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nÆêÆX

§7.1 ØCf˜m†Š˜m©)

½Â. T ´‚5˜mV þ‚5C†, W´Vf˜m, XJéu?¿α ∈ WÑ kT(α) ∈ W, K¡W T ØCf˜m, ½ö¡W T-f˜m.

5¿. éuV ?¿˜‡‚5C†T, V 9"f˜mÑ´T-f˜m.

~. T ´‚5˜mV þ‚5C†, y²T ”˜mT(V) = {T(α)|α ∈ V} ÚTؘ

mker(T) = {α ∈ V|T(α) = 0}Ñ´TØCf˜m.

y². c¡®²y²T(V)Úker(T)´Vf˜m.

éuα ∈ T(V), dT(V)½ÂíÑT(α) ∈ T(V), ¤±T(V)´TØCf˜m.

éuα ∈ ker(T), duT(α) = 0 ∈ ker(T), ¤±ker(T)´TØCf˜m.

·K. T´‚5˜mVþ‚5C†, W´Vf˜m, α₁, α₂,· · · , α_s´W˜‡Ä, KW´T-f˜m¿‡^‡T(α_i) ∈ W,(i = 1,2,· · · , s).

y². (7‡5)dT-f˜m½ÂíÑT(α_i) ∈ W,(i = 1,2,· · · , s).

(¿©5) éuα ∈ W, duα₁, α₂,· · · , α_s´W˜‡Ä, ¤±αŒ±dα₁, α₂,· · · , α_s‚5L

«, =

α = k₁α₁ + k₂α₂ +· · ·+ k_sα_s u´

T(α) = T(k₁α₁ +k₂α₂ +· · ·+ k_sα_s) = T(k₁α₁ +k₂α₂ +· · ·+ k_sα_s)

= k₁T(α₁) +k₂T(α₂) +· · ·+k_sT(α_s) ∈ W

¤±W´T-f˜m.

~. T´F[x]þ‚5C†,

T(f(x)) := f⁰(x), f(x) ∈ F[x]

éu?¿ên, y²Fn[x]´T-f˜m.

y². du1, x, x²,· · · , xⁿ´Fn[x]Ä, …éuk = 0,1,· · · , n T(x^k) = kx^k−1 ∈ Fn[x]

¤±Fn[x]´T-f˜m.

·K. V þ‚5C†T₁, T₂ Œ†,KT₁ ”˜mT₁(V)ÚT₁ ؘmker(T₁)Ñ´T₂-f

˜m.

y². éuβ ∈ T₁(V), K3α ∈ V ¦T₁(α) = β. u´T₂(β) = T₂T₁(α) = T₁T₂(α) ∈ T₁(V), ¤±T₁(V)´T₂-f˜m.

éuβ ∈ ker(T₁), KT₁(β) = 0. u´T₁T₂(β) = T₂T₁(β) = T₂(0) = 0, =T₂(β) ∈ ker(T₁), ¤

±ker(T₁)´T₂-f˜m.

5¿. éuõ‘ªf(λ) ∈ F[λ], ‚5C†T †f(T) Œ±†, u´f(T) –˜m†Ø˜m

Ñ´T-f˜m. AO, XJλ = c ´T ?¿AŠ, f(λ) = c−λ, Kf(T) = cE −T ؘm

V_c = {α ∈ V|(cE −T)(α) = 0

´AŠc ¤éAAf˜m, ÏdT ?˜Af˜mÑ´T-f˜m.

`². W´T-f˜m, duT(W) ⊆ W, ¤±T Œ±w¤W þ‚5C†, PT|_W.

·K. W´Vf˜m,(β₁, β₂,· · · , β_s)´W˜‡Ä,(β₁, β₂,· · · , β_s, β_s+1,· · · , β_n)´V

˜ ‡ Ä, T´Vþ ‚ 5 C †, KW´T-f ˜ m ¿ ‡ ^ ‡T3 k S Ä(β₁, β₂,· · · , β_s, β_s+1,· · · , β_n)eݏ

