出 版∕民國一一○年八月
發行所∕7 0 2 4 8 臺南市新樂路 76 號 編輯部∕7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 -1 號 總召集∕陳彥良
總編輯∕李心筠 主 編∕吳崇欽
【試題.答案】
依據大考中心公布內容
數 學 甲
忠明高中 / 陳冠州老師
一 回顧與歷屆試題分析
首先我們先回顧一下,102年指定科目考試是第一次依 99課綱命題,至109年 指考各章命題分數統計如下:
範 圍 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年
數與式 0 0 0 0 0 0 0 0
多項式函數 14 2 8 6 0 0 0 0 指數與對數函數 6 6 6 6 6 8 12 6
機 率 6 6 8 7 6 6 8 0
三 角 0 14 11 0 0 6 6 12
直線與圓 6 6 8 4 7 6 8 6
平面向量 0 0 8 11 8 6 8 8 空間向量 14 22 6 ◎7 6 ◎8 2 8 空間中的平面與直線 ◎8 0 0 8 7 12 10 10
矩 陣 ◎12 ◎12 ◎6 ◎8 ◎12 6 ◎6 ◎8
機率統計 6 8 6 7 7 6 6 6
三角函數 8 0 6 13 14 8 6 8 極限與函數 8 6 13 8 7 8 8 8 多項式函數的微積分 12 18 14 15 20 20 20 20
◎:表第四冊中雙圈內容(此部分為指考範圍,不在學測範圍)
由以上各章命題分數,分析數點歸納如下:
1 除了數與式、多項式函數這兩章外,幾乎每章每年都會被命題。
2 若以數學領域分類,以微積分兩章(極限與函數,多項式函數的微積分)每年配 分最多,接著向量三章(平面向量,空間向量,空間中的平面與直線)合計配分 居次。此兩領域都是大一微積分課程內容,很明顯就是為銜接微積分課程而出的 試題。
3 近年考題著重圖形及重要觀念應用,用數學語言描述問題,計算量較以前減少。
基本型題目在課本都可找到類似題,所以弄懂課本題目就有基本分。非選擇題每 年考兩題,用小題引導解題,第1小題都是出自課本重要題目,著重概念性及程 序性知識,建議學子務必把握;非選擇題必有一題出自多項式函數的微積分,可 見命題教授看重微積分,實則為大學微積分課程鋪路。
4 去年(109年)考題非常數學,說白了,數學甲就像大學理工微積分考卷,觀念 與計算並重,筆者是贊同此考法,以免學子只知其然,不知其所以然,可以建立 正確數學學習方法。
二 110 指定科目考試數學甲試題分析
大考中心所列指定科目考試測驗六目標:概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力,110指定科目考試數學甲占 六目標比率依次為0%、12%、12%、0%、40 %、36%,主要測驗高層次數學的 論證推理與解決問題的能力,占了整份試卷的76%,跟以往比較稍高。
110 數學甲試題分配章節表 範 圍 類 型
數與式 -
多項式函數 多選5、非選二 指數與對數函數 單選1
機 率 單選2、多選6 三 角 選填A
直線與圓 選填B
平面向量 選填C
空間向量 非選一
空間中的平面與直線 -
矩 陣 多選4
機率統計 -
三角函數 多選8
極限與函數 -
多項式函數的微積分 單選3、多選7、非選二
由上表試題分配章節表可知:
1 配題:以數學領域分析,仍以向量三章(平面向量,空間向量,空間中的平面與 直線)與微積分兩章(極限與函數,多項式函數的微積分)考18分最多。
2 難易度:中間偏難,但較去年略易,但計算量大答案醜,又會降低分數,預估各 標略升為頂標70分、前標58分、均標42分、後標26分、底標18分,請同學參 考。此份計算複雜題目,是可以設計成漂亮數據,但命題教授沒有如此,說明就 是要考計算能力,故動手算訓練計算能力是必要功課,所以數學不要用看的了。
3 素養題:今年與去年純數學風格迥然不同,呼應到108課綱素養導向與跨領域精 神,如單選2考條件機率的分割定理搭上快篩試劑,多選6結合戳戳樂遊戲與獨 立事件,但題目更改遊戲規則,讓此題變難很多。
4 特色試題:
單選3:考了將上和轉積分,這在大學微積分是常見考題。
多選6:考戳戳樂,因題目長所以同學若能按題意舉數例,幫助瞭解,這樣就比 較有頭緒。
多選7:考了「導函數恆正,則函數遞增」,結合各種導函數求法,但包括課本沒 有提到的合成函數微分,難度屬中上。
多選8:同學不會做時,可以自行找一個平行四邊形,代入選項檢查,也可拿到 一些分數。
填充A:利用[(小邊)+(中邊)]愈接近(大邊)最大內角θ 愈大,找出三邊 為6、8、12時,θ最大。
填充C:有多種解法,但選擇有效策略解決問題,是最容易拿分,以筆者提供的 解法最方便。
非選一:也是有多種解法,以(公式)+(圖解)是最容易拿分,但若考生是用參 考書中的四面體公式及求對稱點、投影點題型解法,則計算量非常龐大。
三 111 分科測驗數學甲展望
1 從上圖走勢觀察發現近九年的前標在60分上下震盪,表示題目難易度尚穩定,預 估明年分科測驗數學甲依舊維持近年指考數學甲的難易度,微積分仍是命題最多 處。
2 連續兩年都有考舉反例,如109年多選6,110年多選4、8,所以觀念一定要很清 楚,才能舉反例。
3 103∼110年連續 8年非選擇題兩題都是考微積分與空間向量、平面、直線,其 實這都是大一微積分的課程內容,預估明年分科測驗數學甲也會如此。
