答案：1 解析 f a( ) α=a 根 ∴1< < ⇒ =α 2 n 1

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：97.10.02 班級 三年 班

範 圍

Book1

3多項式(1) 座號

姓 名 一、選擇題 (每題 5 分)

1、( A ) 若多項式 f x( )除以x²−5x−6得餘式2x−3,則下列何者恆成立？

(A) f( 1)− = −5 (B) f(1)= −1 (C) f(2)=1 (D) (3)f =3 (E) f(6)=8 解析： f x( )=(x−6)(x+1) ( ) 2Q x + x−3，∴ f( 1)− = −5, f(6)=9可確定

2、( B ) 設m∈\，若二次函數y=mx²+10x+ +m 6的圖形在直線y=2的上方，則m的範圍為 何？ (A)m>0 (B)m> − +2 29 (C) 0< < − +m 2 29 (D) 2− − 29< < − +m 2 29 (E)m> − +2 29或m< − −2 29

解析：∵y=mx²+10x+(m+6)的圖形恆在y=2的上方⇒mx²+10x+(m+6)>2 恆成立

∴

2 10 ( 4) 0,

mx + x+ m+ > ∀ ∈x \ ⇒ 0 ₂ 0

10 4 ( 4) 0 2 29 2 2

m m

D m m m m

> ⎧ >

⎧ ⇒⎪

⎨ ⎨

= − + < ⎪ > − + < − −

⎩ ⎩ 或 9

∴m> − +2 29

3、( E ) 若 f x( )=x³−2x²− +x 5，則多項式g x( )= f f x( ( ))除以(x−2)所得的餘式為 (A)3 (B)5 (C)7 (D)9 (E)11

解析：由餘式定理知g x( )除以(x−2)所得之餘式為g(2)，

3 2 3 2

(2) ( (2)) (2 2 2 2 5) (3) 3 2 3 3 5 11

g = f f = f − ⋅ − + = f = − ⋅ − + =

4、( B ) 設 f x( )=6x³+ax²+bx+3則下列何者一定不是 f x( )=0之根？

(A)−3 (B) 2

−3 (C)1

6 (D)1 3 (E)3

2

解析：由牛頓定理知，若有有理根，則必為 1 3 1 1, 3, , , ,

2 2 3

1

± ± ± ± ± ±6，故(B)不發生

5、( D ) 解不等式 則其解為 (A)所有實數 (B)

(C)

3 3 2

(x +1)(x −1)(x − >1) 0 x>1 或x<−1 1 x 1

− < < (D)x≠1 且x≠−1 (E)無解 解析：(x+1) (² x−1) (² x²+ +x 1)(x²− + >x 1) 0 但 x²+ + >x 1 0恆成立

2 2 2 2

1 0 ( 1) ( 1) 0, ( 1) 0

x − + >x 恆成立 ⇒ x+ x− > 　x+ > ⇒ ≠ −x 1 (x−1)2 > ⇒ ≠ ⇒ ≠0 x 1 x 1　且x≠ −1

6、( B ) 設 f x( )為二次函數，且不等式 f x( )>0之解為− < <2 x 4，則 之解為何？

(A) (B) 或 (C)

(2 ) 0 f x <

1 x 2

− < < x< −1 x>2 x< −2或x>4 (D)− < <4 x 8 (E)x< −4或x>8 解析：∵ f x( )>0之解為− < <2 x 4，∴ f(2 )x <0之解為2x< −2或2x> ⇒ >4 x 2或x< −1

7、( E ) 設 ]，若 恰有四個相異的整數根，則其整數根不可能為

(A) (B)1 (C)2 (D) , ,

a b c∈ x⁴+ax³+bx²+cx− =8 0

−1 −4 (E)8

解析：∵a b c, , ∈]，方程式恰有四個相異整數根，由牛頓定理知其整數可能為±1, 2, 4, 8± ± ± ， 但±8(不合)，故其整數根可能為1, 1, − 2, 4 或1, 1, 2, 4− − − 。

