是 h  z1 z2。

合併 1 與 2 式,可得到所項期的結果如下

或因 V2 QA2

高度差 z1 z2是不需知項,因為此項將會在柏努利方程式及壓力項方程式中同時 出現,而合併兩式時就可消去。因為 1 式中出現高度差 z1  z2,所以其壓差 p1  p2

也受到角度的影項而改變。因此在流率為已知的情況下,壓力項測得的壓差值 p1 p2

將是 的函數,而壓力項項數 h 則完全和 的數值沒有項係。

圖 E 3.9

項1項

項2項

項Ans項

(22)

一項而項,項度增加會造成壓力減小。如果項度相差非常大,壓差也會非 常大。針對流動中液體巨大的壓差值常會造成空化現項,這種潛在的危項情 況,經常發生於當液體局部的壓力減低到液體本身蒸汽壓力,而使液體在局部 產生「沸項」現項。

在流動液體中產生空化現項的方法之ㄧ,是經由柏努利方程式的研判。當 流體項度增快時項在流動面項減小情況,如圖 3.10 所項項,壓力值項著項低。

當壓力減低量太大項限制流動的流體也會項著產生加項度項,將使液體的局部壓 力減少而低於蒸汽壓力。

圖 3.10 在不同肉徑中的壓力肉 化肉肉化肉肉。

E

XAMPLE 例題 3.10

圖 E 3.10 所項大型貯槽以等徑水項虹吸排放 60℉ 的水。如果項避免在虹吸流動 過程產生空化現項,試求圖中水項凸起的最大高度 H 為多少項已知虹吸項的尾端在槽 底下 5 ft 處且大氣壓力為 14.7 psia。

解答

令流動為穩定、無黏性且不可壓項,在流線1、2 與 3 項運用柏努利方程式可得

圖 E 3.10

(23)

3.6 柏努利方肉式的使用實例 89

3.6.3 流率測量

利用柏努利方程式的基本原理可發展出許多種形式的流體項度或流率測量 儀器。

如圖 3.11 所項,一種有效方法測量項中的流率為在通項中安項某種限制 物,經測量上游截面1 的低流項、高壓力及下游截面 2 的高流項、低壓力之 間的壓力差。圖中項項為三種基本的流瘳瘳項flowmeter項項孔口項項orifice meter項、噴嘴項項nozzle meter項與文氏項項項Venturi meter項。此三種流量項的 採用槽底為基準線,則 z1  15ft、z2 H 且 z3 5ft,而且 V1  0項大型貯槽項、p1

0 項開口槽項、p3 0項項由噴束項;再項合連項性方程式 A2V2 A3V3,或因水項項 徑一樣,故 V2 V3。因此在水項的流體項率為

由 1 式中1 與 2 項之間可求得山丘狀水項最高項的壓力 p2

水在 60℉ 時,由項 B.1 可查出,蒸汽壓力為 0.256 psia。因此,本系統中起初的 空化發生的最低壓力為 p  0.256 psia。從 2 式與圖 E 3.10 中詳細考察,將項實此最 低壓必定會在水項凸起項端產生。因在項1 壓力以項壓力項項項p1 0項,故在項 2

項使用項壓力,因此 p2 0.256  14.7  14.4,代入 2 式得

H 值若太大,則在項2 處將產生蒸汽泡形成,就可能會使虹吸作用停止。

注意我們在整個解項過程中可使用項對壓力項p2 0.256 psia 且 p1 14.7 psia項,

其結果也一定是一樣。當項 3 的高度愈低時,則水流率將愈大,所以 H 值就項愈 小。

我們也可以在2 與 3 項間運用柏努利方程式求得相同的 H 值,其中 V2 V3。 本例子中,並不需項於1 與 3 項間運用柏努利方程式決定 V2值。

以上的結果與水項的項徑與長度項如果黏度影項不重項項無項。避免水項內外側 所形成的大壓力差下而產生項掉的情形是項當的水項設項的重項。

項1項

項2項

項Ans項

(24)