4 107∼110年連續 4年非選擇題都有一小題考證明或說明題,但沒有很難,故學 子在練習題目時,不可跳過證明題,應紮實練習,訓練論證推理能力,及能正確 表達出你的意思,才是得分不二法門。
5 近年來數學甲試題強調觀念、公式(最好會證明)、圖解,外加計算能力,所以死 背公式、套公式、記題型的學生就非常不利,甚至事倍功半。
6 近年有些考題與課本習題或歷屆試題類似,所以熟練課本習題或歷屆試題是提高 分數最有效的方法。
7 明年分科測驗數學甲首次出現混合題型(兼含選擇題與非選擇題)或非選擇題,
約占 24%,所以真正算懂一題,知曉每一步驟是根據什麼而來,甚至會舉一反 三,不要只記方法,卻說不出引用的公式,這面對靈活的數學甲題目完全不行。
8 108課綱強調素養題,用數學概念解決生活與學術探索情境問題的能力,所以學 子也要多注意時事,但數學甲評量仍以數學知識為主,故不用太深入。 F
(b:110年為預估值)
數 學 甲
忠明高中 / 陳冠州老師
第壹部分:選擇題(單選題、多選題及選填題共占 76 分)
一 單選題(占 18 分)
說明:第1題至第3題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,
請劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得6分;答錯、
未作答或劃記多於一個選項者,該題以零分計算。
1 設x0、y0 為正實數。若坐標平面上的點(10x0﹐100y0)在函數 y=10x的圖形 上,則點(x0﹐log y0)會在直線y=ax+b的圖形上,其中a、b為實數。試問 2a-b的值為何?
1 4 2 9 3 15 4 18 5 22
答 案 5
命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數
測驗目標 對數律
難 易 度 易
詳 解 將(10x0﹐100y0)代入y=10x中,得100y0=1010x0 兩邊取常用對數得log 100y0=log 1010x0
!log 100+log y0=10x0
!log y0=10x0-2
可知(x0﹐log y0)在直線y=10x-2上
∴a=10,b=-2!2a-b=2.10-(-2)=22 故選5
2 研究團隊採用某快篩試劑的檢驗,以了解保護區內生物因環境汙染而導致體內 毒素累積超過標準的比率。此試劑檢驗結果只有紅色、黃色兩種。
依據過去的經驗得知:若體內毒素累積超過標準,經此試劑檢驗後,有75 %顯 示為紅色;若體內毒素累積未超過標準,經此試劑檢驗後,有95 %顯示為黃 色。已知此保護區的某類生物經試劑檢驗後,有 7.8 %的結果顯示為紅色。假 設此類生物實際體內毒素累積超過標準的比率為p %,試選出正確的選項。
1 1Np<3 2 3Np<5 3 5Np<7 4 7Np<9 5 9Np<11
答 案 2
命題出處 第二冊第三章 機 率
測驗目標 分割定理
難 易 度 中偏易
詳 解
∵P(試劑紅色)=7.8 %
∴p %.75 %+(1-p %).5 %=7.8 %!p=4 故選2
3 試求極限 lim 1010
n10〔19+29+39+……+(2n)9〕的值。
1 109
2 109*(210-1) 3 29*(1010-1) 4 109*210
5 29*1010
n→¥
答 案 4
命題出處 選修數學甲(下)第二章 多項式函數的微積分
測驗目標 定積分的定義
難 易 度 中偏難
詳 解 lim 1010
n10〔19+29+39+……+(2n)9〕
=1010*lim 1
n*
〔(
1n)
9+(
2n)
9+(
3n)
9+……+(
2nn)
9〕
=1010*
∫
0x2 9dx
=1010*
(
x1010)│
20=1010*
(
21010)
=109*210 故選4
二 多選題(占 40 分)
說明:第4題至第8題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所 有選項均答對者,得8分;答錯1個選項者,得4.8分;答錯2個選項者,
得1.6分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。
4 某電子公司有數百名員工,其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發 現:若當日用餐為自備的員工,則隔天會有10 %轉為外食;若當日用餐為外食 的員工,則隔天會有20 %轉為自備。
假設 x0、y0 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比 例,其中x0、y0皆為正數,且xn、yn 分別代表經過n日後用餐自備人數與外食 人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下,試選出正確的選項。
1 y1=0.9y0+0.2x0
2 xn+1
yn+1
= 0.9 0.2 0.1 0.8 xn
yn
3若 x0
y0
=2
1,則 xn
yn
=2
1 對任意正整數n均成立 4若y0>x0,則y1>x1
5若x0>y0,則x0>x1
n→¥
n→¥
答 案 23
命題出處 第四冊第三章 矩 陣
測驗目標 轉移矩陣
難 易 度 中偏難
詳 解 令機率矩陣Xn= xn
yn
,轉移矩陣A= 0.9 0.2 0.1 0.8
自 自 外
外
1×:X1=AX0! x1
y1 = 0.9 0.2 0.1 0.8
