高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：94.11.10 班級 普三 班
範
圍 Book3 CH1,2向量
座號
姓 名 一、單選題(每題10分)
1. 設 ，a b 為平面上的二向量，若2a+ 3b = (11，2)，a− 2b= ( − 5，− 6)，則 ．b 的值 = (A) 2 (B) − 2 (C) 1 (D) − 1 (E) 0
a
【解答】(D)
【詳解】
⎩⎨
⎧
−
−
=
−
= +
…
…
…
… ) 6 5 ( 2
) 2 11 ( 3 2
，
， b
a b
a c
d
c × 2 + d × 3 ⇒ (4a+ 6b ) + (3a− 6b ) = (22，4) + ( − 15，− 18) ⇒ 7a= (7，− 14) ⇒ a= (1，− 2)代入d
得(1，− 2) − 2b = ( − 5，− 6) ⇒ 2b = (1，− 2) − ( − 5，− 6) = (6，4) ⇒ b = (3，2) ∴ a．b = (1，− 2)．(3，2) = 3 − 4 = − 1 2. 設一平面上二向量 ，a b ，若 |a| = 3，|b | = 4，|a+b| = 13，則a與 的夾角為
(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 120° (E) 150°
b
【解答】(D)
【詳解】
|a+b |2 = | |a 2 + 2a．b + |b |2 ⇒ ( 13 )2 = 32 + 2a．b+ 42
⇒ 2 ．b = − 12 ⇒ ．b = − 6
∴ |a
a a
|．|b| cosα = − 6 ⇒ 3．4．cosα = − 6 ⇒ cosα = 2
−1
，得α = 120°
3. (複選)五個直線參數式：(A) ，t∈R (B) ，t∈R (C) ，
t∈R (D) ，t∈R (E) ，t∈R中，代表同一條直線的有
⎩⎨
⎧ +
= +
−
= t y
t x
2 2
4 1
⎩⎨
⎧
+
= +
= t y
t x
5 2
3 4
⎩⎨
⎧ ==− + t y
t x 5 2
⎩⎨
⎧ +
=
−
= t y
t x
4 3
6 1
⎩⎨
⎧
−
=
−
= t y
t x
4 4
8
3 。
【解答】(A)(C)(E)
【詳解】將直線消去參數t即可化為一般式
(A) x − 2y = − 5 (B) 5x − 3y = 14 (C) x − 2y = − 5 (D) 2x + 3y = 11 (E) x − 2y = − 5
⇒ 故選(A)(C)(E) 4. 空間一點P(1，− 2，3)
(1) P點到xy平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (2) P點到yz平面的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (3) P點到x軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13 (4) P點到z軸的距離為(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 13
【解答】(1) (C) (2) (A) (3) (E) (4) (D)
【詳解】
P(a，b，c) = P(1，− 2，3)，P到xy平面的距離 = | c | = 3，P到yz平面的距離 = | a | = 1 P到x軸的距離 = b2 +c2 = 4+ =9 13，P到z軸的距離 = a2 +b2 = 1+ =4 5 5. 空間中一點A(1，2，3)，關於平面x − 2y + 3z = 4的對稱點坐標為
第 1 頁
(A) ( 7 18，
7 15，
7
5) (B) ( 7 15，
7 18，
7
5) (C) ( 7 15，
7 5，
7
18) (D) ( 7 5，
7 15，
7 18) (E) (
7 5，
7 18，
7 15)
【解答】(E)
【詳解】
設對稱點A′(a，b，c)，則_____AA\′// E之法向量 ⇒ 1
−1 a =
2 2
−
− b =
3
−3 c 令A′(a，b，c) = (1+ t，2 − 2t，3 + 3t)
則因_____AA\′中點(
2 2+t
， 2 2 4− t
， 2 3 6+ t
)在平面E上
⇒ ( 2
2+t) − 2(
2 2 4− t) + 3(
2 3
6+ t ) − 4 = 0 ⇒ 14t = − 4 ⇒ t = − 7 2
∴ a = 1 − 7 2=
7
5，b = 2 − ( 7
−4
) = 7
18，c = 3 + 3．(
7
−2
) = 7
15，故A(
7 5，
7 18，
