【試題．答案】

出　版∕民國一一○年八月

發行所∕_{7 0 2 4 8} 臺南市新樂路 76 號 編輯部∕7 0 2 5 2 臺南市新忠路 8 -1 號 總召集∕陳彥良

總編輯∕李心筠 主　編∕吳崇欽

【試題．答案】

依據大考中心公布內容

數 學 甲

忠明高中 / 陳冠州老師

一 回顧與歷屆試題分析

首先我們先回顧一下，102年指定科目考試是第一次依 99課綱命題，至109年 指考各章命題分數統計如下：

範　圍 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年

數與式 0 0 0 0 0 0 0 0

多項式函數 14 2 8 6 0 0 0 0 指數與對數函數 6 6 6 6 6 8 12 6

機　率 6 6 8 7 6 6 8 0

三　角 0 14 11 0 0 6 6 12

直線與圓 6 6 8 4 7 6 8 6

平面向量 0 0 8 11 8 6 8 8 空間向量 14 22 6 ◎7 6 ◎8 2 8 空間中的平面與直線 ◎8 0 0 8 7 12 10 10

矩　陣 ◎12 ◎12 ◎6 ◎8 ◎12 6 ◎6 ◎8

機率統計 6 8 6 7 7 6 6 6

三角函數 8 0 6 13 14 8 6 8 極限與函數 8 6 13 8 7 8 8 8 多項式函數的微積分 12 18 14 15 20 20 20 20

◎：表第四冊中雙圈內容（此部分為指考範圍，不在學測範圍）

　　由以上各章命題分數，分析數點歸納如下：

1　除了數與式、多項式函數這兩章外，幾乎每章每年都會被命題。

2　若以數學領域分類，以微積分兩章（極限與函數，多項式函數的微積分）每年配 分最多，接著向量三章（平面向量，空間向量，空間中的平面與直線）合計配分 居次。此兩領域都是大一微積分課程內容，很明顯就是為銜接微積分課程而出的 試題。

3　近年考題著重圖形及重要觀念應用，用數學語言描述問題，計算量較以前減少。

基本型題目在課本都可找到類似題，所以弄懂課本題目就有基本分。非選擇題每 年考兩題，用小題引導解題，第1小題都是出自課本重要題目，著重概念性及程 序性知識，建議學子務必把握；非選擇題必有一題出自多項式函數的微積分，可 見命題教授看重微積分，實則為大學微積分課程鋪路。

4　去年（109年）考題非常數學，說白了，數學甲就像大學理工微積分考卷，觀念 與計算並重，筆者是贊同此考法，以免學子只知其然，不知其所以然，可以建立 正確數學學習方法。

二 110 指定科目考試數學甲試題分析

大考中心所列指定科目考試測驗六目標：概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力，110指定科目考試數學甲占 六目標比率依次為0％、12％、12％、0％、40 ％、36％，主要測驗高層次數學的 論證推理與解決問題的能力，占了整份試卷的76％，跟以往比較稍高。

110 數學甲試題分配章節表 範 圍 類 型

數與式 －

多項式函數 多選5、非選二 指數與對數函數 單選1

機 率 單選2、多選6 三 角 選填A

直線與圓 選填B

平面向量 選填C

空間向量 非選一

空間中的平面與直線 －

矩 陣 多選4

機率統計 －

三角函數 多選8

極限與函數 －

多項式函數的微積分 單選3、多選7、非選二

　　由上表試題分配章節表可知：

1　配題：以數學領域分析，仍以向量三章（平面向量，空間向量，空間中的平面與 直線）與微積分兩章（極限與函數，多項式函數的微積分）考18分最多。

2　難易度：中間偏難，但較去年略易，但計算量大答案醜，又會降低分數，預估各 標略升為頂標70分、前標58分、均標42分、後標26分、底標18分，請同學參 考。此份計算複雜題目，是可以設計成漂亮數據，但命題教授沒有如此，說明就 是要考計算能力，故動手算訓練計算能力是必要功課，所以數學不要用看的了。

3　素養題：今年與去年純數學風格迥然不同，呼應到108課綱素養導向與跨領域精 神，如單選2考條件機率的分割定理搭上快篩試劑，多選6結合戳戳樂遊戲與獨 立事件，但題目更改遊戲規則，讓此題變難很多。

4　特色試題：

　　單選3：考了將上和轉積分，這在大學微積分是常見考題。

　　多選6：考戳戳樂，因題目長所以同學若能按題意舉數例，幫助瞭解，這樣就比 較有頭緒。

　　多選7：考了「導函數恆正，則函數遞增」，結合各種導函數求法，但包括課本沒 有提到的合成函數微分，難度屬中上。

　　多選8：同學不會做時，可以自行找一個平行四邊形，代入選項檢查，也可拿到 一些分數。

　　填充A：利用[（小邊）+（中邊）]愈接近（大邊）最大內角θ 愈大，找出三邊 為6、8、12時，θ最大。

　　填充C：有多種解法，但選擇有效策略解決問題，是最容易拿分，以筆者提供的 解法最方便。

　　非選一：也是有多種解法，以（公式）+（圖解）是最容易拿分，但若考生是用參 考書中的四面體公式及求對稱點、投影點題型解法，則計算量非常龐大。

三 111 分科測驗數學甲展望

1　從上圖走勢觀察發現近九年的前標在60分上下震盪，表示題目難易度尚穩定，預 估明年分科測驗數學甲依舊維持近年指考數學甲的難易度，微積分仍是命題最多 處。

2　連續兩年都有考舉反例，如109年多選6，110年多選4、8，所以觀念一定要很清 楚，才能舉反例。

3　103∼110年連續 8年非選擇題兩題都是考微積分與空間向量、平面、直線，其 實這都是大一微積分的課程內容，預估明年分科測驗數學甲也會如此。

4　107∼110年連續 4年非選擇題都有一小題考證明或說明題，但沒有很難，故學 子在練習題目時，不可跳過證明題，應紮實練習，訓練論證推理能力，及能正確 表達出你的意思，才是得分不二法門。