操作項應用相同的物理原理-項度增加將造成壓力減小。

我們假設項1 與 2 間流動為水平項z1 z2項、穩定、無黏性且不可壓項。

柏努利方程式為

另外,連項性方程式可寫成

方程式中,A2代項截面2 的小流動面項項A2 A1項。合併上兩式可得下列理論 的流率為

因為在 3.17 式的推導過程中,「實項世界」與假設條件有各種各樣的差項,將 會使實項測量得到的流率 Qactual 小於理論項項的流率。這些流率的差項項是相 當一致,小從 1 項 2%,而大可項 40% 的項差值,而項差大小完全視所選用的幾 何形式而定項將保留到第 8 章再項一步討論。

圖 3.11 肉肉中測肉流率的典 型肉肉。

項3.17項

E

XAMPLE 例題 3.11

如圖 E 3.11 所項,煤油項SG  0.85項流經一文氏項項,而其流率介於 0.005 項 0.050 m3s 之間。求此範圍間的流率,其壓力差之範圍值為何項

(25)

3.6 柏努利方肉式的使用實例 91

某些流量項以柏努利方程式為基礎應用在明渠測量流率,例如引水項與灌 溉溝等流動問項。圖 3.12 中的閘門一個例子。

解答

令流動為穩定、無黏性且不可壓項,則流率與壓力的項係式為 3.17 式。加以重新整理 可得

流動流體的密度為

最小流率時,其對應的壓差為

同樣地,最大流率時對應的壓差為

因此

這些數值項項在無黏性、穩定且不可壓項的狀況下流體的壓力差。本例項中,其求得 的理想解答與使用流量項的形式-孔口、噴嘴或文氏項項項見圖 3.11項項無項。

3.17 式項明流率係項壓力差的平方根變化。從數值結果得知,壓力差增加一項 倍,則流率增加十倍。這樣的非線性項係,導致測量大範圍流率時,會造成相當大的 困難。解決此大範圍測量的問項,常利用壓力換能器來協助測量。另一個解決的方 法,是將兩個流量項並項使用,其中一個在較大的流率範圍中操作,另一個在較小流 率範圍中操作。

圖 E 3.11

項Ans項

(26)

我們運用柏努利及連項性方程式於項由項面1 項 2 之間得

因為 p1 p2 0,合併上二式且重新整理得流率如下

下游的深度 z2與閘門開啟高度 a 並不相等,而是用來項項 3.18 式的結果,

因為項流效應會有一收項係數 Cc  z2a,此數值常小於 1。在深度比介於 0 az1 0.2 間,典型的 Cc值大項為 0.61。Cc值將項 az1增大而項項增加。

圖 3.12 閘門的幾何構圖。

項3.18項

E

XAMPLE 例題 3.12

圖 E 3.12 中水從閘門下方流出,求單位閘門寬度之項似流率。

解答

令流動為穩定、無黏性且不可壓項的情況下,運用 3.18 式,將可獲得單位閘門寬度的 流率 Qb 為

圖 E 3.12

(27)

3.7 肉肉肉肉水力梯度肉 93

項過水力梯度瘳項hydraulic grade line;HGL項與瘳瘳瘳項energy line;EL項 的觀念是一種有效解項柏努利方程式的方法。此種理念係用幾何方式解項來代 項流動。

當流動是穩定、無黏性且不可壓項,柏努利方程式描述為在同一流線的壓 力頭、項度頭與高度頭的項和必然為一常數。此常數項為項水頭項total head;

H項可項項如下

流體質項沿一流線上可用的項水頭之連線項為能量線。在圖 3.13 中的能量 線的高度是以皮托項測量停滯壓力而求得。在皮托項尖端的停滯項可測得流動 的項水頭項或能量項。另一方面,將靜壓分接頭連接測壓項項,所測得結果代項 壓力頭與高度頭之和項p  z項項為測壓項水頭項piezometric head項。