8、( B ) 若x⁴+ax²+bx c+ 除以(x+1)(x+2)(x−3)的餘式為x²− +x 5，求 ？ (A)8 (B)−8 (C)4 (D)−4 (E)0

a b c+ + =

第 1 頁

a b c

解析：∵ , ∴

( 1) 7 1 6

( 2) 11 16 4 2 7

(3) 11 81 9 3 5

f a b c

f a b c

f a b c

− = = + − + = −

⎧ ⎧

⎪ − = = + − + ⇒⎪ = −

⎨ ⎨

⎪ = = + + + ⎪ =

⎩ ⎩

6 7 5 8

a b c+ + = − − + = − 。

9、( D ) 解不等式(x−1)(x−2) (² x−3)³ ≥0之解為 (A)x≥3 或 2≥x≥1 (B)x≥3 1或x≤ (C)1≤ ≤x 3 (D)x≥3 2 1或x= 或x≤ (E)3≥ ≥x 2 或x≤1

解析：(x−1)(x−2) (² x−3)³≥0⇒(x−1)(x− ≥3) 0且x=2⇒ ≥x 3 或x=2或x≤1 10、( C ) 設α β γ, , 為x³+x²−4x+ =5 0的三根，則以下何者錯誤？ (A)α β γ+ + = −1

(B)αβ βγ γα+ + = −4 (C)αβγ =5 (D)α²+β²+γ² =9 (E)α³+β³+γ³ = −28 解析：由根與係數知 1, α β γ+ + = − αβ βγ γα+ + = −4, αβγ = −5

∴

∴

2 2 2 2

( ) 2( )

α +β +γ = α β γ+ + − αβ βγ γα+ + =9

3 3 3 2 2 2

3 ( )( )

+ + − = + + + + − − − ⇒

α β γ αβγ α β γ α β γ αβ βγ γα α³+β³+γ³ = −28 11、( A ) 對於任意實數x，

2 2

2 3

2 3 1 x kx k

x x

+ + >

+ + 恆成立，則k之值不可以為下列何數？

(A)15 (B)12 (C)9 (D)6 (E)3 解析：∵x²+2x+ >3 0 恆成立 (D= − × = − <4 4 3 8 0)

2 2

2x +kx+3k>x +2x+3

∴ 恆成立

2 ( 2) (3 3) 0

x + −k x+ k− >

∴ 恆成立

2 2

( 2) 4 3 ( 1) 0 16 16

D= k− − × × − < ⇒k k − k+ <

∴ 0

8 4 3− < < +k 8 4 3 ∴k =15 (不合) 二、填充題 (每題 10 分)

1、設 f x( )=x²+2ax+5a+3，圖形恆與y= −3不相交則實數a的範圍為_______。

答案：− < <1 a 6

解析：x²+2ax+5a+ > −3 3 恆成立 ∴D=4a²−4(5a+ <6) 0 即a²−5a− <6 0 ,(a−6)(a+ <1) 0 ⇒ − < <1 a 6