5　近年來數學甲試題強調觀念、公式（最好會證明）、圖解，外加計算能力，所以死 背公式、套公式、記題型的學生就非常不利，甚至事倍功半。

6　近年有些考題與課本習題或歷屆試題類似，所以熟練課本習題或歷屆試題是提高 分數最有效的方法。

7　明年分科測驗數學甲首次出現混合題型（兼含選擇題與非選擇題）或非選擇題，

約占 24％，所以真正算懂一題，知曉每一步驟是根據什麼而來，甚至會舉一反 三，不要只記方法，卻說不出引用的公式，這面對靈活的數學甲題目完全不行。

8　108課綱強調素養題，用數學概念解決生活與學術探索情境問題的能力，所以學 子也要多注意時事，但數學甲評量仍以數學知識為主，故不用太深入。 F

　　（b：110年為預估值）

數 學 甲

忠明高中 / 陳冠州老師

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 76 分）

一 單選題（占 18 分）

說明：第1題至第3題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、

未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 設x⁰、y⁰ 為正實數。若坐標平面上的點（10x⁰﹐100y⁰）在函數 y=10^x的圖形 上，則點（x⁰﹐log y⁰）會在直線y=ax+b的圖形上，其中a、b為實數。試問 2a-b的值為何？

1 4 2 9 3 15 4 18 5 22

答　　案 5

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 對數律

難 易 度 易

詳 解 將（10x⁰﹐100y⁰）代入y=10^x中，得100y⁰=10^10x0 兩邊取常用對數得log 100y⁰=log 10^10x0

!log 100+log y0=10x0

!log y0=10x0-2

可知（x0﹐log y0）在直線y=10x-2上

∴a=10，b=-2!2a-b=2．10-（-2）=22 故選5

2 研究團隊採用某快篩試劑的檢驗，以了解保護區內生物因環境汙染而導致體內 毒素累積超過標準的比率。此試劑檢驗結果只有紅色、黃色兩種。

依據過去的經驗得知：若體內毒素累積超過標準，經此試劑檢驗後，有75 ％顯 示為紅色；若體內毒素累積未超過標準，經此試劑檢驗後，有95 ％顯示為黃 色。已知此保護區的某類生物經試劑檢驗後，有 7.8 ％的結果顯示為紅色。假 設此類生物實際體內毒素累積超過標準的比率為p ％，試選出正確的選項。

1 1Np<3 2 3Np<5 3 5Np<7 4 7Np<9 5 9Np<11

答　　案 2

命題出處 第二冊第三章　機　率

測驗目標 分割定理

難 易 度 中偏易

詳 解

∵P（試劑紅色）=7.8 ％

∴p ％．75 ％+（1-p ％）．5 ％=7.8 ％!p=4 故選2

3 試求極限 lim 10¹⁰

n¹⁰〔1⁹+2⁹+3⁹+……+（2n）⁹〕的值。

1 10⁹

2 10⁹*（2¹⁰-1） 3 2⁹*（10¹⁰-1） 4 10⁹*2¹⁰

5 2⁹*10¹⁰

n→¥

答　　案 4

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 定積分的定義

難 易 度 中偏難

詳 解 lim 10¹⁰

n¹⁰〔1⁹+2⁹+3⁹+……+（2n）⁹〕

=10¹⁰*lim 1

n*

〔（

）

（

）

（

）

（

）

〕

=10¹⁰*

∫

x2 ⁹dx

=10¹⁰*

（

）│

=10¹⁰*

（

）

=10⁹*2¹⁰ 故選4

二 多選題（占 40 分）

說明：第4題至第8題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，

得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4 某電子公司有數百名員工，其用餐方式分為自備、外食兩種。經長期調查發 現：若當日用餐為自備的員工，則隔天會有10 ％轉為外食；若當日用餐為外食 的員工，則隔天會有20 ％轉為自備。

假設 x⁰、y⁰ 分別代表該公司今日用餐自備人數與外食人數占員工總人數的比 例，其中x⁰、y⁰皆為正數，且xn、yn 分別代表經過n日後用餐自備人數與外食 人數占員工總人數的比例。在該公司員工不變動的情形下，試選出正確的選項。

