95 上微積分甲統一教學二組 期中考參考答案

95 上微積分甲統一教學二組 期中考參考答案

一、(18％) 求極限：

（a）

3

0 2

sin( )1 lim^x sin( )

x x

→ x

解法一：

3

2

2 2

0 0

sin1

lim lim( sin1)( )

sin sin

→ = →

x x

x x x x

x x x

∵ 1

| sin |x | |x

x < ∴由夾擠定理得

3

2

2 2

0 0

sin1

lim lim( sin1)( )=0 1=0

sin sin

→ = → ⋅

x x

x x x x

x x x

解法二：

∵

3 2

2 2

0 0

lim lim 0

sin sin

x x

x x

x x x

→ = → ⋅ = and

3

3

2 2

sin1

| | | |

sin < sin

x x x

x x

∴ 由夾擊定理得

3

0 2

sin1

lim 0

sin

x

x x

→ x = .

（b） _{2 2}

0

1 1

lim( )

sin

x^→ x − x

Sol：

2 2

2 2 2 2 2 2

0 0 0

1 1 sin sin cos

lim( ) lim( ) lim( )

sin sin sin sin cos

x x x

x x x x x

x x x x x x x x x

→ → →

− −

− = =

+

2 2

2 2 2 2 2

0

2

2 2 2 2 2

0

0 2

2 2

2

sin cos 1

lim( )

sin 4 sin cos cos sin

2 sin

lim( )

sin 4 sin cos cos sin

2 2 1

lim 6 3

1 4 cos cos

sin sin

x

x

x

x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x x x

x x

x x x

x x

→

→

→

− + −

= + + −

= −

+ + −

− −

= = = −

+ + −

二、(18％)

（a）令 ( ) 3

3 5 f x x

= x

+ ^{, 求}f '(1)=? 解法一：

1/ 3 2 / 3

2 / 3

(3 5) 1/ 3 (3 5)

'( ) 3

(3 5)

x x x

f x x

+ − ⋅ ⋅ + −

= ⋅

+ ^⇒

2 1 1 4 7

'(1) 4 16

f

= − ⋅ = .

解法二：

^{1/ 3 1/ 3} 1 ^{4 / 3}

( ) (3 5) '( ) (3 5) (3 5) 3

f x = ⋅x x+ ⁻ ⇒ f x = x+ ⁻ −3x⋅ x+ ⁻ ⋅ ⇒ 1 1₄ 7

'(1) 2 2 16

f = − = .

（b）求 d sin² cos( ²)

x x

dx + =？

^{2 2} 1 ^{2 2 1/ 2 2}

sin cos( ) (sin cos( )) (2sin cos 2 sin( )) 2

d x x x x x x x x

dx

+ = + − ⋅ − .

三、(12％) 求出

3 2

2 1

x x x

y x

+ +

= − 的所有漸近線 (asymptotes).

解法一：

2₂ 1 1 3

1 1

1 2( 1) 2( 1)

y x x x

x x x

= + + + = + + +

− + −

漸近線：y= +x 1 x＝－1, x＝1.

解法二：

( )

lim 1

x

m y x

→∞ x

= = ,

3 2 2

2 2

lim( ( ) ) lim( ) lim( 2 ) 1

1 1

x x x

x x x x x

b y x x x

x x

→∞ →∞ →∞

+ + +

= − = − = =

− −

故斜漸近線 y= +x 1 鉛直漸近線 x＝－1, x＝1.

四、(12％) 考慮曲線xy+2x− =y 0. 求出曲線上的點 P, 使其法線與2x+ =y 0平行。

（曲線上 P 點之法線是與 P 點切線垂直之直線）

2 1

' 1 2

y y x

= − − =

− , P(3,－3), or P(－1,－1)

五、(12％)曲線 C 為x³−xy+y³ =4, 2.x≥ 有一粒子在 C 上向右移動, 其 x 座標(單位為 m)以 5m/s 之 等速度增加. 試問：在點(2,−2)處 y 座標變化的速度及加速度。

Sol： 以 ', 'x y 分別表示dx dy, dt dt .

3x x² '−x y' −xy' 3+ y y² '= ⇒0 (3x²− y x) ' (3+ y²−x y) '= 0 令 ( , )x y =(2, 2), '− x = 代入得 14 5 10 ' 05 × + y = ⇒ y'= −7 因 x'=5 ⇒ x''=0

故 6 ( ')x x ²−x y' '−x y' '−xy'' 6 ( ')+ y y ²+3y y² ''=0 以 x'=5, 'y = −7代入 ⇒ 109

218 10 '' 0 ''

− y = ⇒ y = 5 ．

六、(12％)在內接於半徑為 a 之球的所有直圓錐中, 求體積最大之直圓錐的高與底半徑.

解法一：

r²+(h a− )² =a² ⇒ r² =2ah h− ²

1 ² 1 ²

(2 )

3 3

V = πr h= π ah h h− , 0≤ ≤h 2a.

⇒ 1 ² 1

'( ) (4 3 ), ''( ) (4 6 )

3 3

V h = π ah− h V h = π a− h

4

'( ) 0 , 0

V h = ⇒ =h 3a ∵ 4

''( ) 0

V 3a < 故 4

h=3a有極大值, 且 2 2

r = 3 a, 32 ³ V = 81πa . (或 V(0)=V(2 )a =0, 故 4

h=3a有極大值, 且 2 2

r = 3 a, 32 ³ V = 81πa .)

解法二：令 h 為球心到圓錐底的距離

1 ² 1 ^{2 2} 1 ²

( ) ( )( ) ( )( )

3 3 3

= + = − + = − +

V πr a h π a h a h π a h a h 利用算術平均≧幾何平均

2 3

( ) ( ) ( )

2 2

3 4

a h a h

a h a h a h

+ + + + − ≥ + −

⇒ ² 32 ³ 32 ³

( ) ( )

27 27

a+h a−h ≤ a ⇒ V ≤ πa

當 1

2 3

a h

a h h a

+ = − ⇒ = ⇒ 高＝4

3a, 底半徑 2 2

3 a V 有極大值32 ³ 81πa

七、(16％)作出函數

2 3 5

( )

y= x 2−x 之圖. 並指出升降區間, 凹凸(concavity)區間, 極值及反曲點(轉折點, inflection point).

2 5

3 3

5

y= 2x −x

1 2 1

3 3 3

5 5 5

' (1 )

3 3 3

y = x⁻ − x = x⁻ −x ；Critical Points x=0, 1

4 1 4

3 3 3

5 10 5

'' (1 2 )

9 9 9

y = − x⁻ − x⁻ = − x⁻ + x ； x=0, － 1

2 可能為反曲點 升 (0,1)

降 (－∞,0) 及 (1,∞) 凹 (－∞, － 1

2 ) 凸 (－ 1

2 , 0) 及(0,∞) 極大值 (1, 3

2 ) 極小值 (0,0) (尖點) 反曲點 (－ 1

2 ,

3

3 4⁾