x0
y0 !y1=0.1x0+0.8y0 2○:Xn+1=AXn! xn+1
yn+1
= 0.9 0.2 0.1 0.8 xn
yn
3○:∵ x0
y0=2
1 且x0+y0=1 ∴x0=2
3,y0=1 3
x1
y1 = 0.9 0.2 0.1 0.8 x0
y0 = 0.9 0.2 0.1 0.8
2 3 1 3
= 2 3 1 3 以此類推,可得xn=2
3,yn=1 3 故 xn
yn
=2
1 對所有正整數n均成立
4×:反例:取x0=0.45,y0=1-0.45=0.55!y0>x0
x1 y1
= 0.9 0.2 0.1 0.8
0.45
0.55 = 0.515 0.485 不符合y1>x1
5×:反例:由3知,當x0=2
3,y0=1
3 時,x1=2 3 符合x0>y0,但不符合x0>x1
故選23
5 假設 f(x)為五次實係數多項式,且 f(x)除以 xn-1的餘式為r(n x),n是正 整數。試選出正確的選項。
1 r(1 x)=f(1)
2 r(2 x)是一次實係數多項式
3 r(4 x)除以x2-1所得的餘式等於r(2 x) 4 r(5 x)=r(6 x)
5若 f(-x)=-f(x),則r(-3 x)=-r(3 x)
答 案 13
命題出處 第一冊第二章 多項式函數
測驗目標 除法原理
難 易 度 中偏難
詳 解 1○:當n=1時,f(x)除以x-1的餘式為r(1 x)=f(1)
(由餘式定理知)
2×:當n=2時,f(x)除以x2-1的餘式為r(2 x) !r(2 x)可能為一次式或常數
3○:當n=4時,f(x)除以x4-1的餘式為r(4 x) ! f(x)=(x4-1)Q(4 x)+r(4 x)
! f(x)=(x2-1)(x2+1)Q(4 x)+r(4 x)
∴ f(x)除以x2-1的餘式 r(2 x)就是r(4 x)除以x2-1的餘式 4×:∵r(6 x)=f(x),r(5 x)≠f(x) ∴r(6 x)≠r(5 x)
5×:反例:令 f(x)=x5,則 f(-x)=-f(x) 將(f x)除以x3-1得餘式r(3 x)=x2 但r(-3 x)=(-x)2=x2=r(3 x) 故選13
6 一個標有1至12號格子的 12格戳戳樂遊戲,每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四 次來決定要戳哪些格子。規則如下:
(一)第一次投擲銅板,若是正面,則戳1號格子;若是反面,則戳3號格子。
(二)第二、三、四次投擲銅板,若是正面,則所戳格子的號碼為前一次所戳格 子的號碼加 1;若是反面,則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加
3,依此類推。
例如:投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」,則會戳編號分別為 1、 4、7、8號的四個格子。
假設pm代表在每回遊戲中m號格子被戳到的機率,試選出正確的選項。
1 p2= 1 4 2 p3= 1 2 3 p4= 1
2 p1+1 2 p3
4 p8>p10
5在4號格子被戳到的條件下,3號格子被戳到的機率為 1 2
答 案 134
命題出處 第二冊第三章 機 率
測驗目標 條件機率、獨立事件
難 易 度 難
詳 解 1○:2號被戳到的情況:1+1=2!正、正 ∴p2= 1
2*1 2=1
4
2×:3號被戳到的情況有兩種:
1 1+1+1=3!正、正、正 機率為 1
2*1 2*1
2= 1 8 2 3!反
機率為 1 2 由1、2知p3=1
8+ 1 2= 5
8
3○:下次戳到4號的情況有兩種:
3 1號被戳到 擲反面 +3 4號 4 3號被戳到 擲正面
+1 4號 由3、4知p4=p1*1
2+p3*1 2= 1
2 p1+1 2 p3 4○:8號被戳到的情況:1+1+3+3(=8)及其排列
p8= 4!
2!2!*
(
12)
4= 16610號被戳到的情況:1+3+3+3(=10)及其排列 p10=4!
3! *
(
12)
4= 164∴p8>p10
5×:所求為
p3*1 p42 =
5 8*1
2 1
2*1 2+1
2*5 8
=5 9 故選134
7 設F(x)為一實係數多項式且F'(x)=f(x)。已知 f '(x)>x2+1.1對所有的實 數x 均成立,試選出正確的選項。
1 f '(x)為遞增函數 2 f(x)為遞增函數 3 F(x)為遞增函數 4(f(x))2為遞增函數 5 f(f(x))為遞增函數
答 案 25
命題出處 選修數學甲(下)第二章 多項式函數的微積分
測驗目標 由導數看增減
難 易 度 難
詳 解 1×:反例:設 f '(x)=x2+2>x2+1.1 但 f '(x)=x2+2非遞增函數
2○:f '(x)=x2+2>x2+1.1>0對所有實數x皆成立!恆正 ! f(x)為遞增函數
注意:f(x)之正負不定
3×:承2,F'(x)=f(x)正負不定!F(x)不一定為遞增函數 4×:〔(f(x))2〕'=2f(x).f '(x)正負不定
!(f(x))2不一定為遞增函數 5○:〔f(f(x))〕'=f '(f(x)).f '(x)恆正
(∵ f '(x)為恆正 ∴ f '(f(x))亦恆正)
! f(f(x))為遞增函數 故選25
8 已知z1、z2、z3、z4為四個相異複數,且其在複數平面上所對應的點,依序可連 成一個平行四邊形,試問下列哪些選項必為實數?