7 15) 6. 設相異兩點A，B都在直線L1： 上，也都在直線L
⎩⎨
⎧
= +
− +
=
− +
−
0 14 3 2
0 7 3
z y x
z y x
2： 2
−1 x =
m b y− =
n c z− 上，m，n，b，c ∈ R，則m + n之值為 (A) 5 (B) 6 (C) 11 (D) 16 (E) 17
【解答】(D)
【詳解】
AB= L1 = L2 1
2 1 3 −
3 1
− 2 3
3 1
1 1
−
− ⇒ L1的方向向量為( 2，11，5 )
∴ (2，11，5) = (2，m，n) ⇒ m = 11，n = 5 ⇒ m + n = 16 又 (1，b，c) ∈ L2 ∴ (1，b，c) ∈ L1
∴ 代入 ⇒ b = 2，c = 6
⎩⎨
⎧
= +
− +
=
− +
−
0 14 3 2
0 7 3
c b
c b
7. 包含二平行直線 1
+1 x =
2
−2
y = 3 − z與x = 2
+1
y = 1 − z的平面方程式為
(A) 7x − y + 5z − 6 = 0 (B) 7x + y − 5z + 6 = 0 (C) x + 2y + 3z − 8 = 0 (D) 4x + 4y − 5z − 3 = 0 (E) x + 2y − z − 1 = 0
【解答】(A)
【詳解】
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
= −
= +
−
= −
= − +
1 1 2
1 1
1 3 2
2 1
1
2 1
z y
L x
z y
L x
：
：
L1過點A( − 1，2，3)，L2過點B(0，− 1，1)⇒____\AB=(1,− −3, 2)，方向向量d= (1，2，− 1) AB\
_____
× = (d
1 2
2 3
−
−
− ，
1 1
1 2
−
− ，
2 1
3
1 −
) = (7，− 1，5) 取平面E之法向量n= (7，− 1，5)且E過點A( − 1，2，3)
則E：7(x + 1) − (y − 2) + 5(z − 3) = 0 ⇒ E：7x − y + 5z − 6 = 0
二、填充題(每題10分)
1. 設G為△ABC之重心，GA= 2，GB= 3，GC= 3，則AB= 。
【解答】 17
【詳解】
∵ G為△ABC之重心 ∴ 0
____\ ____\ ____\
= + +GB GC
GA ⇒
⇒ ⇒ + 2 + 2
____\ ____\
____\
GC GB
GA+ =−
\ 2 ____
\ 2
\ ____
____
|
|
|
|GA+GB = −GC |____GA\ |2
____\ ____\
GB
GA． | |
____\
GB = 9
⇒ 22 + 2 · | | cosθ + 3
____\
GA | |
____\
GB 2 = 9（其中θ 為 與 之夾角）
⇒ 2 · 2 · 3 · cosθ = − 4 ⇒ cosθ = −
____\
GA
____\
GB 3
1
又AB2 = AG2 +GB2 −2．AG．GB．cosθ = 22 + 32 − 2 · 2 · 3 · (−
3
1) = 17 ∴ AB= 17
2. 若 | \ | = | | = | − |，則 與 的夾角為
____
AB
____\
BC
____\
AB
____\
BC
____\
AB
____\
AC 。
【解答】30°
【詳解】
(1)由| | = | − |
∴ | |
____\
AB
____\
AB
____\
BC
____\
AB 2 = | − |
____\
AB
____\
BC 2 =| |
____\
AB 2− 2____AB\ ． +|
____\
BC
____\
BC|2
∴ ____AB\ ． \ =
____
BC 2
1 2
BC = 2
1 2
AB
(2) | |
____\
AC 2 = | + |
____\
AB
____\
BC 2 =| |
____\
AB 2+ 2____AB\ ． +|
____\
BC ____\BC|2= 3AB2 (3)____AB\ ． = ．( + ) =
____\
AC
____\
AB
____\
AB
____\
BC AB2+____AB\ ． =
____\
BC 2
3 2
AB
∴
____\ ____\ 2
____\ ____\
3 cos 2
| || | 3 AB AC AB
AB A
AB AC
θ = ⋅ =
× B = 2
3 ∴ θ = 30°
3. 設 |a| = 2，|b | = 3，|c| = 4且2a+ 3b− 4c=0，則a．b = 。
【解答】 4 53
【詳解】
2a+ 3b− 4c=0 ⇒ 2a+ 3b = 4c ⇒ | 2a+ 3b |2 = | 4c|2
