x = m0, y = n0 d = ax + by 的 整數 , t∈ Z, x = m0+ bt/d, y = n0− at/d d = ax + by 的 整數 , d = ax + by 的 整數 x = m0+ bt/d, y = n0− at/d t∈ Z 的

的 m, n d = ma + nb 的 . 的

, 的 , 的

. m^′= m + b, n^′= n− a, m^′a + n^′b = (m + b)a + (n− a)b = ma + nb = d.

m^′, n^′ . 性 , 的

的 的 . 的 ,

的 的 . 的 .

Proposition 1.3.5. a, b∈ N d = gcd(a, b). x = m₀, y = n₀ d = ax + by 的

整數 , t∈ Z, x = m0+ bt/d, y = n₀− at/d d = ax + by 的 整數 ,

d = ax + by 的 整數 x = m0+ bt/d, y = n0− at/d t∈ Z 的 .

Proof. x = m, y = n d = ax + by 的 . x = m0, y = n0

, am + bn = am₀+ bn₀. a(m− m0) = b(n₀− n). d = gcd(a, b), a = a^′d, b = b^′d a^′, b^′∈ Z gcd(a^′, b^′) = 1 ( Corollary 1.2.10).

a^′(m− m0) = b^′(n₀− n). b^′| a^′(m− m0), gcd(a^′, b^′) = 1 Proposition 1.2.6(1) b^′ | m − m0. t∈ Z m− m0 = b^′t. m = m0+ b^′t = m0+ bt/d.

m = m0+ bt/d am + bn = am0+ bn0 n = n0− at/d, d = ax + by 的整數

x = m₀+ bt/d, y = n₀− at/d t∈ Z 的 . t∈ Z,

x = m0+bt/d, y = n0−at/d d = ax +by 的 整數 . x = m0+bt/d, y = n0−at/d

ax + by a(m₀+ bt/d) + b(n₀− at/d) = am0+ bn₀= d, 本 . 

Proposition 1.3.5 Example 1.3.4 13 = 481x + 221y 的 整數 x = 6, y =−13 x = 6 + 17t, y =−13 − 37t t∈ Z 13 = 481x + 221y 的整數 .

數 整 數 的整數 的 . 的 diophantine

equation. 的 , 的 的 diophantine equations.

Proposition 1.3.6. a, b, c∈ Z d = gcd(a, b). linear diophantine equation

ax + by = c. 的 .

(1) ax + by = c 整數 d| c.

(2) d| c x = m0, y = n0 ax + by = d 的 整數 , ax + by = d 的 整

數 x = m₀(c/d) + (b/d)t, y = n₀(c/d)− (a/d)t t∈ Z.

Proof. ax + by = c 整數 d| c. x = m, y = n ax + by = c

的 整數 . d = gcd(a, b), d| a d| b. m, n∈ Z d| am+bn, d| c.

d| c k = c/d. d = gcd(a, b) m₀, n₀∈ Z am₀+ bn₀= d.

k, am0k + bn0k = dk = c, x = m0k, y = n0k ax + by = c 的 整數 , ax + by = c 整數 .

d | c ax + by = c 的 整數 . 的 k = c/d,

x = m₀, y = n₀ ax + by = d 的 整數 , x = m₀k, y = n₀k ax + by = c 的

整數 . x = m, y = n ax + by = c 的 整數 . x = m₀k, y = n₀k

, am + bn = am0k + bn0k. Proposition 1.3.5 的 ,

t ∈ Z m = m0k + bt/d, n = n0k− at/d, ax + by = c 的 整 數

x = m₀k + (b/d)t, y = n₀k− (a/d)t t∈ Z 的 . , t∈ Z

x = m0k + (b/d)t, y = n0k− (a/d)t ax + by = c, 本 . 

