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(1)

臺北市立建國高級中學第 101 期通訊解題題目解答與評析

已知n !＝123n。設a, b, n為正整數，且a ≤ b，n＜14，

試求出a²＋b²＝n ! 的所有解。

【簡答】共有兩組解：n＝2，a＝b＝1；n＝6，a＝12，b＝24

【詳解】n＝1，無解。

n＝2 時，有一組解a＝b＝1

若n ≥ 3，則a²＋b²＝n! ≡0（mod3），

由於平方數≡0或1（mod3），因此a²≡ b²≡ 0（mod3），

3|a，3| b，3² | a²+ b²＝ n! ，於是n ≥ 6，

若n＝6，設a＝3a1，b＝3 b1，則a₁² + b₁² ＝2⁴ ×5，

然而知a1，b1同為偶數（否則a₁² + b₁² ≡1或2（mod4））

設a1＝2a2 ，b1＝2b2 ，則 a²₂ ＋b²₂＝2² ×5，

同樣得a2 ，b2為偶數，設a2 ＝2a3，b2 ＝2b3，

則a²3 ＋ b²3 ＝5，得a3＝1，b3＝2，所以a＝12，b＝24，

若n ≥7，則a² + b² = n!≡0（mod 7），於是a≡b≡0（mod 7），

但當n＜14時，7²不整除n!，故此時無正整數解，

因此共有兩組解：n＝2，a＝b＝1；n＝6，a＝12，b＝24。

【評析】1.由題意n為正整數，n＜14，即n＝1,2, 3, …,13，所以解此題的方法為就n值加以討論，求出a，b的所有解。

2.方法是檢驗等號的兩邊有相同的正因數。

3.用到的數學性質有

(1)設t為正整數，則t ²≡0或1（mod 3）

(2)設t為正整數，則t ²≡0或1（mod 4）

(3)設t為正整數，p為質數，若p | t ²，則p | t

(4)設a，b，c，d為非負整數，p為質數，若a≡b（mod p），

且c≡d（mod p），則a＋c≡b＋d（mod p）

4.此題當n＝6時，依題意必須求出a，b的所有解，部份同學的解法中，只寫

出a＝12，b＝24為解，但未加以說明只有一解，這是較不嚴謹之處。

5.只以一種方法求解但求不出解，並不能以此就斷定無解，這是同學在解題時應注意的觀念。

6.本題參與徵答者有13人：

10101

(2)

得7分者，2人：桃園市新興國際中小國中部游垚騰、

高雄市高師大附中國中部林庭風

得6分者，6人：臺北市師大附中國中部潘卉盈、新竹縣光明國小王師宇、

臺北市師大附中國中徐嘉宏、臺北市龍門國中蔡懷琦、

臺北市敦化國中葉峻豪、新竹市實驗國中陳帝宇得5分者，2人：桃園縣桃園國中陳宗葳、高雄市復華國中張恆瑜得4分者，2人：臺北市北投國中歐政富、臺南市後甲國中吳晟維得3分者，1人：臺北市民生國中林安柔

求解方程組



²

 

²



9 4 10

9 4 24

x y x y

x y xy

    



   



，其中^{x y}^, 為實數。

【簡答】 3 2 x y

 

 

【詳解】由原式知x0,y0，原方程組化為

 



 





 



 



 

 

 

  

 



 



 

 



 

  

4 24 9

4 10 9

y y x x

於是 9

xx 與 4

y y可看作方程式_t²_₁₀_t__{24 0}_ 的兩根，

再由



^t^⁴

 

^t^⁶



^⁰，得t1 4,t2 6 則原方程組的解有以下兩種情形：

(1)

2 2

9 4

4 9 0

4 6 6 4 0

x x x x

y y

  

    

 

 

  

   



x無實數解

(2)

 

2 2

9 6 6 9 0 3 0 3

4 4 4 4 0 2 0 2

x x x x x x

y y y y

y y

   

        

   

         

   



，

驗算後符合，故原方程組的解為 3 2 x y

 

  。

【評析】1.本題徵答人數共40人，全部答對得7分者有18人。滿分名單如下：

新北市江翠國中李品宏、新北市江翠國中張允瀚、

臺北市天母國中葉沛鎧、臺北市師大附中國中潘卉盈、

10102

(3)

臺北市北投國中歐政富、新北市文山國中鄭容濤、

桃園縣振聲國中李建誼、臺北市介壽國中游澈、

桃園市新興國際中小國中部游垚騰、臺北市龍門國中蔡懷琦、

臺北市敦化國中葉峻豪、臺北市師大附中國中徐嘉宏、

新竹市實驗國中陳帝宇、新北市永和國中王子杰、

臺北市師大附中國中鍾尚軒、臺北市敦化國中邱可為、

高雄市左營國中顏君瑋、苗栗建台高中國中部曾昱文

2.有些同學由兩數和10及兩數積24，直接說兩數為6與4，沒有計算過程，實為不妥。

如圖，_AB=14，圓A半徑為8，圓B半徑為7且兩圓相交於兩點，令其中一點為P，一直線通過P點且交圓A於Q點，交圓B於R點，且QP PR，試求QP²。

R Q

P

A B

【簡答】377 2

【詳解】設AB與圓B交於C點，連接_PC，

再分別過A B, 對_QR做垂線交_QR於M N, ，因為_AC__BC_₇，所以在PAB中，由中線定理可知₍₂_PC₎²__AB² _₂₍_PA²__PB²₎，則 30