⇒ 4 |a|2 + 12a．b+ 9 |b |2 = 16 |c|2 又|a| = 2，|b| = 3，|c| = 4
⇒ 16 + 12a．b + 81 = 256 ⇒ a．b= 4 53
第 3 頁
4. 在△ABC中，若AB= 6，BC= 7，CA= 5，求____AB\ ． 之值 =
____\
BC 。
【解答】− 30
【詳解】 ____AB\． \ =
____
BC
2 2
____\ ____\
2
BA BC AC2
BA BC + −
− ⋅ = − = − 30
5. |b | = 2 | |，若(a a+b ) ⊥ (5a− 2b )，則a與b 之夾角為 。
【解答】3 π
【詳解】
∵ (a+b ) ⊥ (5a− 2b ) ∴ (a+b)．(5a− 2b) = 0
⇒ 5 |a|2 + 3a．b− 2 |b |2 = 0……c，設 |b | = 2 |a|=2k代入c
⇒ 5 k2 + 3a．b− 2．(4k2 ) = 0 ⇒ a．b= k2 cosθ =
|
|
|
|a b b a． = 2
2 k k k． =
2
1 ∴ θ = 3 π
6. (1)△ABC之三邊，a =BC= 3，b =CA= 5，c =AB= 7，
c G為△ABC之重心 ⇒ ____AG\ = \
_____
AB + _____AC\ 。 d I為△ABC之內心 ⇒ ____AI\= ____AB\+ _____AC\ 。
(2)承(1)題，H為△ABC之垂心 ⇒ AH____\ = ____AB\+ ____AC\ 。 (3)承(1)題，T為△ABC之外心 ⇒ ____AT\ = ____AB\+ ____AC\ 。
【解答】
(1)c____AG\ = 3 1 ____\
AB+ 3 1 _____\
AC d____AI\= 3 1 ____\
AB+ _____\ 15
7 AC
(2)
____\
AH= 9
−13 ____\
AB+ _____\
45
143 AC (3)
____\
AT = 9 11 ____\
AB+ ( 45
−49 )
_____\
AC
【詳解】
(1)c對於任意三角形ABC，G為△ABC之重心 ⇒ ____AG\ =
3 1 ____\
AB+ 3 1 _____\
AC d△ABC之三邊a = 3，b = 5，c = 7
I為內心 ⇒ ____AI\=
c b a
b + +
____\
AB+
c b a
c + +
_____\
AC = 3 1 ____\
AB+ _____\ 15
7 AC (2)c a = 3，b = 5，c = 7，由餘弦定理
cosA =
14 13 7
5 2
9 49 25 2
2 2 2
− =
= +
− +
．
． bc
a c
b ⇒ sinA =
14 3
3 ⇒ tanA =
13 3 3
cosB =
14 11 3
7 2
25 9 49 2
2 2 2
− =
= +
− +
．
． ca
b a
c ⇒ sinB =
14 3
5 ⇒ tanB =
11 3 5
cosC =
2 1 5
3 2
49 25 9 2
2 2
2 + − = + − = −
．
． ab
c b
a ⇒ sinC =
2
3 ⇒ tanC = − 3 d tanA：tanB：tanC = 3 × 11：5 × 13：(− 143) = 33：65：(− 143)
H為△ABC之垂心 ⇒ (tanA)____HA\+ (tanB)
____\
HB+ (tanC)HC____\ =0
⇒ AH____\ =
C B
A
B tan tan
tan
tan + +
____\
AB+
C B
A
C tan tan
tan
tan + +
_____\
AC
= (33 65 143 65
−
+ )
____\
AB+ (
143 65 33
143
− +
− )____AC\ = ( 45 65
− )____AB\+ ( 45 143
−
− )____AC\ = 9
−13 ____\
AB+ _____\
45 143 AC (3)承(1)題sin2A：sin2B：sin2C = 13 × 3：11 × 5：( − 7) × 7 = 39：55：(− 49)
T為△ABC之外心 ⇒ (sin2A) + (sin2B) + (sin2C) =0
⇒
____\
TA
____\
TB
____\
TC
____\
AT=
C B
A
B 2 sin 2 sin 2 sin
2 sin
+ +
____\
AB+
C B
A
C 2 sin 2 sin 2 sin
2 sin
+ +
____\
AC
=
49 55 39
55
− +
____\
AB+ (
49 45 39
49
− +
− )_____AC\=
____\
9
11AB+ ( 45
−49 )
