1.5 极限存在准则两个重要极限

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第1章 函数与极限

高等数学A

1.5 极限存在准则 两个重要极限

1.5.1

夹逼原理

单调有界准则

1.5.3 Cauchy

收敛准则

两个重要极限

1.5 极限存在准则 两个重要极限

1.5.3 Cauchy

收敛准则

夹逼原理

极 限 存 在 准 则 两 个 重 要 极 限

Cauchy收敛准则 应用习例

夹逼原理

应用习例1-4

单调有界准则 应用习例5

1.5.4

两个重要极限

单调有界准则

应用习例6-11

0

limsin 1

x

x

 x 

重要极限

重要极限 lim 1 ¹

x

x e

 x

   

 

  应用习例12-16

在给定的变化过程中，如果

满足

), (

) ( )

( , 0

0, _{0 0}

0   x  x  g x  f x  h x



当 时

设

A x

h x

g( )  lim ( )  lim

) 2 (

. )

( lim

f x  A

则

证明

不失一般性

考虑极限过程

, )

( lim )

( lim

0 0

A x

h x

g

x x x

x



 

 

,

 0

 ₁  0,

当

时

有

) (

A   g x  A 

即

, )

(x  A  

有

一、夹逼原理

定理

（夹逼原理

准则

）

) ( )

( )

( ) 1

( g x  f x  h x

, 0

0, _{0 2}

2

当

时

    

 x x

. )

(

A   h x  A 

即

}.

, ,

min{₁ ₂ ₀

 

取 当

时

( )

( )

( 

     

 g x f x h x A

有

. )

(x  A  

即

. )

( lim

0

A x

f

x

x 

 

极限过程为 x  x₀^, x  x₀^, x  , ^{x  , x  } 同理可证。

定理

如果数列

满足

) ,

2 , 1 (

)

1

( y_n  x_n  z_n n   a

z

y _n

n n n



 



 lim

lim )

2 (

. lim x_n a

n

 

则

注意:

.

,

的极限是容易求的

与 并且

与 键是构造出

利用夹逼准则求极限关

n n

n n

z y

z y

准则

和准则

称为夹逼准则

夹逼准则应用习例

1 ).

2 ...

1 ( 1

lim

1.





 n n n

n n

n

  

 

 



求

例

1 ).

2 ...

1 1

( 1 lim

2.

n n

n n

n

  

 





求

例

. 1 lim

3. 



 n

n

n

证明 例

, ,

0 ,

, ,

.

4 设

为正整数

例 a a  a

 k

} ,

, ,

max{

lim

n a  a  a  a a  a



证明

1 ).

2 ...

1 ( 1

lim

1.







n n

n   

 

 



求

例

解

1 ) 2

1 ( 1

2 2

2  n  n n

n n

 

 

  

 n



n

2 2

  ₂ ²



n n

, 1 lim

₂

2 





 n n



n

n

又

2 





 n



n

n

由夹逼准则得

. 1 1 )

2 ...

1 ( 1

lim 2 2 2 

 

 

 

 

 ^{n n}  ⁿ  ^{n n}

n

1 ).

2 ...

1 1

( 1 lim

2.

n n

n n

n   

 





求

例

解：

2 1 1

( 1

2 2

2 n n n

n   

 

 

 n  n

n

 2

2  1

 n n

, 0 lim

2 





 n n n

n

又

lim 1

2 





 n n

n

由夹逼准则得

. 0 1 )

2 ...

1 1

( 1

lim 2 2 2 

 

 

 



 n n n n

n

. 1 lim

3.



 n n

证明

例

证明： 当

时

), 0 (

1  



 ⁿ _{n n}

n n h h

记

n

hn

n  (1  )

则有

nh    



 ² 

! 2

) 1

1 ( ²

2

) 1 (

hn

n n 

 1,

0 ² 2

 

 h_n n ,

1 0 2

 

 h_n n 1,

1 2 1

1      

h n

a_{n n}

于是有

1 1 2

lim  



 





 



 n

n

而

1

lim 

  n

n n

_类似可证



 ⁿ a a

n

证明 为正整数

设

例 4 .