PC 2 ，又由梯形中線定理可知PCQR，即CPR90且_CR為直徑，故 ² ² ² ² 377

QP PR CR CP  2 。

【評析】本題有26人參與徵答，得到7分滿分的有8人，分別是桃園縣大溪國中遊承洋 10103

(4)

同學、新北市文山國中許皓閔同學、桃園市新興國際中小國中部游垚騰同學、

高雄市復華國中張恆瑜同學、新竹市實驗國中陳帝宇同學、新北市永和國中王子杰同學、臺北市師大附中國中鍾尚軒同學、高雄市高師大附中國中林庭風同學，解題過程闡明詳盡，敘事條理分明，值得讚許；得到6分的同學也是非常優秀，但是在計算上或說明上出了小錯或太過簡略，有些可惜!!另外得到4 分的同學在利用AM 3BN或利用直線_AB交圓B於R時，沒有說明原因就直接用，這在計算過程中是很大的疏失。書寫計算與證明題如同寫篇論說文，

敘事必須條理分明，論理必須理由充分，文字必須通順易讀。

在圓周上有12個等分點，以這12個點為頂點，最多可決定幾個梯形？

【簡答】120個梯形

【詳解】∵梯形之上、下底互相平行

∴依平形弦分類，只有下面2種情形：

∴最多可決定6 × [(3+2+2+1) + (4+3+2+2+1)] = 120個梯形。

【解題重點】本題有多種計算方法，譬如：固定1頂點，計算所有可能的梯形個數，再

乘以12；或將梯形各邊對應的弧長，列式求整數解；或將梯形上底的長

分成4種情形，分別計算對應的梯形個數，再求其總和；或利用梯形上下底平行的性質，分成2組平行弦，分別計算對應的梯形個數，再求其總和(如上圖)。

【評析】本次共有26人作答，其中得滿分7分者有17人，名單如下：

桃園市建國國中8年級陳柏宇同學，桃園縣桃園國中8年級陳宗葳同學，

臺北市天母國中8年級葉沛鎧同學，臺北市民生國中8年級蔡宜庭同學，

臺北市民生國中7年級許芸嘉同學，臺北市師大附中國中8年級潘卉盈同學，

新北市蘆洲國中9年級謝耀慶同學，新北市文山國中7年級孫士明同學，

臺北市龍門國中9年級蔡懷琦同學，臺北市敦化國中7年級葉峻豪同學，

臺北市師大附中國中7年級徐嘉宏同學，新竹市實驗國中9年級陳帝宇同學，

桃園縣桃園國中8年級李岳馬同學，桃園縣會稽國中8年級莊宗穎同學，

2 3 2

1 2

2

1 3 4

10104

(5)

桃園市新興國際中小國中部8年級江陸同學，

桃園市新興國際中小國中部8年級許皓誠同學，

高雄市高師大附中國中7年級林庭風同學。

已知 ^{f x}

 

^^ax²^^{bx c}^ ，若對所有^x^

 

^0,1 ^，恆有 ^{f x}

 

^¹，求a  b c 的最大值。

【簡答】17

【詳解】

 

0

1 1 1

2 4 2

1

f c

f a b c

f a b c

 

     

   

   





   

 

2 1 2 0 4 1 2

4 1 1 3 0

2 0

a f f f

b f f f

c f

      

  

    

   

 



，因此

   

¹

   

¹

2 1 2 0 4 2 1 2 0 4 8

2 2

a  f  f  f      f  f  f      。

       

1 1

4 1 3 0 4 1 3 0 8

2 2

b  f     f  f  f      f  f  。

 

⁰ ¹

c  f  。

故 a   b c 17，即最大值為17。

發生最大值時，

 

⁰ ¹

 

¹ ¹

f  f    2  f  。

取^a^⁸^,^b^^⁸^,^c^¹，

 

⁸ ² ⁸ ^{1 8(} ¹⁾² ¹

f x  x  x  x2  時，得 ,

1 2) (1 , 1 ) 1 ( ) 0

(  f  f 

f

此時 ^{f x}

 

^¹，對所有^x^

 

^0,1 ^，^a ^{ }^b ^c ^有最大值^17。

【評析】1.本題主要的想法是找三個特殊點，並利用這幾點表示出^a^,^b^,^c，緊接著就可

以找出^|^a^|,^|^b^|,^|^c^|之範圍。

2.找出a   b c 17，必定要檢查等號是否成立，特別是 ^{f x}

 

^⁸^x²^⁸^x^¹

10105

(6)

是否滿足對所有^x^

 

^0,1 ^，恆有 ^{f x}

 

^¹。

3.本題共有五位同學徵答，其中桃園市新興國際中小國中部游垚騰、臺北市龍門國中蔡懷琦、新北市永和國中王子杰同學得滿分七分；臺北市師大附中潘卉盈同學得五分，可惜未檢查最後等號成立時所得多項式 f x( )是否滿足所有^x^

 

^0,1 ^，恆有 ^{f x}

 

^¹。