1(z1-z3)(z2-z4) 2 z1-z2+z3-z4 3 z1+z2+z3+z4 4 z1-z2
z3-z4
5
(
zz21--zz43)
2答 案 24
命題出處 選修數學甲(上)第二章 三角函數
測驗目標 複數平面
難 易 度 中偏難
詳 解 1×:反例:令z1=0,z2=1+i,z3=1+2i,z4=i 如右圖所示
則(z1-z3)(z2-z4)=(-1-2i)(1) =-1-2i不為實數 2○:∵平行四邊形對角線有相同中點M
∴z1+z3
2 =z2+z4
2 !z1-z2+z3-z4=0
3×:承1,z1+z2+z3+z4 =0+(1+i)+(1+2i)+i
=2+4i不為實數 4○:承2,z1-z2+z3-z4=0!z1-z2=z4-z3
代入 z1-z2
z3-z4
=z4-z3
z3-z4
=-1
5×:承1,
(
zz21--zz43)
2=(
-11-2i)
2=-253 -254 i不為實數故選24
三 選填題(占 18 分)
說明:1 第 A. 至 C. 題,將答案劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的 列號(9~22)。
2 每題完全答對給 6 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A. 從6、8、10、12中任取三個相異數字,作為三角形的三邊長,且設此三角形的 最大內角為θ。在所有可能構成的三角形中,cos θ 的最小值為 90q
we 。
(化成最簡分數)
答 案 -11 24
命題出處 第三冊第一章 三 角
測驗目標 餘弦定理
難 易 度 中
詳 解 如右圖所示,所求為cos θ=62+82-122
2*6*8 =- 11 24
B. 坐標平面上,一個半徑為12的圓與直線x+y=0相交於兩點,且這兩點的距離 為8。若此圓與直線x+y=24交於P、Q兩點,則線段PQ的長度為
r t 。(化成最簡根式)
答 案 8 7
命題出處 第三冊第二章 直線與圓
測驗目標 兩平行線距離、圓定義
難 易 度 中
詳 解 如右圖所示
a= 122-42=8 2 d= 24
12+12=12 2 b=d-a=4 2
PM= 122-(4 2)2=4 7 故PQ=2PM=8 7
C. 考慮一梯形ABCD,其中AB與DC平行。已知點 E、F分別在對角線AC、BD上,且AB=2
5 DC、 AE=3
2 EC、BF=2
3 FD,如右圖所示。若將向量 a
aFE表示成α aaAC+β aaAD,則實數α= y
ui 、β= op
as 。(化成最簡分數)
答 案 9
25,-4 25
命題出處 第三冊第三章 平面向量
測驗目標 向量的線性組合
難 易 度 中偏難
詳 解
1 aaFE=aaAE-aaAF 2 ∵AE=3
2 EC ∴aaAE=3
5 aaAC ……… 1 3 ∵BF=2
3 FD ∴aaAF=2
5 aaAD+3 5 aaAB =2
5 aaAD+3
5
(
25 aaDC)(
∵AB=25 DC)
=2
5 aaAD+ 6 25 aaDC =2
5 aaAD+ 6
25(aaAC-aaAD) = 4
25 aaAD+ 6
25 aaAC …………2 將1、2代回1,得aaFE=3
5 aaAC-
(
254 aaAD+256 aaAC)
= 9
25 aaAC- 4 25 aaAD 故α= 9
25,β=- 4 25
【另解】
將梯形特殊化,再坐標化如右圖
∵ EA:EC=3:2
∴E點坐標為
(
3*53++22*0 ﹐3*03++22*5)
=(3﹐2)∵ FB:FD=2:3
∴F點坐標為
(
2*02++33*2 ﹐2*0+3*52+3
)
=(
65﹐3)
∵aFE=αaaAC+β aaAD
∴
(
95﹐-1)
=α(5﹐-5)+β(0﹐-5)=(5α﹐-5α-5β)! 5α=9 5
-5α-5β=-1
!α= 9
25,β=- 4 25
第貳部分:非選擇題(占 24 分)
說明:本部分共有二大題,答案必須寫在「答案卷」上,並於題號欄標明大題號
(一、二)與子題號(1、2、……),同時必須寫出演算過程或理由,否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因,致評閱人員無法清楚 辨識,該部分不予計分。每一子題配分標於題末。
一、坐標空間中,令E為通過三點A(0﹐-1﹐-1)、B(1﹐-1﹐-2)、 C(0﹐1﹐0)的平面。假設H為空間中一點,且滿足
aAH=2
3 aAB-1
3 aaAC+3(aAB*aAC)。根據上述,試回答下列問題。
1 試求四面體ABCH的體積。(4分)(註:四面體體積為三分之一的底面積 乘以高)
2 令點H'為點H相對於平面E的對稱點,試求H'的坐標。(4分)
3 試判斷點H'在平面E的投影點是否位在 △ABC的內部?並說明理由。
(4分)(註:三角形的內部不含三角形的三邊)
答 案 1 9
2;2 H'
(
-163 ﹐43﹐-8)
;3否,說明略命題出處 第四冊第一章 空間向量
測驗目標 空間幾何、立體圖形、空間向量基本運算
難 易 度 中偏難
詳 解
1 aAB*aAC=(1﹐0﹐-1)*(0﹐2﹐1)=(2﹐-1﹐2) !│aAB*aAC│=3
△ABC的面積為 1
2│aAB*aAC│=3 2 令aAP=2
3 aAB-1 3 aAC =2
3(1﹐0﹐-1)-1
3(0﹐2﹐1)=
(
23﹐-23﹐-1)
aPH=3(aAB*aAC)r平面E
∴d(H﹐E)=│3(aAB*aAC)│=3*3=9 故體積VH-ABC =1