1 y1=0.9y0+0.2x0

2 xn+1

yn+1

= 0.9 0.2 0.1 0.8 xn

yn

3若 x0

y0

=2

1，則 xn

yn

=2

1 對任意正整數n均成立 4若y0>x0，則y1>x1

5若x⁰>y⁰，則x⁰>x¹

n→¥

n→¥

答　　案 23

命題出處 第四冊第三章　矩　陣

測驗目標 轉移矩陣

難 易 度 中偏難

詳 解 令機率矩陣Xn= xn

yn

，轉移矩陣A= 0.9 0.2 0.1 0.8

自 自 外

外

1×：X¹=AX⁰! x1

y¹ = 0.9 0.2 0.1 0.8

x0

y⁰ !y¹=0.1x⁰+0.8y⁰ 2○：Xn+1=AXn! xn+1

yn+1

= 0.9 0.2 0.1 0.8 xn

yn

3○：∵ x0

y⁰=2

1 且x⁰+y⁰=1　∴x⁰=2

3，y⁰=1 3

　　　 x¹

y¹ = 0.9 0.2 0.1 0.8 x⁰

y⁰ = 0.9 0.2 0.1 0.8

2 3 1 3

= 2 3 1 3 　　　以此類推，可得xn=2

3，yn=1 3 　　　故 xn

yn

=2

1 對所有正整數n均成立

4×：反例：取x0=0.45，y0=1-0.45=0.55!y0>x0

　　　　　　 x¹ y1

= 0.9 0.2 0.1 0.8

0.45

0.55 = 0.515 0.485 　　　　　　不符合y1>x1

5×：反例：由3知，當x⁰=2

3，y⁰=1

3 時，x¹=2 3 　　　　　　符合x⁰>y⁰，但不符合x⁰>x¹

故選23

5 假設 f（x）為五次實係數多項式，且 f（x）除以 xⁿ-1的餘式為r（n x），n是正 整數。試選出正確的選項。

1 r（¹ x）=f（1）

2 r（² x）是一次實係數多項式

3 r（⁴ x）除以x²-1所得的餘式等於r（² x） 4 r（5 x）=r（6 x）

5若 f（-x）=-f（x），則r（-3 x）=-r（3 x）

答　　案 13

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 除法原理

難 易 度 中偏難

詳 解 1○：當n=1時，f（x）除以x-1的餘式為r（¹ x）=f（1）

（由餘式定理知）

2×：當n=2時，f（x）除以x²-1的餘式為r（2 x） 　　　!r（2 x）可能為一次式或常數

3○：當n=4時，f（x）除以x⁴-1的餘式為r（⁴ x） 　　　! f（x）=（x⁴-1）Q（⁴ x）+r（⁴ x）

　　　! f（x）=（x²-1）（x²+1）Q（⁴ x）+r（⁴ x）

　　　∴ f（x）除以x²-1的餘式 r（2 x）就是r（4 x）除以x²-1的餘式 4×：∵r（6 x）=f（x），r（5 x）≠f（x）　∴r（6 x）≠r（5 x）

5×：反例：令 f（x）=x⁵，則 f（-x）=-f（x） 　　　　　　將（f x）除以x³-1得餘式r（³ x）=x² 　　　　　　但r（-³ x）=（-x）²=x²=r（³ x） 故選13

6 一個標有1至12號格子的 12格戳戳樂遊戲，每回遊戲以投擲一枚均勻銅板四 次來決定要戳哪些格子。規則如下：

（一）第一次投擲銅板，若是正面，則戳1號格子；若是反面，則戳3號格子。

（二）第二、三、四次投擲銅板，若是正面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格 子的號碼加 1；若是反面，則所戳格子的號碼為前一次所戳格子的號碼加

3，依此類推。

例如：投擲銅板四次的結果依序為「正、反、反、正」，則會戳編號分別為 1、 4、7、8號的四個格子。

假設pm代表在每回遊戲中m號格子被戳到的機率，試選出正確的選項。

1 p²= 1 4 2 p3= 1 2 3 p4= 1

2 p1+1 2 p3

4 p⁸>p¹⁰

5在4號格子被戳到的條件下，3號格子被戳到的機率為 1 2

答　　案 134

命題出處 第二冊第三章　機　率

測驗目標 條件機率、獨立事件

難 易 度 難

詳 解 1○：2號被戳到的情況：1+1=2!正、正 　　　∴p²= 1

2*1 2=1

4

2×：3號被戳到的情況有兩種：

　　　1　1+1+1=3!正、正、正 　　　 　機率為 1

2*1 2*1

2= 1 8 　　　2　3!反

　　 　　機率為 1 2 　　　由1、2知p3=1

8+ 1 2= 5

8

3○：下次戳到4號的情況有兩種：

　　　3　1號被戳到 ^擲反面 +3 4號 　　　4　3號被戳到 ^擲正面

+1 4號 　　　由3、4知p⁴=p¹*1

2+p³*1 2= 1

2 p¹+1 2 p³ 4○：8號被戳到的情況：1+1+3+3（=8）及其排列

　　　p8= 4!

2!2!*

（

）

　　　10號被戳到的情況：1+3+3+3（=10）及其排列 　　　p¹⁰=4!

