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【試題.答案】

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Academic year: 2023

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(1)

出 版∕民國一一○年八月

發行所∕70248 臺南市新樂路 76 號 編輯部∕70252 臺南市新忠路 8 -1 號 總召集∕陳彥良

總編輯∕李心筠 主 編∕吳崇欽

【試題.答案】

依據大考中心公布內容

(2)

數 學 甲

忠明高中 / 陳冠州老師

一 回顧與歷屆試題分析

首先我們先回顧一下,102年指定科目考試是第一次依 99課綱命題,至109年 指考各章命題分數統計如下:

範 圍 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年

數與式 0 0 0 0 0 0 0 0

多項式函數 14 2 8 6 0 0 0 0 指數與對數函數 6 6 6 6 6 8 12 6

機 率 6 6 8 7 6 6 8 0

三 角 0 14 11 0 0 6 6 12

直線與圓 6 6 8 4 7 6 8 6

平面向量 0 0 8 11 8 6 8 8 空間向量 14 22 6 ◎7 6 ◎8 2 8 空間中的平面與直線 ◎8 0 0 8 7 12 10 10

矩 陣 ◎12 ◎12 ◎6 ◎8 ◎12 6 ◎6 ◎8

機率統計 6 8 6 7 7 6 6 6

三角函數 8 0 6 13 14 8 6 8 極限與函數 8 6 13 8 7 8 8 8 多項式函數的微積分 12 18 14 15 20 20 20 20

◎:表第四冊中雙圈內容(此部分為指考範圍,不在學測範圍)

  由以上各章命題分數,分析數點歸納如下:

1 除了數與式、多項式函數這兩章外,幾乎每章每年都會被命題。

2 若以數學領域分類,以微積分兩章(極限與函數,多項式函數的微積分)每年配 分最多,接著向量三章(平面向量,空間向量,空間中的平面與直線)合計配分 居次。此兩領域都是大一微積分課程內容,很明顯就是為銜接微積分課程而出的 試題。

(3)

3 近年考題著重圖形及重要觀念應用,用數學語言描述問題,計算量較以前減少。

基本型題目在課本都可找到類似題,所以弄懂課本題目就有基本分。非選擇題每 年考兩題,用小題引導解題,第1小題都是出自課本重要題目,著重概念性及程 序性知識,建議學子務必把握;非選擇題必有一題出自多項式函數的微積分,可 見命題教授看重微積分,實則為大學微積分課程鋪路。

4 去年(109年)考題非常數學,說白了,數學甲就像大學理工微積分考卷,觀念 與計算並重,筆者是贊同此考法,以免學子只知其然,不知其所以然,可以建立 正確數學學習方法。

二 110 指定科目考試數學甲試題分析

大考中心所列指定科目考試測驗六目標:概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力,110指定科目考試數學甲占 六目標比率依次為0%、12%、12%、0%、40 %、36%,主要測驗高層次數學的 論證推理與解決問題的能力,占了整份試卷的76%,跟以往比較稍高。

110 數學甲試題分配章節表 範 圍 類

數與式 -

多項式函數 多選5、非選二 指數與對數函數 單選1

率 單選2、多選6 三 角 選填A

直線與圓 選填B

平面向量 選填C

空間向量 非選一

空間中的平面與直線 -

陣 多選4

機率統計 -

三角函數 多選8

極限與函數 -

多項式函數的微積分 單選3、多選7、非選二

(4)

  由上表試題分配章節表可知:

1 配題:以數學領域分析,仍以向量三章(平面向量,空間向量,空間中的平面與 直線)與微積分兩章(極限與函數,多項式函數的微積分)考18分最多。

2 難易度:中間偏難,但較去年略易,但計算量大答案醜,又會降低分數,預估各 標略升為頂標70分、前標58分、均標42分、後標26分、底標18分,請同學參 考。此份計算複雜題目,是可以設計成漂亮數據,但命題教授沒有如此,說明就 是要考計算能力,故動手算訓練計算能力是必要功課,所以數學不要用看的了。

3 素養題:今年與去年純數學風格迥然不同,呼應到108課綱素養導向與跨領域精 神,如單選2考條件機率的分割定理搭上快篩試劑,多選6結合戳戳樂遊戲與獨 立事件,但題目更改遊戲規則,讓此題變難很多。

4 特色試題:

  單選3:考了將上和轉積分,這在大學微積分是常見考題。

  多選6:考戳戳樂,因題目長所以同學若能按題意舉數例,幫助瞭解,這樣就比 較有頭緒。

  多選7:考了「導函數恆正,則函數遞增」,結合各種導函數求法,但包括課本沒 有提到的合成函數微分,難度屬中上。

  多選8:同學不會做時,可以自行找一個平行四邊形,代入選項檢查,也可拿到 一些分數。

  填充A:利用[(小邊)+(中邊)]愈接近(大邊)最大內角θ 愈大,找出三邊 為6、8、12時,θ最大。

  填充C:有多種解法,但選擇有效策略解決問題,是最容易拿分,以筆者提供的 解法最方便。

  非選一:也是有多種解法,以(公式)+(圖解)是最容易拿分,但若考生是用參 考書中的四面體公式及求對稱點、投影點題型解法,則計算量非常龐大。

(5)