____\
AC
7. △ABC中，若(____BC\． )：( ． )：( ． ) = 1：2：3，則三邊長的比為
____\
CA
____\
CA
____\
AB \
____
AB \
____
BC AB：BC：CA= 。
【解答】 5：2： 3
____\
設 ． = k，CA． = 2k， ． = 3k，由 + + =0
⇒ ．( + + ) = 0 ⇒
____\
BC \
____
CA
____\
AB
____\
AB \
____
BC
____\
AB \
____
BC \
____
CA
____\
AB
____\
AB
____\
BC
____\
CA AB2+ 3k + 2k = 0 ⇒ AB2= − 5k，且k < 0 同理BC2= − 4k，CA2= − 3k
∴ AB：BC：CA= 5 −k： 4 −k ： 3 −k = 5：2： 3
8. △ABC中，D為BC中點， E ∈AC且AE：EC= 1：3，AD交BE於點P， 若____CP\= x + y ，則數對(x，y) =
____\
CA
____\
CB 。
【解答】(
5 3，
5 1)
(1)由____CP\= x + y = x(
____\
CA
____\
CB 3 4 ____\
CE) + y____CB\ ∵ E，P，B共線 ∴ 3
4x + y = 1
(2)由 = x + y = x + y (2 ) ∵ A，P，D共線 ∴ x + 2y = 1 (3)由(1)，(2)得x =
____\
CP
____\
CA
____\
CB
____\
CA
____\
CD 5
3，y = 5 1
9. △ABC中，AB= 2，AC= 1，∠CAB = 3
π ，且 \
____
AP= α + β ，− 1 ≤ α ≤ 2，0 ≤ β ≤ 3，
求P點所在區域面積為
____\
AB
____\
AC 。
【解答】9 3
【詳解】
△ABC = 2
1．AB．AC．sin 3 π =
2
1．2．1．
2 3=
2 3
所求之面積 = [2 − (− 1)]．(3 − 0)．(2△ABC) = 3 × 3 × 2 × 2
3 = 9 3
10.A，B，C三點，|____AB\| = 2，| | = 3，若| + | = 4，求△ABC的面積
____\
AC
____\
AB
____\
AC 。
第 5 頁
【解答】 4 15 3
【詳解】
| \ + |
____
AB \
____
AC 2 = | \ |
____
AB 2 + | \ |
____
AC 2 + 2 ．
⇒ 4
____\
AB \
____
AC
2 = 22 + 32 + 2____AB\． \ ⇒ ． =
____
AC \
____
AB \
____
AC 2 3
△ABC面積 = 2
1 ____\ ____\ 2
\ 2 ____
\ 2 ____
) (
|
|
|
| AB AC − AB．AC = 2
1 2
2) (3 9
4× − =
4 15 3
11.設有一線段AB，其參數方程式為 ，θ ∈ R，則此線段AB之長度 =
⎩⎨
⎧
−
= +
=
θ θ
2 2
sin 4 1
cos 3 2 y
x
。
【解答】5
【詳解】
，消去θ ⇒ 4x − 3y = 5 + 12(cos
⎩⎨
⎧
−
= +
=
θ θ
2 2
sin 4 1
cos 3 2 y
x 2
θ + sin2θ) = 5 + 12 = 17
⇒ 表一直線4x − 3y = 17
θ ∈ R ⇒ 0 ≤ cos2θ ≤ 1 ⇒ 2 ≤ x ≤ 5
x = 2 ⇒ y = − 3 ⇒ 設A(2，− 3)；x = 5 ⇒ y = 1 ⇒ 且設B(5，1)
⇒ AB= 9+16= 5
12.設2x2 + xy + ky2 + 3x − 3y − 2 = 0，k ∈ R，表相交之二直線，則k = ，又若θ 為 此二直線的交角，則sinθ = 。
【解答】− 1，
10 3
【詳解】
2x2 + xy + ky2 + 3x − 3y − 2 = 0，表相交之二直線
⇒ 2x2 + xy + ky2 + 3x − 3y − 2 = (x + ay + 2)(2x + by − 1) 比較係數 ⇒ ，解得a = 1，b = − 1，k = − 1 此二直線為x + y + 2 = 0，2x − y − 1 = 0
θ 為其交角 ⇒ cosθ = ±
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
− =
= +
3 2
1 2
b a
k ab
b a
5 2
1
． = ± 10
1 ⇒ sinθ = 10 3
13.一直線L通過L1：2x − 3y + 5 = 0及L2：4x − y − 5 = 0之交點且到點(2，4)之距離為1，則L 之方程式為 。