如圖 3.13 所項,在流場的另一位置的皮托項測量出相同的項水頭。然而,

高度頭、項度頭與壓力頭值的大小沿著流線而項時變動。

沿項路以皮托項所量取的高度項項項為能量線 EL。而以一連串測壓項項量 取高度的項項則項水力梯度線 HGL。依柏努利方程式的基本假設,通常能量線 本例中 z1  5.0、a  0.80 m 故 az1  0.16 0.20,依照此值可假設收項係數是 0.61。因此可得到 z2 Cca 0.61 0.80 m  0.488 m,將數據代入上式中,就可得單 位閘門寬度的流率為

若我們假設 z1 z2,且將上游流體的動能忽略,可得

如果深度比值很大項z1z2 5.00.488  10.2項,則不項是否把 V1的效應項入考慮,對 Q 值而項,將不會產生太大的變化。因此,跟下游的動能比較下,通常忽略閘門上游 的動能是合理的。

項Ans項

3.7 瞚瞚瞚瞚水力梯度瞚

The Energy Line and the Hydraulic Grade Line

項3.19項 沿流線的常數 H

(28)

為水平。但是如果流體沿著流線的項度有所變動時,水力梯度線將不會維持水 平。

在圖 3.14 中可項出,在大型貯槽中,項路流動的能量線與水力梯度線的分 布情形。令此為穩定、不可壓項且無黏性的流動,則能量線的高度應等於貯槽 液面的高度,且為一水平線。而水力梯度線則在能量線下方,而兩線高度差則 代項項度頭 V22g。

如圖 3.15 所項,項的中心線和水力梯度線之間的高度差,代項項中的壓力 大小。如果項的中心線低於水力梯度線,則項內壓力數值為正項壓力大於大氣 壓力項;如果項的中心線高於水力梯度線,則項內壓力數值為項項壓力小於大 氣壓力項。

圖 3.13 肉肉肉肉水 力梯度肉的圖肉法

圖 3.14 從大型肉槽肉肉肉流 動的肉肉肉肉水力梯度肉的分 布情形。

圖 3.15 肉肉肉肉水力梯度肉 的應用。

(29)

3.8 柏努利方肉式的使用肉制 95

在推導柏努利方程式時,其中主項的假設為「流體是不可壓項的」。雖然,

此假設對大部分流動的液體是非常合理的,但對氣體而項,在某些條件下很可

E

XAMPLE 例題 3.13

如圖 E 3.13 所項,水從貯槽以虹吸方式再經一等徑的項項流出。項項在1 處有 一個小洞。試問當虹吸作用時,水是從小洞洩出,還是空氣從小洞項吸入水項,此時 虹吸作用是否會喪失項

解答

項決定水是從小洞洩出,還是空氣從此小洞項吸入,完全是由水項中項 1 的壓力是 小於大氣壓力,或是大於大氣壓力來決定。以下述的能量線及水力梯度線的觀念,來 決定會發生什項情況。如果令此為穩定、不可壓項且無黏性的流動,則項水頭將維持 一常數-此即能量線為一水平線。

依連項性方程式 項AV  常數項得知,水項中各處的水流項度應相等。故水力梯 度線低於能量線,並維持相同高度差 V22g,如圖 E 3.13 所項。因水項末端的壓力是 大氣壓力,則水力梯度線與水項出口處的高度相等。項中任一項的流體高於水力梯度 線,故其壓力值低於大氣壓力。

因此,空氣將在項1 處經小洞項吸入水項內。

事實上,流體的黏度效應是非常重項的,所以上述項化的分析項水平能量線項是 不正項的。然而,但是如果項路「項徑不是太小」,長度「不是太長」,黏度「不是太 黏」且流率「不是太大」的情況下,則上述的結果可能會很準項。所以只項其中任一 假設條件項放寬,就有必項更詳細的分析項見第 8 章項。如果水項末端項封項使得流 率變為項,則水力梯度線將會與能量線重合在一起項整個水項 V22g項而使項 1 的 壓力將會大於大氣壓力,則水在項1 經小洞流出水項外。

項Ans項

圖 E 3.13

3.8 柏努利方瞚式的使用瞚制

Restrictions on the Use of the Bernoulli Equation

(30)

能會造成極大的項差!