Example 1.3.7. diophantine equation 481x+221y = 23 481x + 221y = 91.

gcd(481, 221) = 13 13- 23 13| 91 481x + 221y = 23 整數 , 481x + 221y = 91 整數 . Example 1.3.4 x = 6, y =−13 481x + 221y = 13 的 整數 ,

91/13 = 7 x = 42 + 17t, y =−91 − 37t 481x + 221y = 91 的整數 .

1.4. 數 數

數, 數.

( ) 整數的 數 數.

數的 .

Definition 1.4.1. a, b∈ Z 0.

(1) m∈ Z, a| m, b | m, m a, b 的 common multiple ( 數).

(2) l∈ N a, b 的 數 的, l a, b 的 least common multiple (

數), lcm(a, b) .

整數 a, b 的 數的性質. l a, b 的 數,

gcd(a, b)| l, m, n∈ Z l = ma + nb. l

. l {ma+nb | m,n ∈ Z} gcd(a, b) Proposition 1.2.3

的 . , a, b 的

數 a, b 的 數.

l a, b 的 數. 數的

. l a, b 的 的 數, l a b 的 的 數

的. l a, b 的 數.

Proposition 1.4.2. a, b∈ N gcd(a, b) = d lcm(a, b) = l, l = ab/d. m∈ Z

a, b 的 數 l| m.

Proof. d = gcd(a, b) a^′, b^′∈ N a = a^′d, b = b^′d gcd(a^′, b^′) = 1 (Propo- sition 1.2.10). ab/d = a^′b = b^′a a, b 的 數.

ab/d = b^′a a| (ab/d) b| (ab/d), ab/d a b 的 數.

a, b, d 數, ab/d a, b 的 數.

m a, b 的 數, (ab/d)≤ m. m^′, n^′ ∈ N

m = m^′a = n^′b. m = m^′a^′d = n^′b^′d, d ( d̸= 0) m^′a^′= n^′b^′.

a^′| n^′b^′. gcd(a^′, b^′) = 1, Proposition 1.2.6(1) a^′| n^′. h∈ N

n^′= a^′h. m = n^′b m = ha^′b, a^′b = (ab/d)| m. ab/d m 數,

(ab/d)≤ m. ab/d = lcm(a, b) = l.

ab/d = l 的 m a, b 的 數, l = (ab/d)| m. ,

l| m, a| l b| l, a| m b| m, m a, b 數. 

Proposition 1.4.2 a, b∈ N, 的 數

數. a, b∈ Z , 的 Proposition 1.4.2

的 數. Corollary 1.2.4 數 數 數

Proposition 1.4.2 數 數 數.

的 整數的 數 數. 數

數的 ( ) 整數的 . 的 .

Definition 1.4.3. a1, a2, . . . , an∈ Z 0.

(1) c∈ Z, c| a1, c| a2, . . . , c| an, c a₁, a₂, . . . , a_n 的 common divisor ( 數).

(2) d∈ N a1, a2, . . . , an 的 數 的, d a1, a2, . . . , an 的 greatest

common divisor 數, gcd(a₁, a₂, . . . , a_n) .

(3) m∈ Z, a₁| m, a2| m,..., an| m, m a₁, a₂, . . . , a_n 的 common multiple ( 數).

(4) l∈ N a₁, a₂, . . . , a_n 的 的 數 的, l a₁, a₂, . . . , a_n 的 least

common multiple 數, lcm(a₁, a₂, . . . , a_n) .

( ) 整數的 數性質.

的 , 的 整數 .

Proposition 1.4.4. a₁, . . . , a_n∈ N, d S ={m1a₁+···+mna_n| m1, . . . , m_n∈ Z}

的 整數. gcd(a1, . . . , a_n) = d.

Proof. 的 , well-ordering principle S 的 整數.

的 d . , S 的, Theorem 1.2.2

S = dZ. 數的 d a1, . . . , an 的 數.

i∈ {1,...,n}, d| ai. ai∈ S = dZ, d| ai. d

a₁, . . . , a_n 的 數.

d a₁, . . . , a_n 的 數 的數. d^′ a₁, . . . , a_n

的 數, d^′≤ d. , m₁, . . . , m_n∈ Z d = m₁a₁+··· + mna_n. i∈ {1,...,n}, d^′| ai d^′| m1a1+··· + mnan. d^′| d, d > 0

d^′≤ d. 