【解答】y − 3 = 0
【詳解】
設所求直線為(2x − 3y + 5) + k(4x − y − 5) = 0，k ∈ R
⇒ (4k + 2)x − (k + 3)y + 5 − 5k = 0……L 由P(2，4)且d(P；L) = 1 ⇒
2
2 ( 3)
) 2 4 (
| 5 5 ) 3 ( 4 ) 2 4 ( 2
|
+ + +
− + +
− +
k k
k k
k = 1
⇒ 17k2 + 22k + 13 = k2 + 6k + 9 ⇒ k = − 2 1
∴ 所求直線為2(2x − 3y + 5) − (4x − y − 5) = 0 ⇒ y − 3 = 0
14.設A(1，2)，B( − 3，4)，P(x，y)是直線L：x + y − 5 = 0上之任意點，則 ． 之最小
值 =
____\
PA
____\
PB 。
【解答】−
2 1
【詳解】
P(x，y) ∈ L：x + y − 5 = 0 ⇒ 可令x = t，y = 5 − t，t ∈ R
⇒ = (1 − t，2 − 5 + t) = (1 − t，t − 3)， = ( − 3 − t，4 − 5 + t) = ( − 3 − t，t − 1)
⇒ ． = (1 − t)( − 3 − t) + (t − 3)(t − 1) = 2t
____\
PA
____\
PB
____\
PA
____\
PB 2 − 2t = 2(t −
2 1)2 −
2 1
∴ 當t = 2
1時，____PA\． 有最小值 = −
____\
PB 2
1
15.L1：3x + 4y = 7，L2：4x + 3y + 2 = 0，則L1與L2的銳夾角平分線方程式為 。
【解答】7x + 7y = 5
【詳解】
由圖形L1及L2之銳夾角平分線 1過L1及L2之異號區
2
2 4
3
| 7 4 3
|
+
− + y
x =
2
2 3
4
| 2 3 4
|
+ + + y
x ⇒ (3x + 4y − 7) = − (4x + 3y + 2)， 1：7x + 7y = 5
16.△ABC中， \= (4，− 3)， = (5，12)，則△ABC的周長為
____
AB \
____
AC 。面積為 。
【解答】18 + 226
【詳解】
____\ ____\ ____\
BC=AC−AB= (5，12) − (4，−3) = (1，15)
∴ △ABC的周長為AB+BC+CA= 5 + 226+ 13 = 18 + 226
△ABC的面積為1 4 3 1
| | | 48 ( 15) |
2 5 12 2
− = − − =63 2
17.設i = (1，0，0)， j= (0，1，0)，k = (0，0，1)且a=2i − j+2k，b =i − j，c =a+tb
（t ∈ R），(1)若a⊥c，則t = 。 (2)若(2a−b) //c，則t = 。 (3)當 |c| 有最小值時，t = 。
【解答】(1) − 3 (2) 2
−1 (3) 2
−3
【詳解】
= (2，− 1，2)， = (1，− 1，0)，
a b c =a+tb= (2 + t，− 1 − t，2) (1)a⊥c ⇒ a．c= 0 ⇒ (2，− 1，2)．(2 + t，− 1 − t，2) = 0
第 7 頁
⇒ 2(2 + t) − (− 1 − t) + 4 = 0 ⇒ 9 + 3t = 0 ∴ t = − 3
(2)∵ 2 = 2(2，− 1，2) − (1，− 1，0) = (4，− 2，4) − ( 1 − 1，0) = (3，− 1，4) = (2 + t，− 1 − t，2) ∴ (2
b a−
b t a
c = + a−b) //c ⇒
2 1 4
2 1 1 3
2 = ⇒ =−
−
−
=−
+t t t
(3)∵ |c| = (2+t)2+(−1−t)2 +4 = 2t2+6t+9=
2 ) 9 2 ( 3 2 2 9
) 9 2 ( 3
2 t + 2 − + = t+ 2 +
∴ 當t = − 2
3時，| | =c
2 2 3 2 3 2
9 = = 為最小值
18.兩歪斜線L1：
2 +5 x =
1 5
−
− y =
3 +6
z 與L2： 1
−1 x =
2 +7 y =
1 3
−
−
z 之最短距離為m，公垂線方程 式為 1
h x− =
6
−2 y =
c k
z− ，則(1) m = 。 (2) h + k + b + c = 。
【解答】(1) 3 3 (2) 2
【詳解】
設公垂線與L1及L2分別交於P，Q兩點
則P( − 5 + 2t，5 − t，− 6 + 3t)，Q(1 + s，− 7 + 2s，3 − s) 而PQ = (6 + s − 2t，− 12 + 2s + t，9 − s − 3t)與L