上一節中,我們已經知項如果密度維持定值時,則停滯壓會比靜壓大

V22。如果動壓的數值沒有比靜壓大太多時,介於兩項間密度的變化就不致於 過大,因此可將流動視為「不可壓項」。但是,動壓值仍會項 V2 而改變,所以 使用「不可壓項」的假設所造成的項差值,將會項流體項度的平方值增加而變 大。

「經項法則」是指,如果馬項數小於項 0.3 的理想氣體流動,可視為不可壓 項。馬項數 Ma  Vc 是流體的項率 V 與流體的音項 c 之比值。在標準空氣狀 態項T1  59 F, 項對應的流體項度為 V1  c1Ma1  0.31117 fts  335 fts  228 mihr。因此,在極高的流動項度時,氣體的壓 項性就項得特別重項。

柏努利方程式項3.6 式項另一個限制為假設「流體為穩定流動」。在此穩定 流動中,一流線上質項項度僅為在流線位置 s 的函數,即沿流線 V  Vs。但 是在不穩定流動中,質項項度將會是時間的函數,所以沿著流線 V Vs,t。如 果對項度求時間的導數得流線加項度為 as V t  V V s,而不是穩定流的 加項度 as V V s 而已。此不穩定項 V t,除非再做額外的假設,將不允許 運動方程式的項分變得容易項如前述以項分得到柏努利方程式項。

柏努利方程式另一個限制為假設「流體為無黏性流動」。前述曾提到柏努利 方程式,實項上就是指利用牛頓第二定律沿流線的一次項分的結果。因為沒有 將黏性效應項入考量,流體系統可項視為一守恆的系統,使此通用項分變為可 能,系統的項能量維持定值。如果系統的黏性效應較大時,則系統非守恆且能 量損失會發生。對於這些例子必項做更詳細分析。在第 8 章將呈現這樣的教 材。

柏努利方程式應用時最後的基本限制是在考慮的流線上不能有任何的機械 設備項泵或項機項。這些設備代項的能量提供源或能量移出源。雖然,柏努利方 程式實項上也是能量方程式的一種形式,所以若涉及泵或項機等機械設備,則 它必項做一些修正。第 5 章與第 11 章將涵項泵及項機的分析。

3.9 瞚瞚瞚學瞚指南

Chapter Summary and Study Guide

在本章中,對於無黏性、不可壓項流體之穩定流動的一些觀項已作討論。

牛頓第二定律,F  ma 應用到流動分析,此流動內主項的力量是壓力和重力 項重量項所致,而假設黏性效應可忽略不項,其結果為最常用的柏努利方程式。

(31)

肉肉 97

此式對沿一流線之壓力、高度及項度之間變化提供一項單項係式。

停滯項的觀項及相應的停滯壓力也項提及,其中包括靜壓、動壓、項壓的 觀念及與其相項的水頭。

柏努利方程式的許多應用已討論過了,在某些流動狀況中,如使用皮托靜 壓項來量測流體項度或液體從槽中以項由噴射的流動,單獨使用柏努利方程式 已足以項障分析工作。而在其他例子中,如在項中或流量項中的限制流,則必 項同時使用柏努利方程式及連項方程式。此連項性方程式是依事實的項述,即 當流體流動時,質量是守恆的。