2、f (x)為一個三次多項式，若 f( 2)− =9, ( 1)f − = −1, f(0)= −9, f(1)= −3，則f (x) = ______。

答案：2x³+7x²−3x−9

解析： (0)f = − ⇒9 設 f x( )=ax x( +1)(x+ +2) b x( +1)x cx+ −9 ( 1) 1 9 8

f − = − = − −c = −

∵ ∴c

b a

9 ( 2) 9 2 16 9 1

f − = = b+ − =

∵ ∴

(1) 3 6 2 8 9 2

f = − = a+ − − =

∵ ∴

( ) 2 ( 1)( 2) ( 1) 8 9 f x = x x+ x+ +x x+ − x−

∴ =2x³+7x²−3x−

3、設a∈\，若ax²+ −(a 1)x+ − >(a 1) 0對所有實數x均成立，則a之範圍為__________。

答案：a>1 解析： ⁰ ₂

( 1) 4 ( 1) 0

0

( 1)(3 1) 0 a

a a

⎧ >

⇒ ⎨⎩ − + >

a

a a a

⎧ >

⎨ − − − <

⎩

0 1 1

3 a

a a

⎧ >

⇒ ⎨⎪

> < −

⎪⎩ 或

故a之範圍為a>1。

4、設α∈\,n∈`，若α³+ − =α 3 0且n< < +α n 1，則n=______。

答案：1 解析：

1 0 1 3+ + − f a( ) α=a 1 0 1 3+ + − −3 0 1 1 2 1+ + − −1 1

1 2 5 7+ + + +7 ^{2 根}

∴1< < ⇒ =α 2 n 1。

5、設a b, ∈\，且1+i為 f x( )=x³+ax b+ =0之一根，求數對( , )a b =_________，另二根為_______。 答案：( 2, 4)− ; −2,1−i

解析： f x( )∈R x[ ]⇒1+i為 f x( )=0之一根，則1−i必為 f x( )=0之另一根

∴令x= + ⇒1 i (x−1)² =i², ∴x²−2x+ = ⇒2 0 x²−2x+2 | ( )f x 1 + 0 + a + b

+ 2 + 4

−2 − 4 +2−2 1+ 2 +(a +2) +(b − 4)

∴ 2 0, ∴ ， 4 0

a b

⎧ + =

⎨ − =

⎩

2 4 a b

⎧ = −

⎨ =⎩ ( , )a b = −( 2, 4),f x( )=(x+2)(x²−2x+2)=0，∴x= −2或1±i。

6、解不等式 3

1 1

x x

− < − <

+ 2

−

則解為_______。

答案：x>1 或x< 5

解析：

3 3 ( 3) ( 1)

1 1 0

3 1 1 1

1 2

3 3 ( 3) 2(

1 2 2 0

1 1 1

x x x x

x x x x

x x x x

x

x x x

− − − + +

⎧ ⎧ ⎧

0 1) 0

− < + >

⎪ ⎪ ⎪

− ⎪ + ⎪ + ⎪ +

− < + < ⇒⎨⎪⎪⎩ −+ < ⇒⎨⎪⎪⎩ −+ − < ⇒⎨⎪⎪⎩ − −+ +

>

<

2( 1)

0 ( 1)( 1) 0

1

( 5) ( 5)( 1) 0

1 1

5 1

x or x x or x 1 0

x

x x

x

x x x

x

⎧ − >

⎪ ⎧ − + >

⎪ +

⇒⎨⎪⎪⎩− ++ < ⇒⎨⎩ + + >

< − >

⇒ ⎨⎧⎩ < − > − ^{⇒∴x>1 或 x< −5}

7、 f x( )=x⁵−3x⁴−7x³−17x²−880x−220,則 f(7)=______。

答案：−10

解析： f(7)= f x( ) (÷ −x 7)的餘式 1− 3 − 7 − 17 − 880 −220 7

+ 7 + 28 + 147 + 910 + 210 1+ 4 + 21 + 130 + 30 − 10

第 3 頁

8、

(1)解方程式f(x) = 0。_______________，(2)解不等式f(x) < 0。_______________

4 3 2

( ) 2 7 2 13 6

f x = x − x − x + x+

答案：(1)x = 1, 2,− − 1

2, 3 (2) 1

1 x 2

− < < − 或2< <x 3

解析：(1) ^{4 3 2} 1

( ) 2 7 2 13 6 0 ( 1)( 2)( 3)(2 1) 0 1, 2, 3,

f x = x − x − x + x+ = ⇒ x+ x− x− x+ = ⇒ = −x −2

(2) ^{4 3 2} 1

( ) 2 7 2 13 6 0 ( 1)( 2)( 3)(2 1) 0 1 , 2 3

f x = x − x − x + x+ < ⇒ x+ x− x− x+ < ⇒ − < < −x 2 < <x 9、不等式2 x− > +2 x 2之解為__________________。

