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# 1.5 极限存在准则两个重要极限

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Academic year: 2023

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(1)

## 高等数学A

1.5.1

1.5.2

1.5.3 Cauchy

1.5.4

(2)

1.5.3 Cauchy

1.5.1

Cauchy收敛准则 应用习例

1.5.4

1.5.2

0

limsin 1

x

x

x

x

x e

 x

(3)

f(x),g(x),h(x)

### 满足

), (

) ( )

( , 0

0, 0 0

0 x x g x f x h x

 

A x

h x

g( ) lim ( ) lim

) 2 (

. )

( lim

f xA

:

,

x x0.

, )

( lim )

( lim

0 0

A x

h x

g

x x x

x

,

0

 10,

0xx0  1

,

g(x)A  , .

) (

A g x A

, )

(xA  

h

1

-

I

) ( )

( )

( ) 1

( g xf xh x

, 0

0, 0 2

2

x x

(4)

. )

(

A h x A

}.

, ,

min{120

 

0xx0  

, , )

( )

( )

(

g x f x h x A

A

. )

(xA  

f

. )

( lim

0

A x

f

x

x

2

xn, yn, zn

) ,

2 , 1 (

)

1

( yn xn zn n a

z

y n

n n n

lim

lim )

2 (

. lim xn a

n

.

,

n n

n n

z y

z y

I

I'

.

(5)

2 2 2

n

2 2 2

n

n

n

1 2

k

n 1n 2n kn 1 2 k

n aa  aa aa

(6)

2 2 2

n n n

n n

n   

 

 

:

1 ) 2

1 ( 1

2 2

2nn n

n n

 

 

  

n

n

n

2 2

  22

n n

, 1 lim

2

2

n n

n

n

lim 2 1.

2

n

n

n

. 1 1 )

2 ...

1 ( 1

lim 2 2 2

 

 

 

n nnn n

n

(7)

2 2 2

n n

n n

n   

 

1 )

2 1 1

( 1

2 2

2 n n n

n   

 

 

nn

n

2

21

n n

, 0 lim

2

n n n

n

0.

lim 1

2

n n

n

. 0 1 )

2 ...

1 1

( 1

lim 2 2 2

 

 

 

n n n n

n

(8)

n n

n

n1

,n n1.

), 0 (

1  

n n n

n n h h

a

n

hn

n(1)

n n n hn hnn

nh    

2

! 2

) 1

1 ( 2

2

) 1 (

hn

n n

1,

0 2 2

 

hn n ,

1 0 2

 

hn n 1,

1 2 1

1      

h n

an n

1,

1 1 2

lim  

 

 

n

n

.

1

lim

n

n n

, lim1(0).

n a a

n

(9)

a1

a2

ak

k

### ,

} ,

, ,

max{

lim n 1n 2n kn 1 2 k

n

a a

a a

a

a    

### 证明： 令

amax{a1,a2,,ak },

n n

n n

k n

n n n

a k a

a a

a12  

aan k

, 1 lim

n n

### 又

k

} ,

, ,

max{

lim n 1n 2n kn 1 2 k

n

a a

a a

a a

a     

(10)

.

.

1

2

3

n

n1

:

A M

3 (

II)

1

2

3

n

A

n1

m

(11)

, ,

, 0 .

5

a

x1a x2aa

3 a a a

### ,

x a a a

x    n    

.

( ) 2

1

1

n n

n x

x a

x  

n

1

,

n

n

x

6

(12)

, ,

, 0 .

5

a

x1a x2aa

3 a a a

### ,

x a a a

x    n    

.

xn1axn (n1,2,) ,

1a0 x

1,

1

2 a x a x

x    

, xnxn1

n n

n

n a x a x x

x 1     1

xn

. ,

1 1

n n

x

x

(13)

1,

n

n a x

x

xn2axn1.

n n n

x x x

2

n n

x x a1

n n

n x

x x

a1

   1

a

aa1

.

xn

. ,

lim xn A

n

. lim

) (

lim

lim 2 1 1

    n

n n n n

n x a x a x

, A2aA

2

4 1

1 a

A   

2 .

4 1

lim 1

a

xn

n

 

)

(

(14)

( ) 2

1

1

n n

n x

x a

x  

n

1

,

n

n

x

6

n

] ) (

) 2[(

1 2 2

n

n x

xa

1

xn 0 (n 1, 2,).

n

n x

xa

) 2 (

1

1

n n

n x

x a

x  

a

n

1

(15)

2

n n

n n

n x

x x a

x

x   ()2

1

1

) 2(

1

n n

x x

a

n n

x x a

2

2

. }

{xn

 

n

n

n

x

n n

x x 1

) 1

2( 1

2

xn

a

(1 )

2 1

a

a

 

n

xn A

n

lim

Aa

) ,

3 , 2

(  

a n xn

(16)

n n

n

1

1

n n n

n n

n

n

(17)

Cauchy

4 (Cauchy

)

xn

:

, ,  0  N N

m N n, N

,

. xn xm

Cauchy

.