三 111 分科測驗數學甲展望

1 從上圖走勢觀察發現近九年的前標在60分上下震盪,表示題目難易度尚穩定,預 估明年分科測驗數學甲依舊維持近年指考數學甲的難易度,微積分仍是命題最多 處。

2 連續兩年都有考舉反例,如109年多選6,110年多選4、8,所以觀念一定要很清 楚,才能舉反例。

3 103∼110年連續 8年非選擇題兩題都是考微積分與空間向量、平面、直線,其 實這都是大一微積分的課程內容,預估明年分科測驗數學甲也會如此。

4 107∼110年連續 4年非選擇題都有一小題考證明或說明題,但沒有很難,故學 子在練習題目時,不可跳過證明題,應紮實練習,訓練論證推理能力,及能正確 表達出你的意思,才是得分不二法門。

5 近年來數學甲試題強調觀念、公式(最好會證明)、圖解,外加計算能力,所以死 背公式、套公式、記題型的學生就非常不利,甚至事倍功半。

6 近年有些考題與課本習題或歷屆試題類似,所以熟練課本習題或歷屆試題是提高 分數最有效的方法。

7 明年分科測驗數學甲首次出現混合題型(兼含選擇題與非選擇題)或非選擇題,

約占 24%,所以真正算懂一題,知曉每一步驟是根據什麼而來,甚至會舉一反 三,不要只記方法,卻說不出引用的公式,這面對靈活的數學甲題目完全不行。

8 108課綱強調素養題,用數學概念解決生活與學術探索情境問題的能力,所以學 子也要多注意時事,但數學甲評量仍以數學知識為主,故不用太深入。 F

  (b:110年為預估值)

(6)

數 學 甲

忠明高中 / 陳冠州老師

第壹部分:選擇題(單選題、多選題及選填題共占 76 分)

一 單選題(占 18 分)

說明:第1題至第3題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,

請劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得6分;答錯、

未作答或劃記多於一個選項者,該題以零分計算。

1 x0y0 為正實數。若坐標平面上的點(10x0﹐100y0)在函數 y=10x的圖形 上,則點(x0﹐log y0)會在直線y=ax+b的圖形上,其中ab為實數。試問 2a-b的值為何?

1 4 2 9 3 15 4 18 5 22

答  案 5

命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數

測驗目標 對數律

難 易 度

將(10x0﹐100y0)代入y=10x中,得100y0=1010x0 兩邊取常用對數得log 100y0=log 1010x0

!log 100+log y0=10x0

!log y0=10x0-2

可知(x0﹐log y0)在直線y=10x-2上

a=10,b=-2!2a-b=2.10-(-2)=22 故選5

(7)

2 研究團隊採用某快篩試劑的檢驗,以了解保護區內生物因環境汙染而導致體內 毒素累積超過標準的比率。此試劑檢驗結果只有紅色、黃色兩種。

依據過去的經驗得知:若體內毒素累積超過標準,經此試劑檢驗後,有75 %顯 示為紅色;若體內毒素累積未超過標準,經此試劑檢驗後,有95 %顯示為黃 色。已知此保護區的某類生物經試劑檢驗後,有 7.8 %的結果顯示為紅色。假 設此類生物實際體內毒素累積超過標準的比率為p %,試選出正確的選項。

1 1Np<3 2 3Np<5 3 5Np<7 4 7Np<9 5 9Np<11

答  案 2

命題出處 第二冊第三章 機 率

測驗目標 分割定理

難 易 度 中偏易

P(試劑紅色)=7.8

p %.75 %+(1-p %).5 %=7.8 %!p=4 故選2

3 試求極限 lim 1010

n10〔19+29+39+……+(2n9〕的值。

1 109

2 109*(210-1) 3 29*(1010-1) 4 109*210

5 29*1010

n¥

(8)

答  案 4

命題出處 選修數學甲(下)第二章 多項式函數的微積分

測驗目標 定積分的定義

難 易 度 中偏難

lim 1010

n10〔19+29+39+……+(2n9

=1010*lim 1

n*

〔(

1n

9+

2n

9+

3n

9+……+

2nn

9

=1010*

0

x2 9dx

=1010*

x1010

)│

20

=1010*

21010

=109*210 故選4

二 多選題(占 40 分)

說明:第4題至第8題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所 有選項均答對者,得8分;答錯1個選項者,得4.8分;答錯2個選項者,

得1.6分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。

4 某電子公司有數百名員工,其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發 現:若當日用餐為自備的員工,則隔天會有10 %轉為外食;若當日用餐為外食 的員工,則隔天會有20 %轉為自備。

假設 x0y0 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比 例,其中x0y0皆為正數,且xnyn 分別代表經過n日後用餐自備人數與外食 人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下,試選出正確的選項。

1 y1=0.9y0+0.2x0

2 xn+1

yn+1

= 0.9 0.2 0.1 0.8 xn

yn

3若 x0

y0

=2

1,則 xn

yn

=2

1 對任意正整數n均成立 4若y0>x0,則y1>x1

5若x0>y0,則x0>x1

n¥

n→¥

(9)

答  案 23

命題出處 第四冊第三章 矩 陣

測驗目標 轉移矩陣

難 易 度 中偏難

令機率矩陣Xn= xn

yn

,轉移矩陣A= 0.9 0.2 0.1 0.8

1×:X1=AX0! x1

y1 = 0.9 0.2 0.1 0.8

x0

y0 !y1=0.1x0+0.8y0 2○:Xn+1=AXn! xn+1

yn+1

= 0.9 0.2 0.1 0.8 xn

yn

3○:∵ x0

y0=2

1 且x0+y0=1 ∴x0=2

3,y0=1 3

    x1

y1 = 0.9 0.2 0.1 0.8 x0

y0 = 0.9 0.2 0.1 0.8

2 3 1 3

= 2 3 1 3    以此類推,可得xn=2

3,yn=1 3    故 xn

yn

=2

1 對所有正整數n均成立

4×:反例:取x0=0.45,y0=1-0.45=0.55!y0>x0

       x1 y1

= 0.9 0.2 0.1 0.8

0.45

0.55 = 0.515 0.485       不符合y1>x1

5×:反例:由3知,當x0=2

3,y0=1

3 時,x1=2 3       符合x0>y0,但不符合x0>x1

故選23

(10)