3*(△ABC面積)*d(H﹐E)=1 3*3
2*9=9 2 2 aPH'=-3(aAB*aAC)=(-6﹐3﹐-6)
故H'坐標為
(0﹐-1﹐-1)+
(
23﹐-23﹐-1)
+(-6﹐3﹐-6)=
(
- 163 ﹐43﹐-8)
3 點H'在平面E的投影點就是點P ∵aAP=2
3 aAB-1 3 aAC
∴由向量減法作圖知點P在△ABC外部,而不在內部
二、坐標平面上,以 Γ表示多項式函數 y=x3-4x2+5x的圖形,且以 L表示直線 y=mx,其中m為實數。根據上述,試回答下列問題。
1 當m=2時,試求出在 xM0的範圍內,Γ與L的三個相異交點的x 坐標。
(2分)
2 承1,試求Γ與L所圍有界區域面積的值。(4分)
3 在xM0的範圍內,若Γ與L有三個相異交點,則滿足此條件的 m之最大 範圍為a<m<b,試求a、b之值。(6分)
答 案 1 0,1,3;2 37
12;3 a=1,b=5
命題出處 第一冊第二章 多項式函數、
選修數學甲(下)第二章 多項式函數的微積分
測驗目標 曲線間面積求法、解高次方程式、二次方程式之根與係數的關係
難 易 度 中偏難
詳 解 1 y=x3-4x2+5x y=2x
!x3-4x2+5x=2x!x3-4x2+3x=0 !x(x-1)(x-3)=0!x=0,1,3 2 所求面積為
A1+A2
=
∫
0〔1(x3-4x2+5x)-2x〕dx+
∫
1〔3 2x-(x3-4x2+5x)〕dx =
∫
0(1 x3-4x2+3x)dx-
∫
1(3 x3-4x2+3x)dx
=
(
14 x4-43 x3+32 x2)│
10-(
14 x4-43 x3+32 x2)│
31=
(
125 -0)
-(
-94- 125)
= 37123 由題意知 y=x3-4x2+5x
y=mx 有x=0及另外兩相異正根 !x3-4x2+5x=mx !x3-4x2+(5-m)x=0
!x〔x2-4x+(5-m)〕=0
∵x2-4x+(5-m)=0有兩相異正根
∴
判別式D=(-4)2-4.1.(5-m)>0!m>1 兩根之積 5-m
1 >0!m<5
!1<m<5,故a=1,b=5 F
忠明高中 / 陳冠州老師
一 回顧與歷屆試題分析
首先我們先回顧一下,102年指定科目考試是第一次依99課綱命題,至109年 指考各章命題分數統計如下:
範 圍 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年
數與式 0 8 0 6 0 0 6 0
多項式函數 6 16 16 14 14 19 8 8 指數與對數函數 12 6 8 8 14 14 8 13
排列、組合 8 8 6 8 8 6 16 6 機 率 0 8 8 6 0 16 16 4 數據分析 14 6 8 8 8 0 0 14 直線與圓 20 24 24 12 8 13 19 18 平面向量 8 8 8 14 8 8 13 11
矩 陣 8 8 8 6 13 8 6 6
機率統計 16 0 8 12 19 8 8 12
極限與函數 8 8 6 6 8 8 0 8
由以上各章命題分數,分析數點歸納如下:
1 以冊分析,第二、三冊是考最多的。
2 以章分析,以第三冊第二章直線與圓考最多,第一冊第二章多項式函數次之。
3 以數學領域分析,以機率統計四章(排列、組合,機率,數據分析,機率統計)
考最多,每年約考30分,這也呼應大學商管學群最重視的數學部分。
4 近年試題趨勢,非常重觀念及圖表解讀,不強調複雜計算,素養題每年都會考,
且題目字數明顯比數學甲多。
5 去年(109年)數學乙有 4題素養題,結合時事或生活,如非選擇題第一題,考 了傳染病的傳染力問題,跟新冠肺炎搭上關係,這是結合時事;又如選填C結合 職場薪水,這是結合生活。這都可列為明年學測數學素養題必練習題目。
二 110 指定科目考試數學乙試題分析
大考中心所列指定科目考試測驗六目標:概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力,110指定科目考試數學乙占 六目標比率依次為22 %、8 %、6 %、8 %、20 %、36 %,比較重視的是解決問題 的能力,預先呼應108課綱學測測驗能力:整合運用知識與技能以處理生活情境問 題。
110 數學乙試題分配章節表 範 圍 類 型
數與式 選填A
多項式函數 單選2 指數與對數函數 多選4 排列、組合 多選5
機 率 -
數據分析 單選1
直線與圓 非選二
平面向量 非選一
矩 陣 選填B
機率統計 單選3、多選7、選填C 極限與函數 多選6
由上表試題分配章節表可知:
1 配題:各章配分大致差不多;若以數學領域分析,仍以機率統計四章(排列、組 合,機率,數據分析,機率統計)共占36分最多,跟以往相同。
2 難易度:中間偏易,比去年略易,預估各標上升為頂標 90分、前標73 分、均標 50分、後標32分、底標18分,請同學參考。
3 素養題:今年有五題素養題,如單選 1考人數與年齡的相關係數,看圖就可解 決;單選 3考抽獎期望值,屬課本類似題;多選 5考積木與公仔分成兩袋的情 況,是此份最難題,同學需冷靜思考如何分類列出所有可能情況,再判斷選項之 對錯;選填C考擲銅板與二項分布之最大機率,算是比較難的,但也是課本題 目;非選二搭上電動車潮流而設計的線性規劃問題,這是不錯的考題,但在108 課綱中,線性規劃不列入考試範圍,實屬可惜。
4 其他特色:此份考卷中文敘述明確,沒有以前模稜兩可的文字敘述,延續去年題 文風格。所有題目不是在課本就是在考古題中可以找到類似題。此次出題教授有 由易至難排序題目,這是鼓勵學生作答,不要放棄,十分贊同!