Proposition 1.4.4 的 , .

Corollary 1.4.5. a1, . . . , an∈ N d = gcd(a1, . . . , an) m1, . . . , mn ∈ Z d = m₁a₁+··· + mna_n. d^′∈ Z, d^′ a₁, . . . , a_n 的 數 d^′| d.

整數的 數的性質 整數的 .

Proposition 1.2.6(2) gcd(a, b) = 1 a| l b| l, ab| l. 性質

整數的 . 整數 質的 a₁, a₂, . . . , a_n 質

數 ±1 的 數, 數 質.

a_i, a_j 質 a₁, . . . , a_n 質. a₁= 6, a₂= 15 a₃= 10 的 . gcd(a1, a2) = 3, gcd(a2, a3) = 5 gcd(a1, a3) = 2 gcd(a1, a2, a3) = 1.

a₁, . . . , a_n 質 的, 質 ( i, j∈ {1,...,n}

i̸= j, gcd(ai, a_j) = 1) 的 質性 . 的 質性 “

質” (pairwise relatively prime). a1, . . . , an 質, a1, . . . , an 質.

質性 . Proposition 1.2.6(2), 整數的

質 . 整數, 數 . 數

的 , .

整數 的 數,

整數的 數? d₁= gcd(a₁, a₂) d₂=

gcd(a1, a2, a3) = gcd(d1, a3), gcd(a1, a2,··· ,an) ? 的,

的 數 .

Proposition 1.4.6. a₁, . . . , a_n∈ N (n > 2),

gcd(a₁, . . . , a_n−1, a_n) = gcd(gcd(a₁, . . . , a_n−1), a_n).

Proof. d = gcd(gcd(a1, . . . , an−1), an) d a1, . . . , an 的 數.

d| gcd(a1, . . . , a_n−1) Corollary 1.4.5 d a₁, . . . , a_n−1 的 數. d| an, d a1, . . . , a_n−1, a_n 的 數.

d^′ a₁, . . . , a_n−1, a_n 的 數. d^′ a₁, . . . , a_n−1 的 數, Corollary 1.4.5 d^′| gcd(a1, . . . , an−1). d^′| an, d^′ gcd(a1, . . . , an−1) an 的 數,

Corollary 1.2.4 d^′| gcd(gcd(a1, . . . , a_n−1), a_n) = d. d a₁, . . . , a_n 的 數

的數, a1, . . . , a_n 的 數. 

整數的 數的性質. 的 Proposition 1.4.2

lcm(a, b) = ab/ gcd(a, b) 性質 整數 . a1= 6, a₂= 15 a₃= 10 的 , a₁a₂a₃= 900, gcd(a₁, a₂, a₃) = 1 lcm(a₁, a₂, a₃) = 30.

, 數 數 數的性質, 整數 數

數 . 數 性質. 的

, 的數 , .

Proposition 1.4.7. a₁, . . . , a_n∈ N (n > 2),

lcm(a1, . . . , an−1, an) = lcm(lcm(a1, . . . , an−1), an).

m∈ Z a1, . . . , an 的 數 lcm(a1, . . . , an)| m.

Proof. 數 , n = 3 l = lcm(lcm(a₁, a₂), a₃). l lcm(a₁, a₂) a₃ 數, l lcm(a1, a2) 數, Proposition 1.4.2 l a1, a2 的 數.

l a₁, a₂, a₃ 數. m a₁, a₂, a₃ 數. m a₁, a₂ 數,

Proposition 1.4.2 lcm(a1, a₂)| m. m a3 數, m lcm(a1, a₂) a3

數. Proposition 1.4.2 l = lcm(lcm(a1, a2), a3)| m. l a1, a2, a3

的 數 的數, l = lcm(a₁, a₂, a₃). l 整 a₁, a₂, a₃ 的

數. , l| m, a1| l, a2| l a3| l m a1, a2, a3 的 數. n = 3 的 .