5 假設 fx)為五次實係數多項式,且 fx)除以 xn-1的餘式為rn x),n是正 整數。試選出正確的選項。

1 r1 x)=f(1)

2 r2 x)是一次實係數多項式

3 r4 x)除以x2-1所得的餘式等於r2 x) 4 r5 x)=r6 x

5若 f(-x)=-fx),則r(-3 x)=-r3 x

答  案 13

命題出處 第一冊第二章 多項式函數

測驗目標 除法原理

難 易 度 中偏難

1○:當n=1時,fx)除以x-1的餘式為r1 x)=f(1)

(由餘式定理知)

2×:當n=2時,fx)除以x2-1的餘式為r2 x)    !r2 x)可能為一次式或常數

3○:當n=4時,fx)除以x4-1的餘式為r4 x)    ! fx)=(x4-1)Q4 x)+r4 x

   ! fx)=(x2-1)(x2+1)Q4 x)+r4 x

   ∴ fx)除以x2-1的餘式 r2 x)就是r4 x)除以x2-1的餘式 4×:∵r6 x)=fx),r5 x)≠fx) ∴r6 x)≠r5 x

5×:反例:令 fx)=x5,則 f(-x)=-fx)       將(f x)除以x3-1得餘式r3 x)=x2       但r(-3 x)=(-x2=x2=r3 x) 故選13

(11)

6 一個標有1至12號格子的 12格戳戳樂遊戲,每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四 次來決定要戳哪些格子。規則如下:

(一)第一次投擲銅板,若是正面,則戳1號格子;若是反面,則戳3號格子。

(二)第二、三、四次投擲銅板,若是正面,則所戳格子的號碼為前一次所戳格 子的號碼加 1;若是反面,則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加

3,依此類推。

例如:投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」,則會戳編號分別為 1、 4、7、8號的四個格子。

假設pm代表在每回遊戲中m號格子被戳到的機率,試選出正確的選項。

1 p2= 1 4 2 p3= 1 2 3 p4= 1

2 p1+1 2 p3

4 p8>p10

5在4號格子被戳到的條件下,3號格子被戳到的機率為 1 2

答  案 134

命題出處 第二冊第三章 機 率

測驗目標 條件機率、獨立事件

難 易 度

1○:2號被戳到的情況:1+1=2!正、正    ∴p2= 1

2*1 2=1

4

2×:3號被戳到的情況有兩種:

   1 1+1+1=3!正、正、正      機率為 1

2*1 2*1

2= 1 8    2 3!反

     機率為 1 2    由1、2知p3=1

8+ 1 2= 5

8

(12)

3○:下次戳到4號的情況有兩種:

   3 1號被戳到 擲反面 +3 4號    4 3號被戳到 擲正面

+1 4號    由3、4知p4=p1*1

2+p3*1 2= 1

2 p1+1 2 p3 4○:8號被戳到的情況:1+1+3+3(=8)及其排列

   p8= 4!

2!2!*

12

4= 166

   10號被戳到的情況:1+3+3+3(=10)及其排列    p10=4!

3! *

12

4= 164

   ∴p8>p10

5×:所求為

p3*1 p42 =

5 8*1

2 1

2*1 2+1

2*5 8

=5 9 故選134

7 Fx)為一實係數多項式且F'x)=fx)。已知 f 'x)>x2+1.1對所有的實 數x 均成立,試選出正確的選項。

1 f 'x)為遞增函數 2 fx)為遞增函數 3 Fx)為遞增函數 4(fx))2為遞增函數 5 ffx))為遞增函數

答  案 25

命題出處 選修數學甲(下)第二章 多項式函數的微積分

測驗目標 由導數看增減

難 易 度

1×:反例:設 f 'x)=x2+2>x2+1.1       但 f 'x)=x2+2非遞增函數

2○:f 'x)=x2+2>x2+1.1>0對所有實數x皆成立!恆正    ! fx)為遞增函數

   注意:fx)之正負不定

(13)

3×:承2,F'x)=fx)正負不定!Fx)不一定為遞增函數 4×:〔(fx))2'=2fx).f 'x)正負不定

   !(fx))2不一定為遞增函數 5○:〔ffx))〕'=f 'fx)).f 'x)恆正

   (∵ f 'x)為恆正 ∴ f 'fx))亦恆正)

   ! ffx))為遞增函數 故選25

8 已知z1z2z3z4為四個相異複數,且其在複數平面上所對應的點,依序可連 成一個平行四邊形,試問下列哪些選項必為實數?

