國立成功大學103 學年度微積分競試

國立成功大學 103 學年度 微積分競試

2015 年 4 月 25 日

姓名： 學號： 學系：

說明:

1. 本試題含封面共 9 頁，8 大題。

2. 考試時間 100 分鐘。

3. 請在每個試題所屬的頁面作答。如欲使用試題背面，請標示清楚。

4. 請清楚地寫出計算及證明的過程，沒有過程的答案將不予記分。

題號 配分 分數

1 10

2 15

3 10

4 20

5 15

6 10

7 10

8 10

總分 100

1. 計算下列積分

(a) (5 points) ∫ 2

1

lnx dx=

(a) Solution: ∫ ₂

1

lnx dx= (xlnx)²

1−

∫ ₂

1

x· 1

xdx= 2ln2−1

(b) (5 points)

∫ ¹

4

0

√ dx

1−4x² =

(b) Solution: Substitute x by ^sin₂^θ. We get

∫ ¹

4

0

√ dx

1−4x² =

∫ ^π

6

0 1

2cosθ dθ

√1−sin²θ = π 12

2. 令

F(θ) = 1

1

2sinθ+cosθ, 0≤θ≤ π 2.

(a) (5 points) 求F(θ)的臨界點 (critical point) θ，即ˆ F^′(θ) = 0 的解。

(a) Solution: θˆis a solution of F^′(θ) = ⁻(¹2cosθ−sinθ)

1

2sinθ+cosθ = 0 =⇒ θˆ=tan^{−1 1}₂

(b) (5 points) 求 F(θ) 在 (0,^π₂) 的相對極值 (relative/local extreme values) 並說明原 因。

(b)

Solution: Around θ = ˆθ F(θ) changes from negative to positive, so F attains a local min at θ = ˆθ. F(ˆθ) = √²

5.

(c) (5 points) 求F(θ)在 [0,^π₂] 的絕對極值(absolute extreme values)。

(c) Solution: absolute minF(ˆθ) = √²

5; absolute maxF(^π₂) = 2.

3. 令 S 為y =sinx, x= ^π₂, 及 y= 0 所圍成的區域。

(a) (5 points) 求S 對 x 軸旋轉的旋轉體體積。

(a) Solution:

∫ ^π

2

0

π(sinx)²dx=π

∫ ^π

2

0

1−cos2x

2 dx=π [x

2 −sin2x 4

]^π

2

0

= π² 4

(b) (5 points) 求S 對 y 軸旋轉的旋轉體體積。

(b) Solution: Solution 1: volume =

2π

∫ ^π

2

0

xsinx dx= 2π [

−xcosx^π2

0 +

∫ ^π

2

0

cosx dx ]

= 2π.

Solution 2: volume= π·(^π₂)²−∫₁

0 π(sin⁻¹y)²dy= 2π, because

∫ ₁

0

(sin⁻¹y)²dy=

∫ ^π

2

0

x²d(sinx) = x²sinx^π2

0 −

∫ ^π

2

0

2xsinx dx

= π² 4 + 2

∫ ^π

2

0

x d(cosx)

= π²

4 + 2xcosx^π2

0 −

∫ ^π

2

0

2cosx dx

= π² 4 −2.

4. 令

F(x) =

∫ _x

0

3^tdt.

(a) (5 points) 證明F(x)為絕對遞增 (strictly increasing) 函數。

(a)

Solution: By the fundamental theorem of calculus, F^′(x) = 3^x > 0 for all x.

So F(x) is strictly increasing by the first derivative test.

(b) (5 points) 求不定積分 ∫

3^tdt =

(b)

Solution: ∫

3^tdt =

∫

e^(ln3)tdt= 3^x ln3 +C.

(c) (5 points) 求F⁻¹(_ln3² )，即求 F(x) = _ln²₃ 的解。

(c) Solution: Solve for _ln²₃ =F(x) = _ln3^3x − _ln¹₃, we get x=F⁻¹(_ln²₃) = 1.

(d) (5 points) 求(F⁻¹)^′(_ln3² )。

提示：利用連鎖律 F^′(F⁻¹(x))·(F⁻¹)^′(x) = 1，並將 x= _ln²₃ 代入此等式。

(d) Solution: Pluggingx= _ln3² in the hinted formula, we see that

1 = F^′(F⁻¹( 2

ln3))·(F⁻¹)^′( 2

ln3) = F^′(1)·(F⁻¹)^′( 2 ln3).

Since F^′(1) = 3, we conclude that (F⁻¹)^′(_ln²₃) = ¹₃.

5. 令

f(x) = 1 2ln

(1 +x 1−x

)

,−1< x <1.

(a) (5 points) 求f^′(x)。

(a) Solution: f^′(x) = ¹₂ · ¹_1+x^−x ·₍₁₋²_x)² = ₁₋¹_x2

(b) (5 points) 求f^′(x) 在x= 0 的泰勒級數(Taylor series)。

(b) Solution: ₁₋¹_x2 =∑_∞

n=0x²ⁿ

(c) (5 points) 求f(x)在 x= 0 的泰勒級數 (Taylor series)。

(c) Solution: Integratingf^′(x) = ₁₋¹_x2 =∑_∞

n=0x²ⁿ, we getf(x) =C+∑_∞

n=0 x²ⁿ⁺¹

2n+1. Since f(0) = 0, the constantC = 0. Therefore,

f(x) =

∑∞ n=0

x²ⁿ⁺¹ 2n+ 1.

6. (10 points) 判斷下列級數是否收斂並說明理由。

∑∞ n=2

1 nlnn 提示：計算瑕積分 (improper integral)

∫ _∞

2

dx xlnx

Solution: The series diverges, because

∑∞ n=2

1 nlnn >

∫ _∞

2

dx

xlnx = lim

t→∞

∫ _t

ln2

du

u = lim

t→∞(lnt−ln(ln2)) =∞.

7. (10 points) 證明對所有實數 x > y >0，下列不等式恆成立。

√1 +x−√

1 +y < 1

2(x−y)

Solution: Proof 1: By the mean value theorem, there exists c∈(y, x) such that

√1 +x−√ 1 +y

x−y = 1

2(1 +c)⁻²¹ < 1 2. Proof 2: Consider the function f(x) = √

1 +x− ¹₂x. Since

f^′(x) = 1

2(1 +x)⁻²¹ −1 2 <0

for all x >0, the statement follows from the first derivative test.

8. 令

f(x) = {

e^−x12 if x̸= 0, 0 if x= 0.

(a) (3 points) 判斷f(x)是否在 x= 0 連續並說明原因。

Solution: Yes, because lim_x→0e^−x12 = 0.

(b) (7 points) 判斷f(x)是否在 x= 0 可微分並說明原因。

提示：利用 L’Hospital’s rule。

Solution: By L’Hopital’s rule,

f^′(0) = lim

x→0

1

xe^−x12 =lim

x→0

(x⁻¹)^′ (e^x12)^′

= lim

x→0

−x⁻²

−2x⁻³(e^x12)

= 0.