_____\
1及L2之方向向量 = (2，− 1，3)及
= (1，2，− 1)均垂直
⇒ ⇒ ，即
則m =
1 ___\
d
2 ___\
d
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
= 0 0
2 ___\ _____\
1 ___\ _____\
d PQ
d PQ
．
．
⎩⎨
⎧
= + +
−
=
−
−
0 3 6 27
0 14 3 51
t s
t s
⎩⎨
⎧
=
= 3 3 s t
⎩⎨
⎧
−1 0) 4
(
) 3 2 1 (
，
，
，
， Q P
PQ= 9+9+9= 3 3，公垂線PQ： 1
−1 x =
1 2
−
− y =
1 3
−
− z
⇒ h = 1，k = 3，b = − 1，c = − 1，即h + k + b + c = 2
19.有一向量 ，其終點B坐標為(7，6，− 5)， 與x軸，y軸，z軸正向的夾角分別為45°，
60°，γ （其中90° < γ < 180°），若 | | = 9，則 始點A的坐標為
____\
AB
____\
AB
____\
AB
____\
AB 。
【解答】(7 −
2 1 2 3 2
9 ， ，− )
【詳解】
設 的始點A(x，y，z)，則 = (7 − x，6 − y，− 5 − z)
∵| | = 9且方向角為45°，60°，γ⇒cos
____\
AB \
____
AB
____\
AB 245° + cos260° + cos2γ = 1⇒cos2γ =
2
−1（∵90° < γ
< 180°）
∴ ____AB\ = (| \| cos45°，| | cos60°，| | cosγ) = (
____
AB \
____
AB \
____
AB 9
2 ，9 2， 9
−2) 故7 − x = 9
2 ，6 − y = 9
2，− 5 − z = 9
−2
∴ x = 7 − 2
9 ，y = 6 − 2 3 2
9 = ，z = − 5 + 2 9= −
2
1，故A的坐標為(7 −
2 1 2 3 2
9 ， ，− ) 20.包含二平行直線
2 +1 x =
1
−1 y =
1 2
− +
z 及
2 x=
1 +1 y =
1 1
−
−
z 之平面方程式為 。
【解答】x − 7y − 5z = 2
【詳解】
設P x y z( , , ), A( 1,1, 2), (0, 1,1)− − B − AP\
_____
= (x + 1，y − 1，z + 2)，_____AB\ = (1，− 2，3)及方向向量d= (2，1，− 1)共平面
故平行六面體體積為0 ⇒ |
1 1
2
3 2 1
2 1
1
−
−
+
−
+ y z
x
| = 0 得平面方程式為x − 7y − 5z = 2
21.空間二直線L：x − 3 = 1 − y = z − 1，M：x − 1 = a(y + 1) = z + b，若L // M且L與M的距離為 2 2，則序對(a，b) = 。
【解答】( − 1，− 1)
【詳解】
L：x − 3 = 1
1
−
−
y = z − 1，M：x − 1 = a y
1 +1
= z + b
(1) L // M ⇒ a
1= − 1 ⇒ a = − 1
(2) L上取一點A(3，1，1)，M上取一點B(1，− 1，− b)，L與M的距離即A點到M的距離
____\
BA= (2，2，1 + b)，L之方向向量v= (1，− 1，1)
d(L，M) = d(A，M) =
|
|
|
| \
____
v BA×v
=
3
1 1
2 2 1 1
2 1
1 1
1
2 2 2 2
+ − + +
−
+b b
=
3
) 2 1
( ) 1 2 ( ) 4
(− 2+ + +b 2+ +b− 2
=
3 26 4
2b2 + b+ = 2 2
∴ 2b2 + 4b + 26 = 24 ⇒ b = − 1
22.在空間中，A(2，1，− 4)，B(− 4，1，5)，平面E：x + y + z = 5，動點P在平面E上，求PA+PB 的最小值為 。
141
【解答】
【詳解】
設A點對於平面E：x + y + z = 5之對稱點為A′，則AA′⊥E ⇒ AA′//(1，1，1)
第 9 頁
∴ 直線AA′之方程式為 1
−2 x =
1
−1 y =
1 +4 z
令A′(2 + t，1 + t，− 4 + t)，則AA′的中點M(
2 4+t
， 2 2+t
， 2 8+t
− )在平面E上
⇒ 2 4+t +
2 2+t +
2 8+t
− = 5 ⇒ t = 4
故A′的坐標為(6，5，0)，則PA+PB的最小值 =A′B = 100+16+25= 141
23.A(4，3，1)，L： ，則含A與L的平面方程式為
⎩⎨
⎧
=
−
= +
− 0
0 3 2 z x
y