,

Cauchy

:

xn

:

x n

Cauchy

.

n

lim   0  N N

n N 时，有

2

a

xn 同样，当 m N 时，也有

2

a xm

###    

2 2

n m n m n m

x x x a x a x a x a

  

   

  

xn

Cauchy

.

(18)

### 注意

:

1Cauchy收敛准则的几何意义: 数列 收敛的充分必要条件

: 对于任意给定的正数 , 在数轴上一切具有足够大号码的点 , 任意两点间的距离小于 .

 xn

xn

2）由于Cauchy收敛准则是判断数列收敛的充分必要条件, 因此,

3）应用上常使用Cauchy收敛准则的一个等价形式: 数列 收 敛的充分必要条件是: , ,使得当 , 对一切 正整数 , .

 xn

0

   N N n N p xn p xn

(19)

Cauchy

(20)

Cauchy

(21)

x 0

(22)

x x

sin

###   1

0.1 0.9983341664682815475018 0.01 0.9999833334166664533527 0.001 0.9999998333333416367097 0.0001 0.9999999983333334174773 0.00001 0.9999999999833332209320 0.000001 0.9999999999998333555240 0.0000001 1.0000000000000000000000

0.00000001 1

(23)

. sin

### 然后看 的图形

x yx

(24)

Using the Sandwich theorem to find 0

lim sin

x

x

x

(25)

0

x

A C

2) 0

( ,

,

x x

AOB

O

o x

B

D

ACO

x OAB

cos sin 1,

x x x

.

2 0

x ,

0 2

x

, 1 cos

lim

0

x

x

sin 1. lim0

x x

x

1.

(26)

1)

2)

3)

.

0 0

0

x 0

u

0

(27)

### 第一重要极限应用习例

0

sin 5 tan

. : (1) lim ;(2) lim ;

6 x x

x x

x x



4 lim arcsin .1

x x

 x

0

1 cos

. lim .

7 x

x

x

2

2

( 4)

11. lim .

sin

x

x x

x

0

1 sin cos

9. lim .

sin

x

x x x

x x

 

### 例 计算

10. lim(11 ) tan . 2

x x

x

0 3

x

x x

x

0 2

1 cos (3) lim

x

x

x

(28)

:

0 0

sin 5 sin 5

(1) lim lim5

5

x x

x x

x x

0

tan sin 1

(2) lim lim 1

cos

x x

x x

x x x

  

) 5 (

. sin 5

lim

5 0 u x

u u

u  

0 0 0 2

6.

x x x

x x x

x x x

2

2 2

0 0

2 sin

1 cos 2

(3) lim lim

x x

x x

x x

 

2 2

0 )

( 2 sin 2 2lim

1

x x

x

2

0 )

2 sin 2 (

2 lim 1

x x

x

2

1

0 0

   1  

4 lim arcsin .

x x

 x

(29)

4 lim arcsin .1

x x

 x

1 , arcsin

t

x

. 0 ,

t

x

t t x x

t

x 1 limsin

arcsin lim

0

. sin 1

lim 1 sin

lim 1

0

0  

t t t

t

t t

0

x

0 0

  

 

(30)

0 0 2

x x

### 

2

2

2 2

0 0 0

1 cos 1 cos 1 cos

lim lim lim

x x x

x x x

x x x

   

2

2

cos . lim 1

0

x

x

x

 

0 2

x

0 0

  

 

0

x

(31)

2 1 2

1 1 cos 1

lim1 lim sin

cos lim 1

cos

) cos 1

( limsin

cos sin sin lim

:

0 2 0

0

0 3 0 3

x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x

x x

0 3

x

x x

x

(32)

2 0

0 x x x x x

x x

x x

x

x x

x

x

x  

 

cos ) sin

1

1 sin

sin ( sin

lim

2

0 x x x x x

x x

x

x    

. 1 sin )

1 ( 2 lim 1

0  

x

x

x

0 0

  

 

0

1 sin cos

9. lim .

sin

x

x x x

x x

 

(33)

(1 ) tan 2

2 lim tan

) 1

( lim

0 1

1 x x t t

t x t

x



t t

t cot 2 lim

0

t t t

t

sin 2 cos 2 lim

0

2 cos 2

sin 2 lim 2

0

t

t t

t

2 .