1(z1-z3)(z2-z4) 2 z1-z2+z3-z4 3 z1+z2+z3+z4 4 z1-z2

z3-z4

5

zz21--zz43

2

答  案 24

命題出處 選修數學甲(上)第二章 三角函數

測驗目標 複數平面

難 易 度 中偏難

1×:反例:令z1=0,z2=1+iz3=1+2iz4=i       如右圖所示

      則(z1-z3)(z2-z4)=(-1-2i)(1)        =-1-2i不為實數 2○:∵平行四邊形對角線有相同中點M

   ∴z1+z3

2 =z2+z4

2 !z1-z2+z3-z4=0

3×:承1,z1+z2+z3+z4 =0+(1+i)+(1+2i)+i

=2+4i不為實數 4○:承2,z1-z2+z3-z4=0!z1-z2=z4-z3

   代入 z1-z2

z3-z4

=z4-z3

z3-z4

=-1

5×:承1,

zz21--zz43

2=

-11-2i

2=-253 -254 i不為實數

故選24

(14)

三 選填題(占 18 分)

說明:1 第 A. 至 C. 題,將答案劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的 列號(9~22)。

   2 每題完全答對給 6 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A. 從6、8、10、12中任取三個相異數字,作為三角形的三邊長,且設此三角形的 最大內角為θ。在所有可能構成的三角形中,cos θ 的最小值為  90q

we  。

(化成最簡分數)

答  案 -11 24

命題出處 第三冊第一章 三 角

測驗目標 餘弦定理

難 易 度

如右圖所示,所求為cos θ=62+82-122

2*6*8 =- 11 24

B. 坐標平面上,一個半徑為12的圓與直線x+y=0相交於兩點,且這兩點的距離 為8。若此圓與直線x+y=24交於PQ兩點,則線段PQ的長度為

 r t 。(化成最簡根式)

答  案 8 7

命題出處 第三冊第二章 直線與圓

測驗目標 兩平行線距離、圓定義

難 易 度

如右圖所示

a= 122-42=8 2 d= 24

12+12=12 2 b=d-a=4 2

PM= 122-(4 2)2=4 7 故PQ=2PM=8 7

(15)

C. 考慮一梯形ABCD,其中ABDC平行。已知點 EF分別在對角線ACBD上,且AB=2

5 DCAE=3

2 ECBF=2

3 FD,如右圖所示。若將向量 a

aFE表示成α aaAC+β aaAD,則實數α=  y

ui  、β= op

as  。(化成最簡分數)

答  案 9

25,-4 25

命題出處 第三冊第三章 平面向量

測驗目標 向量的線性組合

難 易 度 中偏難

1 aaFE=aaAE-aaAF 2 ∵AE=3

2 EC ∴aaAE=3

5 aaAC ……… 1 3 ∵BF=2

3 FD ∴aaAF=2

5 aaAD+3 5 aaAB =2

5 aaAD+3

5

25 aaDC

)(

AB=25 DC

=2

5 aaAD+ 6 25 aaDC =2

5 aaAD+ 6

25(aaAC-aaAD = 4

25 aaAD+ 6

25 aaAC …………2 將1、2代回1,得aaFE=3

5 aaAC-

254 aaAD+256 aaAC

= 9

25 aaAC- 4 25 aaADα= 9

25,β=- 4 25

(16)

【另解】

將梯形特殊化,再坐標化如右圖

EAEC=3:2

E點坐標為

3*53++22*0 3*03++22*5

=32

FBFD=2:3

F點坐標為

2*02++33*2 ﹐2*0+3*5

2+3

=

653

∵aFE=αaaAC+β aaAD

95﹐-1

=α5﹐-5+β0﹐-5=5α﹐-5α-5β

! 5α=9 5

-5α-5β=-1

!α= 9

25,β=- 4 25

第貳部分:非選擇題(占 24 分)

說明:本部分共有二大題,答案必須寫在「答案卷」上,並於題號欄標明大題號

(一、二)與子題號(1、2、……),同時必須寫出演算過程或理由,否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因,致評閱人員無法清楚 辨識,該部分不予計分。每一子題配分標於題末。

一、坐標空間中,令E為通過三點A(0﹐-1﹐-1)、B(1﹐-1﹐-2)、 C(0﹐1﹐0)的平面。假設H為空間中一點,且滿足

aAH=2

3 aAB-1

3 aaAC+3(aAB*aAC)。根據上述,試回答下列問題。

  1 試求四面體ABCH的體積。(4分)(註:四面體體積為三分之一的底面積 乘以高)

  2 令點H'為點H相對於平面E的對稱點,試求H'的坐標。(4分)

  3 試判斷點H'在平面E的投影點是否位在 △ABC的內部?並說明理由。

(4分)(註:三角形的內部不含三角形的三邊)

答  案 1 9

2;2 H'

-163 43﹐-8

;3否,說明略

命題出處 第四冊第一章 空間向量

測驗目標 空間幾何、立體圖形、空間向量基本運算

難 易 度 中偏難

(17)

1 aAB*aAC=(1﹐0﹐-1)*(0﹐2﹐1)=(2﹐-1﹐2)  !│aAB*aAC│=3

 △ABC的面積為 1

2│aAB*aAC│=3 2  令aAP=2

3 aAB-1 3 aAC =2

3(1﹐0﹐-1)-1

3(0﹐2﹐1)=

23﹐-23-1

 aPH=3(aAB*aAC)r平面E

 ∴dHE)=│3(aAB*aAC)│=3*3=9  故體積VH-ABC =1

3*(△ABC面積)*dHE)=1 3*3

2*9=9 2 2 aPH'=-3(aAB*aAC)=(-6﹐3﹐-6)

 故H'坐標為

 (0﹐-1﹐-1)+

23﹐-23﹐-1

+(-63﹐-6

 =

- 163 43﹐-8

3 點H'在平面E的投影點就是點P  ∵aAP=2

3 aAB-1 3 aAC

 ∴由向量減法作圖知點P在△ABC外部,而不在內部

(18)

二、坐標平面上,以 Γ表示多項式函數 y=x3-4x2+5x的圖形,且以 L表示直線 y=mx,其中m為實數。根據上述,試回答下列問題。

  1 當m=2時,試求出在 xM0的範圍內,ΓL的三個相異交點的x 坐標。

(2分)