A =

B_s×s C_s×(n−s) 0 D(n−s)×(n−s)

y². W´T-f˜m¿‡^‡T(β_i) ∈ W,(i = 1,2,· · · , s), ùdu























T(β₁) = a₁₁β₁ +· · ·+ a_1sβ_s T(β₂) = a₂₁β₁ +· · ·+ a_2sβ_s

· · · ·

T(β_s) = a_s1β₁ + · · ·+ a_ssβ_s

T(β_s+1) = a_s+11β₁ + · · ·+ a_s+1sβ_s +a_s+1s+1β_s+1 + · · ·+ a_s+1nβ_n

· · · ·

T(β_n) = a_n1β₁ +· · · +a_nsβ_s + a_ns+1β_s+1 +· · ·+ a_nnβ_n

§Ý/ª

T(β₁, β₂,· · · , β_s, β_s+1,· · · , β_n) = (β₁, β₂,· · · , β_s, β_s+1,· · · , β_n)A ùp

A =

B_s×s C_s×(n−s) 0 D(n−s)×(n−s)

, B_s×s =









a₁₁ a₁₂ · · · a_1s a₂₁ a₂₂ · · · a_2s ... ... ... ...

a_s1 a_s2 · · · a_ss









`². d·Ky²Œ±wÑT|_W 3W Ä(β₁, β₂,· · · , β_s) eÝÒ´B_s×s.

íØ. T´‚5˜mVþ‚5C†, W´T-f˜m, KT|_WAõ‘ªØTA õ‘ª.

y². (β₁, β₂,· · · , β_s)´W˜‡Ä, ò§*¿V˜‡Ä(β₁, β₂,· · · , β_s, β_s+1,· · · , β_n), KT3kSÄ(β₁, β₂,· · · , β_s, β_s+1,· · · , β_n)eݏ

A =

B_s×s C_s×(n−s) 0 D(n−s)×(n−s)

T|W 3W Ä(β₁, β₂,· · · , β_s) eÝÒ´B_s×s. u´

∆_T|W(λ) = |λE_s −B_s×s|

∆_T(λ) = |λE −A| =

λE_s−B_s×s −C_s×(n−s)

0 λE(n−s)×(n−s)−D(n−s)×(n−s)

= |λE_s −B_s×s||λE(n−s)×(n−s) −D(n−s)×(n−s)| Ïd∆_T|W(λ)|∆_T(λ)

`². XJV₁ÚV₂Ñ´T-f˜m…

V = V₁ ⊕V₂

K òV₁ k S Ä(α₁, α₂,· · · , α_s)ÚV₂ k SÄ(β₁, β₂,· · · , β_n−s)Ü 3 ˜ å V k S Ä(α₁, α₂,· · · , α_s, β₁, β₂,· · · , β_n−s), X JT_V13 Ä(α₁, α₂,· · · , α_s) Ý A₁ÚT_V23 Ä(β₁, β₂,· · · , β_n−s)ݏA₂, =

T_V1(α₁, α₂,· · · , α_s) = (α₁, α₂,· · · , α_s)A₁, T_V2(β₁, β₂,· · · , β_n−s) = (β₁, β₂,· · · , β_n−s)A₂ K

T(α₁, α₂,· · · , α_s, β₁, β₂,· · · , β_n−s) = (T(α₁, α₂,· · · , α_s), T(β₁, β₂,· · · , β_n−s))

= ((α₁, α₂,· · · , α_s)A₁,(β₁, β₂,· · · , β_n−s)A₂) = ((α₁, α₂,· · · , α_s),(β₁, β₂,· · · , β_n−s))

A₁ 0 0 A₂

¤±T3Ä(α₁, α₂,· · · , α_s, β₁, β₂,· · · , β_n−s)eݏ

A₁ 0 0 A₂

˜„XJV₁, V₂,· · · , V_sÑ´T-f˜m¿…

V = V₁ ⊕V₂ ⊕ · · · ⊕V_s

KòV_ikSÄB_i = (α_i,1, α_i,2,· · · , α_i,si)¿å5Ò´VkSÄ(B₁, B₂,· · · , B_s), X JT|_Vi3kSÄB_ieÝ´A_i, K

T(B₁, B₂,· · · , B_s) = (T B₁, T B₂,· · · , T B_s) = (B₁A₁, B₂A₂,· · · , B_sA_s)

= (B₁, B₂,· · · , B_s)