5
(b:110年為預估值)
今年是末屆數學乙考試,但也不是說數學乙的題目就沒有用了,筆者認為數學乙 試題反而比數學甲更接近 108課綱的素養題,所以可以將數學乙的題目當作訓練學測
素養題的練習。 F
數 學 乙
忠明高中 / 陳冠州老師
第壹部分:選擇題(單選題、多選題及選填題共占 74 分)
一 單選題(占 18 分)
說明:第1題至第3題,每題有5個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,
請劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得6分;答錯、
未作答或劃記多於一個選項者,該題以零分計算。
1 下列選項分別為甲、乙、丙、丁、戊等五個地區1至10歲(以整數計)兒童罹 患某疾病的人數散佈圖。試選出罹患某疾病的人數與年齡相關係數值最大的選 項。
1 2
3 4
5
答 案 4
命題出處 第二冊第四章 數據分析
測驗目標 相關係數
難 易 度 易
詳 解 由題圖可知,34為正相關,r皆大於0, 又4為完全正相關!r=1即為最大
故選4
2 已知實係數二次多項式函數 f(x)滿足 f(-1)=k,f(1)=9k,f(3)=-15k, 其中k>0。設函數y=f(x)圖形頂點的x坐標為a,試選出正確的選項。
1 aN-1 2-1<a<1 3 a=1 4 1<a<3 5 3Na
答 案 2
命題出處 第一冊第二章 多項式函數
測驗目標 二次函數的圖形
難 易 度 易
詳 解 由題意作略圖如下:
由圖可知-1<a<1,故選2
3 某公司舉辦年終抽獎活動,每人從編號分別為1至 6的六張牌中隨機抽取兩 張。假設每張牌抽到的機會均相等,且規則如下:
(一)若這兩張牌的號碼之和是奇數,則可得獎金100元,此時抽獎結束;
(二)若號碼之和為偶數,就將這兩張牌丟掉,再從剩下的四張牌中隨機抽取兩 張牌,且其號碼之和為奇數,則可得獎金50元,其他情形則沒有獎金,
此時抽獎結束。
依上述規則,試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元?
1 50 2 70 3 72 4 80 5 100
答 案 2
命題出處 選修數學乙(上)第一章 機率統計
測驗目標 期望值、獨立事件
難 易 度 中
詳 解 由題意可作樹狀圖如右:
其對應的機率為 1:p=C 31C 31
C 62
=3 5 2:p= C 32
C 62 =1 5 3:p= C 32
C 62 =1 5 4:p=C 11C 31
C 42
=1 2 5:p=C 31C 11
C 42
=1 2
∴期望值為100*3
5+50*1 5*1
2+50*1 5*1
2=70(元)
故選2
二 多選題(占 32 分)
說明:第4題至第7題,每題有5個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題之選項獨立判定,所 有選項均答對者,得8分;答錯1個選項者,得4.8分;答錯2個選項者,
得1.6分;答錯多於2個選項或所有選項均未作答者,該題以零分計算。
4 設a=log2 8,b=log3 1,c=log0.5 8,試選出正確的選項。
1 b=0
2 a+b+c>0 3 a>b>c 4 a2>b2>c2 5 2a>3b>
(
12)
c答 案 13
命題出處 第一冊第三章 指數與對數函數
測驗目標 對數的定義
難 易 度 易
詳 解 a=log2 8=3,b=log3 1=0,c=log0.5 8=log2-123= 3
-1=-3 1○
2×:a+b+c=3+0-3=0 3○
4×:a2=9,b2=0,c2=9 ∴a2=c2>b2
5×:2a=23=8,3b=30=1,
(
12)
c=(
12)
-3=8∴2a=
(
12)
c>3b故選13
5 某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和a、b、c、d、e 五個角色公仔,共八 個玩具,分成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具,其分裝的原則如下:
(一)甲和a必須裝在同一袋。
(二)每袋至少裝有一個積木模型。
(三)d和e必須裝在不同袋。
根據以上敘述,試選出正確的選項。
1每袋至少裝有兩個角色公仔 2乙和丙必裝在不同袋
3如果乙和d裝在同一袋,則丙和e 必裝在同一袋 4如果乙和d裝在不同袋,則b和c 必裝在不同袋 5如果b和c裝在不同袋,則乙和丙必裝在同一袋
答 案 15
命題出處 第二冊第二章 排列、組合
測驗目標 分類法、討論法
難 易 度 難
詳 解 討論列舉如下:
1 甲、a、d同一袋,則有下列4種裝法 1 甲ad乙,丙bce
2 甲ad丙,乙bce 3 甲adb,乙丙ce 4 甲adc,乙丙be
2 甲、a、e同一袋,則有下列4種裝法 5 甲ae乙,丙 bcd
6 甲ae丙,乙 bcd 7 甲aeb,乙丙cd 8 甲aec,乙丙bd 1○
2×:反例:3、4、7、8 3×:反例:7、8
4×:反例:2、5
5○:如3、4、7、8皆符合 故選15
6 已知實數數列〈an〉滿足 a1=1,an+1=2n+1
2n-1 an,n為正整數。試選出正確的選 項。
1 a2=3 2 a4=9
3〈an〉為等比數列 4n
Σ
20=1an=4005 lim an
n =2
答 案 145
命題出處 選修數學乙(下)第一章 極限與函數
測驗目標 無窮極限、遞迴數列
難 易 度 中
詳 解 1○:a2= 2+1
2-1*a1=3 2×:a3= 2*2+1
2*2-1*a2=5
3*3=5 a4= 2*3+1
2*3-1*a3=7
5*5=7 3×:由an+1=2n+1
2n-1 an可得 a2=3
1 a1=3 a3=5
3 a2