  2 承1,試求ΓL所圍有界區域面積的值。(4分)

  3 在xM0的範圍內,若ΓL有三個相異交點,則滿足此條件的 m之最大 範圍為a<m<b,試求ab之值。(6分)

答  案 1 0,1,3;2 37

12;3 a=1,b=5

命題出處 第一冊第二章 多項式函數、

選修數學甲(下)第二章 多項式函數的微積分

測驗目標 曲線間面積求法、解高次方程式、二次方程式之根與係數的關係

難 易 度 中偏難

1  y=x3-4x2+5x y=2x

 !x3-4x2+5x=2x!x3-4x2+3x=0  !xx-1)(x-3)=0!x=0,1,3 2 所求面積為

 A1+A2

 =

0

1x3-4x2+5x)-2xdx+

1

3 2x-(x3-4x2+5x)〕dx  =

0

1 x3-4x2+3xdx-

1

3 x3-4x2+3xdx

 =

14 x4-43 x3+32 x2

)│

10-

14 x4-43 x3+32 x2

)│

31

 =

125 -0

-

-94- 125

= 3712

3 由題意知 y=x3-4x2+5x

y=mxx=0及另外兩相異正根  !x3-4x2+5x=mx !x3-4x2+(5-mx=0

 !xx2-4x+(5-m)〕=0

 ∵x2-4x+(5-m)=0有兩相異正根

 ∴

判別式D=(-4)2-4.1.(5-m)>0!m>1 兩根之積 5-m

1 >0!m<5

 !1<m<5,故a=1,b=5 F

(19)

忠明高中 / 陳冠州老師

一 回顧與歷屆試題分析

首先我們先回顧一下,102年指定科目考試是第一次依99課綱命題,至109年 指考各章命題分數統計如下:

範 圍 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年

數與式 0 8 0 6 0 0 6 0

多項式函數 6 16 16 14 14 19 8 8 指數與對數函數 12 6 8 8 14 14 8 13

排列、組合 8 8 6 8 8 6 16 6 機 率 0 8 8 6 0 16 16 4 數據分析 14 6 8 8 8 0 0 14 直線與圓 20 24 24 12 8 13 19 18 平面向量 8 8 8 14 8 8 13 11

矩 陣 8 8 8 6 13 8 6 6

機率統計 16 0 8 12 19 8 8 12

極限與函數 8 8 6 6 8 8 0 8

  由以上各章命題分數,分析數點歸納如下:

1 以冊分析,第二、三冊是考最多的。

2 以章分析,以第三冊第二章直線與圓考最多,第一冊第二章多項式函數次之。

3 以數學領域分析,以機率統計四章(排列、組合,機率,數據分析,機率統計)

考最多,每年約考30分,這也呼應大學商管學群最重視的數學部分。

4 近年試題趨勢,非常重觀念及圖表解讀,不強調複雜計算,素養題每年都會考,

且題目字數明顯比數學甲多。

5 去年(109年)數學乙有 4題素養題,結合時事或生活,如非選擇題第一題,考 了傳染病的傳染力問題,跟新冠肺炎搭上關係,這是結合時事;又如選填C結合 職場薪水,這是結合生活。這都可列為明年學測數學素養題必練習題目。

(20)

二 110 指定科目考試數學乙試題分析

大考中心所列指定科目考試測驗六目標:概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力,110指定科目考試數學乙占 六目標比率依次為22 %、8 %、6 %、8 %、20 %、36 %,比較重視的是解決問題 的能力,預先呼應108課綱學測測驗能力:整合運用知識與技能以處理生活情境問 題。

110 數學乙試題分配章節表 範 圍 類

數與式 選填A

多項式函數 單選2 指數與對數函數 多選4 排列、組合 多選5

機 率 -

數據分析 單選1

直線與圓 非選二

平面向量 非選一

矩 陣 選填B

機率統計 單選3、多選7、選填C 極限與函數 多選6

  由上表試題分配章節表可知:

1 配題:各章配分大致差不多;若以數學領域分析,仍以機率統計四章(排列、組 合,機率,數據分析,機率統計)共占36分最多,跟以往相同。

2 難易度:中間偏易,比去年略易,預估各標上升為頂標 90分、前標73 分、均標 50分、後標32分、底標18分,請同學參考。

3 素養題:今年有五題素養題,如單選 1考人數與年齡的相關係數,看圖就可解 決;單選 3考抽獎期望值,屬課本類似題;多選 5考積木與公仔分成兩袋的情 況,是此份最難題,同學需冷靜思考如何分類列出所有可能情況,再判斷選項之 對錯;選填C考擲銅板與二項分布之最大機率,算是比較難的,但也是課本題 目;非選二搭上電動車潮流而設計的線性規劃問題,這是不錯的考題,但在108 課綱中,線性規劃不列入考試範圍,實屬可惜。

(21)

4 其他特色:此份考卷中文敘述明確,沒有以前模稜兩可的文字敘述,延續去年題 文風格。所有題目不是在課本就是在考古題中可以找到類似題。此次出題教授有 由易至難排序題目,這是鼓勵學生作答,不要放棄,十分贊同!