A₁ 0 · · · 0 0 A₂ · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · A_s









¤±T3kSÄ(B₁, B₂,· · · , B_s)eݏ









A₁ 0 · · · 0 0 A₂ · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · A_s









~. V ´F þn ‘‚5˜m, T ´V þ‚5C†, éuα ∈ V ¿…α 6= 0. XJk ´¦

α, T(α),· · · , T^k(α) ‚5ƒ'ê. -

W = Span{α, T(α),· · · , T^k−1(α)}

y²W´T-f˜m¿…¦T|_WAõ‘ª.

y². dk bíÑk > 0¿…α, T(α),· · · , T^k−1(α) ‚5Ã', ¤±´WÄ. d uα, T(α),· · · , T^k−1(α),T^k(α)‚5ƒ', ¤±3b₀, b₁,· · · , b_k−1 ∈ F, ¦

T^k(α) = b₀α+ b₁T(α) +· · ·+ b_k−1T^k−1(α)

¤±éuj = 0,1,2,· · · , k −1, T(T^j(α)) = T^j+1(α) ∈ W, ¤±W´T-f˜m.

T|_W3WÄ(α, T(α),· · · , T^k−1(α))ݏ

B =













0 0 · · · 0 b₀ 1 0 · · · 0 b₁ 0 1 · · · 0 b₂

· · ·

0 0 · · · 1 b_k−1













¤±T|_WAõ‘ª

∆_T|W(λ) = |λE −B| =

λ 0 0 · · · 0 −b0

−1 λ 0 · · · 0 −b₁

0 −1 λ · · · 0 −b₂

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · −1 −bk−1

= λ^k −(b₀ +b₁λ+ · · ·+b_k−1λ^k−1)

K∆_T(T) ´Vþ"‚5C†.

y². éuα ∈ V, e¡·‚y∆_T(T)(α) = 0 XJα = 0, K∆_T(T)(α) = 0.

XJα 6= 0, KÄVf˜m

W = span{α, T(α),· · · , T^k−1(α)}

ùpk´¦α, T(α),· · · , T^k(α) ‚5ƒ'ê. c¡~fwŠ·‚W´T-f˜

m, T|_WAõ‘ª

∆_T|W(λ) = λ^k −b₀ −b₁λ− · · · −b_k−1λ^k−1 Ù¥b₀, b₁,· · · , b_k−1÷v

T^k(α) = b₀α+ b₁T(α) +· · ·+ b_k−1T^k−1(α)

du∆_T|W(λ)|∆_T(λ), ¤±3g(λ) ∈ F[λ]¦∆_T(λ) = g(λ)∆_T|W(λ) u´

∆_T(T)(α) = g(T)∆_T|W(T)(α) = g(T)(T^k −b₀E −b₁T + · · · −b_k−1T^k−1)(α)

= g(T)(T^k(α)−b₀(α) −b₁T(α) +· · · −b_k−1T^k−1(α)) = g(T)(0) = 0

¤±∆_T(T) = O

íØ. A ´n ,∆_A(λ) ´A Aõ‘ª, K∆_A(A) = 0.

y ². V´n‘ ‚ 5 ˜ m, (α₁, α₂,· · · , α_n)´V ˜ ‡ k S Ä, ϕ´ 3 k S

Ä(α₁, α₂,· · · , α_n)eL(V, V )M_n(F)ÓN. KéuA ∈ M_n(F, 3T ∈ L(V, V )¦

ϕ(T) = A. TAõ‘ª∆_T(λ)(= ∆_A(λ))

∆_T(λ) = λⁿ +a_n−1λⁿ⁻¹ +· · · +a₁λ+ a₀ u´

∆_A(A) = Aⁿ + a_n−1Aⁿ⁻¹ + · · ·+ a₁A+a₀E

= ϕ(T)ⁿ + a_n−1ϕ(T)ⁿ⁻¹ + · · ·+a₁ϕ(T) +a₀ϕ(E)

= ϕ(Tⁿ + a_n−1Tⁿ⁻¹ +· · ·+ a₁T +a₀E)

= ϕ(∆_T(T)) = ϕ(O) = 0

öS. SK7.5:1(1)(2),3,4.