下列核對清單提供本章之學習指南,當你完成整章內容及章末習項將能項 1. 寫出在左側邊欄所列出的名詞之意義,並了解每個相項觀念,這些名詞是非

常重項而在本書中以粗體字型註明。

2. 解項在柏努利方程式的壓力項、高度項及項度項的原意及每項與牛頓第二運 動定律的相項性。

3. 在項單的流動情況中應用柏努利方程式,包括皮托靜壓項、項由噴流、限制 流與流量項。

4. 使用質量守恆項連項性方程式項的觀念搭項柏努利方程式解決項單流動問 項。

5. 應用牛頓第二定律於項當穩定的,無黏性、不可壓項流動於垂項流線方向。

6. 使用壓力頭、高度頭、項度頭及項水頭的觀念來解決各種流動問項。

7. 解項及使用靜壓、停滯壓、動壓及項壓的觀念。

8. 使用能量線和水力梯度線觀念來解決各種流動問項。

肉定狀態 流肉 柏努利方肉式 高度頭 壓力頭 肉度頭 肉壓 動壓 停滯肉 停滯壓 肉壓 肉托肉壓肉 肉由噴束 肉肉流率 肉肉性方肉式 流肉肉 水力梯度肉 肉肉肉

■ 習題

肉肉 肉非在肉肉敘述中有肉予流肉性質的大小肉 否則可在封肉內肉格查出。有肉明肉*肉的 肉肉是以方肉式肉肉機或肉肉協助來肉決。

有肉 肉肉肉之肉肉是「肉放式」的肉肉肉必 肉特別思肉並作各肉假肉和提供必肉數據才 肉肉肉。肉肉型肉肉沒有唯一的答案。

3.1 水穩定流經斷面項變化的水平項如圖 P 3.1 所項。中心線項度為 V 101  x fts,方 程式中 x 單位為英呎,黏性效應忽略不項a

求產生之流動所需之壓力梯度 p x項為 x 的函數項b 如果在截面 1 之壓力為 50

psi,利用下列兩種方法求截面 2 之壓力項

i 由 a求出之壓力梯度作項分 ii 應用柏努 利方程式

3.2 重覆習項 3.1,如果把項子改為垂項且水往 上流動。

3.3 一不可壓項的流體密度為 ,穩定地流經一

P

(32)

物體,如圖 P 3.3 所項。沿著水平劃分流線 項  x  a項的流體項度為 V  V01  a/x 式中 a 為物體前緣的曲率半徑,V0為上 游流體流項。a 求沿此流線之壓力梯度 b

如果上游壓力為 p0,對壓力梯度項分求出壓 力分布項  x  a項c項明由 b 部份 求出在停滯項項x  a項處的壓力為 p0

V0

22 是與柏努利方程式求出的一樣。

3.4 在一水平項中,使水以加項度為 10 ms2動,則沿流線所需之壓力梯度 dpds 為多 少項

3.5 在一垂項項中,使水以加項度為 30 fts2上流動,則沿流線所需之壓力梯度 dpds 為 多少項如果流動方向改為向下,則答案為多 少項

3.6 水在容器中與旋項的空氣流動,形成一半徑 為 r,項度為 V 的水平圓形流線,如圖 P 3.6 所項。試求下列在條件下所需之徑向壓力梯 度 p r項a 流體為水,且 r  3 in.;V  0.8 fts。b 流體為空氣而 r  300 ft;V  200 mph 。

3.7 水繞著一垂項、二維的彎項流動產生圓形流

線和一平均項度,如圖 P 3.7 所項,如果在 項 1 之壓力為 40 kPa,決定在項 2 及項

3 之壓力值,假設項度如圖項均勻分布。

3.8 當你騎腳踏車時,空氣平順地掠過你的項,

但小蟲、項粒或灰塵卻持項打擊你的項或項 入你的顏睛。解項為什項會如此。

3.9 一些動物不項閱項流體力學書籍就學會利用 柏努利的效果。例如,一典型的草原土撥鼠 洞空有兩個項口項一為平坦式前門及另一為 土墩式後門,如圖 P 3.9 所項。當項以項度 V0 吹過前門,由於土墩項係,吹過後門的平 均項度會大於 V0。假設吹過後門的項項為 1.07 V0,則當項項為 6 ms,在洞項中項產 生多少壓力差 p1  p2 可使得新項空氣流 動。

3.10 從一水瓶的小孔流出,如圖 P 3.10 所項。兩 項水流從水平面下 h1與 h2 位置小孔流出,

而距瓶側 L 距項有交叉。如果忽略黏性效應 流動為準穩定,項明 L  2h1h212

3.11 估項將水從街面高度噴射項 5 層樓建築物屋 項的火災並將火撲滅,消防卡車所需之壓力

P

圖 P 3.6

P

圖 P 3.9

(33)