### 

0 0

  

 

10. lim(11 ) tan . 2

x x

x

(34)

x x x

x x

x x

x

x

sin

) 2 )(

2 lim (

sin

) 4 lim (

2 2

2

 

) 2

( sin

) 4

( ) 2

lim(

0 2

t t t

t

t t x

 

t

t t

t

t sin

) 4

( ) 2

lim(

0

 

 

t t

t t

t sin

) 4

)(

2 lim(

0

8 .

0 0

  

 

2 2

x

x x

x

(35)

x

x

.

(1)

x

n

n

n f n n

x 1)

1 ( )

(  



 

12

! 2

) 1 (

1

! 1 1

n n

n n

xn n

1).

1 ( 2)

1 1)(

1

!( ) 1

1 1

!( 2 1 1

1 n

n n

n n

n

 

  

nn

n

n n

n

n 1

!

) 1 (

) 1

(    

 

2.

(36)

1).

1 ( 2)

1 2 1)(

1 1 )!( 1 (

1

1) 1 1

( 2)

1 2 1)(

1 1

!( 1

1) 1 1

!( 2 1 1

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n n n

n n

n n n

n n

xn n

1 n,

n x

x

xn

;

n

xn      1

   

  n 1

2 3 1

n 3,

n

n

n

e

n

n

n  

1) 1

(

lim (e2.71828)

,

(37)

,

) 2

( x  

nxn1 1 ,

1 1

1

n x

n  

1 , 1 1

1 1 1 1

n x

n    

 

, 1)

1 ( 1 )

1 ( 1)

1 1

(     1

  n x n

n x

n

1

1 )

1 1 1

( 1)

1 1 ( lim 1)

1 1 (

lim

  

 

 

n n n

n n

n n

e

1) 1

( 1)

1 ( lim 1)

1 (

lim 1

n n

n

n n

n n

e

. 1)

1 (

lim e

x

x

x  



(38)

,

) 3

( x  

x   y,

y  

y y

x

x x y





   1)

1 ( lim 1 )

1 (

lim y

y y

y ) ( 1

lim



y

y y )

1 1 1

(

lim  

 )

1 1 1

( 1)

1 1 (

lim 1

 

 



y y

y

ye

, ))

( 1 1

( lim

) 1

( ( )

)

( e

x

x x

.

. )

1 ( lim 1 ,

) 2 (

1

0 z e

z x z

z

1

(39)

1)

2)

1

1

1

(40)

x

x

x

x

. 1)

( 2 lim .

13 2 1

x

x x

x

1 . lim

.

14 2

2 x

x x

x 

 

. cos

lim .

15

0 x x

x

. ,

9 )

( lim .

16 a

a x

a

x x

x

### 例

《海底两万里》：快速阅读 曾经有这样一个人： 在人类还没发明电报的时候，他小说中的人物已经在用电报传递信息； 在人类还没制造出飞机的时候，他小说中的人物已经驾驶直升机来往； 在人类还没有着手登月工程的时候，他小说中的人物已经坐在一颗大炮弹里， 被巨炮发射到月球上； ………… 这个人就是儒勒·凡尔纳（1828—1905）。他是19世纪法国著名的科幻和探险

[左右极限相等·上下极限相等] 函数fx在点a的极限存在的充分必要条件是：左极限等 于右极限，或者上极限等于下极限，即 fa+0=fa0 或 limf x xa =limfx xa [单调有界] 单调有界函数必有极限.. 若 fx在区间a,b内为单调上升函数，且在区间a,b内 fxM ，则 xb

（2009·清华大学）有限条抛物线及其内部（指含焦点的区域）能覆盖整个平面吗？证 明你的结论。 分析 本题就不是简单考查抛物线的知识，顺利解答本题需要整体考查抛物线的图形特征，解答如下： 假设有限条抛物线及其内部能覆盖整个平面，则一定有有限条抛物线的内部能覆盖整个平面。所以平面直 角坐标系上的定点A（其坐标待定）在某一条定抛物线Γ : ax+by+c2

3 奇偶函数的性质 偶函数的和与差仍是偶函数， 奇函数的和与差仍是奇函数； 两个奇（或偶）函数的商是偶函数； 奇函数与偶函数的积（或商）是奇函数； 有限个偶函数的积仍是偶函数； 偶数个奇函数的积是偶函数... 若在无穷多个周期 中，存在一个最小的正数，则这个正数称为最小正周