國立彰化高級中學110學年度資優班甄選---複選實作評量 數學科 試題卷
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(2) 𝑑 2 + 𝑒 2 + 𝑓 2 ≠ 0、(𝑎 − 𝑑)2 + (𝑏 − 𝑒)2 + (𝑐 − 𝑓)2 ≠ 0，滿足上述條件的數對 (𝑎、𝑏、𝑐、𝑑、𝑒、𝑓) 共有_____________組。. 2. 一個長度是 𝑛 的訊息是由 𝑛 個數字排列組成，且每個數字都只能是 0 或 1，例如： 1101 與 0111 是兩個長度是 4 的訊息；定義兩個長度是 𝑛 的訊息之距離為其「相對應位置 是不同數字的個數」，例如：1101 與 0111 在第 1 與第 3 個位置的數字不同，所以其距離 為 2 。試問：長度是 7 且與 1101000 之距離大於 3 的訊息有_____________個。. 3. 若大於 4 的實數 𝑎 可經多次 「開平方運算」 變為小於 2 的實數，設其所需最小次數為 𝑓(𝑎)， 例如：√20 > 2、√√20 > 2、√√√20 < 2，所以 𝑓(20) = 3。 試問：𝑓(1204 ) =_____________。. 4. 有一隻青蛙在座標平面上做一系列的跳躍：從 (0，0) 開始跳動，每一次跳躍是「平行 𝑥 軸 方向跳躍一單位或平行 𝑦 軸方向跳躍一單位」 ；試問這隻青蛙要跳到直線 3𝑥 + 7𝑦 = 89 上， 至少需要跳躍_____________次。. ̅̅̅̅ 、𝐴𝐶 ̅̅̅̅ 邊上依序取一點 𝑃、𝑄，設長度比值： 5. 有一∆𝐴𝐵𝐶，已知其面積為 110，今在 𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝐴𝑃 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵. ̅̅̅̅ 𝐴𝑄. = 𝑥、 ̅̅̅̅ = 𝑦，若 𝑥 + 3𝑦 = 1，則 ∆𝐴𝑃𝑄 面積最大值為_____________。 𝐴𝐶. 6. 座標平面上有一正八邊形 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻，已知 𝐴、𝐵 兩點的座標依序為 (0，0)、(4，2)，則 𝐻 點座標為_____________。(兩解). 計算證明題(沒有計算過程不給分) 共 22 分。 1. 有一公差是 3 的等差數列，已知首項是 2，末項是 110；試回答下列問題： (1) 將其全部相加：2 + 5 + ⋯ + 110，其總和為_____________。(3分) (2) 將其全部相乘：2 × 5 × ⋯ × 110，其乘積末尾共有連續_____________個 0。 (108000 末尾共有連續 3 個 0). (4分).
(3) 2. (1) 已知：𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 )，試因式分解 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 + 2。 (4分) (2) 若 𝑥 是被 4 除餘 1 的正整數，試證明：𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 恆為 64 的倍數。(3分). ̅̅̅̅ 互相垂直，如圖(此 3. 設 𝐴、𝐵、𝐶、𝐷 為圓上相異四點，若此圓的圓心為 𝑂，且兩線段 ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 、𝐵𝐷 為示意圖，非實際比例關係)。試回答下列問題： (1) ∠𝐴𝑂𝐵 + ∠𝐶𝑂𝐷 =_____________。(4分) (2) 若 ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 10、此圓的直徑為 14，則 ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 =_____________。(4分).
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