3! *

（

）

　　　∴p⁸>p¹⁰

5×：所求為

p³*1 p42 =

5 8*1

2 1

2*1 2+1

2*5 8

=5 9 故選134

7 設F（x）為一實係數多項式且F'（x）=f（x）。已知 f '（x）>x²+1.1對所有的實 數x 均成立，試選出正確的選項。

1 f '（x）為遞增函數 2 f（x）為遞增函數 3 F（x）為遞增函數 4（f（x））²為遞增函數 5 f（f（x））為遞增函數

答　　案 25

命題出處 選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 由導數看增減

難 易 度 難

詳 解 1×：反例：設 f '（x）=x²+2>x²+1.1 　　　　　　但 f '（x）=x²+2非遞增函數

2○：f '（x）=x²+2>x²+1.1>0對所有實數x皆成立!恆正 　　　! f（x）為遞增函數

　　　注意：f（x）之正負不定

3×：承2，F'（x）=f（x）正負不定!F（x）不一定為遞增函數 4×：〔（f（x））²〕'=2f（x）．f '（x）正負不定

　　　!（f（x））²不一定為遞增函數 5○：〔f（f（x））〕'=f '（f（x））．f '（x）恆正

　　　（∵ f '（x）為恆正　∴ f '（f（x））亦恆正）

　　　! f（f（x））為遞增函數 故選25

8 已知z1、z2、z3、z4為四個相異複數，且其在複數平面上所對應的點，依序可連 成一個平行四邊形，試問下列哪些選項必為實數？

1（z¹-z³）（z²-z⁴） 2 z¹-z²+z³-z⁴ 3 z¹+z²+z³+z⁴ 4 z1-z2

z3-z4

5

（

）

答　　案 24

命題出處 選修數學甲（上）第二章　三角函數

測驗目標 複數平面

難 易 度 中偏難

詳 解 1×：反例：令z1=0，z2=1+i，z3=1+2i，z4=i 　　　　　　如右圖所示

　　　　　　則（z¹-z³）（z²-z⁴）=（-1-2i）（1） 　　　　　　 =-1-2i不為實數 2○：∵平行四邊形對角線有相同中點M

　　　∴z1+z3

2 =z2+z4

2 !z1-z2+z3-z4=0

3×：承1，z1+z2+z3+z4 =0+（1+i）+（1+2i）+i

=2+4i不為實數 4○：承2，z¹-z²+z³-z⁴=0!z¹-z²=z⁴-z³

　　　代入 z1-z2

z3-z4

=z4-z3

z3-z4

=-1

5×：承1，

（

）

（

）

故選24

三 選填題（占 18 分）

說明：1 第 A. 至 C. 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的 列號（9～22）。

　　　2 每題完全答對給 6 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 從6、8、10、12中任取三個相異數字，作為三角形的三邊長，且設此三角形的 最大內角為θ。在所有可能構成的三角形中，cos θ 的最小值為 　90q

we 　。

（化成最簡分數）

答　　案 -11 24

命題出處 第三冊第一章　三　角

測驗目標 餘弦定理

難 易 度 中

詳 解 如右圖所示，所求為cos θ=6²+8²-12²

2*6*8 =- 11 24

B. 坐標平面上，一個半徑為12的圓與直線x+y=0相交於兩點，且這兩點的距離 為8。若此圓與直線x+y=24交於P、Q兩點，則線段PQ的長度為

　r t　。（化成最簡根式）

答　　案 8 7

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 兩平行線距離、圓定義

難 易 度 中

詳 解 如右圖所示

a= 12²-4²=8 2 d= 24

1²+1²=12 2 b=d-a=4 2

PM= 12²-（4 2）²=4 7 故PQ=2PM=8 7

C. 考慮一梯形ABCD，其中AB與DC平行。已知點 E、F分別在對角線AC、BD上，且AB=2

5 DC、 AE=3

2 EC、BF=2

3 FD，如右圖所示。若將向量 a

aFE表示成α aaAC+β aaAD，則實數α=　 y

ui 　、β=　op

as 　。（化成最簡分數）

答　　案 9

25，-4 25

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 向量的線性組合

難 易 度 中偏難

詳 解

1　aaFE=aaAE-aaAF 2　∵AE=3

2 EC　∴aaAE=3

5 aaAC ……… 1 3　∵BF=2

3 FD　∴aaAF=2

5 aaAD+3 5 aaAB =2

5 aaAD+3

5

（

）（

）

=2

5 aaAD+ 6 25 aaDC =2

5 aaAD+ 6

25（aaAC-aaAD） = 4

25 aaAD+ 6

25 aaAC …………2 將1、2代回1，得aaFE=3

5 aaAC-

（

）

= 9

25 aaAC- 4 25 aaAD 故α= 9

25，β=- 4 25

【另解】

將梯形特殊化，再坐標化如右圖

∵ EA：EC=3：2

∴E點坐標為

（

）

∵ FB：FD=2：3

∴F點坐標為

（

2+3

）

（

）

∵aFE=αaaAC+β aaAD

∴

（

）

! 5α=9 5

-5α-5β=-1

!α= 9

25，β=- 4 25

第貳部分：非選擇題（占 24 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚 辨識，該部分不予計分。每一子題配分標於題末。

一、坐標空間中，令E為通過三點A（0﹐-1﹐-1）、B（1﹐-1﹐-2）、 C（0﹐1﹐0）的平面。假設H為空間中一點，且滿足

aAH=2

3 aAB-1

3 aaAC+3（aAB*aAC）。根據上述，試回答下列問題。

　　1　試求四面體ABCH的體積。（4分）（註：四面體體積為三分之一的底面積 乘以高）

　　2　令點H'為點H相對於平面E的對稱點，試求H'的坐標。（4分）

　　3　試判斷點H'在平面E的投影點是否位在 △ABC的內部？並說明理由。

（4分）（註：三角形的內部不含三角形的三邊）

答　　案 1 9

2；2 H'