∆_T(λ) = (λ−λ₁) (λ−λ₂) · · ·(λ−λ_s) Ù¥λ₁, λ₂,· · · , λ_s´TüüØÓAŠ, éui = 1,2,· · · , s, -

W_λi := {α ∈ V|(λ_iE −T)^ci(α) = 0}

¡W_λi AŠλ_i Šf˜m.

½n.(Šf˜m©)½n) V´n ‘‚5˜m, T´Vþ‚5C†, T Aõ‘ª

∆_T(λ) = (λ−λ₁)^c1(λ−λ₂)^c2 · · ·(λ−λ_s)^cs K

(1) éui = 1,2,· · · , s, Šf˜mW_λi´T-f˜m (2) ‚5˜mVke¡©)ª

V = W_λ1 ⊕W_λ2 ⊕ · · · ⊕W_λs (3) éui = 1,2,· · · , s, dimW_λi = c_i.

y². (1)éui = 1,2,· · · , s, Põ‘ªf_i(λ) := (λ_i−λ)^ci, Kf_i(T) = (λ_iE −T)^ci¿…W_λi = ker(f_i(T)), ¤±W_λi´Vf˜m. duT†f_i(T)Œ±†, ¤±ker(f_i(T)) = W_λi´T-f˜

m.

g_i(λ) := ∆_T(λ) f_i(λ) éuα ∈ V,

f_i(T)g_i(T)(α) = ∆_T(T)(α) = O(α) = 0 ù`²g_i(T)(α) ∈ ker(f_i(T)) = W_λi.

du

(g₁(λ), g₂(λ),· · · , g_s(λ)) = 1

¤±3õ‘ªu₁(λ), u₂(λ),· · · , u_s(λ)¦

g₁(λ)u₁(λ) +g₂(λ)u₂(λ) +· · ·+ g_s(λ)u_s(λ) = 1 u´

g₁(T)u₁(T) +g₂(T)u₂(T) +· · ·+g_s(T)u_s(T) = E éuα ∈ V,

g₁(T)u₁(T)(α) +g₂(T)u₂(T)(α) +· · · +g_s(T)u_s(T)(α) = E(α) = α Ïd

V = W_λ1 +W_λ2 + · · ·+ W_λs

ùpα_i ∈ W_λ2,(i = 1,2,· · · , s), XJα_i(i = 1,2,· · · , s)؏"•þ, Kؔbα₁ 6= 0, u´

α₁ = −α₂ − · · · −α_s

duõ‘ªf₁(λ)†õ‘ªf₂(λ)· · ·f_s(λ)pƒ, ¤±3õ‘ªu₁(λ)Úu₂(λ)¦

u₁(λ)f₁(λ) +u₂(λ)f₂(λ)· · ·f_s(λ) = 1 u´

u₁(T)f₁(T) +u₂(T)f₂(T)· · ·f_s(T) = E ù

α₁ = E(α₁) = u₁(T)f₁(T)(α₁) +u₂(T)f₂(T)· · ·f_s(T)(α₁)

= u₂(T)f₂(T)· · ·f_s(T)(α₁) = u₂(T)f₂(T)· · ·f_s(T)(−α₂ − · · · −α_s)

= −u₂(T)f₂(T)· · ·f_s(T)(α₂)− · · · −u₂(T)f₂(T)· · ·f_s(T)(α_s) = 0 ù†α₁ 6= 0gñ. ¤±kα_i(i = 1,2,· · · , s)Ñ´"•þž, âŒU

0 = α₁ + α₂ +· · · +α_s

¤±

V = W_λ1 ⊕W_λ2 ⊕ · · · ⊕W_λs

(3) éui = 1,2,· · · , s, dimW_λi = s_iÚB_i = (α_i,1, α_i,2,· · · , α_i,si)W_λikSÄ. du V = W_λ1 ⊕W_λ2 ⊕ · · · ⊕W_λs

¤±(B₁, B₂,· · · , B_s)´VkSÄ, …XJT|_Wλi3kSÄB_ieÝ´A_i, KT3kS Ä(B₁, B₂,· · · , B_s)eݏ









A₁ 0 · · · 0 0 A₂ · · · 0 ... ... ... ...

