袋内有 5 个红球、6 个黑球、7 个白球 从袋中取出 15 个球 取出的球中恰好有 3 个红球的概率为 ( ) A. 从袋中取出 袋中有 有2 个球 抽出的球中恰好有 1 个红球的概率是多少？并且两部分的概率应该相等。于是问题就变成了“袋子里有5个红球，6个黑球，7个白球。从袋子里拿出3个球。
1. 第一个球是红色的。假设第一个球是红色 1. 2. 第一个球是黑色。假设第一个球是黑1。 ②如果第二个球是黑，则其中有0分，符合要求；
③如果第二个球是白球，则满足要求的可能结果为0； 3. 第一个球是白球。假设第一个球是白球 1. 仿标准溶液的方法，假设抽出的3个球中有一个红球，b个黑球，c个白球。使用标准溶液，不难发现：
我们根据第三个球是红球、黑球还是白球进一步对这三种情况进行分类（三级分类）。
一道 TI 杯全国初中数学竞赛题的多种解法——赵国瑞
分析4：消去二元二次齐次方程的常数项，将其变换得到一元二次方程，然后利用一元二次方程有实根的条件进行求解。
由 3 个 a、5 个 b 和 2 个 c 组成的字符串中有多少个包含子字符串“abc”？ 。
分子、分母是二次函数的函数值域的另一种求法——郭子伟
然后用代入式（4.2.2）将其转化为三角公式，再以连接单位圆与不动点的斜率来组织，也可以得到取值范围。至此不难发现，这种方法对于分母转换为t2+1的情况比较方便，但是对于t2-1就相对繁琐，而且如果定义的域有限，你必须从代入中找到t的范围，然后判断三角函数的范围，这就更加麻烦了，所以相对于本文开头提到的两种方法相比，这个方法确实不太好。 À例如通过单位圆与不动点连线的斜率分析，或者设置sinθ−313√2。
等与不等模糊处 深究细品明就里——张培强
注：对平等的期望驱使我们将两种不平等联系起来。得到递归关系后，我们测试考生的逻辑推理能力（归纳和寻找规律） 注：换个角度不仅解决了问题，还解释了函数 g(x ) - 周期为 1 的性质。此时您可能了解测试是关于周期函数的！ 。
2 −2 sinx+π=f(x) +π，所以f(x)在2π长度内的图像向右平移2π单位，向上平移π单位得到的图像仍然是f的图像(x ) 如上所示，选项 B 和 D 因此被排除。
由两个二元二次方程组成的方程组——何万程
一个多重根式不等式的推广——李明，韩安静，严文兰
球面的直观图——何万程
2、半轴长为1的椭圆与我们印象中的直观形象不一致。段是b，则b。证明空间是点P(x,y,z)用倾斜法画出来后就变成了点Q。
可视图上边界上的点是当射线OP的倾角一定时距原点距离最大的点Q。因为。用等距法在直观图中画出空间长度为a的线段长度为b，则b。因此，在具有旋转体的几何体直观图中一般不采用倾斜法。相反，可以使用倾斜法使用等距法绘制可视化图。
中国古今数学家九杰——李明
摆线的首次出现可以在 C. Powell 于 1501 年出版的书中看到。但到了17世纪，一大批杰出的数学家（如伽利略、帕斯卡、托里拆利、笛卡尔、费马、吴震、沃利斯、惠更斯、约翰·伯努利、莱布尼茨、牛顿等）热衷于研究这个性质曲线 在平面上，当动圆纯沿固定直线滚动时，动圆上一点的轨迹称为摆线。
我们来推导摆线方程。以下角度单位使用弧度系统。如图 6.2.1 所示，假设动圆的半径为 r，固定直线为 x 轴，圆上固定的初始位置为原点 O。当动圆运动到 A 点时， x轴滚动，将原点位置旋转到B点（x，y）并将圆心移动到C。假设]ACB=θ（顺时针方向为正），则OA为移动的方向长度圆，故OA=rθ，故摆线的参数方程为。
当物体在重力作用下无摩擦地滑动，并用最短的时间到达非其正下方的点时，物体滑动的路径称为最速下降线，之前最速下降线的方程为成立。 ，我们先来证明一下费马原理。 费马原理：物体从水平线l上方的A点移动到水平线l下方的B点。物体在水平线l以上的运动速度为v1，入射角为i1，物体在水平线l以下的运动速度为v2，折射角为i2，则运动时间为sini1最短的。
证明 如图6.2.2所示，假设水平线上的C点对应于正弦1。假设物体的初始位置在原点，并且下落到A点所需的时间最短。假设物体运动到(x,y)点时的折射角等于α，根据费马原理，存在v。