（

）

命題出處 第四冊第一章　空間向量

測驗目標 空間幾何、立體圖形、空間向量基本運算

難 易 度 中偏難

詳 解

1　aAB*aAC=（1﹐0﹐-1）*（0﹐2﹐1）=（2﹐-1﹐2） 　!│aAB*aAC│=3

　△ABC的面積為 1

2│aAB*aAC│=3 2 　令aAP=2

3 aAB-1 3 aAC =2

3（1﹐0﹐-1）-1

3（0﹐2﹐1）=

（

）

　aPH=3（aAB*aAC）r平面E

　∴d（H﹐E）=│3（aAB*aAC）│=3*3=9 　故體積VH-ABC =1

3*（△ABC面積）*d（H﹐E）=1 3*3

2*9=9 2 2　aPH'=-3（aAB*aAC）=（-6﹐3﹐-6）

　故H'坐標為

　（0﹐-1﹐-1）+

（

）

　=

（

）

3　點H'在平面E的投影點就是點P 　∵aAP=2

3 aAB-1 3 aAC

　∴由向量減法作圖知點P在△ABC外部，而不在內部

二、坐標平面上，以 Γ表示多項式函數 y=x³-4x²+5x的圖形，且以 L表示直線 y=mx，其中m為實數。根據上述，試回答下列問題。

　　1　當m=2時，試求出在 xM0的範圍內，Γ與L的三個相異交點的x 坐標。

（2分）

　　2　承1，試求Γ與L所圍有界區域面積的值。（4分）

　　3　在xM0的範圍內，若Γ與L有三個相異交點，則滿足此條件的 m之最大 範圍為a<m<b，試求a、b之值。（6分）

答　　案 1 0，1，3；2 37

12；3 a=1，b=5

命題出處 第一冊第二章　多項式函數、

選修數學甲（下）第二章　多項式函數的微積分

測驗目標 曲線間面積求法、解高次方程式、二次方程式之根與係數的關係

難 易 度 中偏難

詳 解 1　 y=x³-4x²+5x y=2x

　!x³-4x²+5x=2x!x³-4x²+3x=0 　!x（x-1）（x-3）=0!x=0，1，3 2　所求面積為

　A1+A2

　=

∫

〔1（x³-4x²+5x）-2x〕dx+

∫

〔3 2x-（x³-4x²+5x）〕dx 　=

∫

（1 x³-4x²+3x）dx-

∫

（3 x³-4x²+3x）dx

　=

（

）│

（

）│

　=

（

）

（

）

3　由題意知 y=x³-4x²+5x

y=mx 有x=0及另外兩相異正根 　!x³-4x²+5x=mx !x³-4x²+（5-m）x=0

　!x〔x²-4x+（5-m）〕=0

　∵x²-4x+（5-m）=0有兩相異正根

　∴

判別式D=（-4）²-4．1．（5-m）>0!m>1 兩根之積 5-m

1 >0!m<5

　!1<m<5，故a=1，b=5 F

忠明高中 / 陳冠州老師

一 回顧與歷屆試題分析

首先我們先回顧一下，102年指定科目考試是第一次依99課綱命題，至109年 指考各章命題分數統計如下：

範　圍 102年 103年 104年 105年 106年 107年 108年 109年

數與式 0 8 0 6 0 0 6 0

多項式函數 6 16 16 14 14 19 8 8 指數與對數函數 12 6 8 8 14 14 8 13

排列、組合 8 8 6 8 8 6 16 6 機　率 0 8 8 6 0 16 16 4 數據分析 14 6 8 8 8 0 0 14 直線與圓 20 24 24 12 8 13 19 18 平面向量 8 8 8 14 8 8 13 11

矩　陣 8 8 8 6 13 8 6 6

機率統計 16 0 8 12 19 8 8 12

極限與函數 8 8 6 6 8 8 0 8

　　由以上各章命題分數，分析數點歸納如下：

1　以冊分析，第二、三冊是考最多的。

2　以章分析，以第三冊第二章直線與圓考最多，第一冊第二章多項式函數次之。

3　以數學領域分析，以機率統計四章（排列、組合，機率，數據分析，機率統計）

考最多，每年約考30分，這也呼應大學商管學群最重視的數學部分。

4　近年試題趨勢，非常重觀念及圖表解讀，不強調複雜計算，素養題每年都會考，

且題目字數明顯比數學甲多。

5　去年（109年）數學乙有 4題素養題，結合時事或生活，如非選擇題第一題，考 了傳染病的傳染力問題，跟新冠肺炎搭上關係，這是結合時事；又如選填C結合 職場薪水，這是結合生活。這都可列為明年學測數學素養題必練習題目。

二 110 指定科目考試數學乙試題分析

大考中心所列指定科目考試測驗六目標：概念性知識、程序性知識、閱讀與表達 的能力、連結能力、論證推理的能力、解決問題的能力，110指定科目考試數學乙占 六目標比率依次為22 ％、8 ％、6 ％、8 ％、20 ％、36 ％，比較重視的是解決問題 的能力，預先呼應108課綱學測測驗能力：整合運用知識與技能以處理生活情境問 題。

110 數學乙試題分配章節表 範 圍 類 型

數與式 選填A

多項式函數 單選2 指數與對數函數 多選4 排列、組合 多選5

機　率 －

數據分析 單選1

直線與圓 非選二

平面向量 非選一

矩　陣 選填B

機率統計 單選3、多選7、選填C 極限與函數 多選6

　　由上表試題分配章節表可知：

1　配題：各章配分大致差不多；若以數學領域分析，仍以機率統計四章（排列、組 合，機率，數據分析，機率統計）共占36分最多，跟以往相同。

2　難易度：中間偏易，比去年略易，預估各標上升為頂標 90分、前標73 分、均標 50分、後標32分、底標18分，請同學參考。

3　素養題：今年有五題素養題，如單選 1考人數與年齡的相關係數，看圖就可解 決；單選 3考抽獎期望值，屬課本類似題；多選 5考積木與公仔分成兩袋的情 況，是此份最難題，同學需冷靜思考如何分類列出所有可能情況，再判斷選項之 對錯；選填C考擲銅板與二項分布之最大機率，算是比較難的，但也是課本題 目；非選二搭上電動車潮流而設計的線性規劃問題，這是不錯的考題，但在108 課綱中，線性規劃不列入考試範圍，實屬可惜。