,

,

,

0 ,

,

} ,

, ,

max{

lim ⁿ ₁ⁿ ₂ⁿ _kⁿ _{1 2 k}

n

a a

a a

a

a    





证明： 令

n n

n n

k n

n n n

a k a

a a

a  ₁  ₂  



a  aⁿ k

, 1 lim





 n n

又

} ,

, ,

max{

lim ⁿ ₁ⁿ ₂ⁿ _kⁿ _{1 2 k}

n

a a

a a

a a

a     

 

单调有界数列必有极限

注意： 单增数列只需上有界；单减数列只需下有界

1

x

x x

x

x

x

几何解释

A M

二、单调有界准则

定理

单调有界准则

准则

x

x

x

x

A

x

m

单调有界准则应用习例

, ,

, 0 .

5

设

证明数列

例







, ,

3 a a a

,

x    _n    

的极限存在，并求其极限

设

1

1

n n

n x

x a

x _  

(

1 , 2 ,

) ,

 0 , a

1

 0 x

,

且 求 lim

.

n

 x



例

, ,

, 0 .

5

设

证明数列

例







, ,

3 a a a

,

x    _n    

的极限存在，并求其极限

解：

1  a  0 x

1,

1

2 a x a x

x    

, x_n  x_n1

假设

n n

n

n a x a x x

x _1     _1 

则

_即

_单增

1 ^1 

n n

x

从而

1,

 

 _n

n a x

又

则

n n n

x x x

 2



n n

x x a  _1



n n

n x

x x

a  _1

   1

a

a  a 1

上有界

即

所以数列极限存在

lim x_n A

n

 

设

. lim

) (

lim

lim ² _{1 1}



 







     _n

n n n n

n x a x a x

则

, A²  a  A

即

4 1

1 a

A   

解得

2 .

4 1

lim 1

a

x_n

n



 

 

)

(

负号舍去

设

1

1

n n

n x

x a

x _  

(

1 , 2 ,

) ,

 0 , a

1

 0 x

,

且 求 lim

.

n

 x



例

. }

{ 有下界

x



] ) (

) 2[(

1 _{2 2}

n

n x

x  a



， 易知

由 x

 0

n

n x

x  a



) 2 (

1

1

n n

n x

x a

x _  



 a

(

1 , 2 ,

)

证

°有界性

2

°单调性

n n

n n

n x

x x a

x

x _   (  ) 2

1

1

) 2(

1

n n

x x

a 



n n

x x a

2

 2



. }

{x_n

单调减少且有下界



) ,

3 , 2 (

0

 n

n

存在，

n

 x



lim

或

n n

x x _1

) 1

2( 1

2

xn

 a

 (1 )

2 1

a

 a

 

1 (

2 , 3 ,

)

， 令

n

 

lim

^则

) ,

3 , 2

(  

 a n x_n









 n

x x a

x

n n

n

，令

由 ( )

2 1

1

得

( ),

2 lim 1

lim

n n n

n n

x

x a

x  



 





), 2 (

1

A A a

A  

即

（舍去）

或

解得 A  a A   a

. lim x

a

n





三、

收敛准则

定理

收敛准则

数列

 

收敛的充分必要条件是

, ,   0  N N^

使得当

时

有

满足上述条件的数列也称

数列或基本数列

这样

Cauchy

收敛准则又可叙述成

数列

 

收敛的充分必要条件是

 

为

数列

证明：

n 



lim   0 ^{ N N}

当 n  N 时，有

2

 

 a

x_{n 同样，当} m  N 时，也有

2

 

 a x_m

因此，当 m N n,  N 时,有

   

2 2

n m n m n m

x x x a x a x a x a

  

        

  

即得

 

为

数列

充分性的证明要用到实数理论, 这里从略.

注意

（1）Cauchy收敛准则的几何意义: 数列 收敛的充分必要条件

是: 对于任意给定的正数 , 在数轴上一切具有足够大号码的点 中, 任意两点间的距离小于 .

 xn

 ^x_n



（2）由于Cauchy收敛准则是判断数列收敛的充分必要条件, 因此,

它不但可以用来判断数列的收敛性, 而且也可以用来判断数列的发散

（3）应用上常使用Cauchy收敛准则的一个等价形式: 数列 收 敛的充分必要条件是: , ,使得当 时, 对一切 正整数 , 有 .

 xn

 0

   N N^ n  N p ^x_{n p}  ^x_n 

Cauchy

收敛准则应用举例

Cauchy

收敛准则应用举例

四、两个重要极限

首先看看在计算机上

进行的数值计算结果：

sin 1

lim

.