肉肉 99

能,列出所有假設與所有項項。

3.12 一消防水項的噴嘴項徑為 in.,根據一些 火災規定,噴嘴必項能夠輸送到 300 galmin

。如果噴嘴與項徑 3 in. 水項連接。試問為了 使噴嘴能輸送此流量,則噴嘴上流需項維持 多大的壓力項

3.13 一流量項如圖 P 3.13 所項是一體項流量項,

由一包括浮子的錐形玻璃項所形成。在圖項 的流量項上之刻尺項數是與體項流量成正比 項係。當刻度項數為 2.6 時,水往上冒出項 為 3 in.。如果刻度項數為 5,則水能冒出多 高項

3.14 當汽車在空氣靜止下以 65 mph 障駛,一人 將手臂伸出汽車窗外。在標準大氣條件下作 用在他手上之最大壓力為多少項假設此車改 為印地 500 項車以 200 mph 項度障駛,則產 生最大壓力又為多少項

3.15 項度為 100 fts 的空氣噴流流過一球如圖 P 3.15 所項。當球不在噴流中心位置,則在球 旁靠項噴流中心〔項 1〕之項度比在球另 一旁〔項 2〕項度大。如果 V1  140 fts 及 V2 110 fts,試求橫項球的壓力差 p2 p1。忽略重力與黏性效應。

3.16 水以 2 galmin 項率流項一水槽內如圖 P 3.16

所項。如果底部排水孔項項,水最後將從溢 流排水孔流出,而不會溢出水槽上緣。為了 項保水不會溢出水槽上緣,請問需項有多少 個項徑為 0.4 in. 的溢流排水孔項忽略黏性效 應。

3.17 空氣項吸入項洞內用於測試汽車如圖 P 3.17 所項。a 測試區段之項度為 60 mph,求壓 力項項值 h。注意壓力項內水上方有 1 in. 的 油柱。b 求在汽車前面的停滯項與測試區 段之壓力差。

P

流肉肉

圖 P 3.15

圖 P 3.16

圖 P 3.17 圖 P 3.10

(34)

3.18 水流經圖 P 3.18 所項之項項,在壓力項高度 差為 0.2 m,求水流量為小端項徑 D 的函 數。

3.19 水流經圖 P 3.19 所項之項項,已知流量為 0.10 m3s,求壓力項高度差值 h。

3.20 飛機在空氣中之飛障項率,可以皮托靜壓項 測量停滯項壓力與靜壓之差值來求出,並不 是項接地指出此壓力差項 psi 或 N2m ),其 指項項是經校正後以項率為單位項mph 或 knots )。校正工作是使用標準水平高度空氣 密度來完成。因此,項項出的空氣項率項項 為指項空氣項率項只有在標準水平高度條件 下才是真正的空氣項率。如果飛機在 20,000 ft 高空飛障,其指項空氣項率為 220 knots,

則其真實空氣項率為何項

3.21 四氯化碳流經一項徑變化的導項且忽略黏性 效應。項中 A 項之壓力與項度分別為 20 psi 及 30 fts。在 B 項其壓力與項度為 23 psi 及 14 fts。試問那一項處於較高處項高多少項 3.22 潛鳥是一項會潛水的鳥,在空中或水中飛障

的時間相等。試求在水中項以多少的項度游 障,才會使其在水中的動壓跟在空氣中以 40 mph 飛障所產生動壓相等。

3.23 水在忽略黏性效應穩定地流經導項,如圖 P

3.23 所項。如果項度為 20 fts,試求在導項 出口項一項由噴流項之項徑 D項

3.24 觀察從水龍頭流出的圖形,水流在 50 cm 距 項下,項徑由 20 mm 逐漸減小到 10 mm 。 試求其流量為多少項

3.25 利用虹吸項從槽中將水吸出,如圖 P 3.25 所 項。水大氣壓力項指項項數為 30.2 ft。求避 免產生空化現項所允許的最大 h 值。注意在 大氣壓力項密項部份蒸汽的壓力等於蒸汽 壓。

3.26 一無黏性流體穩定地流經一項項,如圖 P 3.26 所項。假設流動為不可壓項,請推導出 在 2 處之流體項度以 D1、D2、、m 和 h 之函數項項式。

圖 P 3.18

圖 P 3.19

圖 P 3.23

圖 P 3.25

圖 P 3.26 密度 m

(35)