答案：x>6或 2 x< 3

解析： (1)若x≥2時，2(x−2)> + ⇒ >x 2 x 6⇒ >x 6 或(2)若x≤2時， 2

2(2 ) 2

x x x 3

− > + ⇒ < 2 x 3

⇒ <

∴x>6或 2 x< 3。

10、設f x( )=2ax²− +(2 5 ), a a∈\,a≠0，若方程式 f x( )=0有一根在−2與−1之間，則a的範圍 為_______或_______。

答案： 2 2

3 3

a> 或a<−

解析：有根在−2與−1之間⇒ f( 2) ( 1)− f − <0 , ∴(3a−2)( 2 3 )− − a <0，∴ 2 2

3 3

a> 或a<− 11、求方程式 f x( )=2x⁴+7x³−x²−17x− =6 0的全部有理根為_______或______。

答案： 3 2, 2

−

解析：由牛頓定理知其若有有理根必為 1 3 1, 2, 3, 6, ,

2 2

± ± ± ± ± ± 。

2 + 7 − 1 − 17 − 6 −2

− 4 − 6 + 14 + 6

2 + 3 − 7 − 3 +0 + 3 + 9 + 3 3

2 2 + 6 + 2 + 0

∴有理根為−2與3 2

12、解方程式(x−3)(x−1)(x+2)(x+ −4) 144=0則解為________。

答案：4或−5或 1 23 2

− ± i

解析：[(x−3)(x+4)][(x−1)(x+2)] 144− =0

2 2 2 2 2

(x + −x 12)(x + − −x 2) 144=0 (∴x +x) −14(x + −x) 120=0

2 2 2

(x + −x 20)(x + +x 6)=0 (x+5)(x−4)(x + +x 6)=0

13、若多項式 f x( )除以x²− −x 2的餘式為2x+3,多項式g x( )除以x²−5x−6的餘式為x−5,則 (1)以x+1除 f x( )的餘式為________ 。(2)以x+1除(x+3) ( )f x −xg x( )的餘式為________ 。 答案：(1) 1 (2)−4

解析：(1) f x( )=(x−2)(x+1)Q x₁( ) 2+ x+3 , ∴f( 1) 1− = ，∴ f (x)除以x + 1的餘式為1 (2)g x( )=(x−6)(x+1)Q x₂( )+ −x 5，∴g( 1)− = −6

∴[(x+3) ( )f x −xg x( )]除以x + 1的餘式為( 1 3) ( 1) ( 1) ( 1)− + f − − − g − = + − = −2 ( 6) 4 14、以(x + 2)³除多項式 f x( )之餘式為3x²+5x+1則以(x+2)²除 f x( )之餘式為______。

答案：− −7x 11

解析：以(x + 2)³除多項式 f x( )之餘式為3x²+5x+ ⇒1 設 f x( )=(x+2)³Q x( ) 3+ x²+5x+1， 則以(x+2)²除 f x( )之餘式即為為3x²+5x+1除以(x+2)²餘式− −7x 11

15、設不等式ax²+bx c+ <0之解為x > 2或x < −1，求不等式ax²+2cx−3b>0之解為______。

答案：1< <x 3

解析：x>2 或x< − ⇒1 (x−2)(x+ >1) 0,∴−x²+ + <x 2 0,設a= −k b, , 2 (=k c= k k>0) 所求不等式−kx²+4kx−3k> ⇒0 x²−4x+ < ⇒3 0 (x−1)(x− < ⇒ < <3) 0 1 x 3 16、設多項式(x+1)⁶除以x²+1的餘式為ax+b，則a=______，b=______。