5 

  (b:110年為預估值)

今年是末屆數學乙考試,但也不是說數學乙的題目就沒有用了,筆者認為數學乙 試題反而比數學甲更接近 108課綱的素養題,所以可以將數學乙的題目當作訓練學測

素養題的練習。 F

(22)

數 學 乙

忠明高中 / 陳冠州老師

第壹部分:選擇題(單選題、多選題及選填題共占 74 分)

一 單選題(占 18 分)

說明:第1題至第3題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,

請劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得6分;答錯、

未作答或劃記多於一個選項者,該題以零分計算。

1 下列選項分別為甲、乙、丙、丁、戊等五個地區1至10歲(以整數計)兒童罹 患某疾病的人數散佈圖。試選出罹患某疾病的人數與年齡相關係數值最大的選 項。

1 2

3 4

5

(23)

答  案 4

命題出處 第二冊第四章 數據分析

測驗目標 相關係數

難 易 度

由題圖可知,34為正相關,r皆大於0, 又4為完全正相關!r=1即為最大

故選4

2 已知實係數二次多項式函數 fx)滿足 f(-1)=kf(1)=9kf(3)=-15k, 其中k>0。設函數y=fx)圖形頂點的x坐標為a,試選出正確的選項。

1 aN-1 2-1<a<1 3 a=1 4 1<a<3 5 3Na

答  案 2

命題出處 第一冊第二章 多項式函數

測驗目標 二次函數的圖形

難 易 度

由題意作略圖如下:

由圖可知-1<a<1,故選2

(24)

3 某公司舉辦年終抽獎活動,每人從編號分別為1至 6的六張牌中隨機抽取兩 張。假設每張牌抽到的機會均相等,且規則如下:

(一)若這兩張牌的號碼之和是奇數,則可得獎金100元,此時抽獎結束;

(二)若號碼之和為偶數,就將這兩張牌丟掉,再從剩下的四張牌中隨機抽取兩 張牌,且其號碼之和為奇數,則可得獎金50元,其他情形則沒有獎金,

此時抽獎結束。

依上述規則,試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元?

1 50 2 70 3 72 4 80 5 100

答  案 2

命題出處 選修數學乙(上)第一章 機率統計

測驗目標 期望值、獨立事件

難 易 度

由題意可作樹狀圖如右:

其對應的機率為 1:p=C 31C 31

C 62

=3 5 2:p= C 32

C 62 =1 5 3:p= C 32

C 62 =1 5 4:p=C 11C 31

C 42

=1 2 5:p=C 31C 11

C 42

=1 2

∴期望值為100*3

5+50*1 5*1

2+50*1 5*1

2=70(元)

故選2

(25)

二 多選題(占 32 分)

說明:第4題至第7題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所 有選項均答對者,得8分;答錯1個選項者,得4.8分;答錯2個選項者,

得1.6分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。

4 a=log2 8,b=log3 1,c=log0.5 8,試選出正確的選項。

1 b=0

2 a+b+c>0 3 a>b>c 4 a2>b2>c2 5 2a>3b>

12

c

答  案 13

命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數

測驗目標 對數的定義

難 易 度

a=log2 8=3,b=log3 1=0,c=log0.5 8=log2-123= 3

-1=-3 1○

2×:a+b+c=3+0-3=0 3○

4×:a2=9,b2=0,c2=9    ∴a2=c2>b2

5×:2a=23=8,3b=30=1,

12

c=

12

-3=8

   ∴2a=

12

c>3b

故選13

(26)

5 某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和abcde 五個角色公仔,共八 個玩具,分成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具,其分裝的原則如下:

(一)甲和a必須裝在同一袋。

(二)每袋至少裝有一個積木模型。

(三)de必須裝在不同袋。

根據以上敘述,試選出正確的選項。

1每袋至少裝有兩個角色公仔 2乙和丙必裝在不同袋

3如果乙和d裝在同一袋,則丙和e 必裝在同一袋 4如果乙和d裝在不同袋,則bc 必裝在不同袋 5如果bc裝在不同袋,則乙和丙必裝在同一袋

答  案 15

命題出處 第二冊第二章 排列、組合

測驗目標 分類法、討論法

難 易 度

討論列舉如下:

1 甲、ad同一袋,則有下列4種裝法   1 甲ad乙,丙bce

  2 甲ad丙,乙bce   3 甲adb,乙丙ce   4 甲adc,乙丙be

2 甲、ae同一袋,則有下列4種裝法   5 甲ae乙,丙 bcd

  6 甲ae丙,乙 bcd   7 甲aeb,乙丙cd   8 甲aec,乙丙bd 1○

2×:反例:3、4、7、8 3×:反例:7、8

4×:反例:2、5

5○:如3、4、7、8皆符合 故選15

(27)

6 已知實數數列〈an〉滿足 a1=1,an+1=2n+1

2n-1 ann為正整數。試選出正確的選 項。

1 a2=3 2 a4=9

3〈an〉為等比數列 4n

Σ

20=1an=400

5 lim an

n =2

答  案 145

命題出處 選修數學乙(下)第一章 極限與函數

測驗目標 無窮極限、遞迴數列

難 易 度

1○:a2= 2+1

2-1*a1=3 2×:a3= 2*2+1

2*2-1*a2=5

3*3=5    a4= 2*3+1

2*3-1*a3=7

5*5=7 3×:由an+1=2n+1

2n-1 an可得      a2=3

1 a1=3      a3=5

3 a2

     a4=7 5 a3      a5=9

7 a4       ︙

   *)an=2n-1 2n-3 an-1

     an=3*5 3*7

5*9

7*……*2n-1

2n-3=2n-1    ∴〈an〉=〈2n-1〉為等差數列

n→¥

(28)