a4=7 5 a3 a5=9
7 a4 ︙
*)an=2n-1 2n-3 an-1
an=3*5 3*7
5*9
7*……*2n-1
2n-3=2n-1 ∴〈an〉=〈2n-1〉為等差數列
n→¥
4○:n
Σ
20=1an=a1+a2+……+a20=1+3+……+39 =(1+39)*20
2 =400
5○:lim an
n =lim 2n-1
n =2
故選145
7 已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 1
2,且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從 下列選項中,選出發生機率為 1
2 的事件。
1 連續射2次飛鏢,恰射中1次 2 連續射4次飛鏢,恰射中2次
3 連續射4次飛鏢,射中的總次數為奇數
4 連續射6次飛鏢,在第1次沒有射中的條件下,第2次有射中
5 連續射6次飛鏢,在前2次恰射中1次的條件下,後4次恰射中2次
答 案 134
命題出處 選修數學乙(上)第一章 機率統計
測驗目標 獨立事件、二項分布
難 易 度 中
詳 解 令X表連續射n次恰射中次數!X∼B
(
n﹐12)
1○:P(X=1)=C
(
21 12) (
1 12)
1=122×:P(X=2)=C
(
42 12) (
2 12)
2=383○:所求為P(X=1)+P(X=3)=C
(
41 12) (
1 12)
3+C(
43 12) (
3 12)
1=124○:∵每次射中飛鏢的結果均互相獨立 ∴所求為P(第2次射中)=1
2 5×:∵每次射中飛鏢的結果均互相獨立
∴所求為P(後4次恰射中2次)=3
8(同2)
故選134
n→¥ n→¥
三 選填題(占 24 分)
說明:1 第 A. 至 C. 題,將答案劃記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示 的列號(8~13)。
2 每題完全答對給 8 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。
A. 數線上有原點O 及三點 A(-2)、B(10)、C(x),其中 x 為實數。已知線段 BC、AC、OB長度大小關係為BC<AC<OB,則x 的最大範圍為
8 <x< 9 。
答 案 4<x<8
命題出處 第一冊第一章 數與式
測驗目標 絕對值
難 易 度 易
詳 解 1 AB之中點M坐標為(-2)+10
2 =4
∵BC<AC
∴C位置在 M之右(不含M) 2 ∵AC<OB=10
∴C位置在-2810之間,即-12∼8之間(不含-12,8)
由1、2取交集得4<x<8
B. 設矩陣A= 1 -2 0 1
1 0 0 6
1 -2 0 1
-1
,B= 1 -2 0 1
6 0 0 1
1 -2 0 1
-1
,其中 1 -2
0 1
-1
為矩陣 1 -2
0 1 的反方陣。若A+B= a b
c d ,則a+b+c+d= 0q 。
答 案 14
命題出處 第四冊第三章 矩 陣
測驗目標 矩陣的乘法
難 易 度 中偏易
詳 解 令P= 1 -2 0 1 A+B =P 1 0
0 6 P-1+P 6 0
0 1 P-1=P
(
1 00 6 + 6 00 1)
P-1=P 7 0 0 7 P-1
=P.7I.P-1
=7I= 7 0 0 7
故a+b+c+d=7+0+0+7=14
C. 已知一個不均勻銅板,投擲時出現正面的機率為 1
3,出現反面的機率為 2 3。 今在坐標平面上有一顆棋子,依投擲此銅板的正反面結果,前進至下一個位 置,規則如下:
(一)若擲出為正面,則從目前位置依著向量(-1﹐2)的方向與長度,前進至 下一個位置;
(二)若擲出為反面,則從目前位置依著向量(1﹐0)的方向與長度,前進至下 一個位置。
例如:棋子目前位置在坐標(2﹐4),若擲出反面,則棋子前進至坐標(3﹐4)。 假設棋子以原點(0﹐0)為起始點,依上述規則,連續投擲此銅板6次,且每 次投擲均互相獨立,則經過6次移動後,棋子停在坐標( w﹐e )的機率 最大。
答 案 (2﹐4)
命題出處 選修數學乙(上)第一章 機率統計
測驗目標 二項分布
難 易 度 中偏難
詳 解 令X表投擲銅板6次中,出現正面的次數,即X∼B
(
6﹐ 13)
當X=([ n+1)p]=(
[
6+1)* 13]
=[
73]
=2時,機率最大此時,正面、反面各出現 2、4次
∴棋子停在(0﹐0)+2(-1﹐2)+4(1﹐0)=(2﹐4)
第貳部分:非選擇題(占 26 分)
說明:本部分共有二大題,答案必須寫在「答案卷」上,並於題號欄標明大題號
(一、二)與子題號(1、2、……),同時必須寫出演算過程或理由,否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因,致評閱人員無法清楚 辨識,該部分不予計分。每一子題配分標於題末。
一、坐標平面上有兩點A(-3﹐4),B(3﹐2)及一條直線L。已知A、B兩點在直 線L的兩側且an=(4﹐-3)是直線L的法向量。設A點到直線L的距離為B 點到直線L的距離的5倍。根據上述,試回答下列問題。
1 試求向量aAB 與向量an的內積。(4分)
2 試求直線L的方程式。(4分)
3 設P點在直線L上且PA=PB,試求P點坐標。(4分)
答 案 1 30;2 4x-3y=1;3 (-2﹐-3)
命題出處 第三冊第三章 平面向量
測驗目標 內積、分點公式、直線的法向量
難 易 度 中
詳 解 1 aAB.an=(6﹐-2).(4﹐-3)=24+6=30 2 設L:4x-3y=k,作圖如下
由相似三角形△AA'Q∼ △BB'Q得 AA':BB'=QA:QB=5:1
∴Q
(
5*3+51+*1(-3)﹐ 5*2+1*45+1
)
=(
2﹐73)