x 。
【解答】2x − 6y + z + 9 = 0
【詳解】
設所求平面為x − 2y + 3 + k(x − z) = 0，k ∈ R
∵ 過A(4，3，1) ⇒ 4 − 6 + 3 + k(4 − 1) = 0 ⇒ k = − 3 1
E：3(x − 2y + 3) − (x − z) = 0 ⇒ 2x − 6y + z + 9 = 0
24.平面E包含兩平面2x + y − 4 = 0及y + 2z = 0之交線，且垂直平面3x + 2y − 3z − 6 = 0，則 E之方程式為 。
【解答】2x + 3y + 4z − 4 = 0
【詳解】
設E：(2x + y − 4) + k(y + 2z) = 0……c
⇒ E：2x + (k + 1)y + 2kz − 4 = 0，法向量n= (2，k + 1，2k) 而E′：3x + 2y − 3z − 6 = 0之法向量 = (3，2，− 3)
∵ E ⊥ E′ ∴ ． = 6 + 2k + 2 − 6k = 0 ⇒ k = 2代入c
⇒ E：2x + 3y + 4z − 4 = 0
___\
n′
n
___\
n′
25.空間中，設A(3，1，− 2)，B(2，7，0)，C(− 4，− 1，1)，
(1)△ABC之重心坐標為 。 (2)內積 \
____
AB．____AC\ = 。
(3)外積 \
____
AB×____AC\ = 。 (4)△ABC的面積為 。
(5)線段AB的垂直平分面方程式為 。
(6)通過A，B，C三點的平面方程式為 。 (7)____AC\ 在 的正射影為
____\
AB 。
(8) t∈R，則 | t \ + | 的最小值為
____
AB \
____
AC 。
【解答】(1) ) 3 1 3 7 3
(1， ，− (2) 1 (3) (22，− 11，44) (4) 21 2
11 (5) 2x − 12y − 4z + 39 = 0 (6) 2x − y + 4z + 3 = 0
【詳解】
(1) \
\ ____
\ ____
\ ____
____
3 1 3
1 3
1OA OB OC
OG= + + =
3
1[(3，1，− 2) + (2，7，0) + ( − 4，− 1，1)] = )
3 1 3 7 3
(1， ，−
故△ABC之重心坐標為 )
3 1 3 7 3
(1， ，−
(2)
____\
AB= ( − 1，6，2)，____AC\ = (− 7，− 2，3)， = (− 6，− 8，1)
____\
BC
____\
AB．____AC\ = |
____\
AB|．|____AC\ | cos∠BAC =
|
|
|
| 2
|
|
|
|
|
| |
|
|
| ____\ ____\
\ 2 ____
\ 2 ____
\ 2 ____
____\ ____\
AC AB
BC AC
AC AB AB
．
．
． + −
=
2
|
|
|
|
|
| \ 2
____
\ 2 ____
\ 2 ____
BC AC
AB + − =
2 101 62
41+ − = 1 (3)____AB\ ×____AC\ = (22，− 11，44)
6 2 − 1 6
− 2 3 − 7 − 2
22 − 11 44
(4)△ABC = |____\ |2 |____\ |2 (____\ ____\)2 2
1 AB ． AC − AB．AC =
2 21 1 11
62 2 41
1 ． − =
(5)線段AB的垂直平分面π之法向量為 = ( − 1，6，2) ∴ 設π：− x + 6y + 2z = k
____\
AB
AB之中點M(
2
5，4，− 1)在平面π上 ⇒ k = − 2
5+ 6．4 + 2( − 1) = 2 39
∴ π：2x − 12y − 4z + 39 = 0
(6)通過A，B，C三點的平面δ 之法向量為 × = (22，− 11，44)
∴ 設
____\
AB
____\
AC δ ：2x − y + 4z = k
B點在平面δ 上 ⇒ k = 2．2 − 7 + 4．0 = − 3 ∴ δ ：2x − y + 4z + 3 = 0 (7)正射影 = (
\ 2 ____
____\ ____\
|
|AB AB AC．
)．____AB\= 1
2542 ( − 1，6，2) = ( 1 2542
− ， 6
2542 ， 2
2542 )
(8) | t + |
____\
AB
____\
AC 2 = | t ( − 1，6，2) + (− 7，− 2，3)|2
= |(− t − 7，6t − 2，2t + 3)|2 = (− t − 7)2 + (6t − 2)2 +(2t + 3)2 = 41t2 + 2t + 62 = 41(t + 1
41)2 +62 − 41 ×( 1)2