答案：−8；0

解析：令A=x²+1，則(x+1)² =x²+2x+ = +1 A 2x

6 2 3

] =(A+2 )x ³

(x+1) =[(x+1) = A³+6xA²+12x A² +8x³

2 2 2

( 6 12 ) 8 ( 1) 8

A A xA x x x x

= + + + + − = A A( ²+6xA+12x²) 8+ xA−8x

2 2

( 6 12 8 ) 8

A A xA x x x

= + + + − =(x²+1)(A²+6xA+12x²+8 ) 8x − x 故(x+1)⁶除以x²+1之餘式為−8x。

17、設 f x( )=3x⁴−17x³+28x²−11x+3則 f(3)=______，又 4 13

( 3

f +

)=______。

答案：6, 2 解析：

3 − 17 + 28 − 11 + 3 3

+ 9 − 24 + 12 + 3 3 − 8 + 4 + 1 + 6

2 2

(3) 6 4 13

3 4 13 , (3 4) 13 3 8 1 0

3 f

x x x x x

=

= + ⇒ = + − = ⇒ − +

∴

令 ∴ =

∴

4 3 2 2 2

( ) 3 17 28 11 3 (3 8 1)( 3 1) 2

f x = x − x + x − x+ = x − x+ x − x+ +

∴ ，

4 13

( ) 0 2

f +3 = + =2

18、設 f x( )=x³−4x²+7x− =1 a x( −2)³+b x( −2)²+c x( − +2) d，則

(1) (a b c d, , , )=________。 (2)求f(1.99)的近似值至二位小數___________。

答案：(1)(1, 2, 3,5) (2) 4.97 解析：(1)

第 5 頁

1 4 7 1 2

2 4 6 1 2 3 5

2 0 1 0 3

2 1 2

d

c

a b

− + − + − +

− + + + +

+ + + +

""

""

"" ""

∴ f x( )=(x−2)³+2(x−2)²+3(x− +2) 5⇒( , , , )a b c d =(1, 2, 3,5)。 (2) f(1.99)= −( 0.01)³+ −2( 0.01)²+ −3( 0.01) 5+ O3( 0.01) 5− + O4.97。 19、設x, y, z滿足 ^{2 2 2} ，以x, y, z為三次方程式

2 14 6

x y z

x y z

xyz

+ + = −

⎧⎪ + + =

⎨⎪ =

⎩

3 2

0

t +at + + =bt c 的三根，則 數對(a, b, c) = ________________，又若x≤ ≤y z，則數對(x, y, z) = _______________。

答案：(2, 5, 6), − − ( 3, 1, − − 2)

解析：(x+ +y z)² =x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)⇒ xy+yz+zx= −5 由根與係數知x+ + = −y z a, xy+yz+zx=b xyz, = −c 由牛頓定理檢查可得 ，∴三根為

2, 5, 6 a= b= − c= −

∴ ，∴t³+2t²− − =5t 6 0

(t+1)(t+3)(t−2)=0 −1, −3, 2 x≤ ≤y z

∵ ，∴(x, y, z) = (−1, −3, 2) 20、解不等式x> 2−x。

答案：1< ≤x 2

解析：x> 2− ⇒x x² > −2 x且2− ≥x 0,x>0。

即x²− + =2 x (x+2)(x− >1) 0。得x< −2或x>1, 但0< ≤x 2，故不等式之解為1< ≤x 2。

21、解不等式(1)

2 2

3 2

5 4 1

x x

x x

− + >

+ + (2) x+ >1 2x−1。

答案：(1) 1

4 1 4

x< − 或 − < < −x (2)0< <x 2 解析：(1)