代入L得4*2-3* 7
3=k!k=1 故L:4x-3y=1
3 1 ∵PA=PB
∴P在AB的中垂線L'上 2 AB之中點M為
(
-32+3﹐ 4+22)
=(0﹐3)3 mAB= 4-2
-3-3=-1 3 ∵L'rAB ∴mL'=3
得L':y=3x+3!3x-y=-3
再與L:4x-3y=1聯立,解得P(x﹐y)=(-2﹐-3)
二、已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類,
甲、乙兩型的各類成本如下表(單位:萬元):
電池成本 馬達成本 其他成本
甲型 56 26 48
乙型 40 20 56
今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的x 倍」、「馬達成本的y 倍」與「其他成本的 x+y
2 倍」之總和,即
售價=電池成本*x+馬達成本*y+其他成本* x+y 2
其中倍數x、y需滿足「1NxN2,1NyN2,且甲、乙兩型電動車的售價均不 超過200萬元」。
該廠商為了區隔產品,希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資 訊,試回答下列問題。
1 試寫出甲、乙兩型電動車的售價(以x、y 的式子來表示),並說明「甲型 電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。(4分)
2 試在坐標平面上,畫出滿足題幹條件(x﹐y)的可行解區域,並以斜線標 示該區域。(4分)
3 試求當倍數x、y分別為多少時,甲、乙兩型電動車的售價差距最大?此時 甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元?(6分)
答 案 1 甲車售價為80x+50y萬元,乙車售價為68x+48y萬元,說明略;
2 略;
3 當x=15
8 ,y=1時,售價差距有最大值為 24.5萬元
命題出處 第三冊第二章 直線與圓
測驗目標 線性規劃
難 易 度 中
詳 解 1 甲車售價為56x+26y+48.x+y
2 =80x+50y(萬元)
乙車售價為40x+20y+56.x+y
2 =68x+48y(萬元)
∵1NxN2,1NyN2
令售價差距P =甲車售價-乙車售價
=(80x+50y)-(68x+48y)
=12x+2y>0 ∴甲車售價必定高於乙車售價
2 甲車售價為80x+50yN200!8x+5yN20
乙車售價為68x+48yN200,由1知乙車售價<甲車售價N200 ∴必成立,可略去
故可得可行解區域為
1NxN2 1NyN2 8x+5yN20
,作圖如下
3
∴當x=15
8 ,y=1時,P有最大值為24.5(萬元) F
(x﹐y) (1﹐1) (1﹐2)
(
54﹐2) (
158 ﹐1)
P=12x+2y 14 16 19 24.5
學測週計畫
國文、英文、數學 A、
物理、化學、生物、
地球科學、歷史、
地理、公民與社會
(附 3 回新式學測模擬題)
國文、英文、數學、
自然、社會
新大滿貫複習講義
數學 A、數學 B、
物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、
生物、歷史、地理、
公民與社會
數學 A、數學 B、
物理、化學、
生物、地球科學、
公民與社會
香吉試學測講義
數學 A
翰將複習講義
國文、英文
新大滿貫總複習
國文
大講堂 文言文15 篇
數學 A
數 A 樂試
學測歷屆試題
綜合進階題型,靈活運用概念 素養題型,增進核心素養閱讀能力 混合題型,強化大腦思辨能力 創新試題,符合大考新趨勢
隨書附 試題本.解答本
概念好釐清:重點統整,建立完整的知識架構 觀念好理解:知識註解、圖像解構難懂的概念 大考新試力:素養導向、混合題融入時事議題 試題更多元:收錄最新學測與獨家模擬考試題
科 目 數學 A、數學 B、物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、 生物、歷史、地理、公民與社會
隨書附 解答本
重點整理與趨勢分析 精選範例與類題演練 多元素養混合趨勢題
科 目 數學 A、數學 B、物理、化學、生物、 地球科學、公民與社會
隨書附 解答本(數學另附「試題本」)
一本搞定數 A +數 B
挑戰滿級分
聚焦高考點
超前 指路
精準 指路
快速 指路
徬徨學子照過來
學測週計畫
國文、英文、數學 A、
物理、化學、生物、
地球科學、歷史、
地理、公民與社會
(附 3 回新式學測模擬題)
國文、英文、數學、
自然、社會
新大滿貫複習講義
數學 A、數學 B、
物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、
生物、歷史、地理、
公民與社會
數學 A、數學 B、
物理、化學、
生物、地球科學、
公民與社會
香吉試學測講義
數學 A
翰將複習講義
國文、英文
新大滿貫總複習
國文
大講堂 文言文15 篇
數學 A
數 A 樂試
學測歷屆試題
綜合進階題型,靈活運用概念 素養題型,增進核心素養閱讀能力 混合題型,強化大腦思辨能力 創新試題,符合大考新趨勢
隨書附 試題本.解答本
概念好釐清:重點統整,建立完整的知識架構 觀念好理解:知識註解、圖像解構難懂的概念 大考新試力:素養導向、混合題融入時事議題 試題更多元:收錄最新學測與獨家模擬考試題
科 目 數學 A、數學 B、物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、
生物、歷史、地理、公民與社會
隨書附 解答本
重點整理與趨勢分析 精選範例與類題演練 多元素養混合趨勢題
科 目 數學 A、數學 B、物理、化學、生物、
地球科學、公民與社會
隨書附 解答本(數學另附「試題本」)