肉肉 101

3.27 項徑為 50 mm 塑項項來產生虹吸作用,將水 從大水槽中吸出,如圖 P 3.27 所項。如果在 項外部之壓力比項內壓力大 30 kPa,則項會 凹塌而中止虹吸作用。如果黏性效應可忽 略,試求不項虹吸作用停止下,所允許的最 小 h 值。

3.28 一平滑塑項花園水項長 10 m,內徑為 15 mm

,用來排出一淺水池的水,如圖 P 3.28 所 項。如果黏性效應可忽略,則從淺池流出的 流量為何項

3.29 二氧化碳以 1.5 ft3s 的流率,從項徑 3 in. 中 流入項徑為 1.5 in. 的項中,其壓力與溫度分 別為 20 psi項gage項及 120℉,如果黏性效應 可忽略,且假設流體不可壓項,試求在水項 徑中的壓力。

3.30 水考慮為無黏性、不可壓項且穩定地流動,

如圖 P 3.30 所項,求 h 值。

3.31 水經導項穩定地向下流動,如圖 P 3.31 所 項。黏性效應忽略不項,且在項 1 位置其 壓力項指項之壓力為項。求流量及在項 2

位置之壓力。

3.32 對圖 P 3.32 所項之漸擴項,在截面1 與截 面2 之壓力分別為 56.3 psi 與 58.2 psi。求 項中汽油之重量流率項1bs項。假設為穩定、

無黏性且不可壓項流動。

3.33 利用 8 in. 項子以 10 ft3s 流率將水從湖中抽 取上來。如果黏性效應可忽略,在湖面上方 6 ft 高度的吸取項項介於湖水與泵之間的項項 之壓力為何項

3.34 空氣流經一長方形斷面文氏項項,如圖 P 3.34 所項。項項的寬度為一常數值 0.06 m,

在其出口處高度為 0.04 m,壓項性與黏性效 應均可忽略。a 當接連於項項喉部的靜壓 底部位置的小項內水項吸上 0.10 m 高時,喉 部高度為 0.02 m,則流量為多少項b 若流 量如 a 部份一樣,在截面 2 處水項吸上 0.05 m,則項項在截面 2 之高 h2為多少項

圖 P 3.31

圖 P 3.32 圖 P 3.28

圖 P 3.30 圖 P 3.27

(36)

c 在此流量下,在截面 1 所需之壓力為 何項

3.35 一無黏度流體沿一停滯流線流動,如圖 P 3.35 所項。在物體上流遠處之初項為 V0,一 旦項開停滯項之項 1,流體項率將沿物體 項面以 V 2V0sin 項項。方程式中 是圖 項之角度。試求在多大角度 2處項一小孔,

可使壓力差為 p1 p2V0

22項忽略重力。

3.36 一無黏性、不可壓項液體,從一大型高壓桶 中穩定地流出,如圖 P 3.36 所項。在出口的 項度為 40 fts,求桶內液體之比重。

3.37 水在桶間穩定流動,如圖 P 3.37 所項。求水 的深度 hA

3.38 忽略黏性效應,水穩定地流過導項,如圖 P

3.38 所項。如果已知項內壓力低於大氣壓力 項 10 psi,則項徑為 4 in. 溝壁項將會凹塌。

而使項中產生凹塌最大的 h 值。

3.39 一大型開口的貯槽內,有一層油浮在水的上 面,如圖 P 3.39 所項。流動為穩定且無黏性

a 求水上升高度 h 值 b 求水在項內的項度

c 求水在水平項內的壓力。

3.40 有一真空吸塵器可在項內產生真空為 2 kPa

。則在項內空氣的項度為何項假設穩定、無 黏性、不可壓項的流動。

3.41 水以虹吸方式從槽中吸出,如圖 P 3.41 所 項。如果黏性效應忽略下,決定從槽中流出 的流量及在1、2、3 項處的壓力。

P

圖 P 3.36 圖 P 3.34

圖 P 3.37

圖 P 3.38

P

(37)

肉肉 103

3.42 重作 3.41 項,如果在項末端項上項徑為 1 in .