2 2

3 2

5 4 1

x x

x x

− + > ⇒

+ +

2 2

3 2 8 2

1 0, 0

5 4 ( 1)( 4)

x x x

x x x x

− + − > − − >

+ + ∴ + +

(4 1)( 1)( 4) 0 4 1 1

x+ x+ x+ < x< − − < < −x 4

∴ ∴ 或

(2) x+ >1 2x−1 ∴(x+1)² >(2x−1)²

3x2−6x<0 3 (x x− <2) 0 0< <x 2

∴ ∴ ∴

22、若對於所有的實數x，不等式− +(x 1)² <(a−2)x− <a (x−1)²−1恆成立，試求實數a的範圍。

答案：0< < − +a 2 2 2

解析：− +(x 1)² <(a−2)x−a恆成立 ∴x²+ax+ − >1 a 0恆成立

2 4(1 ) 0, 2 2 2 2 2 2

D=a − −a < − − < < − +a

∴

恆成立

(a−2)x− <a (x−1)2−1 ∴x²−ax+ >a 0恆成立

2 4 0 0 4 0 2 2 2

D=a − a< < <a ⇒ < < − +a

∴ ∴

23、解不等式 9−x² >2x+1。

答案： 2 2 11

3 x − +5

− ≤ <

解析： 9−x² 有意義，則9−x² ≥ ⇒0 x²− ≤ ⇒9 0 (x+3)(x− ≤ ⇒3) 0 − ≤ ≤3 x 3……..①

(1)當 1

x< −2時，2x+ < ⇒1 0 9−x² >2x+1必成立……..②

(2)當 1

x≥ −2時，

∴

2x+ ≥1 0

2 2 2

9−x >2x+ ⇒ −1 9 x >4x +4x+1 0 ∴

5x2 4x 8

⇒ + − < 2 2 11 2 2 11

5 x 5

− − < <− +

1 2 2

2 x − +5

⇒ − ≤ < 11

……..③ 由①②③

∴ 2 2 11

3 x − +5

− ≤ <

24、解不等式組

2 3 2

3

x x

x x

⎧ < −

⎪⎨

> −

⎪⎩ 。

答案： 13 1 2− x 2

≤ <

解析：(1)由x² <3x− ⇔2 x²−3x+ <2 0⇒ (x−2)(x− < ⇔ < <1) 0 1 x 2……①

(2)由x> 3− ⇒x ^{2 2} 1 13 1 13

3 3 0

2 2

x > − ⇒x x + − > ⇒ >x x − + or x<− − ……② 又3− ≥ ⇒ ≤x 0 x 3,且x> 3− ≥ ⇒x 0 0< ≤x 3……③

由②③ 13 1 2− x 3

⇔ < ≤ ……④

由(1)(2)取①④共同部分： 13 1 2− x 2

≤ <

25、多項式 f x( )除以x+1得餘式8， f x( )除以x²−3x+1得餘式x−1，則 f x( )除以 的餘式為何？

(x+1)(x2−3x+1) 答案：2x²−5x+1

解析：設 f x( )=(x+1)(x²−3x+1) ( )Q x +a x( ²−3x+ + −1) x 1

∵ ∴

∴餘式為

( 1) 8 5 2

f − = = a− a=2

2 2

2(x −3x+ + − =1) x 1 2x −5x+1

第 7 頁

26、設f (x) = x⁴+ x – 76試探f (3), f (2.9)之值，以二分逼近法求方程式f (x) = 0在3附近的近似根，

介於a與 a + 0.0125之間。

答案：(1) f (3) = 81 + 3 – 76 = 8 > 0

f (2.9) = 70.7281 + 2.9 – 76 = –2.3719 < 0，此根介於3與2.9之間 (2)( 3 + 2.9 ) ÷ 2 = 2.95

f (2.95) = 2.6835 > 0，此根介於2.9與2.95之間 (3)( 2.9 + 2.95 ) ÷ 2 = 2.925

f (2.925) = 0.1237 > 0，此根介於2.9與2.925之間 (3)( 2.9 + 2.925 ) ÷ 2 = 2.9125

f (2.9125) = – 1.1320 < 0，此根介於2.9125與2.925之間