0 0 · · · A_s









éuα ∈ W_λi

f_i(T|_Wλi)(α) = f_i(T)(α) = 0

¤±f_i(T|_Wλi)´W_λiþ"‚5C†, ¤±T|_Wλiõ‘ªm_T|

Wλi

(λ)|f_i(λ). ddí Ñm_T|

Wλi

= (λ −λ_i)^ti, ÏdT|_WλiAõ‘ª∆_T|

Wλi

(λ) = (λ −λ_i)^si, du∆_T|

Wλi

(λ)|∆_T(λ),

¤±s_i ≤ c_i, ´

n = s₁ +s₂ +· · · +s_s ≤ c₁ + c₂ + · · ·+c_s = n ddíÑc_i = s_i,(i = 1,2,· · · , s).

~. ‚5˜mV = C³, T´Vþ‚5C†, §3VIOÄ(e₁,e₂,e₃) eݏ

A =





−1 1 0

−4 3 0 1 0 2



.

¦‚5C†TŠ˜m©), ¿…3V¥ÀJ˜‡kSĦ‚5C†T3ù‡ÄeÝ

´O鄴enÝ. ). OŽTAõ‘ª.

|λE −A| =

λ+ 1 −1 0 4 λ−3 0

−1 0 λ−2

= (λ−1)²(λ−2).

du

(A−E)(A−2E) =





−2 1 0

−4 2 0 1 0 1









−3 1 0

−4 1 0 1 0 0



 6= 0.

¤±m_A(λ) = ∆_A(λ) = (λ−1)²(λ−2) k­Š, ÏdA ،éz.

|λE −A| = (λ− 1) (λ−2), ¤±dŠ ½ V = W₁ ⊕ W₂, Ù W₁ ´

Š1Šf˜m, W₂ ´AŠ2 Šf˜m,¿…dimW₁ = 2, dimW₂ = 2. ¤±·‚Œ±

lW₁ ÚW₂ ¥ÀÄ, ò§‚Üå5Ò´VÄ, …T3ù‡Äeݏ

B =

A₁ 0 0 a

Ù¥A₁ ´2 .

e¡äN‰ÑW₁ ÄÚW₂ Ä, ¦T3ùü‡Üå5¤VÄeÝ´en.

duW₂ = {α ∈ V|(2E −T)(α) = 0}, §Ò´AŠ2 Af˜m. )àg‚5§|

(2E −A)X =





3 −1 0 4 −1 0

−1 0 0







 x₁ x₂ x₃



 =



 0 0 0



,

Ä:)Xη₁ =



 0 0 1



, ¤±α₁ = 0e₁ + 0e₂ + e₃ = e₃ ´W₂ ˜‡Ä, §´áuλ₁ = 2 A•þ, =

T(α₁) = 2α₁

W₁ = {α ∈ V|(E −T)²α = 0}, )àg‚5§|

(E −A)²X =





0 0 0 0 0 0

−1 1 1







 x₁ x₂ x₃



 =



 0 0 0





Ä:)Xη₂ =



 1 0 1



, η₃ =



 1 1 0



. ¤±W₁k˜‡Äα₂ = e₁ +e₃, α₃ = e₁ +e₂, duTØ

Œéz, ¤±AŠ1 Af˜mV₁ = {α ∈ V|(E − T)α = 0}´1‘, ¤±α₂Úα₃¥

–k˜‡Ø3Af˜mV₁. ¯¢þ

(E −A)η₂ =





2 −1 0 4 −2 0

−1 0 −1







 1 0 1



 =



 2 4

−2



 6= 0

¤±α₂ ∈/ V₂.

(E −T)(β₃) = (E −T) (α₂) = 0

¤±β₃3Af˜mV₁, ddíÑα₂, β₃‚5Ã', ¤±´Šf˜mW₁Ä T(α₂) = α₂ −β₃

T(β₃) = β₃ , ½öT(α₂, β₃) = (α₂, β₃)

1 0

−1 1

u´T3kSÄ(α₂, β₃, α₁)eÝ

B =





1 0 0

−1 1 0 0 0 2





duIOÄ(e₁,e₂,e₃) Ä(α₂, β₃, α₁)LÞݏ

P =





1 2 0 0 4 0 1 −2 1





¤±B = P⁻¹AP

öS1. 3þ~¥é˜‡kSÄ, ¦T3ù‡kSÄeÝ´þn.

öS2. SK7.5:6.