之噴嘴。

3.43 在圖 P 3.43 之壓力項流體的比重為 1.07,如 果流動為無黏性且不可壓項,而流動流體分 別為a 水 b 汽油 c 標準條件之空氣時,

求其體項流率 Q 值。

3.44 JP-4 燃料項比重 0.77項流經一文氏項項,

如圖 P 3.44 所項,在項徑為 6 in. 項內的項度 為 15 fts,如果黏性效應忽略不項,求燃料 在連接於文氏項項喉部開口項的高度 h。

3.45 空氣在標準條件下,流經柱形乾燥排氣項,

如圖P 3.45 所項。如果黏性效應忽略,而項 水的傾斜式壓力項項數為 20 mm 如圖所項,

求其流量。

3.46 如果理想條件存在,如圖 P 3.46 所項,流經 文氏項項之流量為何項

3.47 空氣項假設無摩擦且不可壓項項穩定地流經 一設備,如圖 P 3.47 所項。出口項度為 100 fts,而橫項噴嘴之壓力差為 6 1bft2。a求 在連接皮托項的項水壓力項之項數 Hb 求 噴嘴的項徑 d。

3.48 空氣穩定地流經漸項項與漸擴項之長方形導 項,其寬為一常數值,如圖 P 3.48 所項。出 口處導項高為 H0,出口項度為 V0。導項的 加工成形是根據在導項壁上與靜壓孔連接的 項子內項吸向上的距項 d 在沿導項距項成線

P

圖 P 3.46

圖 P 3.47 圖 P 3.41

圖 P 3.43

圖 P 3.44

(38)

性項性。亦即 d  dmaxLx 式中 L 為導項的 長度,而 dmax是最大的水深項位於最小的導 項高度處 x  L項。求高度 Hx 是 x 與其他參 數的函數項係式。

3.49 水流經圖 P 3.49 所項的分歧項,如果忽略黏 性效應,試求在截面2 與截面 3 之壓力。

3.50 水從項子流出以項由噴流方式流向一圓形平 板上,如圖 P 3.50 所項。圖項的流動幾何形 狀為軸對項。試求其流量及壓力項項數 H 值。

3.51 以一圓錐形塞子來調節從項子流出之空氣流

動,如圖P 3.51 所項。空氣項開圓錐邊緣有 一均勻厚度 0.02 m。如果忽略黏性效應,且 流量為 0.50 m3s,試求項內之壓力。

*3.52 如圖 P 3.52 所項,池塘項面項 A 項著水的高 度 h 而改變,如項所項。在時間 t  0 時,

一項門項打開,池塘的水經項徑為 D 之項子 排出,如果忽略黏性效應且假設準穩定條件 成項,試項出水之高度為時間的函數項係,

時間從項門項打開項t  0項到池塘的水項完 全排光為止,項徑 D 分別以 0.5、0.1、1.5、

2.0、2.5 及 3.0 ft 來項項。假設在 t  0 時,

h  18 ft。

圖 P 3.49

P

P

圖 P 3.52 圖 P 3.48

(39)

肉肉 105

3.53 水流過洩洪項,如圖 P 3.53 所項,如果在截 面1 與截面 2 之項度為均勻分布,且忽略 黏性效應,試求在洩洪單位寬度之流量。

3.54 在忽略黏性效應下,水由圖 P 3.54 之斜坡向 下流動,其在截面1 與截面 2 之項度為均 勻分布。從已知條件中項明以柏努利與連項 性方程式,可求得在下游深度 h2 的三個答 案,但是其中只有兩個答案是真實的,試求 出這些值。

3.55 水在傾斜閘門下流動,如圖 P 3.55 所項。求 如果閘門寬為 8 ft ,請問其流量為多少項

3.56 在項徑為 0.15 m 的垂項項內,水以 0.2 m3s 流率流動,且在高度為 25 m 處之壓力為 200 kPa。試求在 20 m 與 55 m 高度時的項度頭 與壓力頭。

3.57 項出在習項 3.38 之流動的能量線及水力梯度 線。

3.58 項出在習項 3.41 之流動的能量線及水力梯度

P

P

圖 P 3.55

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