4○:n

Σ

20=1an=a1+a2+……+a20

     =1+3+……+39      =(1+39)*20

2 =400

5○:lim an

n =lim 2n-1

n =2

故選145

7 已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 1

2,且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從 下列選項中,選出發生機率為 1

2 的事件。

1 連續射2次飛鏢,恰射中1次 2 連續射4次飛鏢,恰射中2次

3 連續射4次飛鏢,射中的總次數為奇數

4 連續射6次飛鏢,在第1次沒有射中的條件下,第2次有射中

5 連續射6次飛鏢,在前2次恰射中1次的條件下,後4次恰射中2次

答  案 134

命題出處 選修數學乙(上)第一章 機率統計

測驗目標 獨立事件、二項分布

難 易 度

X表連續射n次恰射中次數!XB

n12

1○:PX=1)=C

21 12

) (

1 12

1=12

2×:PX=2)=C

42 12

) (

2 12

2=38

3○:所求為PX=1)+PX=3)=C

41 12

) (

1 12

3+C

43 12

) (

3 12

1=12

4○:∵每次射中飛鏢的結果均互相獨立    ∴所求為P(第2次射中)=1

2 5×:∵每次射中飛鏢的結果均互相獨立

   ∴所求為P(後4次恰射中2次)=3

8(同2)

故選134

n→¥ n¥

(29)

三 選填題(占 24 分)

說明:1 第 A. 至 C. 題,將答案劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示 的列號(8~13)。

   2 每題完全答對給 8 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A. 數線上有原點O 及三點 A(-2)、B(10)、Cx),其中 x 為實數。已知線段 BCACOB長度大小關係為BC<AC<OB,則x 的最大範圍為

 8 <x< 9 。

答  案 4<x<8

命題出處 第一冊第一章 數與式

測驗目標 絕對值

難 易 度

1 AB之中點M坐標為(-2)+10

2 =4

 ∵BC<AC

 ∴C位置在 M之右(不含M) 2 ∵AC<OB=10

 ∴C位置在-2810之間,即-12∼8之間(不含-12,8)

由1、2取交集得4<x<8

B. 設矩陣A= 1 -2 0 1

1 0 0 6

1 -2 0 1

-1

B= 1 -2 0 1

6 0 0 1

1 -2 0 1

-1

,其中 1 -2

0 1

-1

為矩陣 1 -2

0 1 的反方陣。若A+B= a b

c d ,則a+b+c+d=  0q 。

答  案 14

命題出處 第四冊第三章 矩 陣

測驗目標 矩陣的乘法

難 易 度 中偏易

(30)

P= 1 -2 0 1 A+B =P 1 0

0 6 P-1+P 6 0

0 1 P-1=P

1 00 6 + 6 00 1

P-1

=P 7 0 0 7 P-1

=P.7IP-1

=7I= 7 0 0 7

a+b+c+d=7+0+0+7=14

C. 已知一個不均勻銅板,投擲時出現正面的機率為 1

3,出現反面的機率為 2 3。 今在坐標平面上有一顆棋子,依投擲此銅板的正反面結果,前進至下一個位 置,規則如下:

(一)若擲出為正面,則從目前位置依著向量(-1﹐2)的方向與長度,前進至 下一個位置;

(二)若擲出為反面,則從目前位置依著向量(1﹐0)的方向與長度,前進至下 一個位置。

例如:棋子目前位置在坐標(2﹐4),若擲出反面,則棋子前進至坐標(3﹐4)。 假設棋子以原點(0﹐0)為起始點,依上述規則,連續投擲此銅板6次,且每 次投擲均互相獨立,則經過6次移動後,棋子停在坐標( w﹐e )的機率 最大。

答  案 (2﹐4)

命題出處 選修數學乙(上)第一章 機率統計

測驗目標 二項分布

難 易 度 中偏難

X表投擲銅板6次中,出現正面的次數,即XB

6 13

X=[ n+1p]=

[

6+1* 13

]

=

[

73

]

=2時,機率最大

此時,正面、反面各出現 2、4次

∴棋子停在(0﹐0)+2(-1﹐2)+4(1﹐0)=(2﹐4)

(31)

第貳部分:非選擇題(占 26 分)

說明:本部分共有二大題,答案必須寫在「答案卷」上,並於題號欄標明大題號

(一、二)與子題號(1、2、……),同時必須寫出演算過程或理由,否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因,致評閱人員無法清楚 辨識,該部分不予計分。每一子題配分標於題末。

一、坐標平面上有兩點A(-3﹐4),B(3﹐2)及一條直線L。已知AB兩點在直 線L的兩側且an=(4﹐-3)是直線L的法向量。設A點到直線L的距離為B 點到直線L的距離的5倍。根據上述,試回答下列問題。

  1 試求向量aAB 與向量an的內積。(4分)

  2 試求直線L的方程式。(4分)

  3 設P點在直線L上且PA=PB,試求P點坐標。(4分)

答  案 1 30;2 4x-3y=1;3 (-2﹐-3)

命題出處 第三冊第三章 平面向量

測驗目標 內積、分點公式、直線的法向量

難 易 度

1 aAB.an=(6﹐-2).(4﹐-3)=24+6=30 2 設L:4x-3y=k,作圖如下

  由相似三角形△AA'Q∼ △BB'Q得   AA'BB'=QAQB=5:1

  Q

5*3+51+*1(-3﹐ 5*2+1*4

5+1

=

273

  代入L得4*2-3* 7

3=k!k=1   L:4x-3y=1

(32)

3 1 ∵PA=PB 

   ∴PAB的中垂線L'上   2 AB之中點M

   