1 



x x

x 0

重要极限

x

0

  1

0.1 0.9983341664682815475018 0.01 0.9999833334166664533527 0.001 0.9999998333333416367097 0.0001 0.9999999983333334174773 0.00001 0.9999999999833332209320 0.000001 0.9999999999998333555240 0.0000001 1.0000000000000000000000

0.00000001 1



 2 ^{ }  2 

x y  sin x

x

y

O 1

. sin

然后看 的图形

x y  x

Using the Sandwich theorem to find ₀

lim sin

x

x

 x

sin 1

lim





x x

x

A C

2) 0

( ,

, _{   } 

x x

AOB

O

圆心角

设单位圆

, tan

, ,

sin x  BD x  弧 AB x  AC

于是有

o x

B

D

.

ACO

，得 作单位圆的切线

,

的圆心角为

扇形  OAB 的高为 BD ,

, tan sin x  x  x



x x x

即

.

2 0

也成立

上式对于

 x ,

0 2

时

当

, 1 cos

lim

0

 x 

x

又

  x x

x

1.

第一重要极限

说明:重要极限1的 标准式的特点是

1)

是

型未定式

2)

含三角式

3)

分子的三角函数 的弧度数与分母一 致

0 0

sin 1

lim





x x

x ⁰

lim sin 1

u

u



u 

0

lim sin 1





第一重要极限应用习例

0

sin 5 tan

. : (1) lim ;(2) lim ;

6 x x

x x

x x

 

限 例 求极

4 lim arcsin .1

x x

 x

（ ）

0

1 cos

. lim .

7 x

x

 x

例 计算

2

2

( 4)

11. lim .

sin

x

x x

 x



例 计算

0

1 sin cos

9. lim .

sin

x

x x x

x x



 

例 计算

10. lim(11 ) tan . 2

x x



 

例 计算

0 3

tan sin lim

x x

 x

求

例 8 .

0 2

1 cos (3) lim

x

x

 x



解

0 0

sin 5 sin 5

(1) lim lim5

5

x x

x x

x x

   

0

tan sin 1

(2) lim lim 1

cos

x x

x x

x x x

    

) 5 (

. sin 5

lim

5 0 u x

u u

u  

 

0 0 0 2

sin 5 tan 1 cos

: (1) lim ; (2) lim ;(3) li .

6.

m

x x x

x x x

x x x

  

求极限

例

2

2 2

0 0

2 sin

1 cos 2

(3) lim lim

x x

x x

x x

 

 

2 2

0 )

( 2 sin 2 2lim

1

x x

x

 ²

0 )

2 sin 2 (

2 lim 1

x x

x

 2

 1

0 0

   1  

4 lim arcsin .

x x

 x

（ ）

4 lim arcsin .1

x x

 x

（ ）

解：

t

x 

令

. 0 , 



 t

x

时

则当

t t x x

t

x 1 limsin

arcsin lim

0



 



. sin 1

lim 1 sin

lim 1

0

0  







t t t

t

t t

0

arcsin

lim 1.

x

x



x 

同理

0 0

  

 

解：

0 0 2

1 cos 1 cos

lim lim

x x

x x

x x

 

 

 



2

 2

2 2

0 0 0

1 cos 1 cos 1 cos

lim lim lim

x x x

x x x

x x x

  

  

  

   

2

 2



cos . lim 1

0

x

不存在

x

 



0 2

1 cos lim

x

x



x



 

0 0

  

 

0

1 cos

. lim .

7

x



x

例 计算 

2 1 2

1 1 cos 1

lim1 lim sin

cos lim 1

cos

) cos 1

( limsin

cos sin sin lim

:

0 2 0

0

0 3 0 3







 









 

 











x

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x

x x

原式 解

0 3

tan sin lim

x x

 x

求

例 8 .