41 = 41(t + 1
41)2 + 2541 41
∴ 當t = − 5
2時，| t \+ | 有最小值
____
AB \
____
AC 2541
41 26.設過點A(1，0，0)，B(0，0，
3
1)的平面E與平面F：x + z =
2
1的銳夾角為45°，則E的方程 式為 。
【解答】x± 6y + 3z = 1
【詳解】
∵ 平面E過點A(1，0，0)，B(0，0，
3
1) ∴ E的x截距為1，y截距為
3 1
設E： 1
1 1 3
x y z
+ +b = ∴ E的法線向量為___n1\ = (1，
b 1，3) 而F：x + z =
2
1的法線向量為 = (1，0，1)
cos45° =
___\
n2
|
|
|
|
|
|
___\ 2 ___\
1 ___\
2 ___\
1
n n
n n
．
． ⇒
1 2 10
4 2
1
2．
+b
= ⇒ b2 =
6
1 ⇒ b = 6
± 1
∴ E：x± 6y + 3z = 1
第 11 頁
27.過點(1，− 1，5)且平行於直線 之直線方程式為
⎩⎨
⎧
=
− + +
= + +
−
0 4 2
0 2 3
z y x
z y
x 。
【解答】 3 1
−
− x =
2 1
− + y =
7
−5 z
【詳解】
直線L： ⇒
方向向量 = × = (
⎩⎨
⎧
=
− + +
= + +
−
0 4 2
0 2 3
z y x
z y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−
=
) 1 2 1 (
) 1 1 3 (
2 ___\ 1 ___\
，
，
，
， n
n
d 1
___\
n 2
___\
n 2 1
1
−1
， 1 1 3
1 ，
2 1
1
3 −
) = ( − 3，− 2，7) 所求直線方程式為
3 1
−
− x =
2 1
− + y =
7
−5 z
28.平面E1：x + 2y − 3z + 2 = 0，E2：3x − 2y + z + 5 = 0相交於直線L，任取L上兩相異點P，
Q，若點A( − 3，1，0)，則平面APQ的方程式為 。
【解答】9x + 10y − 17z + 17 = 0
【詳解】
點P，Q在平面APQ上 ⇒ L在平面APQ上
而L為平面E1：x + 2y − 3z + 2 = 0，E2：3x − 2y + z + 5 = 0的交線，而A ∉ E1
∴ 可設平面APQ的方程式為1．(3x − 2y + z + 5) + t(x + 2y − 3z + 2) = 0
∵ 過點A( − 3，1，0) ∴ t = 6
∴ 平面APQ：(3x − 2y + z + 5) + 6(x + 2y − 3z + 2) = 0
⇒ 平面APQ：9x + 10y − 17z + 17 = 0
29.空間中一向量a與x軸，y軸，z軸正向之夾角依次為α，β，γ（α，β，γ 均非象限角），
求 2α 2 β sin2γ 9 sin
4 sin
1 + + 的最小值。
【解答】18
【詳解】
由柯西不等式知 ) ]
sin ( 3 sin )
( 2 sin )
[( 1 2 2 2
γ β
α + + (sin sin sin )
2 2
2α + β + γ
≥ sin )2
sin sin 3
sin sin 2
sin
( 1 γ
β γ α β
α ⋅ + ⋅ + ⋅
) sin sin
)(sin sin
9 sin
4 sin
( 12 2 2 2α 2β 2γ
γ β
α + + + +
⇒ ≥(1+ 2+ 3)2
∵ sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ∴ 2 ) 36 sin
9 sin
4 sin
( 12 + 2 + 2 ≥
γ β
α sin 18
9 sin
4 sin
1
2 2
2 + + ≥
⇒ α β γ ∴
γ β
α 2 2
2 sin
9 sin
4 sin
1 + + 的最小值 = 18 30.設A(− 2，1，5)，B(1，1，2)，而點P在直線L：x − 3 =
2
−1
y = z − 2上移動，求△PAB 面積的最小值及此時點P之坐標。
【解答】 6，(
3 8，
3 1，
3 5)
【詳解】
取P(t + 3，2t + 1，t + 2) ∴ ____AB\= (3，0，− 3)，
____\
AP= (t + 5，2t，t − 3)
∴ △PAB面積 = 2
1 2 2 _____\ _____\ 2
) ( AB AP AP
AB ． − ． =
2
1 12(9t2 +6t+3)
= 3． ) 2 3 ( 1
9 t+ 2 + ≥ 3． 2= 6
∴ △PAB面積的最小值為 6，此時t = − 3
1 ⇒ P(
3 8，
3 1，
3 5)
第 13 頁