4　其他特色：此份考卷中文敘述明確，沒有以前模稜兩可的文字敘述，延續去年題 文風格。所有題目不是在課本就是在考古題中可以找到類似題。此次出題教授有 由易至難排序題目，這是鼓勵學生作答，不要放棄，十分贊同！

5　

　 （b：110年為預估值）

今年是末屆數學乙考試，但也不是說數學乙的題目就沒有用了，筆者認為數學乙 試題反而比數學甲更接近 108課綱的素養題，所以可以將數學乙的題目當作訓練學測

素養題的練習。 F

數 學 乙

忠明高中 / 陳冠州老師

第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分）

一 單選題（占 18 分）

說明：第1題至第3題，每題有5個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，

請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得6分；答錯、

未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。

1 下列選項分別為甲、乙、丙、丁、戊等五個地區1至10歲（以整數計）兒童罹 患某疾病的人數散佈圖。試選出罹患某疾病的人數與年齡相關係數值最大的選 項。

1 2

3 4

5

答　　案 4

命題出處 第二冊第四章　數據分析

測驗目標 相關係數

難 易 度 易

詳 解 由題圖可知，34為正相關，r皆大於0， 又4為完全正相關!r=1即為最大

故選4

2 已知實係數二次多項式函數 f（x）滿足 f（-1）=k，f（1）=9k，f（3）=-15k， 其中k>0。設函數y=f（x）圖形頂點的x坐標為a，試選出正確的選項。

1 aN-1 2-1<a<1 3 a=1 4 1<a<3 5 3Na

答　　案 2

命題出處 第一冊第二章　多項式函數

測驗目標 二次函數的圖形

難 易 度 易

詳 解 由題意作略圖如下：

由圖可知-1<a<1，故選2

3 某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為1至 6的六張牌中隨機抽取兩 張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：

（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金100元，此時抽獎結束；

（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩 張牌，且其號碼之和為奇數，則可得獎金50元，其他情形則沒有獎金，

此時抽獎結束。

依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？

1 50 2 70 3 72 4 80 5 100

答　　案 2

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計

測驗目標 期望值、獨立事件

難 易 度 中

詳 解 由題意可作樹狀圖如右：

其對應的機率為 1：p=C ³1C ³1

C ⁶2

=3 5 2：p= C ³2

C ⁶² =1 5 3：p= C ³²

C ⁶² =1 5 4：p=C ¹¹C ³¹

C ⁴2

=1 2 5：p=C ³1C ¹1

C ⁴2

=1 2

∴期望值為100*3

5+50*1 5*1

2+50*1 5*1

2=70（元）

故選2

二 多選題（占 32 分）

說明：第4題至第7題，每題有5個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正 確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所 有選項均答對者，得8分；答錯1個選項者，得4.8分；答錯2個選項者，

得1.6分；答錯多於2個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。

4 設a=log2 8，b=log3 1，c=log0.5 8，試選出正確的選項。

1 b=0

2 a+b+c>0 3 a>b>c 4 a²>b²>c² 5 2^a>3^b>

（

）

答　　案 13

命題出處 第一冊第三章　指數與對數函數

測驗目標 對數的定義

難 易 度 易

詳 解 a=log2 8=3，b=log3 1=0，c=log0.5 8=log2^-12³= 3

-1=-3 1○

2×：a+b+c=3+0-3=0 3○

4×：a²=9，b²=0，c²=9 　　　∴a²=c²>b²

5×：2^a=2³=8，3^b=3⁰=1，

（

）

（

）

　　　∴2^a=

（

）

故選13

5 某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和a、b、c、d、e 五個角色公仔，共八 個玩具，分成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具，其分裝的原則如下：