解：

) cos sin

1 (

sin

cos sin

lim 1 sin

cos sin

lim 1

2 0

0 x x x x x

x x

x x

x

x x

x

x

x  



 









cos ) sin

1

1 sin

sin ( sin

lim

2

0 x x x x x

x x

x

x    

 

. 1 sin )

1 ( 2 lim 1

0  

  x

x

x

0 0

  

 

0

1 sin cos

9. lim .

sin

x

x x x

x x



 

例 计算

解：

2 lim tan

) 1

( lim

0 1

1 x x t t

t x t

x





 











t t

t cot 2 lim

0



 

t t t

t

sin 2 cos 2 lim

0





 

2 cos 2

sin 2 lim 2

0









t t

t



  2 .





0 0

  

 

10. lim(11 ) tan . 2

x x



 

例 计算

解：

x x x

x x

x x

x

x





) 2 )(

2 lim (

sin

) 4 lim (

2 2

2



 







) 2

( sin

) 4

( ) 2

lim(

0 2

t t t

t

t t x





 









令

t

t t

t

t sin



) 4

( ) 2

lim(

0



 



 



 



t t

t t

t sin

) 4

)(

2 lim(

0

8 .





0 0

  

 

2 2

( 4)

11. lim .

sin

x

x x





例 计算

x e

x

x

 





1 ) 1

( lim

下面分三步进行讨论

(1)

设

依次按自然数

变化，则函数为

n

n f n n

x 1)

1 ( )

(  





 







 1₂

! 2

) 1 (

1

! 1 1

n n

n n

x_n n

1).

1 ( 2)

1 1)(

1

!( ) 1

1 1

!( 2 1 1

1 n

n n

n n

n

 















  

nn

n

n n

n

n 1

!

) 1 (

) 1

(    

 

2.

第二重要极限

1).

1 ( 2)

1 2 1)(

1 1 )!( 1 (

1

1) 1 1

( 2)

1 2 1)(

1 1

!( 1

1) 1 1

!( 2 1 1

1 1

 

 

 

 



 

 

 



 







 

n n n

n n

n n n

n n

x_n n







1 n,

n x

x _ 

显然

 

是单调递增的

! 1

! 2 1 1

1

x_n      ₁

2 1 2

1 1

1

  _{n 1}

2 3  1_

 _n  3,

  x

是有界的 ;



. lim

存在

n

x





n

n

n  



 1) 1

(

记为

类似地

,

) 2

( x  

时 设

1 1

1

n x

n  

于是

1 , 1 1

1 1 1 1

n x

n    

 

, 1)

1 ( 1 )

1 ( 1)

1 1

(     ^1

  ^{n x n}

n x

n

1

1 )

1 1 1

( 1)

1 1 ( lim 1)

1 1 (

lim ^{ }







   

 

 

 n n n

n n

n n

而

1) 1

( 1)

1 ( lim 1)

1 (

lim ¹

n n

n

n n

n n









 





  e

. 1)

1 (

lim e

x

x

x  

 

,

) 3

( x  

时 设

则

y y

x

x x y









    1)

1 ( lim 1 )

1 (

lim ^y

y y

y ) ( 1

lim 

 

y

y y )

1 1 1

(

lim  

  )

1 1 1

( 1)

1 1 (

lim ¹

 

 



 ^



 y y

y

y  e

注意：

, ))

( 1 1

( lim

) 1

( ^{( )}

)

( e

x

x x



 









常用的形式是

并以此为工具可求出相应的其它一些函数的极限

. )

1 ( lim 1 ,

) 2 (

1

0 z e

z x ^z

z







有

令



型

说明:重要极限2标准式的特点是

1)

是

型未定式

2)

是

型





1 2 12. 1 lim(1 ) ;(2) lim(1

)

x^

 x

 x

例 计算（）

. 1)

( 2 lim .

13 ^{2 1}



 

 _x

x x

计算

例

第二重要极限应用习例

1 . lim

.

14 ₂

2 x

x x

x 

 









计算

例

. cos

lim .

15

0 x x

 x

计算

例

. ,

9 )

( lim .

16 a

a x

a

x _x

x

求 设

例