-32+3 4+22

=03

  3 mAB= 4-2

-3-3=-1 3     L'rAB ∴mL'=3

    L'y=3x+3!3x-y=-3

    再與L:4x-3y=1聯立,解得Pxy)=(-2﹐-3)

二、已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類,

甲、乙兩型的各類成本如下表(單位:萬元):

電池成本 馬達成本 其他成本

甲型 56 26 48

乙型 40 20 56

  今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的x 倍」、「馬達成本的y 倍」與「其他成本的 x+y

2 倍」之總和,即

售價=電池成本*x+馬達成本*y+其他成本* x+y 2

  其中倍數xy需滿足「1NxN2,1NyN2,且甲、乙兩型電動車的售價均不 超過200萬元」。

  該廠商為了區隔產品,希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資 訊,試回答下列問題。

  1 試寫出甲、乙兩型電動車的售價(以xy 的式子來表示),並說明「甲型 電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。(4分)

  2 試在坐標平面上,畫出滿足題幹條件(xy)的可行解區域,並以斜線標 示該區域。(4分)

  3 試求當倍數xy分別為多少時,甲、乙兩型電動車的售價差距最大?此時 甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元?(6分)

(33)

答  案 1 甲車售價為80x+50y萬元,乙車售價為68x+48y萬元,說明略;

2 略;

3 x=15

8 ,y=1時,售價差距有最大值為 24.5萬元

命題出處 第三冊第二章 直線與圓

測驗目標 線性規劃

難 易 度

1 甲車售價為56x+26y+48.x+y

2 =80x+50y(萬元)

 乙車售價為40x+20y+56.x+y

2 =68x+48y(萬元)

 ∵1NxN2,1NyN2

 令售價差距P =甲車售價-乙車售價

=(80x+50y)-(68x+48y

=12x+2y>0  ∴甲車售價必定高於乙車售價

2 甲車售價為80x+50yN200!8x+5yN20

 乙車售價為68x+48yN200,由1知乙車售價<甲車售價N200  ∴必成立,可略去

 故可得可行解區域為

1NxN2 1NyN2 8x+5yN20

,作圖如下

3 

 ∴當x=15

8 ,y=1時,P有最大值為24.5(萬元) F

xy) (1﹐1) (1﹐2)

542

) (

158 1

P=12x+2y 14 16 19 24.5

(34)

學測週計畫

國文、英文、數學 A、

物理、化學、生物、

地球科學、歷史、

地理、公民與社會

(附 3 回新式學測模擬題)

國文、英文、數學、

自然、社會

新大滿貫複習講義

數學 A、數學 B、

物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、

生物、歷史、地理、

公民與社會

數學 A、數學 B、

物理、化學、

生物、地球科學、

公民與社會

香吉試學測講義

數學 A

翰將複習講義

國文、英文

新大滿貫總複習

國文

大講堂 文言文15 篇

數學 A

數 A 樂試

學測歷屆試題

綜合進階題型,靈活運用概念 素養題型,增進核心素養閱讀能力 混合題型,強化大腦思辨能力 創新試題,符合大考新趨勢

隨書附 試題本.解答本

概念好釐清:重點統整,建立完整的知識架構 觀念好理解:知識註解、圖像解構難懂的概念 大考新試力:素養導向、混合題融入時事議題 試題更多元:收錄最新學測與獨家模擬考試題

科 目 數學 A、數學 B、物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、 生物、歷史、地理、公民與社會

隨書附 解答本

重點整理與趨勢分析 精選範例與類題演練 多元素養混合趨勢題

科 目 數學 A、數學 B、物理、化學、生物、 地球科學、公民與社會

隨書附 解答本(數學另附「試題本」)

一本搞定數 A +數 B

挑戰滿級分

聚焦高考點

超前 指路

精準 指路

快速 指路

徬徨學子照過來

(35)

學測週計畫

國文、英文、數學 A、

物理、化學、生物、

地球科學、歷史、

地理、公民與社會

(附 3 回新式學測模擬題)

國文、英文、數學、

自然、社會

新大滿貫複習講義

數學 A、數學 B、

物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、

生物、歷史、地理、

公民與社會

數學 A、數學 B、

物理、化學、

生物、地球科學、

公民與社會

香吉試學測講義

數學 A

翰將複習講義

國文、英文

新大滿貫總複習

國文

大講堂 文言文15 篇

數學 A

數 A 樂試

學測歷屆試題

綜合進階題型,靈活運用概念 素養題型,增進核心素養閱讀能力 混合題型,強化大腦思辨能力 創新試題,符合大考新趨勢

隨書附 試題本.解答本

概念好釐清:重點統整,建立完整的知識架構 觀念好理解:知識註解、圖像解構難懂的概念 大考新試力:素養導向、混合題融入時事議題 試題更多元:收錄最新學測與獨家模擬考試題

科 目 數學 A、數學 B、物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、

生物、歷史、地理、公民與社會

隨書附 解答本

重點整理與趨勢分析 精選範例與類題演練 多元素養混合趨勢題

科 目 數學 A、數學 B、物理、化學、生物、

地球科學、公民與社會

隨書附 解答本(數學另附「試題本」)

一本搞定數 A +數 B

挑戰滿級分

聚焦高考點

超前 指路

精準 指路

快速 指路

參考文獻

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系所別 經營管理研究所 身份別 一般生 招生名額 計6名 考 試 科 目 筆試 科目 名稱 統計學、經濟學、管理學 三選一 總成績計算方式 一、 統計學、經濟學、管理學成績依標準化成績計算。 計算公式=50+10*該科原始成績-該科平均數/該科標準差。 二、 以上每科原始成績滿分各為100分。 錄取標準