（一）甲和a必須裝在同一袋。

（二）每袋至少裝有一個積木模型。

（三）d和e必須裝在不同袋。

根據以上敘述，試選出正確的選項。

1每袋至少裝有兩個角色公仔 2乙和丙必裝在不同袋

3如果乙和d裝在同一袋，則丙和e 必裝在同一袋 4如果乙和d裝在不同袋，則b和c 必裝在不同袋 5如果b和c裝在不同袋，則乙和丙必裝在同一袋

答　　案 15

命題出處 第二冊第二章　排列、組合

測驗目標 分類法、討論法

難 易 度 難

詳 解 討論列舉如下：

1　甲、a、d同一袋，則有下列4種裝法 　 1　甲ad乙，丙bce

　 2　甲ad丙，乙bce 　 3　甲adb，乙丙ce 　 4　甲adc，乙丙be

2　甲、a、e同一袋，則有下列4種裝法 　 5　甲ae乙，丙 bcd

　 6　甲ae丙，乙 bcd 　 7　甲aeb，乙丙cd 　 8　甲aec，乙丙bd 1○

2×：反例：3、4、7、8 3×：反例：7、8

4×：反例：2、5

5○：如3、4、7、8皆符合 故選15

6 已知實數數列〈an〉滿足 a¹=1，an+1=2n+1

2n-1 an，n為正整數。試選出正確的選 項。

1 a²=3 2 a4=9

3〈an〉為等比數列 4_n

Σ

5 lim an

n =2

答　　案 145

命題出處 選修數學乙（下）第一章　極限與函數

測驗目標 無窮極限、遞迴數列

難 易 度 中

詳 解 1○：a²= 2+1

2-1*a¹=3 2×：a3= 2*2+1

2*2-1*a2=5

3*3=5 　　　a⁴= 2*3+1

2*3-1*a³=7

5*5=7 3×：由an+1=2n+1

2n-1 an可得 　　　　　a2=3

1 a1=3 　　　　　a3=5

3 a2

　　　　　a⁴=7 5 a³ 　　　　　a⁵=9

7 a⁴ 　　　　　　︙

　　　*）an=2n-1 2n-3 an-1

　　　　　an=3*5 3*7

5*9

7*……*2n-1

2n-3=2n-1 　　　∴〈an〉=〈2n-1〉為等差數列

n→¥

4○：_n

Σ

　　　 　=1+3+……+39 　　　 　=（1+39）*20

2 =400

5○：lim an

n =lim 2n-1

n =2

故選145

7 已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 1

2，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從 下列選項中，選出發生機率為 1

2 的事件。

1 連續射2次飛鏢，恰射中1次 2 連續射4次飛鏢，恰射中2次

3 連續射4次飛鏢，射中的總次數為奇數

4 連續射6次飛鏢，在第1次沒有射中的條件下，第2次有射中

5 連續射6次飛鏢，在前2次恰射中1次的條件下，後4次恰射中2次

答　　案 134

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計

測驗目標 獨立事件、二項分布

難 易 度 中

詳 解 令X表連續射n次恰射中次數!X∼B

（

）

1○：P（X=1）=C

（

） （

）

2×：P（X=2）=C

（

） （

）

3○：所求為P（X=1）+P（X=3）=C

（

） （

）

（

） （

）

4○：∵每次射中飛鏢的結果均互相獨立 　　　∴所求為P（第2次射中）=1

2 5×：∵每次射中飛鏢的結果均互相獨立

　　　∴所求為P（後4次恰射中2次）=3

8（同2）

故選134

n→¥ n→¥

三 選填題（占 24 分）

說明：1　第 A. 至 C. 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示 的列號（8～13）。

　　　2　每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 數線上有原點O 及三點 A（-2）、B（10）、C（x），其中 x 為實數。已知線段 BC、AC、OB長度大小關係為BC<AC<OB，則x 的最大範圍為

　8　<x<　9　。

答　　案 4<x<8

命題出處 第一冊第一章　數與式

測驗目標 絕對值

難 易 度 易

詳 解 1　AB之中點M坐標為（-2）+10

2 =4

　∵BC<AC

　∴C位置在 M之右（不含M） 2　∵AC<OB=10

　∴C位置在-2810之間，即-12∼8之間（不含-12，8）

由1、2取交集得4<x<8

B. 設矩陣A= 1 -2 0 1

1 0 0 6

1 -2 0 1

-1

，B= 1 -2 0 1

6 0 0 1

1 -2 0 1

-1

，其中 1 -2

0 1

-1

為矩陣 1 -2

0 1 的反方陣。若A+B= a b

c d ，則a+b+c+d= 　0q　。

答　　案 14

命題出處 第四冊第三章　矩　陣

測驗目標 矩陣的乘法

難 易 度 中偏易

詳 解 令P= 1 -2 0 1 A+B =P 1 0

0 6 P^-1+P 6 0

0 1 P^-1=P

（

）

=P 7 0 0 7 P^-1

=P．7I．P^-1

=7I= 7 0 0 7

故a+b+c+d=7+0+0+7=14

C. 已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為 1

3，出現反面的機率為 2 3。 今在坐標平面上有一顆棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位 置，規則如下：

（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量（-1﹐2）的方向與長度，前進至 下一個位置；

（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量（1﹐0）的方向與長度，前進至下 一個位置。

例如：棋子目前位置在坐標（2﹐4），若擲出反面，則棋子前進至坐標（3﹐4）。 假設棋子以原點（0﹐0）為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板6次，且每 次投擲均互相獨立，則經過6次移動後，棋子停在坐標（　w﹐e　）的機率 最大。

答　　案 （2﹐4）

命題出處 選修數學乙（上）第一章　機率統計

測驗目標 二項分布

難 易 度 中偏難

詳 解 令X表投擲銅板6次中，出現正面的次數，即X∼B

（

）

當X=^（[ _n⁺₁^）_p]^=（

[

]

[

]

此時，正面、反面各出現 2、4次

∴棋子停在（0﹐0）+2（-1﹐2）+4（1﹐0）=（2﹐4）

第貳部分：非選擇題（占 26 分）

說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號

（一、二）與子題號（1、2、……），同時必須寫出演算過程或理由，否 則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用 鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚 辨識，該部分不予計分。每一子題配分標於題末。

一、坐標平面上有兩點A（-3﹐4），B（3﹐2）及一條直線L。已知A、B兩點在直 線L的兩側且an=（4﹐-3）是直線L的法向量。設A點到直線L的距離為B 點到直線L的距離的5倍。根據上述，試回答下列問題。