數 n = k− 1 :

lcm(a1, . . . , ak−1) = lcm(lcm(a1, . . . , ak−2), ak−1)

m∈ Z a1, . . . , a_k−1 的 數 lcm(a1, . . . , a_k−1)| m. n = k . l^′= lcm(a1, . . . , a_k−1) l = lcm(l^′, a_k) l a1, . . . , a_k 的 數.

l = lcm(l^′, ak) l^′= lcm(a1, . . . , ak−1) 的 數, 數 (n = k− 1

) l a₁, . . . , a_k−1 的 數. l a_k 的 數, l a₁, . . . , a_k 的

數. m a1, . . . , ak−1, ak 的 數, m a1, . . . , ak−1 的 數. 數

l^′= lcm(a₁, . . . , a_k−1)| m. a_k | m, m l^′ a_k 數.

Proposition 1.4.2 l = lcm(l^′, a_k)| m. l a1, . . . , a_k 的 數 , l = lcm(a1, . . . , a_k). m a1, . . . , a_k 的 數, l| m. l| m,

i∈ {1,...,k} a_i| l, a_i| m. m a₁, . . . , a_k 的 數. 

Exercise 1.11. diophantine equations 的 整數 . (1) 18x + 27y = 15.

(2) 17x + 29y = 10.

Exercise 1.12. a1, a2, . . . , an∈ N M = a1···an. 的.

(1) a₁, a₂, . . . , a_n 質 (pairwise relatively prime).

(2) i∈ {1,...,n} gcd(a_i, M/a_i) = 1.

(3) lcm(a₁, a₂, . . . , a_n) = M.

Exercise 1.13. a₁, . . . , a_n∈ N.

(1) d a1, . . . , an 的 數 d^′ a1/d, . . . , an/d 的 數, dd^′ a1, . . . , an 的 數.

(2) d = gcd(a₁, . . . , a_n). gcd(a₁/d, . . . , a_n/d) = 1.

Exercise 1.14. a₁, a₂, . . . , a_n∈ Z d = gcd(a₁, a₂, . . . , a_n).

(1) c∈ Z d- c,

a₁x₁+ a₂x₂+··· + anx_n= c 整數 .

(2) c∈ Z d| c,

a1x1+ a2x2+··· + anxn= c 整數 .

Exercise 1.15. diophantine equations 的 整數 . (1) 9x₁+ 12x₂+ 16x₃= 13.

(2) 8x₁− 4x2+ 6x₃= 6.

Exercise 1.16. n∈ N, n > 2 a₁, a₂, . . . , a_n∈ Z.

(1) t∈ N 1≤ t ≤ n − 1,

gcd(a₁, . . . , a_n) = gcd(gcd(a₁, . . . , a_t), gcd(a_t+1, . . . , a_n)).

(2) t1, . . . ,t_r∈ N t0= 0 < t₁< t₂<··· < tr< n = t_r+1, 0≤ i ≤ r, di= gcd(ati+1, . . . , ati+1).

gcd(a₁, . . . , a_n) = gcd(d₀, d₁, . . . , d_r).

Exercise 1.17. n∈ N, n > 2 a1, a₂, . . . , a_n∈ Z.

(1) t∈ N 1≤ t ≤ n − 1,

lcm(a1, . . . , a_n) = lcm(lcm(a₁, . . . , a_t), lcm(a_t+1, . . . , a_n)).

(2) t₁, . . . ,t_r∈ N t₀= 0 < t₁< t₂<··· < tr< n = t_r+1, 0≤ i ≤ r, l_i= lcm(a_ti+1, . . . , a_ti+1).

lcm(a1, . . . , an) = lcm(l0, l1, . . . , lr).

———————————– 23 March, 2018