　　1　試求向量aAB 與向量an的內積。（4分）

　　2　試求直線L的方程式。（4分）

　　3　設P點在直線L上且PA=PB，試求P點坐標。（4分）

答　　案 1 30；2 4x-3y=1；3 （-2﹐-3）

命題出處 第三冊第三章　平面向量

測驗目標 內積、分點公式、直線的法向量

難 易 度 中

詳 解 1　aAB．an=（6﹐-2）．（4﹐-3）=24+6=30 2　設L：4x-3y=k，作圖如下

　 由相似三角形△AA'Q∼ △BB'Q得 　 AA'：BB'=QA：QB=5：1

　 ∴Q

（

5+1

）

（

）

　 代入L得4*2-3* 7

3=k!k=1 　 故L：4x-3y=1

3　1　∵PA=PB　

　　　∴P在AB的中垂線L'上 　 2　AB之中點M為

（

）

　 3　mAB= 4-2

-3-3=-1 3 　 　 ∵L'rAB　∴mL'=3

　 　 得L'：y=3x+3!3x-y=-3

　 　 再與L：4x-3y=1聯立，解得P（x﹐y）=（-2﹐-3）

二、已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，

甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）：

電池成本 馬達成本 其他成本

甲型 56 26 48

乙型 40 20 56

　　今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的x 倍」、「馬達成本的y 倍」與「其他成本的 x+y

2 倍」之總和，即

售價=電池成本*x+馬達成本*y+其他成本* x+y 2

　　其中倍數x、y需滿足「1NxN2，1NyN2，且甲、乙兩型電動車的售價均不 超過200萬元」。

　　該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資 訊，試回答下列問題。

　　1　試寫出甲、乙兩型電動車的售價（以x、y 的式子來表示），並說明「甲型 電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。（4分）

　　2　試在坐標平面上，畫出滿足題幹條件（x﹐y）的可行解區域，並以斜線標 示該區域。（4分）

　　3　試求當倍數x、y分別為多少時，甲、乙兩型電動車的售價差距最大？此時 甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元？（6分）

答　　案 1 甲車售價為80x+50y萬元，乙車售價為68x+48y萬元，說明略；

2 略；

3 當x=15

8 ，y=1時，售價差距有最大值為 24.5萬元

命題出處 第三冊第二章　直線與圓

測驗目標 線性規劃

難 易 度 中

詳 解 1　甲車售價為56x+26y+48．x+y

2 =80x+50y（萬元）

　乙車售價為40x+20y+56．x+y

2 =68x+48y（萬元）

　∵1NxN2，1NyN2

　令售價差距P =甲車售價-乙車售價

=（80x+50y）-（68x+48y）

=12x+2y>0 　∴甲車售價必定高於乙車售價

2　甲車售價為80x+50yN200!8x+5yN20

　乙車售價為68x+48yN200，由1知乙車售價<甲車售價N200 　∴必成立，可略去

　故可得可行解區域為

1NxN2 1NyN2 8x+5yN20

，作圖如下

3　

　∴當x=15

8 ，y=1時，P有最大值為24.5（萬元） F

（x﹐y） （1﹐1） （1﹐2）

（

） （

）

P=12x+2y 14 16 19 24.5

學測週計畫

國文、英文、數學 A、

物理、化學、生物、

地球科學、歷史、

地理、公民與社會

（附 3 回新式學測模擬題）

國文、英文、數學、

自然、社會

新大滿貫複習講義

數學 A、數學 B、

物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、

生物、歷史、地理、

公民與社會

數學 A、數學 B、

物理、化學、

生物、地球科學、

公民與社會

香吉試學測講義

數學 A

翰將複習講義

國文、英文

新大滿貫總複習

國文

大講堂 文言文15 篇

數學 A

數 A 樂試

學測歷屆試題

綜合進階題型，靈活運用概念 素養題型，增進核心素養閱讀能力 混合題型，強化大腦思辨能力 創新試題，符合大考新趨勢

隨書附 試題本．解答本

概念好釐清：重點統整，建立完整的知識架構 觀念好理解：知識註解、圖像解構難懂的概念 大考新試力：素養導向、混合題融入時事議題 試題更多元：收錄最新學測與獨家模擬考試題

科　目 數學 A、數學 B、物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、 生物、歷史、地理、公民與社會

隨書附 解答本

重點整理與趨勢分析 精選範例與類題演練 多元素養混合趨勢題

科　目 數學 A、數學 B、物理、化學、生物、 地球科學、公民與社會

隨書附 解答本（數學另附「試題本」）

一本搞定數 A ＋數 B

挑戰滿級分

聚焦高考點

超前 指路

精準 指路

快速 指路

徬徨學子照過來

學測週計畫

國文、英文、數學 A、

物理、化學、生物、

地球科學、歷史、

地理、公民與社會

（附 3 回新式學測模擬題）

國文、英文、數學、

自然、社會

新大滿貫複習講義

數學 A、數學 B、

物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、

生物、歷史、地理、

公民與社會

數學 A、數學 B、

物理、化學、

生物、地球科學、

公民與社會

香吉試學測講義

數學 A

翰將複習講義

國文、英文

新大滿貫總複習

國文

大講堂 文言文15 篇

數學 A

數 A 樂試

學測歷屆試題

綜合進階題型，靈活運用概念 素養題型，增進核心素養閱讀能力 混合題型，強化大腦思辨能力 創新試題，符合大考新趨勢

隨書附 試題本．解答本

概念好釐清：重點統整，建立完整的知識架構 觀念好理解：知識註解、圖像解構難懂的概念 大考新試力：素養導向、混合題融入時事議題 試題更多元：收錄最新學測與獨家模擬考試題

科　目 數學 A、數學 B、物理 ( 上 )、化學 ( 上 )、

生物、歷史、地理、公民與社會

隨書附 解答本

重點整理與趨勢分析 精選範例與類題演練 多元素養混合趨勢題

科　目 數學 A、數學 B、物理、化學、生物、

地球科學、公民與社會

隨書附 解答本（數學另附「試題本」）

一本搞定數 A ＋數 B

挑戰滿級分

聚焦高考點

超前 指路

精準 指路

快速 指路